1、2019-2020学年陕西省西安电子科技大学附中高二（上）期中数学试卷（理科）一、选择题（本题共12小题，每题5分，共60分）1（5分）已知数列，则是这个数列的第（）项A20B21C22D232（5分）“”是“”的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分又不必要条件3（5分）下面四个条件中，使ab成立的充分而不必要的条件是（）Aab+1Bab1Ca2b2Da3b34（5分）已知锐角三角形的边长分别为1，3，a，则a的取值范围是（）A（8，10）BCD5（5分）中国古代数学名著九章算术中有这样一个问题：今有牛、马、羊食人苗，苗主责之栗五斗羊主曰：“我羊食半马”马主曰：“我马食半牛
2、”今欲哀偿之，问各出几何？此问题的译文是：今有牛、马、羊吃了别人的禾苗，禾苗的主人要求赔偿5斗栗羊主人说：“我羊所吃的禾苗只有马的一半”马主人说：“我马所吃的禾苗只有牛的一半”打算按此比率偿还，他们各应偿还多少？已知牛、马、羊的主人各应偿还栗a升，b升，c升，1斗为10升，则下列判断正确的是（）Aa，b，c依次成公比为2的等比数列，且Ba，b，c依次成公比为2的等比数列，且Ca，b，c依次成公比为的等比数列，且Da，b，c依次成公比为的等比数列，且6（5分）在ABC中，则ABC为（）A等腰三角形B直角三角形C等腰直角三角形D等边三角形7（5分）已知Tn为数列的前n项和，若nT10+1013恒成
3、立，则整数n的最小值为（）A1026B1025C1024D10238（5分）已知1x+y1，1xy3，则的取值范围是（）A2，28BC2，27D9（5分）某班设计了一个八边形的班徽（如图），它由腰长为1，顶角为的四个等腰三角形，及其底边构成的正方形所组成，该八边形的面积为（）A2sin2cos+2Bsincos+3C3sincos+1D2sincos+110（5分）下列命题中为真命题的是（）A命题“若xy，则x|y|”的逆命题B命题“x1，则x21”的否命题C命题“若x1，则x2+x20”的否命题D命题“若x20，则x1”的逆否命题11（5分）在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，
4、若bc1，b+2ccosA0，则当角B取得最大值时，ABC的周长为（）A3BCD12（5分）若函数在（1，+）上的最小值为15，函数g（x）|x+a|+|x+1|，则函数g（x）的最小值为（）A2B6C4D1二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13（5分）若2x+4y4，则x+2y最大值是 14（5分）在数列an中，a13，an+1an+，则通项公式an 15（5分）已知p（x）：x2+2xm0，且p（1）是假命题，p（2）是真命题，则实数m的取值范围为 16（5分）设x，y满足约束条件，且zx+ay的最小值为7，则a 三、解答题（17题10分，18-21题每题15分，共70分）1
5、7已知命题p：|x1|c（c0）；命题q：|x5|2，且p是q的充分条件，求c的取值范围18若a，b，cR+，且满足a+b+c2（1）求abc的最大值；（2）求+的最小值19在ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且（1）求边b的值；（2）若，求ABC面积的最大值20在等差数列an中，a13，其前n项和为Sn，等比数列bn的各项均为正数，b11，公比为q，且b2+S212，q（1）求an与bn；（2）证明：21已知函数f（x）+（1）求f（x）f（4）的解集；（2）设函数g（x）k（x3），kR，若f（x）g（x）对任意的xR都成立，求k的取值范围2019-2020学年陕西省西安电子科
6、技大学附中高二（上）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本题共12小题，每题5分，共60分）1（5分）已知数列，则是这个数列的第（）项A20B21C22D23【分析】根据题意，分析可得该数列的通项公式为an，即可得答案【解答】解：数列，则该数列的通项公式为an，若3，即2n145，解可得n23，则是这个数列的第23项；故选：D【点评】本题考查数列的表示方法，关键是掌握数列通项公式的定义2（5分）“”是“”的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分又不必要条件【分析】通过sin2解出的值，然后判断充要条件即可【解答】解：sin2，或，故“”是“”的充分不必要条件故选
