1、直线的点斜式与两点式方程编稿：丁会敏 审稿：王静伟 【学习目标】(1)掌握直线方程的点斜式，并在此基础上掌握直线方程的斜截式、两点式、截距式；(2)能根据直线满足的几何条件，选择恰当的方程形式，求直线方程。【要点梳理】要点一：直线的点斜式方程方程由直线上一定点及其斜率决定，我们把叫做直线的点斜式方程，简称点斜式.要点诠释： 1.点斜式方程是由直线上一点和斜率确定的，点斜式的前提是直线的斜率存在.点斜式不能表示平行于y轴的直线，即斜率不存在的直线；2.当直线的倾斜角为0时，直线方程为；3.当直线倾斜角为90时，直线没有斜率，它的方程不能用点斜式表示.这时直线方程为:.4.表示直线去掉一个点；表示
2、一条直线.要点二：直线的斜截式方程如果直线的斜率为，且与轴的交点为，根据直线的点斜式方程可得，即.我们把直线与轴的交点的纵坐标叫做直线在轴上的截距，方程由直线的斜率与它在轴上的截距确定，所以方程叫做直线的斜截式方程，简称斜截式.要点诠释：1.b为直线在y轴上截距，截距可以取一切实数，即可以为正数、零、负数；距离必须大于或等于零；2.斜截式方程可由过点(0，b)的点斜式方程得到；3.当时，斜截式方程就是一次函数的表示形式.4.斜截式的前提是直线的斜率存在.斜截式不能表示平行于y轴的直线，即斜率不存在的直线.5.斜截式是点斜式的特殊情况，在方程中，是直线的斜率，是直线在轴上的截距.要点三：直线的两
3、点式方程经过两点(其中)的直线方程为，称这个方程为直线的两点式方程，简称两点式.要点诠释：1.这个方程由直线上两点确定；2.当直线没有斜率()或斜率为时，不能用两点式求出它的方程. 3.直线方程的表示与选择的顺序无关.4在应用两点式求直线方程时，往往把分式形式通过交叉相乘转化为整式形式，从而得到的方程中，包含了x1=x2或y1=y2的情况，但此转化过程不是一个等价的转化过程，不能因此忽略由x1、x2和y1、y2是否相等引起的讨论要避免讨论，可直接假设两点式的整式形式要点四：直线的截距式方程若直线与x轴的交点为A(a，0)，与y轴的交点为B(0，b)，其中，则过AB两点的直线方程为，这个方程称为
4、直线的截距式方程.a叫做直线在x轴上的截距，b叫做直线在y轴上的截距.要点诠释：1.截距式的条件是，即截距式方程不能表示过原点的直线以及不能表示与坐标轴平行的直线.2.求直线在坐标轴上的截距的方法：令x=0得直线在y轴上的截距；令y= 0得直线在x轴上的截距.要点五：中点坐标公式若两点P1(x1，y1)、P2(x2，y2)，且线段的中点坐标为(x，y)，则x=，y=，则此公式为线段的中点坐标公式要点六：直线方程几种表达方式的选取在一般情况下，使用斜截式比较方便，这是因为斜截式只需要两个独立变数，而点斜式需要三个独立变数在求直线方程时，要根据给出的条件采用适当的形式一般地，已知一点的坐标，求过这
5、点的直线，通常采用点斜式，再由其他条件确定斜率；已知直线的斜率，常用斜截式，再由其他条件确定在y 轴上的截距；已知截距或两点选择截距式或两点式从结论上看，若求直线与坐标轴所围成的三角形的面积或周长，则选择截距式求解较方便，但不论选用哪一种形式，都要注意各自的限制条件，以免遗漏【典型例题】类型一：点斜式直线方程例1已知直线过点（1，0），且与直线的夹角为30，求直线的方程。【答案】x=1或【解析】 直线的斜率为，其倾斜角为，且过点（1，0）。又直线与直线的夹角为30，且过点（1，0），由下图可知，直线的倾斜角为30或90。故直线的方程为x=1或。【点评】（1）由于直线过点（1，0），因此求直线的
