1、2019-2020学年山东省烟台市高二（上）期中数学试卷一、选择题：本大题共13小题，每小题4分，共52分.在每小题给出的四个选项中，第110题只有一项符合题目要求，第1113题有多项符合题目要求.全部选对的得4分，选对但不全的得2分，有选错的得0分.1（4分）若不等式ax2+bx+20的解集是，则（）ABCD2（4分）已知1a0，b0，则b，ab，a2b的大小关系是（）Ababa2bBa2babbCa2bbabDba2bab3（4分）已知数列an的前n项和Sn3n+k（k为常数），那么下述结论正确的是（）Ak为任意实数时，an是等比数列Bk1时，an是等比数列Ck0时，an是等比数列Dan不
2、可能是等比数列4（4分）已知x1，则函数的最小值为（）A4B3C2D15（4分）“中国剩余定理”又称“孙子定理”.1852年，英国来华传教士伟烈亚力将孙子算经中“物不知数”问题的解法传至欧洲.1874年，英国数学家马西森指出此法符合1801年宙高斯得出的关于同余式解法的一般性定理，因而四方称之为“中国剩余理”“中国剩余定理”讲的是一个关于整除的问题，现有这样一个整除问题：将1至2019中能被3除余1且被5除余1的数按由小到大的顺序排成一列，构成数列an，则此数列的项数为（）A134B135C136D1376（4分）定义在（1，+）上的函数f（x）满足f（x）+cosx0，且f（0）1，则不等式
3、f（x）+sinx1的解集为（）A（，0）B（1，0）C（0，+）D（1，1）7（4分）数列的前n项和为（）ABCD8（4分）在各项均为正数的等比数列an中，a63，则4a4+a8（）A有最小值12B有最大值12C有最大值9D有最小值99（4分）若函数f（x）x3+ax2在区间（1，+）内是增函数，则实数a的取值范围是（）A3，+）B（3，+）C0，+）D（0，+）10（4分）函数f（x）的定义域为（a，b），其导函数f（x）在（a，b）内的图象如图所示，则函数f（x）在区间（a，b）内极小值点的个数是（）A4B3C2D111（4分）下列说法正确的是（）A若x，y0，x+y2，则2x+2y的最
4、大值为4B若，则函数的最大值为1C若x，y0，x+y+xy3，则xy的最小值为1D函数的最小值为912（4分）已知数列an为等差数列，其前n项和为Sn，且2a1+3a3S6，则下列结论正确的是（）Aa100BS10最小CS7S12DS19013（4分）已知函数f（x）xlnx，若0x1x2，则下列结论正确的是（）Ax2f（x1）x1f（x2）Bx1+f（x1）x2+f（x2）CD当lnx1时，x1f（x1）+x2f（x2）2x2f（x1）二、填空题：本大题共有4个小题，每小题4分，共16分.14（4分）已知b克糖水中含有a克糖（ba0），若再添加m克糖（m0），则糖水就变得更甜了试根据这一事实
5、归纳推理得一个不等式 15（4分）已知数列an的前n项和为Sn2n2+3n+3，则数列an的通项公式为 16（4分）设f（x）|lnx|，若函数g（x）f（x）ax在区间（0，4）上有三个零点则实数a的取值范围是 17（4分）将边长分别为1，2，3，n，（nN*）的正方形叠放在一起，形成如图所示的图形，把各阴影部分所在图形的面积由小到大依次记为f（1），f（2），f（3），f（n），则f（n） ，前n个阴影部分图形的面积的平均值为 三、解答题：本大题共6个小题，共82分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.18设函数（1）若函数f（x）在x1处取得极值，求a的值；（2）若不等式f（x）x2
6、xa+1对任意a（0，+）都成立，求实数x的取值范围19已知正项等比数列an是单调递增数列，且4a3与3a5的等差中项为4a4，a3与a7的等比中项为16（1）求数列an的通项公式；（2）令bnlog2an+1，求数列an+bn的前n项和Sn20甲、乙两地相距120km，汽车从甲地匀速行驶到乙地，速度不超过110km/h已知汽车每小时的运输成本（以元为单位）由可变部分和固定部分组成：可变部分与速度v（单位：km/h）的平方成正比，且比例系数为b，固定部分为a元（1）把全程运输成本y（元）表示为速度v的函数，并求出当a64，时，汽车应以多大速度行驶，才能使得全程运输成本最小；（2）随着汽车的折旧