7、：A【点评】本题主要考查了命题的必要条件，充分条件与充要条件的判断，较为简单，要求掌握好判断的方法3（5分）下面四个条件中，使ab成立的充分而不必要的条件是（）Aab+1Bab1Ca2b2Da3b3【分析】利用不等式的性质得到ab+1ab；反之，通过举反例判断出ab推不出ab+1；利用条件的定义判断出选项【解答】解：ab+1ab；反之，例如a2，b1满足ab，但ab+1即ab推不出ab+1，故ab+1是ab成立的充分而不必要的条件故选：A【点评】本题考查不等式的性质、考查通过举反例说明某命题不成立是常用方法4（5分）已知锐角三角形的边长分别为1，3，a，则a的取值范围是（）A（8，10）BCD
8、【分析】由已知中ABC三边长分别为1、3、a，根据余弦定理的推论得到ABC为锐角三角形时，由两边长1和3求出a的范围，但3与a边均有可能为最大边，分类讨论即可求解【解答】解：ABC三边长分别为1、3、a，又ABC为锐角三角形，当3为最大边时3a，设3所对的角为，则根据余弦定理得：cos0，a0，a280，解得2a3；当a为最大边时a3，设a所对的角为，则根据余弦定理得：cos0，10a20，解得：3a，综上，实数a的取值范围为（2，）故选：B【点评】本题考查三角形的形状判断，以及余弦定理的应用，利用分类讨论的思想解答本题的关键是利用余弦定理推论出最大边所对角的余弦值大于0，进而根据两边长1和2
9、求出第三边a的取值范围，属于中档题5（5分）中国古代数学名著九章算术中有这样一个问题：今有牛、马、羊食人苗，苗主责之栗五斗羊主曰：“我羊食半马”马主曰：“我马食半牛”今欲哀偿之，问各出几何？此问题的译文是：今有牛、马、羊吃了别人的禾苗，禾苗的主人要求赔偿5斗栗羊主人说：“我羊所吃的禾苗只有马的一半”马主人说：“我马所吃的禾苗只有牛的一半”打算按此比率偿还，他们各应偿还多少？已知牛、马、羊的主人各应偿还栗a升，b升，c升，1斗为10升，则下列判断正确的是（）Aa，b，c依次成公比为2的等比数列，且Ba，b，c依次成公比为2的等比数列，且Ca，b，c依次成公比为的等比数列，且Da，b，c依次成公比
10、为的等比数列，且【分析】由题意可知a，b，c依次成公比为的等比数列，根据等比数列的求和公式即可求出【解答】解：由题意可知a，b，c依次成公比为的等比数列，则a+b+ca+a+a510，解得a50，c50，故选：D【点评】本题考查了等比数列在数学文化中的应用，属于基础题6（5分）在ABC中，则ABC为（）A等腰三角形B直角三角形C等腰直角三角形D等边三角形【分析】由已知等式分别求解A与B的大小，进一步得到C，则答案可求【解答】解：在ABC中，由，得，即tanA，则A；又cosA，即cosB，则BCABC为直角三角形故选：B【点评】本题考查三角函数的化简求值，考查三角形的形状判断，训练了利用三角函
11、数值求角，是基础题7（5分）已知Tn为数列的前n项和，若nT10+1013恒成立，则整数n的最小值为（）A1026B1025C1024D1023【分析】利用等比数列的求和公式可得Tn，即可得出【解答】解：，T10+101311+10131024，又nT10+1013，整数n最小值为1024故选：C【点评】本题考查了等比数列的求和公式、数列的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题8（5分）已知1x+y1，1xy3，则的取值范围是（）A2，28BC2，27D【分析】令3xys（x+y）+t（xy），求得s，t，利用不等式的性质可求3xy的取值范围然后求解则的取值范围【解答】解：令3xys（x
12、+y）+t（xy）（s+t）x+（st）y则，又1x+y1，1xy3，22（xy）6+得13xy7则23xy2，27故选：C【点评】本题考查简单线性规划问题，可以作图利用线性规划知识解决，也可以用待定系数法，利用不等式的性质解决，是中档题9（5分）某班设计了一个八边形的班徽（如图），它由腰长为1，顶角为的四个等腰三角形，及其底边构成的正方形所组成，该八边形的面积为（）A2sin2cos+2Bsincos+3C3sincos+1D2sincos+1【分析】根据正弦定理可先求出4个三角形的面积，再由三角面积公式可求出正方形的边长进而得到面积，最后得到答案【解答】解：由正弦定理可得4个等腰三角形的面
13、积和为：411sin2sin由余弦定理可得正方形边长为：故正方形面积为：22cos所以所求八边形的面积为：2sin2cos+2故选：A【点评】本题考查了三角面积公式的应用和余弦定理的应用正、余弦定理是考查解三角形的重点，是必考内容10（5分）下列命题中为真命题的是（）A命题“若xy，则x|y|”的逆命题B命题“x1，则x21”的否命题C命题“若x1，则x2+x20”的否命题D命题“若x20，则x1”的逆否命题【分析】根据题意，依次分析题意，A中命题的逆命题是“若x|y|，则xy”，正确；B中命题的否命题是“x1，则x21”，举反例即可；C中命题的否命题是“若x1，则x2+x20”，当x2时，x
