1、2019-2020学年陕西省汉中市高二（上）期中数学试卷（理科）一、单选题（每题5分，共60分）1（5分）已知集合Ax|x1，Bx|x2x20，则AB（）Ax|x1Bx|1x2Cx|1x1Dx|x12（5分）设xZ，集合A是奇数集，集合B是偶数集若命题p：xA，2xB，则（）Ap：xA，2xBBp：xA，2xBCp：xA，2xBDp：xA，2xB3（5分）阅读如图所示的程序，则运行结果为（）A1B2C5D74（5分）下列各函数中，最小值为2的是（）AB，CD5（5分）直线ax+by+10（a，b0）过点（1，1），则的最小值为（）A10B1C4D96（5分）若m，n是两条不同的直线，是三个不同
2、的平面，mn，mn，m，nmn，mn，mn若m，n，mn，则则以上说法中正确的有（）个A1B2C3D47（5分）函数f（x）xcosx+x在，上的图象大致为（）ABCD8（5分）已知曲线C1：ysinx，C2：ycos（2x），则下面结论正确的是（）A把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线C2B把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线C2C把C1上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线C2D把C1上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到
3、的曲线向右半移个单位长度，得到曲线C29（5分）已知函数f（x+1）的定义域是1，2，求函数f（x）的定义域（）A（0，1B2，3C0，1D（2，310（5分）点（1，0）与（2，5）位于mx+y10异侧，则m的范围是（）A（2，1）B（1，2）C（1，+）D（，2）11（5分）设向量，满足，若，则（）A3B4C5D612（5分）一段1米长的绳子，将其截为3段，问这三段可以组成三角形的概率是（）ABCD二、填空题（每题5分，共20分）13（5分）已知向量夹角为45，且，则 14（5分）向边长为2的正方形内随机投10000粒豆子，其中1968粒豆子落在到正方形的顶点A的距离不大于1的区域内（图中
4、阴影区域），由此可估计的近似值为 （保留四位有效数字）15（5分）现从80瓶水中抽取6瓶进行检验，利用随机数表抽取样本时，先将80瓶水编号，可以编为00，01，02，79，在随机数表中任选一个数，例如选出第6行第5列的数7（下面摘取了附表1的第6行至第10行）16 22 77 94 39 49 54 43 54 82 17 37 93 23 78 87 35 20 96 43 84 26 34 91 6484 42 17 53 31 57 24 55 06 88 77 04 74 47 67 21 76 33 50 25 83 92 12 06 7663 01 63 78 5916 95 55
5、 67 19 98 10 50 71 75 12 86 73 58 07 44 39 52 38 7933 21 12 34 29 78 64 56 07 82 52 42 07 44 38 15 51 00 13 42 99 66 02 79 5457 60 86 32 4409 47 27 96 54 49 17 46 09 62 90 52 84 77 27 08 02 73 43 28规定从选定的数7开始向右读，依次得到的样本为 16（5分）设f（x）是定义在R上的奇函数，且当x0时，f（x）x2，若对任意的xt，t+2，不等式f（x+t）2f（x）恒成立，则实数t的取值范围是 三、解
6、答题17（10分）记数列an的前n项和为Sn，已知点（n，Sn）在函数f（x）x2+2x的图象上（I）求数列an的通项公式；（）设，求数列bn的前n项和18（12分）某校100名学生期中考试语文成绩的频率分布直方图如图所示，其中成绩分组区间是：50，60），60，70），70，80），80，90），90，100（1）求图中a的值；（2）根据频率分布直方图，估计这100名学生语文成绩的平均分；（3）若这100名学生语文成绩某些分数段的人数（x）与数学成绩相应分数段的人数（y）之比如表所示，求数学成绩在50，90）之外的人数分数段50，60）60，70）70，80）80，90）x：y1：12：13