7、，运输成本会发生一些变化，那么当a100，元，此时汽车的速度应调整为多大，才会使得运输成本最小21已知函数f（x）ex1x（1）求yf（x）在点（2，f（2）处的切线方程；（2）若存在，满足aex1+x0成立，求实数a的取值范围22已知函数f（x）tanx1在（0，+）上的零点按从小到大的顺序构成数列（1）试判断数列an是否为等差数列，并说明理由；（2）设，求数列bn的前n项和Sn23已知函数f（x）x2+axlnx（1）判断f（x）的单调性；（2）若函数f（x）存在极值，求这些极值的和的取值范围2019-2020学年山东省烟台市高二（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共13
8、小题，每小题4分，共52分.在每小题给出的四个选项中，第110题只有一项符合题目要求，第1113题有多项符合题目要求.全部选对的得4分，选对但不全的得2分，有选错的得0分.1（4分）若不等式ax2+bx+20的解集是，则（）ABCD【分析】由题意可知是方程ax2+bx+20的根，结合方程的根与系数关系即可求解【解答】解：ax2+bx+20的解集是，是方程ax2+bx+20的根，则故选：D【点评】本题主要考查了二次不等式与二次方程的相互关系的转化思想的应用，属于基础试题2（4分）已知1a0，b0，则b，ab，a2b的大小关系是（）Ababa2bBa2babbCa2bbabDba2bab【分析】因
9、为该题为选择题，故可以用特值法，取符合条件的a，b代入进行比较即可【解答】解：取特殊值：a，b1，则ab，a2b，故ba2bab，故选：D【点评】本题考查不等式比较大小，属于基础题3（4分）已知数列an的前n项和Sn3n+k（k为常数），那么下述结论正确的是（）Ak为任意实数时，an是等比数列Bk1时，an是等比数列Ck0时，an是等比数列Dan不可能是等比数列【分析】可根据数列an的前n项和Sn3n+k（k为常数），求出a1，以及n2时，an，再观察，k等于多少时，an是等比数列即可【解答】解：数列an的前n项和Sn3n+k（k为常数），a1s13+kn2时，ansnsn13n+k（3n1+
10、k）3n3n123n1当k1时，a12满足an23n1当k0时，a13不满足23n1故选：B【点评】本题考查了等比数列的判断，以及数列的前n项和与通项之间的关系4（4分）已知x1，则函数的最小值为（）A4B3C2D1【分析】由x1 可得x10，然后利用基本不等式可得可求答案，注意等号成立的条件【解答】解：x1x10由基本不等式可得，当且仅当即x11时，x2时取等号“”故选：B【点评】本题主要考查基本不等式求解函数的最值，要注意配凑积为定值，注意基本不等式应用的前提，属于基础题5（4分）“中国剩余定理”又称“孙子定理”.1852年，英国来华传教士伟烈亚力将孙子算经中“物不知数”问题的解法传至欧洲
11、.1874年，英国数学家马西森指出此法符合1801年宙高斯得出的关于同余式解法的一般性定理，因而四方称之为“中国剩余理”“中国剩余定理”讲的是一个关于整除的问题，现有这样一个整除问题：将1至2019中能被3除余1且被5除余1的数按由小到大的顺序排成一列，构成数列an，则此数列的项数为（）A134B135C136D137【分析】由能被3除余1且被5除余1的数就是能被15整除余1的数，运用等差数列通项公式，以及解不等式即可得到所求项数【解答】解：由能被3除余1且被5除余1的数就是能被15整除余1的数，故an15n14由an15n142016，得n135，故此数列的项数为135故选：B【点评】本题考
