1、2018-2019学年山东省济南市历城区八年级（下）期末数学试卷一.选择题（共12小题，每小题4分）1（4分）下列图形中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）ABCD2（4分）如果ab，那么下列各式一定正确的是（）Aa2b2BC2a2bDa1b13（4分）下列从左到右的变形中，是因式分解的是（）Am29（m3）2Bm2m+1m（m1）+1Cm2+2mm（m+2）D（m+1）2m2+2m+14（4分）若分式有意义，则a的取值范围为（）Aa4Ba4Ca4Da45（4分）一元二次方程x2+4x+10配方后可化为（）A（x+2）25B（x2）250C（x+2）23D（x2）2306（4分）化简+的结
2、果是（）AxBxCx+1Dx17（4分）一元二次方程x2+2x+20的根的情况是（）A有两个相等的实数根B有两个不相等的实数根C只有一个实数根D无实数根8（4分）如图，在ABC中，ACBC，C90，AD平分BAC，交BC于点D，若CD1，则AC的长度等于（）AB+1C2D+29（4分）如图，一次函数y1x+b与一次函数y2kx+4的图象交于点P（1，3），则关于x的不等式x+bkx+4的解集是（）Ax2Bx0Cx1Dx110（4分）已知m是方程x22x10的一个根，则代数式2m24m+2019的值为（）A2022B2021C2020D201911（4分）如图，将边长为1的正方形ABCD绕点A逆
3、时针旋转30到正方形AEFG的位置，则图中阴影部分的面积为（）ABCD12（4分）如图，在ABCD中，AD2AB，F是AD的中点，作CEAB，垂足E在线段AB上，连接EF、CF，则下列结论：（1）A2DCF；（2）EFCF；（3）SCDFSCEF；（4）DFE3AEF其中正确结论的个数是（）A1个B2个C3个D4个二.填空题（共6小题，每小题4分）13（4分）分解因式：2a28的结果为 14（4分）若分式的值为0，则x的值为 15（4分）一个正多边形的每个内角等于108，则它的边数是 16（4分）如图，ABCD，以点B为圆心，小于DB长为半径作圆弧，分别交BA、BD于点E、F，再分别以点E、F
4、为圆心，大于EF长为半径作圆弧，两弧交于点G，作射线BG交CD于点H若D120，则DHB的大小为 17（4分）如图，平行四边形ABCD的对角线相交于点O，且ADAB，过点O作OFAC交AD于点E，连接CE若平行四边形ABCD的周长为20，则CDE的周长是 18（4分）如图ABC，ACBC13，把ABC放在平面直角坐标系中，且点A、B的坐标分别为（2，0）、（12、0），将ABC沿x轴向左平移，当点C落在直线yx+6上时，线段AC扫过的面积为 三、解答题（共9小题，共78分）19（6分）解不等式组：，把它的解集在数轴的上表示出来20（6分）先化简，再求值：（1），其中a121（10分）解下列方程
5、：（1）1；（2）x24x3022（6分）如图，菱形ABCD中，O是对角线AC上一点，连接OB，OD，求证：OBOD23（6分）如图，在ABC中，ABBC，ABC110，AB的垂直平分线DE交AC于点D，连接BD，求DBA的度数24（9分）如图，某小区计划在一块长为34米，宽为22米的矩形空地上修建三条同样宽的道路（一横两竖），剩余的空地上种植草坪，使草坪的面积为672平方米，求每条道路的宽25（12分）某公司计划购买A，B两种型号的机器人搬运材料已知A型机器人比B型机器人每小时多搬运30kg材料，且A型机器人搬运1000kg材料所用的时间与B型机器人搬运800kg材料所用的时间相同（1）求A
6、，B两种型号的机器人每小时分别搬运多少材料；（2）该公司计划采购A，B两种型号的机器人共20台，要求每小时搬运材料不得少于2800kg，则至少购进A型机器人多少台？26（11分）（1）模型建立，如图1，等腰直角三角形ABC中，ACB90，CBCA，直线ED经过点C，过A作ADED于D，过B作BEED于E求证：BECCDA；（2）模型应用：已知直线yx+3与y轴交于A点，与x轴交于B点，将线段AB绕点B逆时针旋转90度，得到线段BC，过点A，C作直线，求直线AC的解析式；如图3，矩形ABCO，O为坐标原点，B的坐标为（8，6），A，C分别在坐标轴上，P是线段BC上动点，已知点D在第一象限，且是直