7、：44：519（12分）设f（x）cos2x2cos2（x+）+1（1）求f（x）的单调增区间；（2）在锐角ABC中角A，B，C的对边分别为a，b，c，若f（）1，a1，求ABC面积的最大值20（12分）如图，在三棱柱ABCA1B1C1中，D，E分别是AC，BB1的中点（1）证明：BD平面AEC1；（2）若这个三棱柱的底面是等边三角形，侧面都是正方形，求二面角AEC1B的余弦值21（12分）如图，在直角坐标系xOy中，圆O：x2+y24与x轴负半轴交于点A，过点A的直线AM、AN分别与圆O交于M、N两点（1）若kAM2，kAN，求AMN的面积；（2）若直线MN过点（1，0），证明：kAMkAN
8、为定值，并求此定值22（12分）设 A（x1，y1），B（x2，y2）是函数f（x）x的图象上任意两点，若 M为 A，B的中点，且 M的横坐标为1（1）求y1+y2；（2）若Tn，nN*，求 Tn；（3）已知数列an的通项公式an（n1，nN*），数列an的前n项和为Sn，若不等式2nSnm2n4Tn+5对任意nN*恒成立，求m的取值范围2019-2020学年陕西省汉中市高二（上）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、单选题（每题5分，共60分）1（5分）已知集合Ax|x1，Bx|x2x20，则AB（）Ax|x1Bx|1x2Cx|1x1Dx|x1【分析】可解出集合B，然后进行并集的运算即可
9、【解答】解：Bx|1x2；ABx|x1故选：D【点评】考查描述法的定义，一元二次不等式的解法，以及并集的运算2（5分）设xZ，集合A是奇数集，集合B是偶数集若命题p：xA，2xB，则（）Ap：xA，2xBBp：xA，2xBCp：xA，2xBDp：xA，2xB【分析】“全称命题”的否定一定是“存在性命题”据此可解决问题【解答】解：“全称命题”的否定一定是“存在性命题”，命题p：xA，2xB 的否定是：p：xA，2xB故选：C【点评】本小题主要考查命题的否定、命题的否定的应用等基础知识属于基础题命题的否定即命题的对立面“全称量词”与“存在量词”正好构成了意义相反的表述如“对所有的都成立”与“至少有
10、一个不成立”；“都是”与“不都是”等，所以“全称命题”的否定一定是“存在性命题”，“存在性命题”的否定一定是“全称命题”3（5分）阅读如图所示的程序，则运行结果为（）A1B2C5D7【分析】阅读如图所示的程序，计算x、y的值，并输出y【解答】解：阅读如图所示的程序知，该程序运行结果为计算x2213，y3+25；输出y5故选：C【点评】本题考查了伪代码表示的程序运行问题，是基础题4（5分）下列各函数中，最小值为2的是（）AB，CD【分析】利用基本不等式的性质即可得出【解答】解：对于A，x0，2，当且仅当x1时取等号因为只有一个正确，故选：A【点评】熟练掌握基本不等式的性质是解题的关键5（5分）直
11、线ax+by+10（a，b0）过点（1，1），则的最小值为（）A10B1C4D9【分析】由条件可得a+b1，则可将原式表示为（）（a+b），再结合基本不等式即可求出最值【解答】解：将点（1，1）代入直线得a+b1，则（）（a+b）1+4+5+29，当仅当a，b时取等，故选：D【点评】本题考查基本不等式及其应用，给原式乘上（a+b）是关键，属于中档题6（5分）若m，n是两条不同的直线，是三个不同的平面，mn，mn，m，nmn，mn，mn若m，n，mn，则则以上说法中正确的有（）个A1B2C3D4【分析】在中，由线面垂直的判定定理得n；在中，m与n平行或异面；在中，由线面垂直的判定定理得n；在中，