12、查数列模型在实际问题中的应用，考查等差数列的通项公式的运用，考查运算能力，属于基础题6（4分）定义在（1，+）上的函数f（x）满足f（x）+cosx0，且f（0）1，则不等式f（x）+sinx1的解集为（）A（，0）B（1，0）C（0，+）D（1，1）【分析】根据题意，令F（x）f（x）+sinx，对其求导分析可得F（x）在区间（1，+）上递减，利用f（0）的值可得F（0）的值，进而将原不等式转化为F（x）F（0），结合函数的单调性、定义域，分析可得答案【解答】解：令F（x）f（x）+sinx，得 F（x）f（x）+cosx，又f（x）+cosx0F（x）0F（x） 在区间（1，+）上单调递减
13、又f（0）1，F（0）f（0）+sin01不等式f（x）+sinx1即为F（x）F（0）x0故选：C【点评】本题考查函数的导数与函数的单调性之间的关系，关键是构造函数F（x）f（x）+sinx，并分析其单调性7（4分）数列的前n项和为（）ABCD【分析】利用裂项相消法求解数列的和即可【解答】解：数列的通项，数列的前n项和为：故选：A【点评】本题考查数列求和的方法裂项相消法的应用，是基本知识的考查8（4分）在各项均为正数的等比数列an中，a63，则4a4+a8（）A有最小值12B有最大值12C有最大值9D有最小值9【分析】利用等比数列的性质、基本不等式的性质即可得出【解答】解：各项均为正数的等比
14、数列an中，a63，则4a4+a8244a612当且仅当4a4a86时取等号故选：A【点评】本题考查了等比数列的性质、基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题9（4分）若函数f（x）x3+ax2在区间（1，+）内是增函数，则实数a的取值范围是（）A3，+）B（3，+）C0，+）D（0，+）【分析】由已知，f（x）3x20在1，+）上恒成立，可以利用参数分离的方法求出参数a的取值范围【解答】解：f（x）3x2+a，根据函数导数与函数的单调性之间的关系，f（x）0在1，+）上恒成立，即a3x2，恒成立，只需a大于3x2 的最大值即可，而3x2 在1，+）上的最大值为3，所以a3即数a
15、的取值范围是3，+）故选：A【点评】本题考查函数导数与函数的单调性之间的关系，参数取值范围求解本题采用了参数分离的方法10（4分）函数f（x）的定义域为（a，b），其导函数f（x）在（a，b）内的图象如图所示，则函数f（x）在区间（a，b）内极小值点的个数是（）A4B3C2D1【分析】根据当f（x）0时函数f（x）单调递增，f（x）0时f（x）单调递减，可从f（x）的图象可知f（x）在（a，b）内从左到右的单调性依次为增减增减，然后得到答案【解答】解：从f（x）的图象可知f（x）在（a，b）内从左到右的单调性依次为增减增减，根据极值点的定义可知在（a，b）内只有一个极小值点故选：D【点评】本题
16、主要考查函数的极值点和导数正负的关系属基础题11（4分）下列说法正确的是（）A若x，y0，x+y2，则2x+2y的最大值为4B若，则函数的最大值为1C若x，y0，x+y+xy3，则xy的最小值为1D函数的最小值为9【分析】分别有基本不等式变形，进而求解；【解答】解：A若x，y0，x+y2，则2x+2y2224，当且仅当xy1时等号成立，没有最大值，故A错误；B若，即2x10，则函数+12+11，当且仅当x0等号成立，故B正确；C若x，y0，（x+y）2，xy3（x+y）32，即xy+230，解得xy1，当且仅当xy时等号成立，没有最小值，故C错误；D数（sin2x+cos2x）（）5+5+29
17、，当且仅当2sin2xcos2x时等号成立，故D正确；故选：BD【点评】考查基本不等式的灵活运用，命题真假的判断，属于高档易错题；12（4分）已知数列an为等差数列，其前n项和为Sn，且2a1+3a3S6，则下列结论正确的是（）Aa100BS10最小CS7S12DS190【分析】根据题意，由2a1+3a3S6a100，然后逐项分析即可【解答】解：A因为数列an为等差数列，2a1+3a3S6，即5a1+6d6a1+15d，即a1+9da100，故A正确；B因为a100，所以S9S10，但是无法推出数列an的单调性，故无法确定S10是最大值还是最小值故B错误；C因为a8+a9+a10+a11+a1