6、方程的关键在于求出它的斜率，由此可知，何时选择点斜式来求直线方程的依据是题目是否给出了（或者能够求出）直线上的一点的坐标和其斜率。（2）利用点斜式求直线方程的步骤是：判断斜率k是否存在，并求出存在时的斜率；在直线上找一点，并求出其坐标。（3）要注意点斜式直线方程的逆向运用，即由方程yy0=k(xx0)可知该直线过定点P（x0，y0）且斜率为k。举一反三：【变式1】（1）直线y=x+1绕着其上一点P（3，4）逆时针旋转90后得直线，求直线的点斜式方程；（2）直线过点P（2，3），且与过点M（1，2），N（5，2）的直线垂直，求直线的方程【答案】（1）x+y7=0（2）x=2 【解析】（1）直线y
7、=x+1的斜率k=1，所以倾斜角为45由题意知，直线的倾斜角为135，所以直线的斜率k=tan135=1 又点P（3，4）在直线上，由点斜式方程知，直线的方程为y4=(x3)，即x+y7=0 （2）直线MN的斜率，所以该直线平行于x轴 又直线垂直于直线MN，因此直线的倾斜角为90，又直线过点P（2，3），所以直线的方程为x2=0，即x=2 【点评】用点斜式求直线方程，首先要确定一个点的坐标，其次判断斜率是否存在，只有在斜率存在的条件下，才能用点斜式求直线的方程【变式2】 直线过点P（l，2），斜率为，把绕点P按顺时针方向旋转30得直线，求直线和的方程【答案】 【解析】 的方程可以由点斜式直接写
8、出，经过点P，因此，关键是求出k2，利用数形结合的方法，找出的倾斜角是关键 直线的方程是 ， 如图，绕点P按顺时针方向旋转30，得到直线的倾斜角为，的方程为【点评】 本例中，通过画图分析，得到两条直线的倾斜角之间的关系，再利用的斜率已知，从而求出它的倾斜角，进而求出的倾斜角、斜率因此我们要善于利用数形结合的方法来分析条件之间的关系，从而找到解题的切入点类型二：斜截式直线方程例2（1）写出斜率为1，在y轴上截距为2的直线方程的斜截式； （2）求过点A（6，4），斜率为的直线方程的斜截式；（3）已知直线方程为2x+y1=0，求直线的斜率、在y轴上的截距以及与y轴交点的坐标【答案】（1）y=x2（2
9、）（3）k=2，b=1，（0，1） 【解析】 （1）易知k=1，b=2， 由直线方程的斜截式知， 所求直线方程为y=x2 （2）由于直线的斜率，且过点A（6，4）， 根据直线方程的点斜式得直线方程为， 化为斜截式为 （3）直线方程2x+y1=0，可化为y=2x+1， 由直线方程的斜截式知， 直线的斜率k=2，在y轴上的截距b=1， 直线与y轴交点的坐标为（0，1）。【点评】 （1）选用斜截式表示直线方程的依据是知道（或可以求出）直线的斜率k和直线在y轴上的截距b。（2）直线的斜截式方程的好处在于它比点斜式方程少一个参数，即斜截式方程只要两个参数k、b即可确定直线的方程，而点斜式方程则需要三个参
10、数k、x0、y0才能确定，而且它的形式简洁明了，这样当我们仅知道直线满足一个条件时，由参数选用斜截式方程具有化繁为简的作用。如仅知道直线的斜率为k=2，则我们可设直线方程为y=2x+b，再根据其他条件来求b的值。这种以“退”为进的思想方法是我们数学中常用的思想方法。类似地，若知道直线在y轴上的截距为2，则可设直线方程为y=kx+2（直线斜率存在的情况下）。（3）若直线过某一点，则这一点坐标一定满足直线方程，这一隐含条件应充分利用。举一反三：【变式1】(1)写出倾斜角是，在轴上的截距是-2直线的斜截式方程；（2）写出斜率为2，在y轴上截距为m的直线方程，当m为何值时，直线过点（1，1）？【答案】
