1、2019-2020学年山东省日照市高二（上）期末数学试卷一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1（5分）命题“xR，x3x2+10”的否定是（）AxR，x3x2+10BxR，x3x2+10CxR，x3x2+10DxR，x3x2+102（5分）+i（其中i是虚数单位）在复平面内对应的点位于（）A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限3（5分）ac2bc2是ab的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件4（5分）实数a，b满足ab0且a+b0，则下列结论正确的是（）A|a|b|BCa2b2D5（5分）我国古代
2、著名的周髀算经中提到：凡八节二十四气，气损益九寸九分六分分之一；冬至晷（gu）长一丈三尺五寸，夏至晷长一尺六寸意思是：一年有二十四个节气，每相邻两个节气之间的日影长度差为99分；且“冬至”时日影长度最大，为1350分；“夏至”时日影长度最小，为160分则“立春”时日影长度为（）A953分B1052分C1151分D1250分6（5分）如图在正方体ABCDA1B1C1D1中，若E为B1C1的中点，则直线BC1与ED1所成的角的余弦值是（）ABCD7（5分）如围在四面体OABC中，M，N分别在棱OA，BC上且满足，点G是线段MN的中点，用向量，表示向量应为（）ABCD8（5分）已知双曲线的左、右焦点
3、分别为F1、F2，A为左顶点，过点A且斜率为的直线与双曲线的渐近线在第一象限的交点为M，若，则该双曲线的离心率是（）ABCD二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分9（5分）若复数z满足（1i）z3+i（其中i是虚数单位），则（）Az的实部是2Bz的虚部是2iC12iD10（5分）将正方形ABCD沿对角线BD对折，使得平面ABD平面BCD，则（）AACBDBADC为等边三角形CAB与CD所成角为60DAB与平面BCD所成角为6011（5分）若a，b为正数，则（）AB当时，a+b2C当时，a+b2
4、D当a+b1时，12（5分）已知到两定点M（2，0），N（2，0）距离乘积为常数16的动点P的轨迹为C，则（）AC一定经过原点BC关于x轴、y轴对称CMPN的面积的最大值为45DC在一个面积为64的矩形内三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分13（5分）不等式6+x2x20的解集用区间表示为 14（5分）已知正三棱柱ABCA1B1C1的侧棱长与底面边长相等，则AB1与侧面ACC1A1所成角的正弦值等于 15（5分）设a0，若关于x的不等式在（1，+）上恒成立，则a的最小值为 16（5分）数列an、bn满足a11，且an+1、1+an是函数f（x）x2bnx+an的两个零点，则a2 ，当
5、bn时，n的最大值为 四、解答题：本题共6小题，共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17在a4b4，S624这两个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的正整数k存在，求k的值；若k不存在，请说明理由设Sn为等差数列an的前n项和，bn是等比数列， ，b1a5，b39，b6243是否存在k，使得SkSk1且Sk+1Sk？注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分18已知动点P到定点的距离比到定直线x1的距离小，其轨迹为C（1）求C的方程（2）过点N（1，0）且不与坐标轴垂直的直线l与C交于A、B两点，线段AB的垂直平分线与x轴交于点E（x0，0），求x0的取值范围19如图，在
6、四棱锥PABCD中，底面ABCD是菱形，PD平面ABCD，PDAD3，PM2MD，AN2NB，DAB60（1）求证：直线AM平面PNC；（2）求二面角DPCN的余弦值20已知数列an的首项为2，Sn为其前n项和，且Sn+1qSn+2（q0，nN*）（1）若a4，a5，a4+a5成等差数列，求数列an的通项公式；（2）设双曲线x21的离心率为en，且e23，求e12+2e22+3e32+nen221某油库的容量为31万吨，油库已储存石油10万吨计划从2020年1月起每月初先购进石油m万吨，然后再调出一部分石油来满足区域内和区域外的需求若区域内每月用石油1万吨，区域外前x（1x12，xN*）个月的
