1、2018-2019学年陕西省汉中市高二（下）期末数学试卷（文科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1（5分）已知集合Ax|x1，B0，1，2，则AB（）A0B1C0，1D0，1，22（5分）（1+i）2（）A2iB2iC1iD1+i3（5分）已知，若，则y的值是（）A1B1C4D44（5分）若角是第四象限角，满足，则sin2（）ABCD5（5分）设实数ab0，c0，则下列不等式一定正确的是（）ABcacbCacbc0D6（5分）已知两个不同的平面，和两条不同的直线a，b满足a，b，则“ab”是“（）A充分不必要条件B必要不充
2、分条件C充要条件D既不充分也不必要条件7（5分）从1，2，3，4，5中任意取2个不同的数，事件A：取到的两个数之和为偶数，则P（A）（）ABCD8（5分）函数f（x）sin（x+）（0）的最小正周期为，则该函数的图象（）A关于直线对称B关于直线对称C关于点对称D关于点对称9（5分）西游记三国演义水浒传和红楼梦是中国古典文学瑰宝，并称为中国古典小说四大名著某中学为了解本校学生阅读四大名著的情况，随机调查了100位学生，其中阅读过西游记或红楼梦的学生共有90位，阅读过红楼梦的学生共有80位，阅读过西游记且阅读过红楼梦的学生共有60位，则该校阅读过西游记的学生人数与该学校学生总数比值的估计值为（）A
3、0.5B0.6C0.7D0.810（5分）已知定义在R上的函数f（x）满足f（x）f（x），且函数f（x）在（，0）上是减函数，若af（1），bf（log2），cf（20.3），则a，b，c的大小关系为（）AcbaBacbCbcaDabc11（5分）已知三个月球探测器，共发回三张月球照片A，B，C，每个探测器仅发回一张照片甲说：照片A是发回的；乙说：发回的照片不是A就是B；丙说：照片C不是发回的，若甲、乙、丙三人中有且仅有一人说法正确，则发回照片B的探测器是（）ABCD以上都有可能12（5分）若双曲线的一条渐近线被圆x2+（y2）22所截得的弦长为2，则双曲线C的离心率为（）AB2CD二、填空
4、题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13（5分）抛物线y24x上的点P（4，m）到其焦点的距离为 14（5分）曲线y2x+lnx在x1处的切线方程为 15（5分）在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且B，b，a1，则c 16（5分）一直三棱柱的每条棱长都是3，且每个顶点都在球O的表面上，则球O的表面积为 三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第1721题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答必考题：共60分.17（12分）如图，在棱长为2的正方体ABCDA1B1C1D1中，E、F分别为棱C1D1、BC的中点（）求证
5、：DA1平面ABC1D1；（）求三棱锥DAEF的体积18（12分）已知数列an满足a11，an+1an2n+2（）证明：数列an+2n是等差数列；（）求数列an的前n项和Sn19（12分）某校举行“我对祖国知多少”的知识竞赛网上答题，高二年级共有1200名学生参加了这次竞赛为了解竞赛成绩情况，从中抽取了100名学生的成绩进行统计其中成绩分组区间为50，60），60，70），70，80），80，90），90，100，其频率分布直方图如图所示，请你解答下列问题：（1）求m的值；（2）若成绩不低于90分的学生就能获奖，问所有参赛学生中获奖的学生约为多少人；（3）根据频率分布直方图，估计这次平均分（用
6、组中值代替各组数据的平均值）20（12分）已知椭圆C：+1（ab0）的离心率为，且过点（，）（）求椭圆C的标准方程；（）设直线l：ykx+m（k0，m0）与椭圆C相交于A、B两点，且直线OA，AB，OB的斜率依次成等比数列，求直线l的斜率21（12分）已知函数f（x）ex+a（x+1）（1）讨论函数f（x）的单调性；（2）若函数f（x）有两个零点，求a的取值范围选修4-4：坐标系与参数方程22（10分）在直角坐标系xOy中，倾斜角为的直线l经过坐标原点O，曲线C1的参数方程为（为参数）以点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为4sin（1）求l与C1的极坐标方程；（
7、2）设l与C1的交点为O、A，l与C2的交点为O、B，且，求值选修4-5：不等式选讲23已知函数f（x）|x+1|+|x+a|（）当a1时，求不等式f（x）2x的解集；（）当不等式f（x）1的解集为R时，求实数a的取值范围2018-2019学年陕西省汉中市高二（下）期末数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1（5分）已知集合Ax|x1，B0，1，2，则AB（）A0B1C0，1D0，1，2【分析】进行交集的运算即可【解答】解：Ax|x1，B0，1，2；AB0故选：A【点评】考查描述法、列举法表示集