7、线y2x5上的一点，若APD是不以A为直角顶点的等腰直角三角形，请直接写出所有符合条件的点D的坐标27（12分）在ABCD中，点B关于AD的对称点为B，连接AB，CB，CB交AD于P点（1）如图1，ABC90，求证：FBFC；（2）小宇通过观察、实验、提出猜想：如图2，在点B绕点A旋转的过程中，点F始终为CB的中点小宇把这个猜想与同学们进行交流，通过讨论，形成了证明该猜想的几种想法：想法1：过点B作BGCD交AD于G点，只需证三角形全等；想法2：连接BB交AD于H点，只需证H为BB的中点；想法3：连接BB，BF，只需证BBC90FBFBFC请你参考上面的想法，证明F为CB的中点（一种方法即可）
8、（3）如图3，当ABC135时，AB，CD的延长线相交于点E，求的值2018-2019学年山东省济南市历城区八年级（下）期末数学试卷参考答案与试题解析一.选择题（共12小题，每小题4分）1（4分）下列图形中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）ABCD【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解【解答】解：A、是轴对称图形，也是中心对称图形故正确；B、是轴对称图形，不是中心对称图形故错误；C、不是轴对称图形，是中心对称图形故错误；D、是不轴对称图形，也是中心对称图形故错误故选：A【点评】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合；
9、中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合2（4分）如果ab，那么下列各式一定正确的是（）Aa2b2BC2a2bDa1b1【分析】看各不等式是加（减）什么数，或乘（除以）哪个数得到的，用不用变号【解答】解：A、两边相乘的数不同，错误；B、不等式两边都除以2，不等号的方向不变，错误；C、不等式两边都乘2，不等号的方向改变，正确；D、不等式两边都减1，不等号的方向不变，错误；故选：C【点评】主要考查不等式的性质：（1）不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变；（2）不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；（3）不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改
10、变3（4分）下列从左到右的变形中，是因式分解的是（）Am29（m3）2Bm2m+1m（m1）+1Cm2+2mm（m+2）D（m+1）2m2+2m+1【分析】把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫做把这个多项式因式分解，也叫分解因式，根据以上内容逐个判断即可【解答】解：把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫把这个多项式因式分解，也叫分解因式，A、平方差公式计算错误，故本选项错误；B、不是因式分解，故本选项错误；C、左右相等，且是因式分解，故本选项正确；D、不是因式分解，故本选项错误；故选：C【点评】本题考查了因式分解的定义的应用，能理解因式分解的定义是解此题的关键，注意：把一个多项式化成几个整式
11、的积的形式，叫做把这个多项式因式分解，也叫分解因式4（4分）若分式有意义，则a的取值范围为（）Aa4Ba4Ca4Da4【分析】直接利用分式有意义的条件分析得出答案【解答】解：若分式有意义，则a40，则a的取值范围为：a4故选：A【点评】此题主要考查了分式有意义的条件，正确把握定义是解题关键5（4分）一元二次方程x2+4x+10配方后可化为（）A（x+2）25B（x2）250C（x+2）23D（x2）230【分析】先把常数项移到方程右侧，再把方程两边加上4，然后把方程左边写成完全平方形式即可【解答】解：x2+4x1，x2+4x+43，（x+2）23故选：C【点评】本题考查了解一元二次方程配方法：
