1、2020年上海市虹口区中考数学一模试卷一选择题（共6小题）1若cos，则锐角的度数是（）A30B45C60D902在RtABC中，C90，如果BC2，tanB2，那么AC（）A1B4CD23抛物线y3（x+1）2+1的顶点所在象限是（）A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限4已知抛物线yx2经过A（2，y1）、B （1，y2）两点，在下列关系式中，正确的是（）Ay10y2By20y1Cy1y20Dy2y105已知、和都是非零向量，在下列选项中，不能判定的是（）A|B，C+0D+2，36如图，点D是ABC的边BC上一点，BADC，AC2AD，如果ACD的面积为15，那么ABD的面积为（）A15
2、B10C7.5D5二填空题（共12小题）7如果a：b2：3，且a+b10，那么a 8如果向量、满足关系式23（+）0，那么用向量、表示向量 9如果抛物线y（1a）x2+1的开口向下，那么a的取值范围是 10沿着x轴正方向看，抛物线y（x1）2在对称轴 侧的部分是下降的（填“左”、“右”）11如果函数y（m+1）x+2是二次函数，那么m 12如图，抛物线的对称轴为直线x1，点P、Q是抛物线与x轴的两个交点，点P在点Q的右侧，如果点P的坐标为（4，0），那么点Q的坐标为 13如图，点A（2，m）在第一象限，OA与x轴所夹的锐角为，如果tan那么m 14已知ABCA1B1C1，顶点A、B、C分别与A
3、1、B1、C1对应，AC12、A1C18，ABC的高AD为6，那么A1B1C1的高A1D1长为 15如图，在梯形AEFB中，ABEF，AB6，EF10，点C、D分别在边AE、BF上且CDAB，如果AC3CE，那么CD 16公元三世纪，我国汉代数学家赵爽在注解周髀算经时给出的“赵爽弦图”，它由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形，如果小正方形面积是49，直角三角形中较小锐角的正切为，那么大正方形的面积是 17如图，在RtABC中，C90，AC1，BC2，点D为边AB上一动点，正方形DEFG的顶点E、F都在边BC上，联结BG，tanDGB 18如图，在等腰梯形ABCD中，ADBC
4、，sinC，AB9，AD6，点E、F分别在边AB、BC上，联结EF，将BEF沿着EF所在直线翻折，使BF的对应线段BF经过顶点A，BF交对角线BD于点P，当BFAB时，AP的长为 三解答题（共7小题）19计算：tan26020在平面直角坐标系中，将抛物线C1：yx22x向左平移2个单位，向下平移3个单位得到新抛物线C2（1）求新抛物线C2的表达式；（2）如图，将OAB沿x轴向左平移得到OAB，点A（0，5）的对应点A落在平移后的新抛物线C2上，求点B与其对应点B的距离21如图，在RtABC中，ABC90，点G是RtABC的重心，联结BG并延长交AC于点D，过点G作GEBC交边BC于点 E（1）
5、如果，用、表示向量；（2）当AB12时，求GE的长22某次台风来袭时，一棵笔直大树树干AB（假定树干AB垂直于水平地面）被刮倾斜7（即BAB7）后折断倒在地上，树的顶部恰好接触到地面D处，测得CDA37，AD5米，求这棵大树AB的高度（结果保留根号）（参考数据：sin370.6，cos370.8，tan370.75）23如图，在RtABC中，ACB90，点D是边BC的中点，联结AD过点C作CEAD于点E，联结BE（1）求证：BD2DEAD；（2）如果ABCDCE，求证：BDCEBEDE24在平面直角坐标系中，抛物线yx2+bx+c与x轴交于A（1，0）、B两点，与y轴交于点C （0，3），点P
6、在该抛物线的对称轴上，且纵坐标为2（1）求抛物线的表达式以及点P的坐标；（2）当三角形中一个内角是另一个内角的两倍时，我们称为此三角形的“特征角”当D在射线AP上，如果DAB为ABD的特征角，求点D的坐标；点E为第一象限内抛物线上一点，点F在x轴上，CEEF，如果CEF为ECF的特征角，求点E的坐标25如图，在RtABC中，ACB90，BC4，sinABC，点D为射线BC上一点，联结AD，过点B作BEAD分别交射线AD、AC于点E、F，联结DF，过点A作AGBD，交直线BE于点G（1）当点D在BC的延长线上时，如果CD2，求tanFBC；（2）当点D在BC的延长线上时，设AGx，SDAFy，求
