1、直线、平面垂直的判定编稿：丁会敏 审稿：王静伟【学习目标】1了解空间直线和平面的位置关系；2掌握直线与平面、平面与平面垂直的判定定理； 3能利用直线与平面、平面与平面垂直的定义、判定定理解决与其相关的问题 【要点梳理】要点一：直线与直线垂直的定义两条直线垂直的定义：如果两条直线相交于一点或经过平移后相交于一点，并且交角为直角，则称这两条直线互相垂直。要点诠释：空间中两直线垂直可能是相交垂直，也可能是异面垂直，即两条直线互相垂直时可能没有垂足。要点二：直线与平面垂直的定义与判定1.直线和平面垂直的定义如果直线和平面内的任意一条直线都垂直，我们就说直线与平面互相垂直，记作.直线叫平面的垂线；平面叫
2、直线的垂面；垂线和平面的交点叫垂足.垂线上任意一点到垂足间的线段，叫做这个点到这个平面的垂线段。垂线段的长度叫做这个点到平面的距离。要点诠释：(1)定义中的“任何直线”与“所有直线”是同义语，定义是说这条直线和平面内所有直线垂直 (2)直线和平面垂直是直线和平面相交的一种特殊形式(3)如果一条直线垂直于一个平面，那么它就和平面内的任意一条直线垂直，简述之，即“线面垂直，则线线垂直”，这是我们判定两条直线垂直时经常使用的一种重要方法画直线和平面垂直时，通常要把直线画成和表示平面的平行四边形的一边垂直，如图所示符号语言描述：(4)在平面几何中，我们有命题：经过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，在
3、本节中，也有类似的命题 命题1：过一点有且只有一条直线和已知平面垂直 命题2：过一点有且只有一个平面和已知直线垂直2.直线和平面垂直的判定定理文字语言：一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直图形语言：符号语言：特征：线线垂直线面垂直要点诠释：(1)判定定理的条件中：“平面内的两条相交直线”是关键性词语，不可忽视.(2)要判定一条已知直线和一个平面是否垂直，取决于在这个平面内能否找出两条相交直线和已知直线垂直，至于这两条相交直线是否和已知直线有公共点，则无关紧要.相关的重要结论 过一点与已知直线垂直的平面有且只有一个；过一点与已知平面垂直的直线有且只有一条 如果两条平行线
4、中的一条与一个平面垂直，那么另一条也与这个平面垂直如果两个平行平面中的一个与一条直线垂直，那么另一个也与这条直线垂直要点三：平面与平面垂直的定义与判定1.平面与平面垂直定义定义：两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面垂直.表示方法：平面与垂直，记作.画法：两个互相垂直的平面通常把直立平面的竖边画成与水平平面的横边垂直.如图： 2.平面与平面垂直的判定定理文字语言：一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直.符号语言：图形语言：特征：线面垂直面面垂直要点诠释：平面与平面垂直的判定定理告诉我们，可以通过直线与平面垂直来证明平面与平面垂直.通常我们将其记为“线面垂直，则面面垂
5、直”.因此，处理面面垂直问题转化为处理线面垂直问题，进一步转化为处理线线垂直问题.以后证明平面与平面垂直，只要在一个平面内找到两条相交直线和另一个平面内的一条直线垂直即可.要点四：求点线、点面、线面距离的方法 (1)若P是平面外一点，a是平面内的一条直线，过P作平面的垂线PO，O为垂足，过O作OAa，连接PA，则以PAa则线段PA的长即为P点到直线a的距离(如图所示) (2)一条直线与一个平面平行时，这条直线上任意一点到这个平面的距离叫直线与平面的距离 (3)求点面距离的常用方法：直接过点作面的垂线，求垂线段的长，通常要借助于某个直角三角形来求解 转移法：借助线面平行将点转移到直线上某一特殊点
6、到平面的距离来求解 体积法：利用三棱锥的特征转换位置来求解【典型例题】类型一：直线和平面垂直的定义例1下列命题中正确的个数是( )如果直线与平面内的无数条直线垂直，则；如果直线与平面内的一条直线垂直，则；如果直线不垂直于，则内没有与垂直的直线；如果直线不垂直于，则内也可以有无数条直线与垂直A0 B1 C2 D3【答案】B【解析】当直线与平面平行或在平面内时，在平面内都有直线与直线垂直，故在平面内存在一组平行线（无数条）与垂直，因此均错，正确【总结升华】“无数条直线”只说明直线的条数有无穷多，而“任意条直线”除能说明直线无穷多条外，还说明直线的位置关系是任意的，是不受限制的解题时一定要加以区别举