12、将一元二次方程配成（x+m）2n的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法6（4分）化简+的结果是（）AxBxCx+1Dx1【分析】根据分式的运算法则即可求出答案【解答】解：原式x，故选：B【点评】本题考查分式的运算，解题的关键是熟练运用分式的运算法则，本题属于基础题型7（4分）一元二次方程x2+2x+20的根的情况是（）A有两个相等的实数根B有两个不相等的实数根C只有一个实数根D无实数根【分析】求出b24ac的值，根据b24ac的正负即可得出答案【解答】解：x2+2x+20，这里a1，b2，c2，b24ac2241240，方程无实数根，故选：D【点评】本题考查的知识点是
13、根与系数的关系，当b24ac0时，一元二次方程有两个不相等的实数根；当b24ac0时，一元二次方程有两个相等的实数根；当b24ac0时，一元二次方程无实数根8（4分）如图，在ABC中，ACBC，C90，AD平分BAC，交BC于点D，若CD1，则AC的长度等于（）AB+1C2D+2【分析】过D作DEAB于E，依据BDE是等腰直角三角形，即可得到BD的长，进而得到BC的长，可得答案【解答】解：如图所示，过D作DEAB于E，ACBC，C90，AD平分BAC，DECD1，B45，BDEB45，BEDE1，RtBDE中，BD，BC+1，AC+1，故选：B【点评】本题主要考查了角平分线的的性质以及等腰直角
14、三角形，等腰直角三角形是一种特殊的三角形，具有所有三角形的性质，还具备等腰三角形和直角三角形的所有性质9（4分）如图，一次函数y1x+b与一次函数y2kx+4的图象交于点P（1，3），则关于x的不等式x+bkx+4的解集是（）Ax2Bx0Cx1Dx1【分析】观察函数图象得到当x1时，函数yx+b的图象都在ykx+4的图象上方，所以关于x的不等式x+bkx+4的解集为x1【解答】解：当x1时，x+bkx+4，即不等式x+bkx+4的解集为x1故选：C【点评】本题考查了一次函数与一元一次不等式：从函数的角度看，就是寻求使一次函数yax+b的值大于（或小于）0的自变量x的取值范围；从函数图象的角度看
15、，就是确定直线ykx+b在x轴上（或下）方部分所有的点的横坐标所构成的集合10（4分）已知m是方程x22x10的一个根，则代数式2m24m+2019的值为（）A2022B2021C2020D2019【分析】利用一元二次方程的解的定义得到m22m1，再把2m24m+2019表示为2（m22m）+2019，然后利用总体代入的方法计算【解答】解：m是方程x22x10的一个根，m22m10，m22m1，2m24m+20192（m22m）+201921+20192021故选：B【点评】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解也考查了总体代入的计算方法11（4
16、分）如图，将边长为1的正方形ABCD绕点A逆时针旋转30到正方形AEFG的位置，则图中阴影部分的面积为（）ABCD【分析】作MHDE于H，如图，利用正方形的性质得ABAD1，BBADADC90，则根据旋转的性质得AEAB1，130，AEFB90，再证明AED为等边三角形得到3460，DEAD1，接着证明MDE为等边三角形得到DHEH，则利用含30度的直角三角形三边的关系计算出MH，然后利用三角形面积公式计算即可【解答】解：作MHDE于H，如图，四边形ABCD为正方形，ABAD1，BBADADC90，正方形ABCD绕点A逆时针旋转30到正方形AEFG的位置，AEAB1，130，AEFB90，26