7、y关于x的函数关系式（不需要写函数的定义域）；（3）如果AG8，求DE的长 参考答案与试题解析一选择题（共6小题）1若cos，则锐角的度数是（）A30B45C60D90【分析】根据cos，求出锐角的度数即可【解答】解：cos，60故选：C2在RtABC中，C90，如果BC2，tanB2，那么AC（）A1B4CD2【分析】根据正切函数的定义求解即可【解答】解：如图，在RtACB中，C90，tanB2，2，AC4故选：B3抛物线y3（x+1）2+1的顶点所在象限是（）A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限【分析】根据抛物线y3（x+1）2+1，可以写出该抛物线的顶点坐标，从而可以得到顶点在第几象
8、限【解答】解：抛物线y3（x+1）2+1，该抛物线的顶点是（1，1），在第二象限，故选：B4已知抛物线yx2经过A（2，y1）、B （1，y2）两点，在下列关系式中，正确的是（）Ay10y2By20y1Cy1y20Dy2y10【分析】依据抛物线的对称性可知：（2，y1）在抛物线上，然后依据二次函数的性质解答即可【解答】解：抛物线yx2，抛物线开口向上，对称轴为y轴，A（2，y1）关于y轴对称点的坐标为（2，y1）又012，y1y20，故选：C5已知、和都是非零向量，在下列选项中，不能判定的是（）A|B，C+0D+2，3【分析】根据方向相同或相反的非零向量叫做平行向量，对各选项分析判断后利用排除
9、法求解【解答】解：A、该等式只能表示两、的模相等，但不一定平行，故本选项符合题意；B、由，可以判定，故本选项不符合题意C、由+0可以判定、的方向相反，可以判定，故本选项不符合题意D、由+2，3得到，则、的方向相反，可以判定，故本选项不符合题意故选：A6如图，点D是ABC的边BC上一点，BADC，AC2AD，如果ACD的面积为15，那么ABD的面积为（）A15B10C7.5D5【分析】首先证明BADBCA，由相似三角形的性质可得：BAD的面积：BCA的面积为1：4，得出BAD的面积：ACD的面积1：3，即可求出ABD的面积【解答】解：BADC，BB，BADBCA，AC2AD，（）2，ACD的面积
10、为15，ABD的面积155，故选：D二填空题（共12小题）7如果a：b2：3，且a+b10，那么a4【分析】根据已知条件设a2k，b3k，再根据a+b10求出k的值，从而得出a的值【解答】解：设a2k，b3k，a+b10，2k+3k10，解得：k2，a2k224；故答案为：48如果向量、满足关系式23（+）0，那么用向量、表示向量【分析】利用一元一次方程的求解方法，去括号、移项、系数化1，即可求得答案【解答】解：23（+）0，2330，323故答案是：9如果抛物线y（1a）x2+1的开口向下，那么a的取值范围是【分析】根据抛物线yax2+bx+c的开口向下，则a0，利用不等式求解即可【解答】解
11、：抛物线y（1a）x2+1的开口向下，1a0，解得，a1，故答案为：a110沿着x轴正方向看，抛物线y（x1）2在对称轴右侧的部分是下降的（填“左”、“右”）【分析】根据抛物线y（x1）2可以得到该抛物线的对称轴和在对称轴两侧，y随x的增大如何变化，从而可以解答本题【解答】解：抛物线y（x1）2，该抛物线的对称轴为x1，当x1时，y随x的增大而增大，当x1时，y随x的增大而减小，在对称轴右侧的部分是下降的，故答案为：右11如果函数y（m+1）x+2是二次函数，那么m【分析】直接利用二次函数的定义得出m的值【解答】解：函数y（m+1）x+2是二次函数，m2m2，（m2）（m+1）0，解得：m12
12、，m21，m+10，m1，故m2故答案为：212如图，抛物线的对称轴为直线x1，点P、Q是抛物线与x轴的两个交点，点P在点Q的右侧，如果点P的坐标为（4，0），那么点Q的坐标为（2，0）【分析】根据抛物线的对称轴结合点P的横坐标，即可求出点Q的横坐标，此题得解【解答】解：抛物线的对称轴为直线x1，点P的坐标为（4，0），点Q的横坐标为1242，点Q的坐标为（2，0）故答案为：（2，0）13如图，点A（2，m）在第一象限，OA与x轴所夹的锐角为，如果tan那么m3【分析】如图，作AEx轴于E根据正切函数的定义构建关系式即可解决问题【解答】解：如图，作AEx轴于EA（2，m），OE2，AEm，ta