8、合的定义，以及交集的运算2（5分）（1+i）2（）A2iB2iC1iD1+i【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案【解答】解：（1+i）212+2i+i22i故选：A【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，是基础题3（5分）已知，若，则y的值是（）A1B1C4D4【分析】根据即可得出y40，解出y4【解答】解：；y40；y4故选：C【点评】考查向量坐标的定义，以及平行向量的坐标关系4（5分）若角是第四象限角，满足，则sin2（）ABCD【分析】由题意利用任意角同角三角函数的基本关系，求得sin2的值【解答】解：角是第四象限角，满足，平方可得：1+sin2，sin2，故选：B【点评】本
9、题主要考查同角三角函数的基本关系，二倍角的正弦函数公式在三角函数求值中的应用，属于基础题5（5分）设实数ab0，c0，则下列不等式一定正确的是（）ABcacbCacbc0D【分析】由不等式的性质及对数的运算得：因为ab0，所以，当c1时，cacb，acbc（ab）c0，因为ab0，所以lnalnb，所以ln0，得解【解答】解：因为ab0，所以，故A错误，当c1时，cacb，故B错误，acbc（ab）c0，故C错误，因为ab0，所以lnalnb，所以ln0，故D正确，综合得：选项D正确，故选：D【点评】本题考查了不等式的性质及对数的运算，属简单题6（5分）已知两个不同的平面，和两条不同的直线a，
10、b满足a，b，则“ab”是“（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件【分析】结合长方体分析线面关系，举反例即可【解答】（1）证明充分性，如图所示：设为长方体上底面，a；设为长方体前面，b；满足ab，但，即“ab”不是“的充分条件；（1）证明必要性，如图所示：设为长方体上底面，a；设为长方体下底面，b；满足，但直线a与b异面，即“ab”不是“的必要条件；故选：D【点评】本题考查命题真假的判断，是中档题，解题时要认真审题，注意空间中线线、线面间相互关系的合理运用，充分使用规则几何模型解题7（5分）从1，2，3，4，5中任意取2个不同的数，事件A：取到的两个数之和为偶数，
11、则P（A）（）ABCD【分析】从1，2，3，4，5中任意取2个不同的数，共有10种不同的取法，取到的两个数之和为偶数共有：1和3，1和5，3和5，2和4，共4种不同的结果，利用古典概型概率公式计算得解【解答】解：从1，2，3，4，5中任意取2个不同的数，共有10种不同的取法取到的两个数之和为偶数共有：1和3，1和5，3和5，2和4，共4种不同的结果所以P（A），故选：B【点评】本题主要考查了古典概型概率公式，考查分类思想，属于基础题8（5分）函数f（x）sin（x+）（0）的最小正周期为，则该函数的图象（）A关于直线对称B关于直线对称C关于点对称D关于点对称【分析】根据三角函数的 周期求出，结
12、合三角函数的对称性分别进行判断即可【解答】解：f（x）的最小正周期为，得4，则f（x）sin（4x+），由4x+k+得x+，kZ，当k0时，对称轴为x，由4x+k得x，kZ，当k0时，对称中心为（，0），故正确的是B，故选：B【点评】本题主要考查三角函数对称性的应用，求出函数的解析式，结合三角函数的对称性是解决本题的关键9（5分）西游记三国演义水浒传和红楼梦是中国古典文学瑰宝，并称为中国古典小说四大名著某中学为了解本校学生阅读四大名著的情况，随机调查了100位学生，其中阅读过西游记或红楼梦的学生共有90位，阅读过红楼梦的学生共有80位，阅读过西游记且阅读过红楼梦的学生共有60位，则该校阅读过西
13、游记的学生人数与该学校学生总数比值的估计值为（）A0.5B0.6C0.7D0.8【分析】作出维恩图，得到该学校阅读过西游记的学生人数为70人，由此能求出该学校阅读过西游记的学生人数与该学校学生总数比值的估计值【解答】解：某中学为了了解本校学生阅读四大名著的情况，随机调查了100位学生，其中阅读过西游记或红楼梦的学生共有90位，阅读过红楼梦的学生共有80位，阅读过西游记且阅读过红楼梦的学生共有60位，作出维恩图，得：该学校阅读过西游记的学生人数为70人，则该学校阅读过西游记的学生人数与该学校学生总数比值的估计值为：0.7故选：C【点评】本题考查该学校阅读过西游记的学生人数与该学校学生总数比值的估
14、计值的求法，考查维恩图的性质等基础知识，考查推理能力与计算能力，属于基础题10（5分）已知定义在R上的函数f（x）满足f（x）f（x），且函数f（x）在（，0）上是减函数，若af（1），bf（log2），cf（20.3），则a，b，c的大小关系为（）AcbaBacbCbcaDabc【分析】由已知可得函数f（x）为偶函数，根据偶函数的对称性可知，函数f（x）在（0，+）上是增函数，即可比大小【解答】解：f（x）f（x），即函数f（x）为偶函数，函数f（x）在（，0）上是减函数，根据偶函数的对称性可知，函数f（x）在（0，+）上是增函数，af（1）f（1），bf（2），cf（20.3），而120.