17、0，AED为等边三角形，3460，DEAD1，5630，MDE为等边三角形，DHEH，在RtMDH中，MHDH，SMDE1故选：D【点评】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等也考查了正方形的性质12（4分）如图，在ABCD中，AD2AB，F是AD的中点，作CEAB，垂足E在线段AB上，连接EF、CF，则下列结论：（1）A2DCF；（2）EFCF；（3）SCDFSCEF；（4）DFE3AEF其中正确结论的个数是（）A1个B2个C3个D4个【分析】利用平行四边形的性质：平行四边形的对边相等且平行，再由全等三角形的判定得出A
18、EFDMF（ASA），利用全等三角形的性质得出对应线段之间关系进而得出答案【解答】解：（1）F是AD的中点，AFFD，在ABCD中，AD2AB，AFFDCD，DFCDCF，ADBC，DFCFCB，DCFBCF，DCFBCD，ABCD，A2DCF，故正确；（2）延长EF，交CD延长线于M，四边形ABCD是平行四边形，ABCD，AMDF，F为AD中点，AFFD，AEFDMF（ASA），FEMF，AEFM，CEAB，AEC90，AECECD90，FMEF，FCFM，故正确；（3）EFFM，SEFCSCFM，故SCDFSCEF错误；（4）设FECx，则FCEx，DCFDFC90x，EFC1802x，E
19、FD90x+1802x2703x，AEF90x，DFE3AEF，故正确，故选：C【点评】此题主要考查了平行四边形的性质以及全等三角形的判定与性质等知识，解决本题的关键是得出AEFDME二.填空题（共6小题，每小题4分）13（4分）分解因式：2a28的结果为2（a+2）（a2）【分析】首先提取公因式2，进而利用平方差公式进行分解即可【解答】解：2a282（a24）2（a+2）（a2）故答案为：2（a+2）（a2）【点评】此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，熟练利用乘法公式分解因式是解题关键14（4分）若分式的值为0，则x的值为3【分析】分式的值为0的条件是：（1）分子为0；（2）分母不
20、为0两个条件需同时具备，缺一不可据此可以解答本题【解答】解：由题意可得x30且x+30，解得x3故答案为：3【点评】本题主要考查了分式的值为0的条件由于该类型的题易忽略分母不为0这个条件，所以常以这个知识点来命题15（4分）一个正多边形的每个内角等于108，则它的边数是5【分析】根据相邻的内角与外角互为邻补角求出每一个外角的度数为72，再用外角和360除以72，计算即可得解【解答】解：正多边形的每个内角等于108，每一个外角的度数为18010872，边数360725，这个正多边形是正五边形故答案为：5【点评】本题考查了多边形的内角与外角，对于正多边形，利用多边形的外角和除以每一个外角的度数求边
21、数更简便16（4分）如图，ABCD，以点B为圆心，小于DB长为半径作圆弧，分别交BA、BD于点E、F，再分别以点E、F为圆心，大于EF长为半径作圆弧，两弧交于点G，作射线BG交CD于点H若D120，则DHB的大小为30【分析】利用基本作图得到ABHDBH，再利用平行线的性质得ABHDHB，所以DBHDHB，然后根据三角形内角和计算DHB的度数【解答】解：由作法得BH平分ABD，ABHDBH，ABDC，ABHDHB，DBHDHB，DHB（180D）（180120）30故答案为30【点评】本题考查了作图基本作图：熟练掌握基本作图（作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；
22、作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线）17（4分）如图，平行四边形ABCD的对角线相交于点O，且ADAB，过点O作OFAC交AD于点E，连接CE若平行四边形ABCD的周长为20，则CDE的周长是10【分析】由平行四边形ABCD的对角线相交于点O，OEAC，根据线段垂直平分线的性质，可得AECE，又AB+BCAD+CD20，继而可得CDE的周长等于AD+CD【解答】解：四边形ABCD是平行四边形，OAOC，ABCD，ADBC，平行四边形ABCD的周长为20，AD+CD10，OEAC，AECE，CDE的周长为：CD+CE+DECD+CE+AEAD+CD10故答案为：10【点评】此题考查了平行