7、需求量y（万吨）与x的函数关系为已知前4个月区域外的需求量为15万吨（1）试写出200年第x个月石油调出后，油库内储油量M（x）（万吨）的函数表达式；（2）要使库中的石油在2020年前10个月内每个月都不超过油库的容量，又能满足区域内和区域外的需求，求m的取值范围22已知椭圆C：的离心率，左顶点为A（2，0）过点A作直线l交椭圆C于另一点D，交y轴于点E，点O为坐标原点（1）求椭圆C的方程：（2）已知P为AD的中点，是否存在定点Q，对任意的直线l，恒成立？若存在，求出点Q的坐标；若不存在说明理由；（3）过O点作直线l的平行线与椭圆C相交，M为其中一个交点，求的最大值2019-2020学年山东省
8、日照市高二（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1（5分）命题“xR，x3x2+10”的否定是（）AxR，x3x2+10BxR，x3x2+10CxR，x3x2+10DxR，x3x2+10【分析】将量词否定，结论否定，可得结论【解答】解：将量词否定，结论否定，可得xR，x3x2+10故选：B【点评】本题考查命题的否定，考查学生分析解决问题的能力，属于基础题2（5分）+i（其中i是虚数单位）在复平面内对应的点位于（）A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简求出
9、复数所对应点的坐标得答案【解答】解：，复数对应的点为（2，1），位于第二象限，故选：B【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的代数表示法及其几何意义，是基础题3（5分）ac2bc2是ab的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件【分析】由ac2bc2，可得ab，反之若ab，则ac2bc2，故可得结论【解答】解：若ac2bc2，c20，ab，ac2bc2是ab的充分条件若ab，c20，ac2bc2，ac2bc2不是ab的必要条件ac2bc2是ab的充分不必要条件故选：A【点评】本题考查四种条件，解题的关键是利用不等式的基本性质，属于基础题4（5分）实数a，b
10、满足ab0且a+b0，则下列结论正确的是（）A|a|b|BCa2b2D【分析】利用不等式的基本性质、特殊值法即可判断出结论【解答】解：当a1，b2时，不满足A，B选项；当a2，b1时，不满足C选项，a+b0，ab0，故D正确，故选：D【点评】本题考查了不等式的基本性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题5（5分）我国古代著名的周髀算经中提到：凡八节二十四气，气损益九寸九分六分分之一；冬至晷（gu）长一丈三尺五寸，夏至晷长一尺六寸意思是：一年有二十四个节气，每相邻两个节气之间的日影长度差为99分；且“冬至”时日影长度最大，为1350分；“夏至”时日影长度最小，为160分则“立春”时日影长度为（
11、）A953分B1052分C1151分D1250分【分析】利用等差数列的性质直接求解【解答】解：一年有二十四个节气，每相邻两个节气之间的日影长度差为99分，且“冬至”时日影长度最大，为1350分；“夏至”时日影长度最小，为160分1350+12d160，解得d，“立春”时日影长度为：1350+（）31052（分）故选：B【点评】本题考查“立春”时日影长度的求法，考查等差数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题6（5分）如图在正方体ABCDA1B1C1D1中，若E为B1C1的中点，则直线BC1与ED1所成的角的余弦值是（）ABCD【分析】设正方体的棱长为2，连接AD1，AE，则AD1BC1
12、，则AD1E为直线BC1与ED1所成的角或补角解三角形用余弦定理求得即可【解答】解：设正方体的棱长为2，连接AD1，AE，则AD1BC1，则AD1E为直线BC1与ED1所成的角或补角在D1EA中，AE3，由余弦定理，所以直线BC1与ED1所成的角的余弦值是，故选：D【点评】本题主要考查异面直线所成角的求法，考查学生作异面直线所成角以及余弦定理的应用，属于中档题7（5分）如围在四面体OABC中，M，N分别在棱OA，BC上且满足，点G是线段MN的中点，用向量，表示向量应为（）ABCD【分析】利用空间向量加法法则直接求解即可【解答】解：在四面体OABC中，M，N分别在棱OA、BC上，且满足，点G是线