18、25a100，所以S12S7+a8+a9+a10+a11+a12S7+0S7，故C正确；DS1919a100，所以D正确故选：ACD【点评】本题考查了等差数列的前n项和，等差数列的通项，等差数列的性质本题属于基础题13（4分）已知函数f（x）xlnx，若0x1x2，则下列结论正确的是（）Ax2f（x1）x1f（x2）Bx1+f（x1）x2+f（x2）CD当lnx1时，x1f（x1）+x2f（x2）2x2f（x1）【分析】根据条件分别构造不同的函数，求函数的导数，利用函数单调性和导数之间的关系进行判断即可【解答】解：A正确；因为令g（x）lnx，在（0，+）上是增函数，当 0x1x2 时，g（x
19、1）g（x2），即x2f（x1）x1f（x2）B错误；因为令g（x）f（x）+xxlnx+xg（x）lnx+2，x（e2，+）时，g（x）0，g（x）单调递增，x（0，e2）时，g（x）0，g（x）单调递减x1+f（x1）与x2+f（x2）无法比较大小C错误；因为令g（x）f（x）xxlnxx，g（x）lnx，x（0，1）时，g（x）0，g（x）在（0，1）单调递减，x（1，+）时，g（x）0，g（x）在（1，+）单调递增，当0x1x21时，g（x1）g（x2），f（x1）x1f（x2）x2，f（x1）f（x2）x1x2，0当1x1x2 时，g（x1）g（x2）f（x1）x1f（x2）x2，f
20、（x1）f（x2）x1x2，D正确；因为lnx1时，f（x）单调递增，又A正确，x1f（x1）+x2f（x2）2x2f（x1）x1f（x1）f（x2）+x2f（x2）f（x1）（x1x2）f（x1）f（x2）0故选：AD【点评】本题主要考查命题的真假判断，在求解中用到了利用导数判断函数的单调性，并用到了函数单调性的定义需要学习掌握的是构造函数的办法，综合性较强，有一定的难度二、填空题：本大题共有4个小题，每小题4分，共16分.14（4分）已知b克糖水中含有a克糖（ba0），若再添加m克糖（m0），则糖水就变得更甜了试根据这一事实归纳推理得一个不等式（ba0且m0）【分析】利用溶液的浓度的意义即
21、可得出【解答】解：根据这一事实归纳推理得一个不等式：（ab0，m0）故答案为：（ab0，m0）【点评】本题考查了溶液的浓度的意义、不等式的性质，属于基础题15（4分）已知数列an的前n项和为Sn2n2+3n+3，则数列an的通项公式为【分析】由n2时，ansnsn1，代入关系式化简求出an，再把n1时a1s1代入验证，再用分段函数形式表示【解答】解：当n2时，ansnsn12n2+3n+32（n1）2+3（n1）+34n+1，当n1时，a1s18，不符合上式，则an，故答案为：【点评】本题考查了数列中的项与前n项和之间的关系：的应用，注意n1的验证16（4分）设f（x）|lnx|，若函数g（x
22、）f（x）ax在区间（0，4）上有三个零点则实数a的取值范围是（，）【分析】方法一：g（x）f（x）ax在区间（0，4）上有三个零点可化为|lnx|ax0在区间（0，4）上有三个不同的解，令令a；讨论函数的取值即可，方法二：首先，画出函数y|lnx|的图象，然后，借助于图象，结合在区间（0，4）上有三个零点，进行判断【解答】解：方法一：g（x）f（x）ax在区间（0，4）上有三个零点，|lnx|ax0在区间（0，4）上有三个不同的解，令a；则当0x1时，的值域为（0，+）；当1x4时，a在1，e上是增函数，0，在e，4）上是减函数，；故当a（，）时，有三个不同的解方法二：函数y|lnx|的图象