23、四边形的性质、线段垂直平分线的性质，关键是根据线段垂直平分线的性质进行分析此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用18（4分）如图ABC，ACBC13，把ABC放在平面直角坐标系中，且点A、B的坐标分别为（2，0）、（12、0），将ABC沿x轴向左平移，当点C落在直线yx+6上时，线段AC扫过的面积为156【分析】过点C作CDx轴，垂足为点D，利用等腰三角形的性质及勾股定理可求出点C的坐标，由点C的纵坐标可求出平移后点C的坐标，再利用平行四边形的面积公式即可求出线段AC扫过的面积【解答】解：过点C作CDx轴，垂足为点D，如图所示ACBC，ADBD点A的坐标为（2，0），点B的坐标为（12，0）
24、，AB10，ADAB5在RtACD中，AC13，AD5，CD12，点C的坐标为（7，12）当y12时，x+612，解得：x6，平移后点C的坐标为（6，12）线段AC扫过的面积7（6）12156故答案为：156【点评】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、等腰三角形的性质、勾股定理以及坐标与图形变化平移，利用等腰三角形的性质、勾股定理及一次函数图象上点的坐标特征，求出点C及平移后点C所在的坐标是解题的关键三、解答题（共9小题，共78分）19（6分）解不等式组：，把它的解集在数轴的上表示出来【分析】首先分别解出两个不等式的解集，再根据“大小小大中间找”确定不等式组的解集，把它的解集在数轴的上表示出
25、来即可【解答】解：，解不等式得：x2，解不等式得：x3，则不等式组的解集为2x3，将不等式组的解集表示在数轴上如下：【点评】此题主要考查了一元一次不等式（组）的解法，关键是掌握解集的规律：同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到20（6分）先化简，再求值：（1），其中a1【分析】先根据分式的混合运算化简后，再代入求值即可【解答】解：原式a+1，把a1代入a+1【点评】本题考查分式的混合运算，解答本题的关键是明确分式混合运算的计算方法21（10分）解下列方程：（1）1；（2）x24x30【分析】（1）先把分式方程转化成整式方程，求出方程的解，再进行检验即可；（2）先求出b24ac的值，
26、再代入公式求出即可【解答】解：（1）方程两边都乘以2x得：2x2x1，解得：x，检验：当x时，2x0，所以x是原方程的解，即原方程的解是x；（2）x24x30，b24ac（4）241（3）28，x，x12+，x22【点评】本题考查了解分式方程和解一元二次方程，能把分式方程转化成整式方程是解（1）的关键，能熟记公式是解（2）的关键22（6分）如图，菱形ABCD中，O是对角线AC上一点，连接OB，OD，求证：OBOD【分析】由菱形的性质可得到ADAB，CABCAD，结合公共边可证得ABOADO，根据全等三角形对应边相等即可得出OBOD【解答】证明：四边形ABCD是菱形，ABAD，CABCAD，在A
27、BO和ADO中，ABOADO，OBOD；【点评】本题考查了菱形的性质，全等三角形的判定与性质，熟记性质与定理是解题关键23（6分）如图，在ABC中，ABBC，ABC110，AB的垂直平分线DE交AC于点D，连接BD，求DBA的度数【分析】由已知条件和等腰三角形的性质可得AC35，再由线段垂直平分线的性质可求出DBAA，问题得解【解答】解：在ABC中，ABBC，ABC110，AC35，AB的垂直平分线DE交AC于点D，ADBD，DBAA35【点评】此题主要考查了线段垂直平分线的性质以及等腰三角形的性质，熟记垂直平分线的性质是解题关键24（9分）如图，某小区计划在一块长为34米，宽为22米的矩形空
