1、学科教师辅导讲义学员编号： 年 级：四年级 课 时 数：3学员姓名：辅导科目：奥数学科教师：授课主题 第15讲 平均数问题授课类型T同步课堂P实战演练S归纳总结教学目标 进一步理解和掌握平均数应用题的意义和数量关系 进一步学会以多补少的方法解决平均数问题，并进一步学习解答稍为复杂的求平均数应用题授课日期及时段T（Textbook-Based）同步课堂知识梳理 一、基本公式 平均数总份数=总数量 总数量总份数=平均数 总数量平均数=总份数二、平均数问题 日常生活中我们会遇到这样的问题：几个杯子中的水有多有少，为了使每个杯子中的水一样多，就将水多的杯子里的水倒进水少的杯子里，反复几次，直到几个杯子
2、里的水一样多。这就是我们所讲的“移多补少”，通常称之为平均数问题。 求平均数问题的基本数量关系是：总数量总份数=平均数。解答平均数问题的关键是要求出总数量和总份数的，然后根据基本总量关系式来解答。也可采用假设平均数的方法，即找一个基数，用“基数+各数与基数的差之和份数=平均数”公式求平均数。典例分析 考点一：用基本关系式求平均数例1、用4个同样的杯子装水，水面的高度分别是8厘米、5厘米、4厘米、3厘米。这4个杯子里水面的平均高度是多少厘米？【解析】利用平均数问题的基本数量关系是：总数量总份数=平均数。根据已知条件，求出4个杯子里水的总高度，然后除以杯子的个数，即可求出平均数。 （8+5+4+3
3、）4=5(厘米） 答：这4个杯子里水面的平均高度是5厘米。解：（800+150）19=50（秒）答：全车通过长800米的大桥，需要50秒。例2、数学测试中，一组学生中的最高分为98分，最低分为86分，其余5名学生的平均分为92分。这一组学生的平均分是多少分？【解析】利用平均数问题的基本数量关系是：总数量总份数=平均数。总数量=98+86+925=644（分），总份数=1+5+1=7（人），平均数=6447=92（分），故这一组学生的平均分是92分。例3、明明期中考试语文、数学、科学的平均分数是91分，英语成绩公布后，他的平均分提高了2分。明明英语考了多少分?【解析】利用基本式：三门课总分数=9
4、13=273，四门课总分数=（91+2）4=372。英语分数=372-273=99（分）。 另一种思维方式：平均分提高了2分，也就是说，英语成绩比其他三门功课的平均成绩多了4个2分，即24=8分，那么英语成绩=91+8=99（分）考点二：利用基数法求平均数例1、求下列20个数的平均数：401，398，400，403，399，396，402，402，404，403，399，396，398，398，405，401，400，402，403，400。 【解析】 解法一：先求出这20个数的和，即总数量，再用20个数的和除以总份数20，求出平均数。 因为这20个数据比较大，这种解法计算量很大，容易出错。
5、解法二：仔细观察这20个数据都接近400，有的比400大，有的比400小，我们可以借鉴移多补少的思想，以400作为基准，把这20个数都看作400，求出它们比400多出或不足的部分，多出1记作“+1”，不足2记作“-2”，计算时多出和不足的部分让它们互相抵消，可得这20个数据共多出： +1-2+0+3-1-4+2+2+4+3-1 -4-2-2+5+1+0+2+3+0=10，再把多出10平均分给这20个数据，所以这20个数的平均数是： 400+1020=400.5。对于求多个比较接近的大数的平均数，直接计算很麻烦，我们可以选择这些数最接近的整数作为基准数，运用上面的方法解答，计算就简单多了。例2、
6、王老师为四年级羽毛球队的同学测量身高。其中两个同学身高153厘米，一个同学身高152厘米，有两个同学身高149厘米，还有两个同学身高147厘米。求四年级羽毛球队同学的平均身高。【解析】这道题可以按照一般思路解，即用身高总数除以总人数。还可以采用假设平均数的方法，容易发现身高都在150厘米左右，可以假设平均身高为150厘米，把它当做基数，用“基数+各数与基数的差之和份数=平均数”公式求解。即有150+（32+2-12-32）（2+1+2+2）=150（厘米）考点二：航行中的平均数问题 例1、两地相距360千米，一艘汽艇顺水行驶完全程需要10小时，已知这条河的水流速度为每小时6千米。往返两地的平均