12、与相交或平行【解答】解：由m，n是两条不同的直线，是三个不同的平面，知：在中，mn，m，由线面垂直的判定定理得n，故正确；在中，m，n，则m与n平行或异面，故错误；在中，mn，m，由线面垂直的判定定理得n，故正确；在中，若m，n，mn，则与相交或平行，故错误故选：B【点评】本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面的性质等基础知识，考查运算求解能力，是中档题7（5分）函数f（x）xcosx+x在，上的图象大致为（）ABCD【分析】分析函数的奇偶性，零点个数及f（）的符号，利用排除法，可得答案【解答】解：f（x）xcos（x）xxcosxxf（x），故函数为奇函数，图象关于原点对称，排除
13、C，令函数f（x）xcosx+x0，则x0，或x，故函数有三个零点，排除D，由f（）0，排除B，故选：A【点评】本题考查的知识点是函数的图象，利用排除法，是解答此类问题最常用的方法8（5分）已知曲线C1：ysinx，C2：ycos（2x），则下面结论正确的是（）A把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线C2B把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线C2C把C1上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线C2D把C1上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不
14、变，再把得到的曲线向右半移个单位长度，得到曲线C2【分析】由题意利用诱导公式、函数yAsin（x+）的图象变换规律，得出结论【解答】解：已知曲线C1：ysinxcos（x），C2：ycos（2x），把C1上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，可得ycos（2x）的图象，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线C2：cos（2x+）cos（2x）的图象，故选：C【点评】本题主要考查函数yAsin（x+）的图象变换规律，属于基础题9（5分）已知函数f（x+1）的定义域是1，2，求函数f（x）的定义域（）A（0，1B2，3C0，1D（2，3【分析】根据复合函数定义域之间的关系进行转化求解即可【
15、解答】解：f（x+1）的定义域是1，2，1x2，得2x+13，即f（x）的定义域为2，3，故选：B【点评】本题主要考查函数定义域的求解，结合复合函数定义域之间的关系是解决本题的关键10（5分）点（1，0）与（2，5）位于mx+y10异侧，则m的范围是（）A（2，1）B（1，2）C（1，+）D（，2）【分析】根据点在直线的异侧，等价为对应因式之积小于0，解不等式即可【解答】解：若两点A（1，0），B（2，5）在直线mxy+10的异侧，则（m+01）（2m+51）0，即2（m+2）（m1）0，得：2m1，即实数m的取值范围是（2，1），故选：A【点评】本题主要考查二元一次不等式表示平面区域，转化为
16、不等式是解决本题的关键，属于基础题11（5分）设向量，满足，若，则（）A3B4C5D6【分析】根据可设，再根据即可得出x1，yb，即得出，再根据即可得出b21，从而可求出答案【解答】解：，设，且，（x+1，y+b）（0，0），x1，yb，且，b21，故选：B【点评】本题考查了向量垂直的充要条件，利用向量坐标解决向量问题的方法，向量数量积、加法和减法的坐标运算，根据向量坐标求向量长度的方法，考查了计算能力，属于中档题12（5分）一段1米长的绳子，将其截为3段，问这三段可以组成三角形的概率是（）ABCD【分析】先设绳子其中两段的长度分别为x、y，分别表示出绳子随机地折成3段的x，y的约束条件和3段
17、构成三角形的约束条件，再画出约束条件表示的平面区域，利用面积测度即可求出构成三角形的概率【解答】解：设三段长分别为x，y，1xy，则总样本空间为其面积为，能构成三角形的事件的空间为，其面积为，则这三段可以组成三角形的概率是p故选：A【点评】本题主要考查了几何概型，考查三角形中的边角关系，考查运算求解能力，是中档题二、填空题（每题5分，共20分）13（5分）已知向量夹角为45，且，则3【分析】由已知可得，代入|2|可求【解答】解：，1|2|解得故答案为：3【点评】本题主要考查了向量的数量积 定义的应用，向量的数量积性质|是求解向量的模常用的方法14（5分）向边长为2的正方形内随机投10000粒豆