13、n，m3，故答案为314已知ABCA1B1C1，顶点A、B、C分别与A1、B1、C1对应，AC12、A1C18，ABC的高AD为6，那么A1B1C1的高A1D1长为4【分析】直接利用相似三角形的性质得出相似比等于对应高的比进而得出答案【解答】解：ABCA1B1C1，AC12、A1C18，相似比为：，ABC的高AD为6，A1B1C1的高A1D1长为：64故答案为：415如图，在梯形AEFB中，ABEF，AB6，EF10，点C、D分别在边AE、BF上且CDAB，如果AC3CE，那么CD9【分析】连接BE交CD于点M，由平行线分线段成比例定理先证，再证ECMEAB，BMDBEF，由相似三角形的性质可
14、分别求出CM，DM的长，可进一步求出CD的长【解答】解：如图，连接BE交CD于点M，AC3CE，ABEF，CDAB，ABCDEF，CMAB，ECMEAB，即，CM，MDEF，BMDBEF，即，MD，CDCM+MD+9，故答案为：916公元三世纪，我国汉代数学家赵爽在注解周髀算经时给出的“赵爽弦图”，它由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形，如果小正方形面积是49，直角三角形中较小锐角的正切为，那么大正方形的面积是【分析】由题意知小正方形的边长为7设直角三角形中较小边长为a，较长的边为b，运用正切函数定义求解【解答】解：由题意知，小正方形的边长为7，设直角三角形中较小边长为a，
15、较长的边为b，则tan短边：长边a：b5：12所以ba，又以为ba+7，联立，得a5，b12所以大正方形的面积是：a2+b225+144169故答案是：16917如图，在RtABC中，C90，AC1，BC2，点D为边AB上一动点，正方形DEFG的顶点E、F都在边BC上，联结BG，tanDGB【分析】设DE与BG交于点O，根据题意可得BDEABC，可得，由正方形的性质可得GFDEEF，进而得出，再证明DOGEOBFGB，可得【解答】解：如图，DE与BG交于点O，正方形DEFG，DEBEDGGFB90，GFDEEF，BDEABC，DOGEOB，DOGEOBFGB，tanDGB故答案为：18如图，在
16、等腰梯形ABCD中，ADBC，sinC，AB9，AD6，点E、F分别在边AB、BC上，联结EF，将BEF沿着EF所在直线翻折，使BF的对应线段BF经过顶点A，BF交对角线BD于点P，当BFAB时，AP的长为【分析】解直角三角形求出BF，AF，再利用相似三角形的性质求解即可【解答】解：如图，FBAB，BAF90，四边形ABCD是等腰梯形，ABCC，sinABCsinC，设AF4k，BF5k，则AB93k，k3，AF12，BF15，ADBF，APDFPB，PAPA，故答案为三解答题（共7小题）19计算：tan260【分析】把特殊的锐角三角函数值代入计算即可【解答】解：原式（）2220在平面直角坐标
17、系中，将抛物线C1：yx22x向左平移2个单位，向下平移3个单位得到新抛物线C2（1）求新抛物线C2的表达式；（2）如图，将OAB沿x轴向左平移得到OAB，点A（0，5）的对应点A落在平移后的新抛物线C2上，求点B与其对应点B的距离【分析】（1）根据平移规律“左加右减，上加下减”解答；（2）把y5代入抛物线C2求得相应的x的值，即可求得点A的坐标，根据平移的性质，线段AA的长度即为所求【解答】解：（1）由抛物线C1：yx22x（x1）21知，将其向左平移2个单位，向下平移3个单位得到新抛物线C2的表达式是：y（x1+2）213，即y（x+1）24；（2）由平移的性质知，点A与点A的纵坐标相等，
18、所以将y5代入抛物线C2，得（x+1）245，则x4或x2（舍去）所以AA4，根据平移的性质知：BBAA4，即点B与其对应点B的距离为4个单位21如图，在RtABC中，ABC90，点G是RtABC的重心，联结BG并延长交AC于点D，过点G作GEBC交边BC于点 E（1）如果，用、表示向量；（2）当AB12时，求GE的长【分析】（1）由已知可得 ，有+，可得+，剩余（+）+；（2）过点D作DFBC，由GEDF，则，再由DFAB，D是AC的中点，可得DFAB，即可求GE【解答】解：（1）+，点G是RtABC的重心，ADAC，+，（+）+；（2）过点D作DFBC，GEDF，DFAB，D是AC的中点，
19、DFAB，AB12，DF6，GE422某次台风来袭时，一棵笔直大树树干AB（假定树干AB垂直于水平地面）被刮倾斜7（即BAB7）后折断倒在地上，树的顶部恰好接触到地面D处，测得CDA37，AD5米，求这棵大树AB的高度（结果保留根号）（参考数据：sin370.6，cos370.8，tan370.75）【分析】过点A作AECD于点E，解RtAED，求出DE及AE的长度，再解RtAEC，得出CE及AC的长，进而可得出结论【解答】解：过点A作AECD于点E，则AECAED90在RtAED中，ADC37，cos370.8，DE4，sin370.6，AE3在RtAEC中，CAE90ACE906030，C