23、如图示当a0时，显然，不合乎题意，当a0时，如图示当x（0，1时，存在一个零点，当x1时，f（x）lnx，可得g（x）lnxax，（x（1，3）g（x）a，若g（x）0，可得x，g（x）为减函数，若g（x）0，可得x，g（x）为增函数，此时f（x）必须在（1，4）上有两个交点，解得，a，在区间（0，3上有三个零点时，故实数a的取值范围为（，），故答案为：（，）【点评】本题考查了函数的零点与方程的根及函数的取值的关系应用，属于中档题17（4分）将边长分别为1，2，3，n，（nN*）的正方形叠放在一起，形成如图所示的图形，把各阴影部分所在图形的面积由小到大依次记为f（1），f（2），f（3），f（
24、n），则f（n）4n1，前n个阴影部分图形的面积的平均值为2n+1【分析】分别求出前几个阴影部分的面积，观察发现各阴影部分所在图形的面积成等差数列，再利用等差数列的通项公式和前n项和公式即可算出结果【解答】解：由图形可知：f（1）22123，f（2）42327，f（3）625211，所以f（1），f（2），f（3），f（n），成等差数列，首项为3，公差为4，故f（n）3+4（n1）4n1由等差数列前n项和公式可得：f（1）+f（2）+f（3）+f（n），从而前n个阴影部分图形的面积的平均值为：2n+1故答案为：4n1；2n+1【点评】本题主要考查了归纳推理，以及等差数列的通项公式和前n项和公式
25、，是基础题三、解答题：本大题共6个小题，共82分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.18设函数（1）若函数f（x）在x1处取得极值，求a的值；（2）若不等式f（x）x2xa+1对任意a（0，+）都成立，求实数x的取值范围【分析】（1）求出函数的导数，求出f（1）2a2由于函数f（x）在x1处取得极值，所以f（1）0，进而得出a的值；（2）f（x）x2xa+1对任意a（0，+）都成立，参变分离，得对任意a（0，+）都成立，进而求出a的取值范围【解答】解：（1），令x1得，所以f（1）2a2，所以f（x）ax23x+a+1，由于函数f（x）在x1处取得极值，所以f（1）0，即2a20，所以a
26、1；（2）f（x）x2xa+1对任意a（0，+）都成立，即ax23x+a+1x2xa+1对任意a（0，+）都成立，即a（x2+2）x2+2x对任意a（0，+）都成立，于是对任意a（0，+）都成立，所以，解得2x0，实数x的取值范围是2，0【点评】本题考查了导数及极值，考查了分类讨论思想方法、“分离参数法”、推理能力与计算能力19已知正项等比数列an是单调递增数列，且4a3与3a5的等差中项为4a4，a3与a7的等比中项为16（1）求数列an的通项公式；（2）令bnlog2an+1，求数列an+bn的前n项和Sn【分析】（1）设等比数列an的公比为q，q1利用等差中项以及等比中项求出等比与首项，
27、得到数列的通项公式（2）化简，然后利用并项求和求解即可【解答】解：（1）设等比数列an的公比为q，由题意可知：q1因为4a3与3a5的等差中项为4a4，a3与a7的等比中项为16，所以，解得，（舍去）所以（2），所以【点评】本题考查等差数列以及等比数列的综合应用，数列求和的方法，是中档题20甲、乙两地相距120km，汽车从甲地匀速行驶到乙地，速度不超过110km/h已知汽车每小时的运输成本（以元为单位）由可变部分和固定部分组成：可变部分与速度v（单位：km/h）的平方成正比，且比例系数为b，固定部分为a元（1）把全程运输成本y（元）表示为速度v的函数，并求出当a64，时，汽车应以多大速度行驶，
28、才能使得全程运输成本最小；（2）随着汽车的折旧，运输成本会发生一些变化，那么当a100，元，此时汽车的速度应调整为多大，才会使得运输成本最小【分析】（1）全程运输成本有两部分组成，将其分别分别表示出来依题意建立起程运输成本y（元）表示为速度v（千米/时）的函数全程成本为当a64，时，利用基本不等式求出全程运输成本的最小值（2）由（1）知，全程运输成本关于速度的函数表达式中出现了积为定值的情形，由于当a100，时等号成立的条件不成立，可以通过求导判断出函数在（0，110上的单调性，用单调性求出全程运输成本的最小值【解答】解：（1）由题意可知，汽车从甲地到乙地所用时间为小时，全程成本为当a64，时