18、子，其中1968粒豆子落在到正方形的顶点A的距离不大于1的区域内（图中阴影区域），由此可估计的近似值为3.149（保留四位有效数字）【分析】根据已知条件求出满足条件的正方形ABCD的面积，及顶点A的距离不大于1的区域内（图中阴影区域）的面积比值等于频率即可求出答案【解答】解：满足条件的边长为2正方形ABCD中落在到正方形的顶点A的距离不大于1的区域内（图中阴影区域），则正方形的面积S正方形4，阴影部分的面积，故落在到正方形的顶点A的距离不大于1的区域内（图中阴影区域）的概率P，随机投10000粒豆子，其中1968粒豆子落在到正方形的顶点A的距离不大于1的区域内（图中阴影区域）的频率为：，即有：
19、p，解得：3.1488；故答案为：3.149【点评】几何概型的概率估算公式中的“几何度量”，可以为线段长度、面积、体积等，而且这个“几何度量”只与“大小”有关，而与形状和位置无关解决的步骤均为：求出满足条件A的基本事件对应的“几何度量”N（A），再求出总的基本事件对应的“几何度量”N，最后根据P求解考查频率约等于概率，属于基础题15（5分）现从80瓶水中抽取6瓶进行检验，利用随机数表抽取样本时，先将80瓶水编号，可以编为00，01，02，79，在随机数表中任选一个数，例如选出第6行第5列的数7（下面摘取了附表1的第6行至第10行）16 22 77 94 39 49 54 43 54 82 17
20、 37 93 23 78 87 35 20 96 43 84 26 34 91 6484 42 17 53 31 57 24 55 06 88 77 04 74 47 67 21 76 33 50 25 83 92 12 06 7663 01 63 78 5916 95 55 67 19 98 10 50 71 75 12 86 73 58 07 44 39 52 38 7933 21 12 34 29 78 64 56 07 82 52 42 07 44 38 15 51 00 13 42 99 66 02 79 5457 60 86 32 4409 47 27 96 54 49 17 46
21、 09 62 90 52 84 77 27 08 02 73 43 28规定从选定的数7开始向右读，依次得到的样本为77，39，49，54，43，17【分析】找到第6行第5列的数开始向右读，第一个符合条件的是77，第二个数是94（舍），三个数是39，第四个数是49，第五个数是54，第五个数是82（舍），直至取满6个数【解答】解：找到第6行第5列的数开始向右读，第一个符合条件的是77，第二个数是94，因为它大于80，舍去第三个数是39，第四个数是49，第五个数是54，第六个数是43第七个数是54，重复，舍去第八个数是82，因为它大于80，舍去第九个数是17故答案为：77，39，49，54，43，
22、17【点评】本题考查了简单随机抽样中的随机数表法，抽取时要注意超出编号的以及重复的要舍去，本题属基础题16（5分）设f（x）是定义在R上的奇函数，且当x0时，f（x）x2，若对任意的xt，t+2，不等式f（x+t）2f（x）恒成立，则实数t的取值范围是【分析】由当x0时，f（x）x2，函数是奇函数，可得当x0时，f（x）x2，从而f（x）在R上是单调递增函数，且满足2f（x）f（x），再根据不等式f（x+t）2f（x）f（x）在t，t+2恒成立，可得x+tx在t，t+2恒成立，即可得出答案【解答】解：当x0时，f（x）x2函数是奇函数当x0时，f（x）x2f（x），f（x）在R上是单调递增函数
23、，且满足2f（x）f（x），不等式f（x+t）2f（x）f（x）在t，t+2恒成立，x+tx在t，t+2恒成立，即：x（1+）t在t，t+2恒成立，t+2（1+）t解得：t，故答案为：，+）【点评】本题考查了函数恒成立问题及函数的奇偶性，难度适中，关键是掌握函数的单调性与奇偶性三、解答题17（10分）记数列an的前n项和为Sn，已知点（n，Sn）在函数f（x）x2+2x的图象上（I）求数列an的通项公式；（）设，求数列bn的前n项和【分析】（I）利用已知条件结合n2时，anSnSn1，求解数列的通项公式即可（）化简，利用裂项相消法求解数列的和即可【解答】解：（）由题意点（n，Sn）在函数f（x