15、32，则acb，故选：B【点评】本题主要考查了利用偶函数的对称性及单调比较大小，属于基础试题11（5分）已知三个月球探测器，共发回三张月球照片A，B，C，每个探测器仅发回一张照片甲说：照片A是发回的；乙说：发回的照片不是A就是B；丙说：照片C不是发回的，若甲、乙、丙三人中有且仅有一人说法正确，则发回照片B的探测器是（）ABCD以上都有可能【分析】先阅读题意再进行简单的合情推理即可得解【解答】解：如果甲对，则发回的照片是C，故丙也对，不符合条件，故甲错误；如果乙对，则丙错误，故照片C是发回的得到照片A是由发回，照片B是由发回符合逻辑，故照片B是由发回；如果丙对，则照片C是由发出，甲错误，可以推出
16、发出照片B，发出照片A，故照片B是由发出，综合得：发回照片B的探测器是，故选：A【点评】本题考查了阅读能力及简单的合情推理，属中档题12（5分）若双曲线的一条渐近线被圆x2+（y2）22所截得的弦长为2，则双曲线C的离心率为（）AB2CD【分析】写出双曲线的渐近线方程，由圆的方程得到圆心坐标与半径，结合点到直线的距离公式与垂径定理列式求解【解答】解：双曲线的渐近线方程为y，由对称性，不妨取y，即bxay0圆x2+（y2）22的圆心坐标为（0，2），半径为，则圆心到准线的距离d，解得e故选：B【点评】本题考查双曲线的简单性质，考查直线与圆位置关系的应用，是中档题二、填空题（本大题共4小题，每小题
17、5分，共20分）13（5分）抛物线y24x上的点P（4，m）到其焦点的距离为5【分析】点P到抛物线焦点的距离等于它到准线的距离，点P到抛物线的准线的距离为4+，从而得到结论【解答】解：由抛物线的定义可得，点P到抛物线焦点的距离等于它到准线的距离，点P到抛物线的准线的距离为4+4+15，故答案为：5【点评】本题考查抛物线的定义、标准方程，体现了转化的数学思想，利用抛物线的定义是解题的关键14（5分）曲线y2x+lnx在x1处的切线方程为x+y+10【分析】求出曲线的导函数，把x1代入即可得到切线的斜率，然后根据（1，2）和斜率写出切线的方程即可【解答】解：由函数y2x+lnx知y2+，把x1代入
18、y得到切线的斜率k2+11，切点坐标为（1，2），切线方程为：y+2（x1），即x+y+10故答案为：x+y+10【点评】考查学生会根据曲线的导函数求切线的斜率，从而利用切点和斜率写出切线的方程15（5分）在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且B，b，a1，则c2【分析】直接由余弦定理可得b2a2+c22accosB，代入数值得到关于c的一元二次方程，解方程可得c【解答】解：B，b，a1，由余弦定理，有b2a2+c22accosB，即c2c20，c2故答案为：2【点评】本题考查了余弦定理的应用和一元二次方程的解法，属基础题16（5分）一直三棱柱的每条棱长都是3，且每个顶点都在球O
19、的表面上，则球O的表面积为21【分析】由题意，三棱柱为正三棱柱，正三棱柱的两个底面的中心的连线的中点就是球的球心，球心与顶点的连线长就是半径，求出球的半径，即可求出球的表面积【解答】解：由题意，三棱柱为正三棱柱，正三棱柱的两个底面的中心的连线的中点就是球的球心，球心与顶点的连线长就是半径，r，球的表面积为：4r24（）221故答案为：21【点评】本题考查正三棱柱的外接球的表面积的求法，明确球心、球的半径与正三棱柱的关系是本题解决的关键，是基础题三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第1721题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答必考