14、2+x20，故错误；D中逆否命题与原命题同真假，只要判断原命题的真假即可【解答】解：A中命题“若xy，则x|y|”的逆命题是“若x|y|，则xy”，无论y是正数、负数、0都成立；B中命题的否命题是“x1，则x21”，当x1时不成立；C中命题的否命题是“若x1，则x2+x20”，当x2时，x2+x20，故错误；D中逆否命题与原命题同真假，原命题假，故错误故选：A【点评】本题考查四种命题及真假判断，属基础知识的考查11（5分）在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若bc1，b+2ccosA0，则当角B取得最大值时，ABC的周长为（）A3BCD【分析】由题意可得：cosA0，利用正弦定理
15、可得tanA3tanC，且tanC0，利用两角和的正切公式及基本不等式即可求得A、B和C的值，利用余弦定理即可求得a，则求得ABC的周长【解答】解：由b+2ccosA0，则cosA0，A为钝角，由正弦定理可得：sinB+2sinCcosA0，由sinBsin（A+C）sinAcosC+cosAsinC，则sinAcosC+cosAsinC+2sinCcosA0，即sinAcosC3sinCcosA，由cosAcosC0，可得tanA3tanC，且tanC0，tanBtan（A+C），当且仅当3tanC，即tanC时取等号；B取得最大值时，cb1，CB；A，a2b2+c22bccosA3，a；三
16、角形的周长为a+b+c2+故选：C【点评】本题考查正弦定理及余弦定理的应用，考查三角恒等变换，基本不等式的应用，考查计算能力，属于中档题12（5分）若函数在（1，+）上的最小值为15，函数g（x）|x+a|+|x+1|，则函数g（x）的最小值为（）A2B6C4D1【分析】由f（x）+axa（x1）+1，运用基本不等式可得最小值，解方程可得a的值；运用|x+5|+|x+1|（x+5）（x+1）|4，即可得到所求的最小值【解答】解：由f（x）+ax（a0，x1）a（x1）+1a（2+1）3a，当且仅当x1时，即x2时，取得最小值3a，由题意可得3a15，解得a5；函数g（x）|x+a|+|x+1|
17、x+5|+|x+1|，由|x+5|+|x+1|（x+5）（x+1）|4，当且仅当（x+5）（x+1）0，即5x1时，取得等号则g（x）的最小值为4故选：C【点评】本题考查函数的最值的求法，注意运用基本不等式和绝对值不等式的性质，考查运算能力，属于中档题二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13（5分）若2x+4y4，则x+2y最大值是2【分析】由基本不等式可得42x+4y2，即可求解【解答】解：由基本不等式可得，42x+4y2，当且仅当x2y且2x+4y4，即y，x1时取等号，2x+2y4，x+2y2则x+2y最大值是2故答案为：2【点评】本题主要考查了利用指数的运算性质及基本不等式
18、求解最值，属于基础试题14（5分）在数列an中，a13，an+1an+，则通项公式an4【分析】由已知可得，an+1an，然后利用叠加法即可求解【解答】解：an+1ananan1以上n1个式子相加可得，ana1a13，故答案为：4【点评】本题主要考查了 利用叠加法求解数列的通项公式，解题中要注意所写的项数15（5分）已知p（x）：x2+2xm0，且p（1）是假命题，p（2）是真命题，则实数m的取值范围为3，8）【分析】由p（1）是假命题，p（2）是真命题，我们分别将x1，x2代入即可构造关于m的不等式组，解不等式组即可得到实数m的取值范围【解答】解：因为p（1）是假命题，所以1+2m0，解得m
19、3，又因为p（2）是真命题，所以4+4m0，解得m8，所以实数m的取值范围是3m8故答案为：3，8）【点评】本题考查了若p为真命题时，参数a的范围是A，则p为假命题时，参数a的范围是RA这属于中档题16（5分）设x，y满足约束条件，且zx+ay的最小值为7，则a3【分析】由约束条件作出可行域，然后对a进行分类，利用数形结合结合分类讨论建立方程关系即可求出a的值【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：联立 ，解得 ，A（，）当a0时A为（，），zx+ay的最小值为，不满足题意；当a0时，由zx+ay得yx+，要使z最小，则直线yx+在y轴上的截距最大，满足条件的最优解不存在；当a0时，由zx