28、地上修建三条同样宽的道路（一横两竖），剩余的空地上种植草坪，使草坪的面积为672平方米，求每条道路的宽【分析】设每条道路的宽为x米，则种植草坪的部分可以看成长为（342x）米、宽为（22x）米的矩形，根据矩形的面积公式结合草坪的面积为672平方米，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其较小值即可得出结论【解答】解：设每条道路的宽为x米，则种植草坪的部分可以看成长为（342x）米、宽为（22x）米的矩形，根据题意得：（342x）（22x）672，整理得：x239x+380，解得：x11，x23822x0，x1答：每条道路的宽为1米【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二
29、次方程是解题的关键25（12分）某公司计划购买A，B两种型号的机器人搬运材料已知A型机器人比B型机器人每小时多搬运30kg材料，且A型机器人搬运1000kg材料所用的时间与B型机器人搬运800kg材料所用的时间相同（1）求A，B两种型号的机器人每小时分别搬运多少材料；（2）该公司计划采购A，B两种型号的机器人共20台，要求每小时搬运材料不得少于2800kg，则至少购进A型机器人多少台？【分析】（1）设B型机器人每小时搬运x千克材料，则A型机器人每小时搬运（x+30）千克材料，根据A型机器人搬运1000kg材料所用的时间与B型机器人搬运800kg材料所用的时间相同建立方程求出其解就可以得出结论（
30、2）设购进A型机器人a台，根据每小时搬运材料不得少于2800kg列出不等式并解答【解答】解：（1）设B型机器人每小时搬运x千克材料，则A型机器人每小时搬运（x+30）千克材料，根据题意，得，解得x120经检验，x120是所列方程的解当x120时，x+30150答：A型机器人每小时搬运150千克材料，B型机器人每小时搬运120千克材料；（2）设购进A型机器人a台，则购进B型机器人（20a）台，根据题意，得150a+120（20a）2800，解得aa是整数，a14答：至少购进A型机器人14台【点评】本题考查了分式方程的运用，一元一次不等式的运用，解决问题的关键是读懂题意，找到关键描述语，进而找到所
31、求的量的数量关系26（11分）（1）模型建立，如图1，等腰直角三角形ABC中，ACB90，CBCA，直线ED经过点C，过A作ADED于D，过B作BEED于E求证：BECCDA；（2）模型应用：已知直线yx+3与y轴交于A点，与x轴交于B点，将线段AB绕点B逆时针旋转90度，得到线段BC，过点A，C作直线，求直线AC的解析式；如图3，矩形ABCO，O为坐标原点，B的坐标为（8，6），A，C分别在坐标轴上，P是线段BC上动点，已知点D在第一象限，且是直线y2x5上的一点，若APD是不以A为直角顶点的等腰直角三角形，请直接写出所有符合条件的点D的坐标【分析】（1）由条件可求得EBCACD，利用AAS
32、可证明BECCDA；（2）过C作CDx轴于点D，由直线解析式可求得A、B的坐标，利用模型结论可得CDBO，BDAO，从而可求得C点坐标，利用待定系数法可求得直线AC的解析式；分三种情况考虑：如图2所示，当ADP90时，ADPD，可得点D在AB的中垂线上，即点D横坐标为4，易得D点坐标；如图3所示，当APD90时，APPD，设点P的坐标为（8，m），表示出D点坐标为（14m，m+8），列出关于m的方程，求出m的值，即可确定出D点坐标；如图4所示，当ADP90时，ADPD时，同理求出D的坐标【解答】证明：（1）ACB90，EBC+BCEBCE+ACD90，EBCACD，在BEC和CDA中，BECC