20、题：共60分.17（12分）如图，在棱长为2的正方体ABCDA1B1C1D1中，E、F分别为棱C1D1、BC的中点（）求证：DA1平面ABC1D1；（）求三棱锥DAEF的体积【分析】（）先证明直线DA1平面ABC1D1，然后通过直线与平面垂直的判断定理证明DA1平面ABC1D1（）由VDAEFVEADF，利用等积法能求出三棱锥DAEF的体积【解答】（）证明：棱长为2的正方体ABCDA1B1C1D1中A1D1DA是正方形，DA1AD1，AB平面A1D1DA，DA1平面A1D1DA，ABDA1，又ABAD1A，直线DA1平面ABC1D1，又ABAD1A；直线DA1平面ABC1D1（）解：DD1平面
21、ADF，DD12，SADFADAB2，三棱锥DAEF的体积VDAEFVEADF22【点评】本题考查异面直线垂直的证明，考查三棱锥的体积的求法，考查在线段AA1求一点G，使得直线AE平面DFG的求法，解题时要注意空间思维能力的培养18（12分）已知数列an满足a11，an+1an2n+2（）证明：数列an+2n是等差数列；（）求数列an的前n项和Sn【分析】（）运用等差数列的定义，结合条件即可得证；（）由等差数列的通项公式可得an2n+12n，再由数列的分组求和，以及等差数列和等比数列的求和公式，化简可得所求和【解答】解：（）证明：a11，an+1an2n+2可得an+1+2n+1an+2n+2
22、即有an+1+2n+1（an+2n）2数列an+2n是首项为3，公差为2的等差数列；（）an+2n3+2（n1）2n+1，即an2n+12n，则Sn（3+5+2n+1）（2+4+2n）n（2n+4）n2+2n2n+1+2【点评】本题考查等差数列的定义和通项公式、求和公式，等比数列的求和公式，考查数列的分组求和，化简运算能力，属于中档题19（12分）某校举行“我对祖国知多少”的知识竞赛网上答题，高二年级共有1200名学生参加了这次竞赛为了解竞赛成绩情况，从中抽取了100名学生的成绩进行统计其中成绩分组区间为50，60），60，70），70，80），80，90），90，100，其频率分布直方图如图
23、所示，请你解答下列问题：（1）求m的值；（2）若成绩不低于90分的学生就能获奖，问所有参赛学生中获奖的学生约为多少人；（3）根据频率分布直方图，估计这次平均分（用组中值代替各组数据的平均值）【分析】（1）由频率分布直方图的性质得（0.005+0.02+0.04+m+0.005）101，由此能求出m（2）由频率分布直方图的性质得成绩不低于90分的频率为0.05，由此能求出所有参赛学生中获奖的学生人数（3）根据频率分布直方图，能估计这次平均分【解答】解：（1）由频率分布直方图的性质得：（0.005+0.02+0.04+m+0.005）101，解得m0.03（2）由频率分布直方图的性质得：成绩不低于
24、90分的频率为：0.005100.05，成绩不低于90分的学生就能获奖，所有参赛学生中获奖的学生约为12000.0560人（3）根据频率分布直方图，估计这次平均分为：550.00510+650.0210+750.0410+850.0310+950.0051076【点评】本题考查实数值、获奖人数、平均分的求法，考查频率分布直方图的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题20（12分）已知椭圆C：+1（ab0）的离心率为，且过点（，）（）求椭圆C的标准方程；（）设直线l：ykx+m（k0，m0）与椭圆C相交于A、B两点，且直线OA，AB，OB的斜率依次成等比数列，求直线l的斜率【分析】（）由题意
25、列关于a，b，c的方程组，求解可得a，b的值，则椭圆方程可求；（）联立直线方程与椭圆方程，利用根与系数的关系可得A，B横纵坐标的和与积，结合直线OA，AB，OB的斜率依次成等比数列列式求直线l的斜率【解答】解：（）由题意得，解得a24，b21椭圆C的方程为；（）联立，得（1+4k2）x2+8kmx+4（m21）0由题意，16（4k2m2+1）0设A（x1，y1），B（x2，y2），则，由直线OA，AB，OB的斜率依次成等比数列，得，即，化简得：直线l的斜率k【点评】本题考查椭圆方程的求法，考查直线与椭圆位置关系的应用，考查计算能力，是中档题21（12分）已知函数f（x）ex+a（x+1）（1）