20、+ay得yx+，由图可知，当直线过点A时直线在y轴上的截距最小，z最小此时z+a7即a2+2a150解得：a3或a5（舍）故答案为：3【点评】本题考查了简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，解答的关键是注意分类讨论，是中档题三、解答题（17题10分，18-21题每题15分，共70分）17已知命题p：|x1|c（c0）；命题q：|x5|2，且p是q的充分条件，求c的取值范围【分析】求出命题p，q的等价条件，结合充分条件和必要条件的定义进行求解即可【解答】解：由p：|x1|c（c0）得1cx1+c；由q：|x5|2得x7或x3，p是q的充分条件，则1+c3或1c7，c2或c6，又c0，0c
21、2c的取值范围是（0，2【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的应用，求出命题的等价条件是解决本题的关键18若a，b，cR+，且满足a+b+c2（1）求abc的最大值；（2）求+的最小值【分析】（1）由基本不等式abc即可求解；（2）由+，展开后利用基本不等式即可求解【解答】解：a，b，cR+，且满足a+b+c2（1）abc，当且仅当abc时取等号，故abc的最大值；（2）+（3）（3+2+2+2），当且仅当abc时取等号+的最小值【点评】本题考查了“乘1法”与基本不等式的性质，属于基础题19在ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且（1）求边b的值；（2）若，求ABC面积的最大值【分
22、析】（1）利用正弦定理以及余弦定理，转化角为边的关系，然后求解b的大小（2）利用两角和与差的三角函数求出B，利用余弦定理以及基本不等式推出ac的范围，然后求解三角形的面积的最值【解答】解：（1）在ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且由余弦定理和正弦定理得化简得，得；（2）由得，所以又B（0，），由b2a2+c22accosB得3a2+c2ac2acac，ac3，当且仅当时等号成立，所以ABC面积的最大值为【点评】本题考查余弦定理以及正弦定理的应用，两角和与差的三角函数，以及基本不等式的应用，考查计算能力20在等差数列an中，a13，其前n项和为Sn，等比数列bn的各项均为正数，b1
23、1，公比为q，且b2+S212，q（1）求an与bn；（2）证明：【分析】（1）根据已知条件求出数列的公差和公比，进一步求出数列的通项公式（2）利用（1）的通项公式，进一步利用裂项相消法求出数列的和，最后利用放缩法求出结论【解答】解：（1）设数列an的公差为d因为等差数列an中，a13，其前n项和为Sn，等比数列bn的各项均为正数，b11，公比为q，且b2+S212，q，所以：S26+d，则：解得q3或q4（舍），d3，故an3+3（n1）3n，bn3n1（5分）证明：（2）由于an3n，则：，所以：，则：+，由于：n1，则：，所以：，所以：，即：【点评】本题考查的知识要点：数列的通项公式的求
24、法，裂项相消法在数列求和中的应用，放缩法在数列求和中的应用21已知函数f（x）+（1）求f（x）f（4）的解集；（2）设函数g（x）k（x3），kR，若f（x）g（x）对任意的xR都成立，求k的取值范围【分析】（1）函数f（x）|x3|+|x+4|，不等式 f（x）f（4）即|x3|+|x+4|9可得，或，或分别求得、的解集，再取并集，即得所求（2）由题意可得，f（x）的图象恒在g（x）图象的上方，作函数yf（x）和 yg（x）的图象如图，由KPB2，A（4，7），可得 KPA1，数形结合求得实数k的取值范围【解答】解：（1）函数f（x）+|x3|+|x+4|，f（x）f（4）即|x3|+|x+4|9，或，或得不等式：x5；解可得x无解；解求得：x4所以f（x）f（4）的解集为x|x5，或x4（2）f（x）g（x）对任意的xR都成立，即f（x）的图象恒在g（x）图象的上方，f（x）|x3|+|x+4|由于函数g（x）k（x3）的图象为恒过定点P（3，0），且斜率k变化的一条直线，作函数yf（x）和 yg（x）的图象如图，其中，KPB2，A（4，7），KPA1由图可知，要使得f（x）的图象恒在g（x）图象的上方，实数k的取值范围为（1，2【点评】本题主要考查对由绝对值的函数，绝对值不等式的解法，体现了转化、分类讨论、数形结合的数学思想，属于中档题