13、段MN的中点，故选：A【点评】本题主要考查空间向量加法法则等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是基础题8（5分）已知双曲线的左、右焦点分别为F1、F2，A为左顶点，过点A且斜率为的直线与双曲线的渐近线在第一象限的交点为M，若，则该双曲线的离心率是（）ABCD【分析】求出双曲线的渐近线方程，设出M的坐标，利用向量的数量积转化求解直线的斜率，然后求解离心率即可【解答】解：双曲线的渐近线方程为，设点，因为，所以，上，故M（a，b），又A（a，0），所以直线AM的斜率，所以，故该双曲线的离心率故选：B【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用，考查转化思想以及计算能力，是中档题二、多项选择题：
14、本题共4小题，每小题5分，共20分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分9（5分）若复数z满足（1i）z3+i（其中i是虚数单位），则（）Az的实部是2Bz的虚部是2iC12iD【分析】把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简，然后逐一核对四个选项得答案【解答】解：，|z|故A，B错误，C，D均正确故选：CD【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题10（5分）将正方形ABCD沿对角线BD对折，使得平面ABD平面BCD，则（）AACBDBADC为等边三角形CAB与CD所成角为60DAB与平面BCD所成角为60【
15、分析】构建棱长均为a的正四棱锥CABED，由性质能求出结果【解答】解：将正方形ABCD沿对角线BD对折，使得平面ABD平面BCD，构建棱长均为a的正四棱锥CABED，由正四棱锥的性质知：在A中，连结AE、BD，交于点O，连结CO，则AEBD，COBD，AEBDO，BD平面AEC，AC平面ACE，ACBD，故A正确；在B中，ADC是等边三角形，故B正确；在C中，ABDE，DEC是等边三角形，AB与CD所成角为60，故C正确；在D中，AB与平面BCD所成角为ABO45，故D错误故选：ABC【点评】本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算南求解能力，是中档题
16、11（5分）若a，b为正数，则（）AB当时，a+b2C当时，a+b2D当a+b1时，【分析】结合基本不等式及公式的变形形式对各选项进行检验即可判断【解答】解：对A，因为，所以，当ab时取等号，A错误；对B，当ab时取等号，正确；对C，a+b，则ab1，当ab1时取等号，正确；对D，当时取等号，正确故选：BCD【点评】本题主要考查了基本不等式的简单应用，解题的关键是公式的灵活应用12（5分）已知到两定点M（2，0），N（2，0）距离乘积为常数16的动点P的轨迹为C，则（）AC一定经过原点BC关于x轴、y轴对称CMPN的面积的最大值为45DC在一个面积为64的矩形内【分析】根据定义得到得再对四个选
17、项依代入次判断即可【解答】解：设点P的坐标为（x，y），由题意可得对于A，将原点坐标代入方程得22416，所以，A错误；对于B，点P关于x轴、y轴的对称点分别为P1（x，y）、P2（x，y），则点P1、P2都在曲线C上，所以，曲线C关于x轴、y轴对称，B正确；对于C，设|PM|a，|PN|b，MPN，则ab16，由余弦定理得，当且仅当ab4时等号成立，则，所以，则MPN的面积为，C正确；对于D，可得16x2416，得x220，解得，由C知，得，曲线C在一个面积为的矩形内，D正确故选：BCD【点评】本题主要考查有轨迹方程判断曲线形状，属于综合性比较强的题目，属于中档题目三、填空题：本题共4小题，
18、每小题5分，共20分13（5分）不等式6+x2x20的解集用区间表示为（，2）【分析】不等式化为2x2x60，求出解集即可【解答】解：不等式6+x2x20可化为2x2x60，即（2x+3）（x2）0，解得x2，所以不等式的解集为（，2）故答案为：【点评】本题考查了一元二次不等式的解法与应用问题，是基础题14（5分）已知正三棱柱ABCA1B1C1的侧棱长与底面边长相等，则AB1与侧面ACC1A1所成角的正弦值等于【分析】根据正三棱柱及线面角的定义知，取A1C1的中点D1，B1AD1是所求的角，再由已知求出正弦值【解答】解：取A1C1的中点D1，连接B1D1，AD1，在正三棱柱ABCA1B1C1中
19、，B1D1面ACC1A1，则B1AD1是AB1与侧面ACC1A1所成的角，正三棱柱ABCA1B1C1的侧棱长与底面边长相等，sinB1AD1，故答案为：【点评】本题主要考查了线面角问题，求线面角关键由题意过线上一点作出面的垂线，再求线面角的正弦值，是中档题15（5分）设a0，若关于x的不等式在（1，+）上恒成立，则a的最小值为4【分析】结合已知条件利用基本不等式可求x+的最小值，然后由（x+）min5，然后解不等式即可求解【解答】解：在（1，+）上，x+x1+12+1，当且仅当时取等号，由题意知所以，即a4，即a的最小值为4故答案为：4【点评】本题主要考查了利用基本不等式求解最值及恒成立与最值