33、DA（AAS）；（2）如图1，过C作CDx轴于点D，直线yx+3与y轴交于A点，与x轴交于B点，令y0可求得x4，令x0可求得y3，OA3，OB4，同（1）可证得CDBBAO，CDBO4，BDAO3，OD4+37，C（7，4），且A（0，3），设直线AC解析式为ykx+3，把C点坐标代入可得47k+3，解得k直线AC解析式为yx+3，（3）B的坐标为（8，6），AB8，BC6如图2，当ADP90时，ADPD，点D在AB的中垂线上，即点D横坐标为4D点坐标（4，3）当D点坐标（4，3）时，ADP90，D点坐标（4，3）不合题意；如图3，当APD90时，APPD，设点P的坐标为（8，m），则D点坐
34、标为（14m，m+8），由m+82（14m）5，得m5，D点坐标（9，13）；如图4，当ADP90时，ADPD时，同理可求得D点坐标（，），综上所述：点D坐标为：（9，13），（，）【点评】本题为一次函数的综合应用，涉及全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质、旋转的性质、分类讨论及数形结合的思想本题第二问注意考虑问题要全面，做到不重不漏本题考查知识点较多，综合性较强，难度较大27（12分）在ABCD中，点B关于AD的对称点为B，连接AB，CB，CB交AD于P点（1）如图1，ABC90，求证：FBFC；（2）小宇通过观察、实验、提出猜想：如图2，在点B绕点A旋转的过程中，点F始终为CB的中
35、点小宇把这个猜想与同学们进行交流，通过讨论，形成了证明该猜想的几种想法：想法1：过点B作BGCD交AD于G点，只需证三角形全等；想法2：连接BB交AD于H点，只需证H为BB的中点；想法3：连接BB，BF，只需证BBC90FBFBFC请你参考上面的想法，证明F为CB的中点（一种方法即可）（3）如图3，当ABC135时，AB，CD的延长线相交于点E，求的值【分析】（1）证明：根据已知条件得到ABCD为矩形，ABCD，根据矩形的性质得到DBAD90，根据全等三角形的性质即可得到结论；（2）方法1：如图2，过点B作BGCD交AD于点G，由轴对称的性质得到12，ABAB，根据平行线的性质得到23，13，
36、根据平行线的性质得到4D，根据全等三角形的性质即可得到结论；方法2：连接BB交直线AD于H点，根据线段垂直平分线的性质得到BHHB，由平行线分线段成比例定理得到结论；方法3：连接BB，BF，根据轴对称的性质得到AD是线段BB的垂直平分线，根据线段垂直平分线的性质得到BFFB，得到12，由平行线的性质得到BBC90，根据余角的性质得到34，于是得到结论；（3）取BE的中点G，连结GF，由（2）得，F为CB的中点，根据平行线的性质得到BAD180ABC45，由对称性的性质得到EADBAD45，根据平行线的性质得到GFAFAB45，根据三角函数的定义即可得到结论【解答】（1）证明：四边形ABCD为平
37、行四边形，ABC90，ABCD为矩形，ABCD，DBAD90，B，B关于AD对称，BADBAD90，ABAB，BADD，AFBCFD，在AFB与CFD中，AFBCFD（AAS），FBFC，F是CB的中点；（2）证明：方法1：如图2，过点B作BGCD交AD于点G，B，B关于AD对称，12，ABAB，BGCD，ABCD，BGAB23，13，BABG，ABCD，ABAB，BGCD，BGCD，4D，BFGCFD，在BFG与CFD中，BFGCFD（AAS），FBFC，F是CB的中点；方法2：如图3，连接BB交直线AD于H点，B，B关于AD对称，AD是线段BB的垂直平分线，BHHB，ADBC，1，FBFC
38、F是CB的中点；方法3：如图4，连接BB，BF，B，B关于AD对称，AD是线段BB的垂直平分线，BFFB12，ADBC，BBBC，BBC90，1+390，2+490，34，FBFC，BFFBFC，F是CB的中点；（3）如图5，取BE的中点G，连结GF，由（2）得，F为CB的中点，FGCE，FGCE，ABC135，ABCD中，ADBC，BAD180ABC45，由对称性，EADBAD45，FGCE，ABCD，FGAB，GFAFAB45，FGA90，GAGF，FGsinEADAFAF，由，可得【点评】本题是相似三角形的综合问题，考查了全等三角形的判定和性质，平行四边形的性质，平行线的性质，平行线分线段成比例定理，三角函数的定义，正确的作出辅助线是解题的关键