29、，当且仅当v96时取等号，所以，汽车应以96km/h的速度行驶，能使得全程运输成本最小；（2）当a100，时，v（0，110，由y0得，v120，所以在v（0，110上是减函数，所以，汽车应以110km/h的速度行驶，才能使得全程运输成本最小【点评】本小题主要考查建立函数关系、不等式性质、最大值、最小值等基础知识，考查综合应用所学数学知识、思想和方法解决实际问题的能力，属于综合题21已知函数f（x）ex1x（1）求yf（x）在点（2，f（2）处的切线方程；（2）若存在，满足aex1+x0成立，求实数a的取值范围【分析】（1）求出f（x）ex11，求出切线的斜率以及切点坐标，然后求解切线方程（2
30、）不等式变形aex1x，即af（x），令f（x）ex110，得x1转化求解函数yf（x）在上最大值为，然后推出结果【解答】解：（1）f（x）ex11，所以f（2）e1，f（2）e2，所以yf（x）在点（2，f（2）处的切线方程为：y（e2）（e1）（x2），即y（e1）xe；（2）由题意，aex1x，即af（x），令f（x）ex110，得x1因为x1时，f（x）0，x1时，f（x）0，所以yf（x）在（，1）上减，在（1，+）上增，又时，所以yf（x）的最大值在区间端点处取到而，所以，所以yf（x）在上最大值为，故a的取值范围是【点评】本题考查函数的导数的应用，切线方程以及函数的最值的求法，考
31、查转化思想以及计算能力，是中档题22已知函数f（x）tanx1在（0，+）上的零点按从小到大的顺序构成数列（1）试判断数列an是否为等差数列，并说明理由；（2）设，求数列bn的前n项和Sn【分析】（1）求出f（x）tanx1在（0，+）上的零点为，得到数列的通项公式，然后利用等差数列的定义证明即可（2）求出，利用错位相减法求解数列的和即可【解答】解：（1）f（x）tanx1在（0，+）上的零点为，所以，因为，所以数列an是首项为，公差d的等差数列（2），所以，两式相减得14（4n7）2n+1，所以【点评】本题考查数列与函数综合应用，数列求和的方法，考查转化思想以及计算能力，是中档题23已知函数
32、f（x）x2+axlnx（1）判断f（x）的单调性；（2）若函数f（x）存在极值，求这些极值的和的取值范围【分析】（1）讨论f（x）0的根的情况，结合二次函数的性质得出f（x）的符号变化，从而得出f（x）的单调性；（2）根据根与系数的关系和（1）的讨论结果列不等式组求出a的范围【解答】解：（1）函数f（x）的定义为（0，+），f（x），令g（x）2x2+ax1，a280时，即2a2时，g（x）0，故f（x）0，f（x）在（0，+）单调递减a280时，即a2或a2时，g（x）2x2+ax10有不相等的两根，设x1，x2，（x1x2），则x1，x2当a2时，当0xx1或xx2时，f（x）0，当x1
33、xx2，f（x）0，f（x）在（0，）和（，+）上单调递减，在（，）单调递增，若a2时，则0，故f（x）0在（0，+）上恒成立，故f（x）在（0，+）单调递减（2）由（1）可得函数f（x），f（x）存在极值，f（x）0在（0，+）上有解，即方程2x2ax+10在（0，+）上有解，即a280显然当0时，f（x）无极值，不合题意，所以方程2x2ax+10必有两个不等正根设方程2x2ax+10的两个不等正根分别为x1，x2，则，由题意知f（x1）+f（x2）a（x1+x2）（x12+x22）+1ln+1+ln2，由a28得f（x1）+f（x2）2+1+ln23+ln2，即这些极值的和的取值范围为（3+ln2，+）【点评】本题考查利用导数研究函数的极值及单调性，解题时若含有参数，要对参数的取值进行讨论，而分类讨论的思想也是高考的一个重要思想，要注意体会其在解题中的运用
