高考总复习:知识讲解_直线、圆的位置关系_(提高)
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1、直线、圆的位置关系编稿:丁会敏 审稿:王静伟 【学习目标】1能根据给定直线、圆的方程,判断直线与圆、圆与圆的位置关系;2能用直线和圆的方程解决一些简单的问题;3在平面解析几何初步的学习过程中,体会用代数方法处理几何问题的思想.【要点梳理】要点一、直线与圆的位置关系1.直线与圆的位置关系:(1)直线与圆相交,有两个公共点;(2)直线与圆相切,只有一个公共点;(3)直线与圆相离,没有公共点.2.直线与圆的位置关系的判定:(1)代数法:判断直线与圆C的方程组成的方程组是否有解.如果有解,直线与圆C有公共点.有两组实数解时,直线与圆C相交;有一组实数解时,直线与圆C相切;无实数解时,直线与圆C相离.(
2、2)几何法:由圆C的圆心到直线的距离与圆的半径的关系判断:当时,直线与圆C相交;当时,直线与圆C相切;当时,直线与圆C相离.要点诠释:(1)当直线和圆相切时,求切线方程,一般要用到圆心到直线的距离等于半径,记住常见切线方程,可提高解题速度;求切线长,一般要用到切线长、圆的半径、圆外点与圆心连线构成的直角三角形,由勾股定理解得.(2)当直线和圆相交时,有关弦长的问题,要用到弦心距、半径和半弦构成的直角三角形,也是通过勾股定理解得,有时还用到垂径定理.(3)当直线和圆相离时,常讨论圆上的点到直线的距离问题,通常画图,利用数形结合来解决.要点二、圆的切线方程的求法1点在圆上,如图 法一:利用切线的斜
3、率与圆心和该点连线的斜率的乘积等于,即法二:圆心到直线的距离等于半径2点在圆外,则设切线方程:,变成一般式:,因为与圆相切,利用圆心到直线的距离等于半径,解出要点诠释:因为此时点在圆外,所以切线一定有两条,即方程一般是两个根,若方程只有一个根,则还有一条切线的斜率不存在,务必要把这条切线补上常见圆的切线方程:(1)过圆上一点的切线方程是;(2)过圆上一点的切线方程是.要点三、求直线被圆截得的弦长的方法1应用圆中直角三角形:半径,圆心到直线的距离,弦长具有的关系,这也是求弦长最常用的方法2利用交点坐标:若直线与圆的交点坐标易求出,求出交点坐标后,直接用两点间的距离公式计算弦长3利用弦长公式:设直
4、线,与圆的两交点,将直线方程代入圆的方程,消元后利用根与系数关系得弦长:=要点四、圆与圆的位置关系1.圆与圆的位置关系:(1)圆与圆相交,有两个公共点;(2)圆与圆相切(内切或外切),有一个公共点;(3)圆与圆相离(内含或外离),没有公共点.2.圆与圆的位置关系的判定:(1)代数法:判断两圆的方程组成的方程组是否有解.有两组不同的实数解时,两圆相交;有一组实数解时,两圆相切;方程组无解时,两圆相离.(2)几何法:设的半径为,的半径为,两圆的圆心距为.当时,两圆相交;当时,两圆外切;当时,两圆外离;当时,两圆内切;当时,两圆内含.要点诠释:判定圆与圆的位置关系主要是利用几何法,通过比较两圆的圆心
5、距和两圆的半径的关系来确定,这种方法运算量小.也可利用代数法,但是利用代数法解决时,一是运算量大,二是方程组仅有一解或无解时,两圆的位置关系不明确,还要比较两圆的圆心距和两圆半径的关系来确定.因此,在处理圆与圆的位置关系时,一般不用代数法.3.两圆公共弦长的求法有两种:方法一:将两圆的方程联立,解出两交点的坐标,利用两点间的距离公式求其长方法二:求出公共弦所在直线的方程,利用勾股定理解直角三角形,求出弦长4两圆公切线的条数与两个圆都相切的直线叫做两圆的公切线,圆的公切线包括外公切线和内公切线两种(1)两圆外离时,有2条外公切线和2条内公切线,共4条;(2)两圆外切时,有2条外公切线和1条内公切