20、EAE，AC2CE2，ABAC+CE+ED2+43+4（米）答：这棵大树AB原来的高度是（3+4）米23如图，在RtABC中，ACB90，点D是边BC的中点，联结AD过点C作CEAD于点E，联结BE（1）求证：BD2DEAD；（2）如果ABCDCE，求证：BDCEBEDE【分析】（1）证明CDEADC推出，可得CD2DEDA即可解决问题（2）利用相似三角形的性质首先证明ACBE，再证明ACECDE，可得，可得即可解决问题【解答】（1）证明：如图1中，CEAD，CEDACD90，CDEADC，CDEADC，CD2DEDA，DBCD，BD2DEDA（2）解：如图2中，BD2DEDA，CDEADB，
21、BDEADB，DEBABC，ABDECD，BEDBCE，EBDCBE，EBDCBE，BE2BDBC，CDBD，BE22CD2，DCE+ACE90，CAD+ACE90，CADECDABC，ACDBCA，ACDBCA，AC2CDCB2CD2，ACBE，ACECDE，BDCEBEDE24在平面直角坐标系中，抛物线yx2+bx+c与x轴交于A（1，0）、B两点，与y轴交于点C （0，3），点P在该抛物线的对称轴上，且纵坐标为2（1）求抛物线的表达式以及点P的坐标；（2）当三角形中一个内角是另一个内角的两倍时，我们称为此三角形的“特征角”当D在射线AP上，如果DAB为ABD的特征角，求点D的坐标；点E为
22、第一象限内抛物线上一点，点F在x轴上，CEEF，如果CEF为ECF的特征角，求点E的坐标【分析】（1）抛物线yx2+bx+c与y轴交于点C （0，3），则c3，将点A的坐标代入抛物线表达式并解得：b2，即可求解；（2）当60，DBA30时，ABD为直角三角形，即可求解；当ADB时，则ABD90，即可求解；（3）CEF为ECF的特征角，则CEF为等腰直角三角形，则CNEEMF（AAS），即可求解【解答】解：（1）抛物线yx2+bx+c与y轴交于点C （0，3），则c3，将点A的坐标代入抛物线表达式并解得：b2，故抛物线的表达式为：yx2+2x+3；点P（1，2）；（2）由点A、P的坐标知，PAB
23、60，直线AP的表达式为：y（x+1），当60，DBA30时，ABD为直角三角形，由面积公式得：yDABADBD，即yD42，解得：yD，点D在AP上，故点D（0，）；当ADB时，则ABD90，故点D（3，4）；综上，点D的坐标为：（0，）或（3，4）；（3）CEF为ECF的特征角，则CEF为等腰直角三角形，过点E分别作x轴、y轴的垂线交于点M、N，则CNEEMF（AAS），则ENEM，即xy，xyx2+2x+3，解得：x，故点E（，）25如图，在RtABC中，ACB90，BC4，sinABC，点D为射线BC上一点，联结AD，过点B作BEAD分别交射线AD、AC于点E、F，联结DF，过点A作A
24、GBD，交直线BE于点G（1）当点D在BC的延长线上时，如果CD2，求tanFBC；（2）当点D在BC的延长线上时，设AGx，SDAFy，求y关于x的函数关系式（不需要写函数的定义域）；（3）如果AG8，求DE的长【分析】（1）求出AC3，可得DACFBC，则tanFBCtanDAC；（2）由条件可得AGFCBF，可得，可用x表示CF和AF的长，求出CD，则SDAF，可用x表示结果；（3）分两种情况，当点D在BC的延长线上时，当点D在BC的边上时，可求出AE长AD的长，则DEADAE可求出【解答】解：（1）ACB90，BC4，sinABC，设AC3x，AB5x，（3x）2+16（5x）2，x1，即AC3，BEAD，AEF90，AFECFB，DACFBC，tanFBCtanDAC；（2）AGBD，AGFCBF，tanAGFtanCBF，EAFCBF，SDAF；（3）当点D在BC的延长线上时，如图1，AG8，BC4，AGBD，AF2CF，AC3，AF2，CF1，设AEx，GE4x，x2+16x282，解得x，即AE同理tanDACtanCBF，DC，AD当点D在BC的边上时，如图2，AGBD，AG8，BC4，AF6，EAFCBFABC，cosEAFcosABC，同理，DEAEAD综合以上可得DE的长为或