26、讨论函数f（x）的单调性；（2）若函数f（x）有两个零点，求a的取值范围【分析】f（x）ex+a（1）对a分类讨论，利用导数即可得出单调性（2）由（1）可知，当a0时，f（x）在（，+）上单调递增，没有两个零点0当a0时，xln（a）为f（x）的唯一极小值点，若函数f（x）有两个零点，则fmin（x）0，进而得出结论【解答】解：f（x）ex+a（1）当a0，f（x）0，函数f（x）在（，+）上单调递增；当a0时，令f（x）0得xln（a），当x（，ln（a）时，f（x）0当x（ln（a），+）时，f（x）0，故f（x）在（，ln（a）上单调递减，在（ln（a），+）上单调递增，综上，当a0时，
27、f（x）在（，+）上单调递增；当a0时，f（x）在（，ln（a）上单调递减，在（ln（a），+）上单调递增（2）由（1）可知，当a0时，f（x）在（，+）上单调递增，没有两个零点0当a0时，xln（a）为f（x）的唯一极小值点，故若函数f（x）有两个零点，则fmin（x）0，即aln（a）0，得a1，当a1时，ln（a）0，因为，f（ln（a）0，所以f（x）在（，ln（a）有一个零点当x+，f（x）+，故存在x0（ln（a），+），使f（x0）0，所以f（x）在（ln（a），+）有一个零点，所以a的取值范围值是（，1）【点评】本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值，方程与不等式的解法、
28、分类讨论方法、等价转化方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题选修4-4：坐标系与参数方程22（10分）在直角坐标系xOy中，倾斜角为的直线l经过坐标原点O，曲线C1的参数方程为（为参数）以点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为4sin（1）求l与C1的极坐标方程；（2）设l与C1的交点为O、A，l与C2的交点为O、B，且，求值【分析】（1）倾斜角为的直线l经过坐标原点O，可以直接写出（R）；利用sin2+cos21，把曲线C1的参数方程化为普通方程，然后再利用siny，cosx，2x2+y2，把普通方程化成极坐标方程；（2）设A（1，），B（2，），则14cos
29、，24sin，已知，所以有，运用二角差的正弦公式，可以得到，根据倾斜角的范围，可以求出值【解答】解：（1）因为l经过坐标原点，倾斜角为，故l的极坐标方程为（R）C1的普通方程为（x2）2+y24，可得C1的极坐标方程为4cos（2）设A（1，），B（2，），则14cos，24sin所以|AB|12|4|cossin|由题设，因为0，所以【点评】本题考查了已知曲线的参数方程化成极坐标方程重点考查了极坐标下求两点的距离属中档题选修4-5：不等式选讲23已知函数f（x）|x+1|+|x+a|（）当a1时，求不等式f（x）2x的解集；（）当不等式f（x）1的解集为R时，求实数a的取值范围【分析】（）根
30、据x的范围得到分段函数f（x）的解析式，从而分别在三段区间上求解不等式，取并集得到所求解集；（）由绝对值三角不等式得到f（x）的最小值，则最小值大于1，得到不等式，解不等式求得结果【解答】解：（）a1时，f（x）当x1时，f（x）2x2x，即x0，此时x1，当1x1时，f（x）22x，得x1，1x1，当x1时，f（x）2x2x，无解，综上，f（x）2x的解集为（，1）（）f（x）|x+1|+|x+a|x+ax1|a1|，即f（x）的最小值为|a1|，要使f（x）1的解集为R，|a1|1恒成立，即a11或a11，得a2或a0，即实数a的取值范围是（，0）（2，+）【点评】本题考查含绝对值不等式的求解、绝对值三角不等式的应用问题，属于常规题型