6、线,共3条;(3)两圆相交时,只有2条外公切线;(4)两圆内切时,只有1条外公切线;(5)两圆内含时,无公切线要点五、圆系方程1过直线与圆的交点的圆系方程是2以为圆心的同心圆系方程是:;3与圆同心的圆系方程是;4过同一定点的圆系方程是【典型例题】类型一:直线与圆的位置关系例1已知P(x0,y0)在圆x2+y2=R2的内部,试判断直线x0x+y0y=R2与圆的位置关系【答案】相离【解析】 点P(x0,y0)在圆x2+y2=R2的内部,又圆心O(0,0)到直线x0x+y0y=R2的距离为,且,即dR直线x0x+y0y=R2与圆x2+y2=R2相离【总结升华】判定直线与圆的位置关系采用几何法比采用代
7、数法的计算量要小得多,因此,我们一般采用几何法来解决直线与圆的位置关系的有关问题【高清课堂:与圆有关的位置关系370892 例2】例2已知直线与曲线.(1)求证:不论为何值,直线和曲线恒有两个交点;(2)求当直线被曲线所截的线段最短时此线段所在的直线的方程.【答案】(1)略(2)【证明】(1) 证法一:将直线与曲线C的方程联立得,消去y得(1+k2)x22(4k2+k+3)x+2(8k2+4k+3)=0 =4(4k2+k+3)28(1k2)(8k+4k+3) =12k28k+12=,方程有两相异实根,从而,由组成的方程组有两组解,即直线与曲线C恒有两个交点证法二:将曲线C的方程配方得(x3)2
8、+(y4)2=4,它表示以C(3,4)为圆心,2为半径的圆设圆心C到直线的距离为d,则,即,直线与曲线C恒有两个交点证法三:注意到直线:kxy4k+3=0可化为y3=k(x4),可知直线恒过定点A(4,3)曲线C是以C(3,4)为圆心,2为半径的圆,(见“证法二”)又42+326483+210,即点A在圆C内,直线与曲线C恒有两个交点(2)设直线被曲线C所截的线段为AB,当PQAB时,最小,直线PQ的斜率,所以直线AB的斜率,其方程为:【总结升华】 证法一抓住了直线与圆的位置关系的代数特征,从而转化为对方程的解的研究,这是研究直线与曲线的位置关系的基本方法;证法二抓住了直线与圆的位置关系的几何
9、特征,从而转化为研究圆心到直线的距离,抓住几何特征对于研究圆的问题特别有效;证法三通过判定直线过圆内一定点,从而使问题获证由上述三种解法可知,解题的切入点不同,解法就有优劣之分因此,在解题时,审题要慢,要仔细地分析题意,透彻地理解题意,挖掘其中的隐含条件,从而找到解决问题的捷径举一反三:【变式1】若直线y=x+b与曲线有公共点,则b的值范围是( )A BC D【答案】C【解析】曲线方程可化简为,即表示圆心为(2,3),半径为2的半圆,依据数形结合,当直线与此半圆相切时须满足圆心(2,3)到直线距离等于2,解得或,因为是下半圆,故可得(舍),当直线过(0,3)时,解得,故,所以C正确【变式2】已
10、知直线:(2m+1)x+(m+1)y=7m+4,圆C:(x1)2+(y2)2=25,则m为任意实数时,与C是否必相交?【答案】相交类型二:切线问题例3 过点A(4,3)作圆C:(x3)2+(y1)2=1的切线,求此切线方程【思路点拨】先判断点在圆上或圆外,如果点在圆上则有一条切线如果点在圆外,则有两条切线本例中很明显点在圆外【答案】15x+8y36=0【解析】 (43)2+(31)2=171,点A在圆外若所求直线的斜率存在,设切线斜率为k,则切线方程为y+3=k(x4)因为圆心C(3,1)到切线的距离等于半径1,所以,解得所以切线方程为,即15x+8y36=0若切线斜率不存在,圆心C(3,1)
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