11、（1）（2）y=2x+m m=1【解析】 （1）（2）由直线方程的斜截式，得直线方程为y=2x+m。直线过点（1，1），将x=1，y=1代入方程y=2x+m得1=21+m，m=1即为所求。类型三：两点式直线方程例3已知ABC三个顶点坐标A（2，1），B（2，2），C（4，1），求三角形三条边所在的直线方程【答案】x=2，xy3=0，x+2y6=0【解析】 A（2，1），B（2，2），A、B两点横坐标相同，直线AB与x轴垂直，故其方程为x=2。A（2，1），C（4，1），由直线方程的两点式可得AC的方程为，即xy3=0。同理可由直线方程的两点式得直线BC的方程为，即x+2y6=0。三边AB，AC
12、，BC所在的直线方程分别为x=2，xy3=0，x+2y6=0。【点评】当已知两点坐标，求过这两点的直线方程时，首先要判断是否满足两点式方程的适用条件，若满足即可考虑用两点式求方程。在斜率存在的情况下，也可以先应用斜率公式求出斜率，再用点斜式写出方程。举一反三：【变式1】 （1）求过A(-2，-3)，B(-5，-6)两点直线的两点式方程；（2）直线过（1，1）、（2，5）两点，点（1002，b）在上，则b的值为_ 【答案】（1） （2）2005【解析】（1）由两点式的直线方程得： （2）直线的方程为， 即， 即y=2x+1 令x=1002，得y=2005， b=2005 【点评】先求出的方程，然
13、后代入点（1002，b）的坐标求出b类型四：截距式直线方程例4求过点P（2，1），在x轴、y轴上的截距分别为a、b，且满足a=3b的直线方程。【答案】x+3y+1=0或【解析】 若a=3b0，设所求直线的方程为，即。又直线过点P（2，1），解得。故所求直线方程为，即x+3y+1=0。若a=3b=0，则所求直线过原点，可设方程为y=kx。该直线过点P（2，1），1=2k，。故所求直线方程为。综上所述，所求直线的方程为x+3y+1=0或。【点评】应用截距式求直线方程时，一定要注意讨论截距是否为零。举一反三：【变式1】直线过点（3，4），且在两坐标轴上的截距之和为12，求直线的方程【答案】x+3y9
14、=0或4xy+16=0 【解析】 由于直线在两坐标轴上的截距之和为12，因此直线在两坐标轴上的截距都存在且不为零，故可设为截距式直线方程 设直线的方程为，则a+b=12 又直线过点（3，4）， 由解得或。 故所求的直线方程为或， 即x+3y9=0或4xy+16=0【变式2】求过点（4，3）且在两坐标轴上截距的绝对值相等的直线的方程。 【答案】x+y=1 xy=7 3x+4y=0【解析】 解法一：设直线在x轴、y轴上的截距分别为a、b。（1）当a0，b0时，设的方程为。点（4，3）在直线上，。若a=b，则a=b=1，直线方程为x+y=1。若a=b，则a=7，b=7，此时直线方程为xy=7。（2）
15、当a=b=0时，直线过原点，且过点（4，3），直线的方程为3x+4y=0。综上知，所求直线方程为x+y1=0或xy7=0或3x+4y=0。解法二：设直线的方程为y+3=k(x4)，令x=0，得y=4k3；令y=0，得。又直线在两坐标轴上的截距的绝对值相等。，解得k=1或k=1或。所求的直线方程为xy7=0或x+y1=0或3x+4y=0。【点评】（1）一般来说直线在坐标轴上的截距的绝对值相等，则有三种情况：截距相等，斜率为1；截距互为相反数，斜率等于1；直线过原点。（2）灵活地运用直线方程的不同形式，可获得较简捷的解题途径，本题的两种方法各有优劣，请在学习中体会。类型五：中点坐标公式例5 过点P