20、求解的相互转化，体现了转化思想的应用16（5分）数列an、bn满足a11，且an+1、1+an是函数f（x）x2bnx+an的两个零点，则a2，当bn时，n的最大值为5【分析】利用根与系数的关系得出an的递推公式，从而得出an，bn的通项公式，在解不等式得出n的值【解答】解：an+1、1+an是函数f（x）x2bnx+an的两个零点，an+1（1+an）an，即an+1，1，又a11，是以1为首项，以1为公差的等差数列n，即an，a2，又由根与系数的关系得：bnan+1+（1+an）+1，令+1，得n25n30，解得n，又nN，故n的最大值为5故答案为：，5【点评】本题考查了数列的通项公式的求
21、法，等差数列的判断，属于中档题四、解答题：本题共6小题，共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17在a4b4，S624这两个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的正整数k存在，求k的值；若k不存在，请说明理由设Sn为等差数列an的前n项和，bn是等比数列，a4b4，b1a5，b39，b6243是否存在k，使得SkSk1且Sk+1Sk？注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分【分析】选择：设等比数列bn的公比为q，设等差数列an的公差为d，分别运用等差数列和等比数列的通项公式和求和公式，结合不等式可得所求值k【解答】解：选择：设等比数列bn的公比为q，设等差数列an的公差为d
22、，由b39，得q3，又，所以b11，故又a5b11，a4b427，所以da5a428，a1273（28）111，所以an28n+139由SkSk+1且Sk+1Sk，可得，可知，得，所以存在k4，使得SkSk1且Sk+1Sk注：也可带入数值求得a40，a50或者S4S3，S5S4，得k4故答案为：a4b4，【点评】本题考查等差数列和等比数列的通项公式和求和公式的运用，考查方程思想和运算能力，属于中档题18已知动点P到定点的距离比到定直线x1的距离小，其轨迹为C（1）求C的方程（2）过点N（1，0）且不与坐标轴垂直的直线l与C交于A、B两点，线段AB的垂直平分线与x轴交于点E（x0，0），求x0的
23、取值范围【分析】（1）由抛物线的定义求出轨迹方程；（2）设直线l的方程与抛物线联立求出两根之和，进而求出弦的中点的坐标，求出AB中垂线的方程，进而球心E的横坐标的表达式，由参数的范围求出横坐标的范围【解答】解：（1）由题意知，动点P到定直线的距离与到定点的距离相等，由抛物线的定义可知，曲线C的方程为：y22x（2）由题意知直线存在斜率，设直线l的方程为xmy+1（m0），A（x1，y1），B（x2，y2），AB中点S（x3，y3），则由得y22my20，所以，则线段AB的中垂线的方程为ymmx（m2+1），令y0，则，所以x0的取值范围是（2，+）【点评】考查抛物线的性质及直线与抛物线的综合应
24、用，属于中档题19如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是菱形，PD平面ABCD，PDAD3，PM2MD，AN2NB，DAB60（1）求证：直线AM平面PNC；（2）求二面角DPCN的余弦值【分析】（1）在PC上取一点F，使PF2FC，连接MF，NF，可得MFAN，MFANMFNA为平行四边形即AMNA即可得直线AM平面PNC（2）取AB中点E，可得DP，DE，DC相互垂直，以D为原点，如图建立空间直角坐标系易知平面PDC的法向量（1，0，0），求出面PNC的法向量（x1，y1，z1），即可【解答】证明：（1）在PC上取一点F，使PF2FC，连接MF，NF，PM2MD，AN2NB，MFDC，
25、MFDC，ANDC，ANMFAN，MFANMFNA为平行四边形即AMNA又AMPNC平面，直线AM平面PNC解：（2）取AB中点E，底面ABCD是菱形，DAB60，DEA90ABCD，EDC90，即CDDE又PD平面ABCD，CDPD又DEPDD，直线CD平面PDE故DP，DE，DC相互垂直，以D为原点，如图建立空间直角坐标系则P（0，0，3），N（），C（0，3，0），A（），B（），D（0，0，0）易知平面PDC的法向量（1，0，0），设面PNC的法向量（x1，y1，z1），由，得cos故二面角DPCN的余弦值为【点评】本题考查直线与平面垂直的判定定理与直线与平面平行的判定定理的应用，几何