24、）x2+2x的图象上，知当n2时，anSnSn12n+1；当n1时，a1S13，适合上式所以：an2n+1（），则【点评】本题考查数列与函数的综合，数列的通项公式以及数列求和的方法，考查转化思想以及计算能力18（12分）某校100名学生期中考试语文成绩的频率分布直方图如图所示，其中成绩分组区间是：50，60），60，70），70，80），80，90），90，100（1）求图中a的值；（2）根据频率分布直方图，估计这100名学生语文成绩的平均分；（3）若这100名学生语文成绩某些分数段的人数（x）与数学成绩相应分数段的人数（y）之比如表所示，求数学成绩在50，90）之外的人数分数段50，60）6
25、0，70）70，80）80，90）x：y1：12：13：44：5【分析】（1）由频率分布直方图的性质可10（2a+0.02+0.03+0.04）1，解方程即可得到a的值；（2）由平均数加权公式可得平均数为550.05+650.4+750.3+850.2+950.05，计算出结果即得；（3）按表中所给的数据分别计算出数学成绩在分数段的人数，从总人数中减去这些段内的人数即可得出数学成绩在50，90）之外的人数【解答】解：（1）依题意得，10（2a+0.02+0.03+0.04）1，解得a0.005；（2）这100名学生语文成绩的平均分为：550.05+650.4+750.3+850.2+950.0
26、573（分）；（3）数学成绩在50，60）的人数为：1000.055，数学成绩在60，70）的人数为：，数学成绩在70，80）的人数为：，数学成绩在80，90）的人数为：，所以数学成绩在50，90）之外的人数为：100520402510【点评】本题考查频率分布估计总体分布，解题的关键是理解频率分布直方图，熟练掌握频率分布直方图的性质，且能根据所给的数据建立恰当的方程求解19（12分）设f（x）cos2x2cos2（x+）+1（1）求f（x）的单调增区间；（2）在锐角ABC中角A，B，C的对边分别为a，b，c，若f（）1，a1，求ABC面积的最大值【分析】（1）利用三角函数的倍角公式以及辅助角公
27、式进行化简，结合函数的单调性进行求解即可（2）根据锐角三角形中的条件f（）1，先求出A，然后利用余弦定理以及基本不等式求出bc的范围，结合三角形的面积公式进行求解即可【解答】解：（1）f（x）cos2x2cos2（x+）+1cos2xcos2（x+）cos2xcos（2x+）cos2xcos2x+sin2xcos2x+sin2xsin（2x+），则由2k2x+2k+，kZ，得kxk+，kZ，即函数的单调递增区间为k，k+，kZ（2）若f（）1，则sin（2+）sin（A+）1，A是锐角，A+，得Aa1，由余弦定理得a2b2+c22bccosA，即1b2+c2bc2bcbcbc，bc1，当且仅当
28、bc时取等号，则三角形的面积SbcsinA，即三角形面积的最大值为【点评】本题主要考查解三角形的应用，利用辅助角公式进行化简，以及利用余弦定理，基本不等式以及三角形的面积公式进行转化是解决本题的关键20（12分）如图，在三棱柱ABCA1B1C1中，D，E分别是AC，BB1的中点（1）证明：BD平面AEC1；（2）若这个三棱柱的底面是等边三角形，侧面都是正方形，求二面角AEC1B的余弦值【分析】（）证明：取AC1的中点为F，连接DF，EF证明BEFD为平行四边形，得到BDEF然后证明BD平面AEC1（）设BC的中点为O，连接AO，以O为原点，以OB、OO1、OA分别为x、y、z轴建立空间直角坐标