7、速度是每小时多少千米？【解析】航行中的速度关系：顺水速度=船的静水速度+水流速度 逆水速度=船的静水速度-水流速度，速度=路程时间 用往返的路程除以往返所用的时间就等于往返两地的平均速度。显然，要求往返的平均速度必须先求出逆水行完全程所用的时间。由题意可知顺水速度=36010=36千米/小时，船的静水速度=36-6=30千米/小时。所以船的逆水速度=30-6=24千米/小时。逆水行全程时所用的时间=36024=15（小时） 解:逆水速度36010-6-6=24（千米/小时） 逆水走完全程的时间36024=15（小时） 平均速度=总路程总时间=（360+360）（10+15）=28.8千米/小时
8、 答：往返两地的平均速度是每小时28.8千米。例2、张师傅开汽车从A到B为平地（见下图），车速是36千米时；从B到C为上山路，车速是28千米时；从C到D为下山路，车速是42千米时.已知下山路是上山路的2倍，从A到D全程为72千米，张师傅开车从A到D共需要多少时间？ 【解析】本题给出BC段与CD段的路程关系，因此可以先求出BD段的平均速度，设BC段的路程为84份，CD段则为168份，则BD段的平均速度=（84+168）（）=36（千米/时），与平路的平均速度恰好相同，所以共需时间7236=2（小时）考点四：改动中的平均数例1、有五个数，平均数是9。如果把其中一个数改为1，那么这五个数的平均数为8
9、，这个改动的数原来是多少？ 【解析】 改动前五个数的和为：95=45； 改动后五个数的和为：85=40； 改动后总和比改动前减少了：45-40=5； 所以被改动的数减少了5，这个数原来是：1+5=6例2、五一班同学数学考试平均成绩91.5分，事后复查发现计算成绩时将一位同学的98分误作89分计算了。经重新计算，全班的平均成绩是91.7分，五一班有多少名同学？ 【解析】98分比89分多9分。多算9分就能使全班平均每人的成绩上升91.791.5=0.2（分）。9里面包含有45个0.2、五一班就有45名同学。例3、有4个数，这4个数的平均数是21，其中前2个数的平均数是15，后3个数的平均数是26.
10、那么第二个数是多少？【解析】根据“4个数的平均数是21”，可以得出4个数的总和就是214=84，又根据“前2个数的平均数是15，后3个数的平均数是26”，可以得出他们的总和为152+263=108，其中第二个数被重复算了一次，所以总和多出来的了108-84=24，就是第二个数。P(Practice-Oriented)实战演练实战演练 课堂狙击1、有4箱水果，已知苹果、梨、橘子平均每箱42个，梨、橘子、桃平均每箱36个，苹果和桃平均每箱37个。一箱苹果多少个？【解析】（1）1箱苹果1箱梨1箱橘子=423=126（个）； （2）1箱桃1箱梨1箱橘子=363=108（个） （3）1箱苹果1箱桃=37
11、2=72（个） 由（1）（2）两个等式可知： 1箱苹果比1箱桃多126108=18（个），再根据等式（3）就可以算出：1箱桃有（7418）2=28（个），1箱苹果有2818=46（个）。 解:1箱苹果和1箱桃共有多少个：372=74（个） 1箱苹果比1箱桃多多少个：42336=18（个） 1箱苹果有多少个：2818=46（个）2、小英4次数学测验的平均成绩是92分，5次数学测验的平均成绩比4次数学测验的平均成绩提高了1分。小英第5次数学测验得了多少分？【解析】5次比4次测验的平均分提高了1，那么第五次测验的成绩比4次测验的平均数多出了5个1分，所以第五次测验的成绩=92+15=97（分）3、一