16、（3，0）作直线，使它被两条相交直线2xy2=0和x+y+3=0所截得的线段AB恰好被P点平分，求直线的方程【答案】8xy24=0【解析】 设直线与直线2xy2=0交于点A（x1，y1） 点P（3，0）是线段AB的中点，由中点坐标公式得B点的坐标为（6x1，y1），解得。 由两点式直线方程得直线的方程为，即8xy24=0。 【点评】（1）中点坐标公式是一个重要的公式，要注意灵活地运用它来解决问题，如本例中，设A点坐标为（x1，y1），而P（3，0）为AB的中点，从而得到B点坐标为（6x1，y1） （2）在运用中点坐标公式时，要注意与“中点”等价的有关概念的运用，如本例中，AB被P点平分，通过画
17、图分析，它事实上等价于AB的中点为P （3）在具体解题时，还应注意创设条件运用中点坐标公式，如由平面几何知识可知，平行四边形的对角线相交于一点且互相平分，也就是对角线上两顶点的中点重合等（4）本例中，在求直线方程时，不是先设直线方程，而是先设A点坐标（横、纵坐标均为参数），再利用A、B分别在两直线上，从而得到两个方程组成的方程组，解之便得到A点坐标，再利用两点式便可求出所求直线方程。这是以“退”为进的思想方法的灵活运用，也是解决解析几何问题的基本思想方法，应深刻领悟，熟练掌握它举一反三： 【变式1】已知三角形的顶点是A（5，0），B（3，3），C（0，2），求AC边上中线所在直线的方程【答案】
18、8x+11y+9=0【解析】线段的中点坐标为，所以AC边上中线所在直线的方程为：，整理得：8x+11y+9=0类型六：直线方程的综合应用高清：直线方程的点斜式与两点式 381492例1例6已知ABC的三个顶点坐标分别是A（5，0），B（3，3），C（0，2），分别求BC边上的高和中线所在的直线方程【答案】3x5y+15=0 x+13y+5=0【解析】 BC边上的高与边BC垂直，由此求得BC边上的高所在直线的斜率，由点斜式得方程；利用中点坐标公式得BC的中点坐标，由两点式得BC边上的中线所在的直线方程 设BC边上的高为AD，则BCAD， ，解得， BC边上的高所在的直线方程是，即3x5y+15=
19、0 设BC的中点是M，则， BC边上的中线所在直线方程是，即x+13y+5=0 BC边上的高所在的直线方程是3x5y+15=0，BC边上的中线所在的直线方程为x+13y+5=0【点评】求直线的方程的关键是选择适当的直线方程的形式本题根据已知求BC边上的高所在的直线方程时，依据相互垂直直线的斜率关系，选择了直线方程的点斜式；求BC边上的中线所在的直线方程时，依据中点坐标公式，选择了直线方程的两点式 举一反三： 【高清：直线方程的点斜式与两点式 381492例2】【变式1】下列四个命题中真命题是( )（A）经过定点P0(x0,y0)的直线都可以用方程y-y0k(x-x0)表示；（B）经过任意两个不同点P1(x1,y1)、P2(x2,y2)的直线都可以用方程(y-y1)(x2-x1)(x-x1)(y2-y1)表示；（C）不经过原点的直线都可以用方程+1表示；（D）经过定点A(0，b)的直线都可以用方程ykx+b表示. 【答案】（B）【变式2】 已知倾斜角为45的直线过点A（1，2）和点B，B在第一象限，求点B的坐标【答案】（4，1）【解析】设B点坐标为，直线的方程为：，因为B在直线上，且，所以，解之得：或（舍去），所以B点坐标为（4，1）。