29、系Oxyz，求出平面AEC1的法向量，平面BEC1的法向量利用空间向量的数量积求解二面角的余弦值即可【解答】（本小题满分12分）（）证明：取AC1的中点为F，连接DF，EFD，F分别为AC，AC1的中点，DFCC1，且2E为BB1的中点DFBE且DFBE，BEFD为平行四边形，BDEF4EF平面AEC1，BD平面AEC1，BD平面AEC16（）解：设BC的中点为O，连接AO，ABC为等边三角形，AOBC，侧面都是正方形，BB1AB，BB1BC，AB，BC平面ABC且ABBCB，BB1平面ABC，AO平面ABC，AOBB1，BCBB1B，AO平面BB1C1C8取B1C1中点为O1，连接OO1，则
30、OO1BC以O为原点，以OB、OO1、OA分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系Oxyz，如图设AB2，则，设平面AEC1的法向量为，则令x1，得，取平面BEC1的法向量为10则，故所求二面角的余弦值为12【点评】本题考查二面角的平面角的求法，直线与平面平行的判断定理的应用，考查空间想象能力以及计算能力21（12分）如图，在直角坐标系xOy中，圆O：x2+y24与x轴负半轴交于点A，过点A的直线AM、AN分别与圆O交于M、N两点（1）若kAM2，kAN，求AMN的面积；（2）若直线MN过点（1，0），证明：kAMkAN为定值，并求此定值【分析】（1）由题意可得ANAM，MN为圆O的直径，分别求得
31、AN，AM的方程，运用点到直线的距离公式和弦长公式，可得AM，AN，再由直角三角形的面积公式可得所求；（2）设M（x1，y1）、N（x2，y2），当直线MN斜率存在时，设直线MN的方程为yk（x1）（k0），代入圆方程，运用韦达定理和直线的斜率公式，化简整理可得定值；当直线MN斜率不存在时，直线MN的方程为x1，代入圆方程，求得M，N的坐标，由斜率公式计算即可得到所求定值，即可得答案【解答】解：（1）根据题意，圆O：x2+y24的圆心为（0，0），半径为2，A（2，0），若kAM2，则直线AM的方程为y02（x+2），即y2x+4，kAN，直线AN的方程为y0（x+2），即yx1，由题知kAM
32、kAN1，所以ANAM，MN为圆O的直径，所以圆心到直线AM的距离d，则AM2，又由中位线定理知，AN2d，即AN，则AMN的面积SAMAN；（2）证明：设M（x1，y1）、N（x2，y2），当直线MN斜率存在时，设直线MN的方程为yk（x1）（k0），代入圆的方程中有：x2+k2（x1）240，整理得：（1+k2）x22k2x+k240，则有x1+x2，x1x2，此时kAMkANk2，当直线MN斜率不存在时，直线MN的方程为x1，代入圆的方程可得M（1，），N（1，）；此时kAMkAN，综合可得：kAMkAN为定值，且此定值为【点评】本题考查直线与圆方程的应用，涉及直线与圆的位置关系，以及弦
33、长公式的运用，属于基础题22（12分）设 A（x1，y1），B（x2，y2）是函数f（x）x的图象上任意两点，若 M为 A，B的中点，且 M的横坐标为1（1）求y1+y2；（2）若Tn，nN*，求 Tn；（3）已知数列an的通项公式an（n1，nN*），数列an的前n项和为Sn，若不等式2nSnm2n4Tn+5对任意nN*恒成立，求m的取值范围【分析】（1）利用中点坐标公式即可得出；（2）由（1），当x1+x22时，有f（x1）+f（x2）2，利用此结论可得Tn（3）利用“错位相减法”、等比数列的前n项和公式即可得出Sn不等式2nSnm2n4Tn+5，即m3恒成立，故只需令bn，研究其单调性即
34、可得出【解答】解：（1）由已知点M为线段AB的中点，则：x1+x22，（2）由（1），当x1+x22时，有f（x1）+f（x2）2，故由Tn，Tn，2Tn2n22n，Tnn（3）由已知：Sn1+，+，Sn3不等式2nSnm2n4Tn+5即32n（n+3）m2n4n+5，也即（m3）2n3n8，即m3恒成立，故只需令bn，当n2时，bnbn1，当n4时，bnbn10，当n5时，bnbn10，故b1b2b3b4； b4b5b6，故（bn）maxb4，m3，解得：m【点评】本题考查了递推式的应用、“错位相减法”、等比数列的前n项和公式、中点坐标公式、数列的单调性、不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题