12、辆小轿车，装有4个轮胎，还有2只备用轮胎，司机适当地轮换这6只轮胎，使每只轮胎行程相同。小车共行驶了360千米，每只轮胎平均行驶了多少千米？【解析】小轿车在任何时候都是4个轮胎同时行驶，小车行驶360千米，即所有6只轮胎共行驶4个360千米：3604=1440（千米）。 平均每只轮胎的行驶路程为：14406=240（千米）。4、A、B、C、D四个数,每次去掉一个数,将其余下的三个数求平均数,这样计算了4次,得到下面4个数 23, 26, 30, 33。 A、B、C、D 4个数的平均数是多少？【解析】A+B+C+A+B+D+A+C+D+B+C+D=3（23+26+30+33） 3（A+B+C+D
13、）=3（23+26+30+33） A+B+C+D=112A、B、C、D 4个数的平均数是285、五个数排一排，平均数是9。如果前四个数的平均数是七，后四个数的平均数是10，那么第一个数和第五个数的平均数是多少？【解析】前四个数平均数是7，前四个数的和是74=28，第五个数是45-28=17；后四个数平均数是10，后四个数的和是104=40，第一个数是45-40=5；第一个数和第五个数的平均数是（17+5）2=116、王华的期末考试成绩单被弄污了，有两个字看不清楚，请你想办法把语文、数学成绩算出来【解析】根据六门成绩的平均成绩为83分，则能求出总成绩为836=498分，减去另外四门的成绩就是数学
14、语文的总成绩，然后根据数学成绩的个位数字，推出语文成绩，即可得出结论。 解：语文与数学成绩之和836-（80+75+90+85）=168（分）因为数学成绩的个位数为5，则语文成绩的个位数一定是8-5=3，故语文成绩是83，数学成绩是85分 答：王华的语文数学成绩分别是83分，85分。 课堂反击1、小明前几次数学测验的平均成绩是84分，这次要考到100分，才能把平均成绩提高到86分。问这是他第几次测验？【解析】100分比86分多14分，这14分必须填补到前几次的平均分84分中去，使其平均分成为86分。每次填补86-84=2（分），14分里面有7个2，所以前面已经测验了7次，这是第8次测验。2、一
15、艘轮船往返于甲乙两个码头距离为75千米，顺水每小时航行25千米，逆水每小时航行20千米。这艘轮船往、返的平均速度是每小时多少千米？【解析】求总时间，然后求出平均速度解: 逆水走完全程的时间7520=3.75小时 顺水走完全程的时间=7525=3小时 平均速度=总路程总时间=（75+75）（3.75+3）22.22千米/小时 答：往返两地的平均速度是每小时22.22千米。3、甲、乙、丙、丁四位同学，在一次考试中四人的平均分是90分。可是，甲在抄分数时，把自己的分错抄成了87分，因此，算得四人的平均分是88分。求甲在这次考试中得了多少分？【解析】算错平均分为88分，比90分少2分，故甲的分数算少了
16、4个2分，所以甲的分数=87+42=95（分）4、第三小队11位少先队员参加跳绳比赛，他们每分钟跳绳的个数分别是92,86,92,87,90,94,91,88,89,92,89，求每个人平均每分钟跳绳多少个？【解析】可以采用假设平均数的方法，容易发现个数都在90左右，可以假设平均个数为90个，把它当做基数，用“基数+各数与基数的差之和份数=平均数”公式求解。即有90+（2-4+2-3+4+1-2-1+2-1）（2+1+2+2）=90（个）直击赛场 1、（2007年4月希望杯四年级2试）赵伯伯为了锻炼身体，每天步行3小时，他先走平路，然后上山，最后又沿原路返回假设赵伯伯在平路上每小时行4千米，上
17、山每小时行3千米，下山每小时行6千米，在每天锻炼中，他共行走多少千米？【解析】因为上山和下山是同一段路程，所以可以很快求出上山与下山的平均数度（千米/时），这两段路程的平均速度与平路上的平均速度相同，所以，三段路的平均速度为4（千米/时），而赵爷爷每天行走3小时，所以共34=12千米【答案】12千米S(Summary-Embedded)归纳总结重点回顾 1、用基本关系式求平均数2、利用基数法求平均数3、航行中的平均数问题4、改动中的平均数名师点拨 1、求平均数问题的基本数量关系是：总数量总份数=平均数。解答平均数问题的关键是要求出总数量和总份数的，然后根据基本总量关系式来解答。学霸经验 本节课我学到 我需要努力的地方是