26、体的体积的求法，考查转化思想以及空间想象能力计算能力属于中档题20已知数列an的首项为2，Sn为其前n项和，且Sn+1qSn+2（q0，nN*）（1）若a4，a5，a4+a5成等差数列，求数列an的通项公式；（2）设双曲线x21的离心率为en，且e23，求e12+2e22+3e32+nen2【分析】（1）通过Sn+1qSn+2，Sn+2qSn+1+2，两式相减得到an+2qan+1，n1说明数列an是首项为2，公比为q的等比数列通过a4，a5，a4+a5成等差数列，求出q2然后求解通项公式（2）求出双曲线的离心率然后利用错位相减法，转化求解思念的和即可【解答】解：（1）由已知，Sn+1qSn+
27、2，Sn+2qSn+1+2，两式相减得到an+2qan+1，n1又由S2qS1+2得到a2qa1，故an+1qan对所有n1都成立所以，数列an是首项为2，公比为q的等比数列由a4，a5，a4+a5成等差数列，可得2a5a4+a4+a5，所以a52a4，故q2所以（2）由（1）可知，所以双曲线的离心率由，得（舍负）所以，记得所以所以【点评】本题考查数列与解析几何相结合，数列求和的方法，双曲线的简单性质的应用，考查计算能力，是中档题21某油库的容量为31万吨，油库已储存石油10万吨计划从2020年1月起每月初先购进石油m万吨，然后再调出一部分石油来满足区域内和区域外的需求若区域内每月用石油1万吨
28、，区域外前x（1x12，xN*）个月的需求量y（万吨）与x的函数关系为已知前4个月区域外的需求量为15万吨（1）试写出200年第x个月石油调出后，油库内储油量M（x）（万吨）的函数表达式；（2）要使库中的石油在2020年前10个月内每个月都不超过油库的容量，又能满足区域内和区域外的需求，求m的取值范围【分析】（1）先求出p的值，再求出y关于x的表达式，从而求出油库内储油量M（x）（万吨）的函数表达式；（2）由题意，一切1x10，xN*恒成立，再把恒成立问题转化为最值问题，利用导数研究函数的最值即可【解答】解：（1）因为前4个月区域外的需求量为15万吨，所以，解得p25，所以（1x12，xN*）
29、，1x12，xN*；（2）因为第x个月的月初购进石油后，储油量不能多于31万吨，所以M（x1）+m31，即，由题意，一切1x10，xN*恒成立，令，上式可化为f（t）（m1）t25t+m26，设f（t）（m1）t25t+m26，f（t）0，当0m1时，恒成立，当m1时，则f（t）（m1）t25t+m26的对称轴，要使f（t）0恒成立，则即所以m5，故1m5由，得m5，另一方面，第x个月调出石油后，储油量不能少于0万吨，所以M（x）0，即，即，此式对一切1x10，xN*恒成立，所以，此式对一切1x10，xN*恒成立，则（x4时取等号）综上所述，答：每月购进石油m的取值范围是【点评】本题主要考查了
30、函数的实际运用，以及利用导数研究函数的最值，是中档题22已知椭圆C：的离心率，左顶点为A（2，0）过点A作直线l交椭圆C于另一点D，交y轴于点E，点O为坐标原点（1）求椭圆C的方程：（2）已知P为AD的中点，是否存在定点Q，对任意的直线l，恒成立？若存在，求出点Q的坐标；若不存在说明理由；（3）过O点作直线l的平行线与椭圆C相交，M为其中一个交点，求的最大值【分析】本题第（1）题根据左顶点为A（2，0），可得a2再根据离心率，可得c的值，根据公式b2a2c2可得b2的值，即可得到椭圆C的标准方程；第（2）题由题意，可知直线l的斜率必存在，设斜率为k，则直线l：yk（x+2）联立直线l与椭圆C方
31、程，整理可得一元二次方程，根据韦达定理，x1x2再P点坐标为（xP，yP），计算可得点P的坐标为（，）点E的坐标为（0，2k）根据，即，代入两向量进行计算可得Q点坐标；第（3）题根据OMl，则OM的方程可设为ykx联立直线与椭圆方程可得M点的横坐标，再根据OMl，可将投影到x轴上进行计算，然后采用均值不等式即可求出最大值【解答】解：（1）由题意，左顶点为A（2，0），故a2又，b2a2c2422，椭圆C的标准方程为（2）由题意，可知直线l的斜率必存在，设斜率为k，则直线l：yk（x+2）联立，消去y，整理得（2k2+1）x2+8k2x+8k240，则，x1x2设P点坐标为（xP，yP），则，点P为AD的中点，点P的坐标为（，）依题意，点E的坐标为（0，2k）假设存在定点Q（m，n）使得，则，（，），（m，n2k）若k0，显然恒成立；若k0，因为，即m+（n2k）0，整理，得（2m+2）kn0恒成立即定点Q的坐标为（1，0）综上所述，存在这样的定点Q，且坐标为（1，0）（3）由题意，可知OMl，则OM的方程可设为ykx联立，可得M点的横坐标为由OMl，可得当且仅当即时取等号，当时，的最小值为所以，原式最大值为【点评】本题主要考查了椭圆的基础知识，直线与椭圆综合问题考查了转化思想和方程思想的应用，以及设而不求方法的应用本题属综合性较强的较难题
