1、1.定义 只含有 个未知数,并且未知数的最高次数是 的整式方程叫一元二次方程. 2.一般形式 .,第6讲 一元二次方程,一元二次方程的定义及一般形式,一,2,ax2+bx+c=0(a0,a,b,c是已知数),一元二次方程的解法,一半,根的判别式及根与系数的关系,1.根的判别式 关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0(a0)的根的判别式为 ,通常用符号“ ”表示,即=b2-4ac. (1)=b2-4ac0一元二次方程有 的实数根. (2)=b2-4ac=0一元二次方程 的实数根. (3)=b2-4ac0一元二次方程 实数根. 2.根与系数之间的关系 若关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0(
2、a0)有两个实数根分别为x1,x2,则x1+x2= ,x1x2= .,b2-4ac,两个不相等,有两个相等,没有,列一元二次方程解应用题,1.对于平均增长(降低)率问题,应用关系式 a(1x)n=b可直接列方程. 2.利润问题常用关系式:单个利润数量=总利润;销售总金额-成本=利润. 3.面积问题经常要对图形进行平移、转化,建立数学模型.,一元二次方程的解(易错点),思路点拨:把根代入原方程求解,注意二次项系数不能为0.,解析:把x=1代入方程(1-k)x2+k2x-1=0可得1-k+k2-1=0,即-k+k2=0,解得k=0或k=1,k1,k=0,故选A.,例1 已知x=1是关于x的一元二次
3、方程 (1-k)x2+k2x-1=0的根,则常数k的值为( ) (A)0 (B)1 (C)0或1 (D)0或-1,A,把所给的根代入原方程,求出字母的值.注意二次项系数a的取值范围,条件是“一元二次方程”时a0,条件是“方程”时a可以为0.,一元二次方程的解法,思路点拨:(1)先化成一般形式,再应用配方法求解;,例2 解下列方程: (1)(2019呼和浩特)(2x+3)(x-6)=16(用配方法);,思路点拨:(2)用公式法求解比较简便.,(2)(2019常德)x2-3x-2=0.,解一元二次方程的方法选择 (1)若给定的方程为x2=n或(x+m)2=n(n0)型时,选用直接开平方法. (2)
4、若给定的方程(或者变形后)右边为0,左边能因式分解,选用因式分解法. (3)若给定的方程右边为0,左边不能因式分解时,一般选用公式法. (4)对于二次项系数化为1后,一次项系数是偶数(即形如“x2+2kx+m=0”)的一元二次方程,采用配方法比较简单.,一元二次方程的根的判别式及根与系数的关系(常考点),思路点拨:(1)根据0列出不等式求解;,例3 (2019巴中)已知关于x的一元二次方程x2+(2m+1)x+m2-1=0有两个不相等的实数根. (1)求m的取值范围;,思路点拨:(2)由根与系数的关系可得x1+x2=-(2m+1),x1x2=m2-1,代入有关两根的代数式,列出方程求解.,用一
5、元二次方程的根与系数的关系求字母系数的值时,不要忽略判别式b2-4ac0这一重要条件.,列一元二次方程解应用题(常考点),思路点拨:(1)设进馆人次的月平均增长率为x,则第二个月进馆128(1+x)人,第三个月进馆128(1+x)2人,列出一元二次方程求解;,例4 (2019德州)习近平总书记说:“读书可以让人保持思想活力,让人得到智慧启发,让人滋养浩然之气.”某校为响应我市全民阅读活动,利用节假日面向社会开放学校图书馆.据统计,第一个月进馆128人次,进馆人次逐月增加,到第三个月末累计进馆608人次,若进馆人次的月平均增长率相同. (1)求进馆人次的月平均增长率;,解:(1)设进馆人次的月平
6、均增长率为x, 则由题意,得128+128(1+x)+128(1+x)2=608, 化简得4x2+12x-7=0, (2x-1)(2x+7)=0,x1=0.5=50%,x2=-3.5(不合题意,舍去). 答:进馆人次的月平均增长率为50%.,思路点拨:(2)根据第一个月进馆人次和月平均增长率可求出第四个月的进馆人次.,(2)因条件限制,学校图书馆每月接纳能力不超过500人次,在进馆人次的月平均增长率不变的条件下,校图书馆能否接纳第四个月的进馆人次?并说明理由.,解:(2)能.理由如下: 由(1)知进馆人次的月平均增长率为50%, 第四个月的进馆人次为128(1+50%)3=432500, 答:
7、校图书馆能接纳第四个月的进馆人次.,(1)有关平均增长(下降)率的问题要准确掌握基本关系式:a(1x)n=b其中a是增长(下降)前的基础量,x是平均增长(下降)率,n是增长(下降)的次数,b是增长(下降)后的数量. (2)增长(下降)率一般不能是负数,下降率要小于1.,D,1.(2019遂宁)已知关于x的一元二次方程(a-1)x2-2x+a2-1=0有一个根为x=0,则a的值为( ) (A)0 (B)1 (C)1 (D)-1,解析:把x=0代入一元二次方程(a-1)x2-2x+a2-1=0, 得a2-1=0,解得a=1, 又a-10,a1, 则a的值为-1. 故选D.,A,2.(2019内江)
8、一个等腰三角形的底边长是6,腰长是一元二次方程x2-8x+15=0的一根,则此三角形的周长是( ) (A)16 (B)12 (C)14 (D)12或16,解析:解方程x2-8x+15=0,可得x1=3,x2=5, 当等腰三角形的腰长为3时,不符合三边关系,舍去, 等腰三角形的周长为5+5+6=16.故选A.,k1,3.(2019遂宁)若关于x的方程x2-2x+k=0有两个不相等的实数根,则k的取值范围为 .,解析:关于x的方程x2-2x+k=0有两个不相等的实数根, 0,即4-4k0,解得k1.,-2 017,4.(2019眉山)设a,b是方程x2+x-2 019=0的两个实数根,则(a-1)
9、(b-1)的值为 .,解析:a,b是方程x2+x-2 019=0的两个实数根, a+b=-1,ab=-2 019, (a-1)(b-1)=ab-(a+b)+1=-2 019+1+1=-2 017.,65(1-10%)(1+5%)-50(1-x)2=65-50,解析:依题意,得65(1-10%)(1+5%)-50(1-x)2=65-50.,5.(2019宜宾)某产品每件的生产成本为50元,原定销售价65元,经市场预测,从现在开始的第一季度销售价格将下降10%,第二季度又将回升5%.若要使半年以后的销售利润不变,设每个季度平均降低成本的百分率为x,根据题意可列方程是 .,6.(2017眉山)某烘焙
10、店生产的蛋糕礼盒分为六个档次,第一档次(即最低档次)的产品每天生产76件,每件利润10元.调查表明:生产每提高一个档次的蛋糕产品,该产品每件利润增加2元. (1)若生产的某批次蛋糕每件利润为14元,此批次蛋糕属第几档次产品? (2)由于生产工序不同,蛋糕产品每提高一个档次,一天产量会减少4件.若生产的某档次产品一天的总利润为1 080元,该烘焙店生产的是第几档次的产品?,解:(1)(14-10)2+1=3, 答:此批次蛋糕属第三档次产品. (2)设烘焙店生产的是第x档次的产品, 根据题意得(2x+8)(76+4-4x)=1 080, 整理得x2-16x+55=0,解得x1=5,x2=11(不合题意,舍去). 答:该烘焙店生产的是第五档次的产品.,点击进入 实战演练,