7、一反三：【变式1】设直线与平面相交但不垂直，则下列说法中正确的是（ ）A在平面内有且只有一条直线与直线垂直 B过直线有且只有一个平面与平面垂直 C与直线垂直的直线不可能与平面平行 D与直线平行的平面不可能与垂直【答案】B【解析】可以通过观察正方体进行判断，取为直线，平面为平面，由均与垂直知，选项错；由与垂直且与平行知，选项错；由平面与平行且与垂直知，选项错，故选B类型二：直线与平面垂直的判定例2如图，已知空间四边形ABDC的边BC=AC，AD=BD，作BECD，E为垂足，作AHBE于H，求证：AH平面BCD【思路点拨】要证AH平面BCD，只需利用直线和平面垂直的判定定理，证AH垂直平面BCD中
8、两条相交直线即可【证明】取AB中点F，连CF，DF，BC=AC，CFAB又AD=BD，DFAB，AB平面CDF，ABCD又BECD，且ABBE=B，根据直线与平面垂直的判定定理，直线CD平面ABECDAH而AHBE，CDBE=E，AH平面BCD【总结升华】本题主要考查线面垂直的判定，关键是找到平面BCD内与AH垂直的两条相交直线，要证线面垂直，需证线线垂直；要证线线垂直，需证线面垂直，即通过判定定理实现线线垂直与线面垂直的互相转化 例3如图所示，四边形ABCD是矩形，PA平面ABCD，PAD是等腰三角形，M，N分别是AB，PC的中点，求证：MNPC【解析】取PD的中点E，连接AE，NE，N，E
9、为中点，NE为PCD的中位线，NECD且NE=CD又M为AB的中点，AMCD且AM=CD，AMNE且AM=NE，四边形AENM为平行四边形，AEMN又PAD为等腰三角形，AEPD，又PA平面ABCD，PADC，而DCADDC平面PADAEDC，AE平面PDC由AEMN知，MN平面PCD，。【总结升华】（1）判定线面垂直的方法：利用线面垂直定义：一直线垂直于平面内的任意直线，则这条直线垂直于该平面用线面垂直判定定理：一直线与平面内的两相交直线都垂直，则这条直线与平面垂直用线面垂直性质：两平行线之一垂直于平面，则另一条也必垂直于这个平面（2）证明线线（或线面）垂直有时需多次运用线面垂直的定义和线面
10、垂直的判定定理，实现线线垂直与线面垂直的相互转化举一反三：高清：空间的线面垂直 398999 例2【变式1】 正方体，求证：面.证明：（略写）， 同理：所以面。【变式2】如图，在四棱锥P-ABCD中，PA底面ABCD，ABAD，ACCD，ABC=60,PA=AB=BC,E是PC的中点.证明：(1)CDAE；(2)PD平面ABE.证明：（1）在四棱锥P-ABCD中，PA底面ABCD，CD平面ABCD，PACD.ACCD,PAAC=A，CD平面PAC.而AE平面PAC，CDAE.（2）由PA=AB=BC， ABC=60，可得AC=PA.E是PC的中点，AEPC.由(1)知，AECD,且PCCD=C
11、,AE平面PCD.而PD平面PCD，AEPD.PA底面ABCD，PAAB.又ABAD且PAAD=A,AB平面PAD，而PD平面PAD，ABPD.又ABAE=A,综上得PD平面ABE.类型三：平面与平面垂直的判定例4三棱锥S-ABC中，BSC90，ASB60，ASC60，SASBSC求证：平面ABC平面SBC【思路点拨】证明平面ABC平面SBC，就是要找平面ABC和平面SBC其中一个平面的垂线，进而找线线垂直，其中线面垂直是转化的核心【证明】如图所示，取BC的中点D，连接AD、SD 由题意知ASB与ASC是等边三角形，则ABSAAC ADBC又 SBSC， SDBC令SAa，在SBC中，易知，又
12、 ， ADSD又 ADBC， AD平面SBC AD平面ABC， 平面ABC平面SBC【总结升华】证明面面垂直有两个途径：一是定义，二是证明线面垂直，二者都是通过证明线线垂直来完成的，如果题目中给出了线段的长度、角度等条件，也可考虑用勾股定理证线线垂直，所以空间问题平面化是解决立体几何问题的重要思想举一反三：【变式1】 如图所示，在四棱锥S-ABCD中，底面四边形ABCD是平行四边形，SC平面ABCD，E为SA的中点求证：平面EBD平面ABCD 【证明】 如图连接AC，与BD交于点F，连接EF因为F为平行四边形ABCD对角线AC与BD的交点，所以F为AC的中点又E为SA的中点，所以EF为SAC的
13、中位线，所以EFSC又SC平面ABCD，所以EF平面ABCD又EF平面EBD，所以平面EBD平面ABCD【变式2】如图所示，平面，点C在以AB为直径的O上，点E为线段PB的中点，点M在上，且（）求证：平面平面PAC；（）求证：平面PAC平面；【解析】（）证明：因为点E为线段PB的中点，点为线段的中点，来源:学科网 所以 . 因为 平面，平面， 所以 平面PAC. 因为 ， 因为 平面，平面， 所以 平面PAC. 因为 平面，平面，所以 平面平面PAC. （）证明：因为 点C在以AB为直径的O上，所以 ，即. 因为 平面，平面，所以 . 因为 平面，平面， 所以 平面.因为 平面， 所以 平面PAC平面. 7
