1、备战2020中考数学解题方法专题研究专题5 几何变换法专题【方法简介】几何变换(geometric transformation)是指从具有几何结构之集合至其自身或其他此类集合的一种对射。几何变换是一种数学解题的方法思路。在几何的解题中,当题目给出的条件显得不够或者不明显时,我们可以将图形作一定的变换,这样将有利于发现问题的隐含条件,使问题得以突破。在几何题或代数几何综合题的解证过程中,经常会使用几何变换的观点来解决问题。从图形的特点出发,利用几何变换,可将图形的全部或一部分移动到一个新的位置,构成一个新的关系,从而使问题获得解决。这种几何变换不改变被移动部分图形的形状和大小,而只是它的位置发
2、生了变化,这种移动有利于找出图形之间的关系,从而使解题更为简捷。移动图形一般有三种方法:(1)平移法;(2)旋转法:利用旋转变换;(3)对称:可利用中心对称和轴对称。【真题演练】1. ( 山东青岛,3,3分)下列四个图形中,既是轴对称图形又是中心对称图形的是()A. B. C. D.2. 新疆建设兵团,5,5分)如图所示,将一个含30角的直角三角板ABC绕点A旋转,使得点B,A,C在同一条直线上,则三角板ABC旋转的度数是( )A60 B90 C120 D1503. (2019,山西,3分)如图,在ABC中,BAC=90,AB=AC=10cm,点D为ABC内一点,BAD=15,AD=6cm,连
3、接BD,将ABD绕点A逆时针方向旋转,使AB与AC重合,点D的对应点E,连接DE,DE交AC于点F,则CF的长为 cm.4. (2018临沂)将矩形ABCD绕点A顺时针旋转(0360),得到矩形AEFG(1)如图,当点E在BD上时求证:FD=CD;(2)当为何值时,GC=GB?画出图形,并说明理由【名词释义】在数学问题的研究中,常常运用变换法,把复杂性问题转化为简单性的问题而得到解决。所谓变换是一个集合的任一元素到同一集合的元素的一个一一映射。中学数学中所涉及的变换主要是初等变换。有一些看来很难甚至于无法下手的习题,可以借助几何变换法,化繁为简,化难为易。另一方面,也可将变换的观点渗透到中学数
4、学教学中。将图形从相等静止条件下的研究和运动中的研究结合起来,有利于对图形本质的认识。几何变换包括:(1)平移;(2)旋转;(3)对称。1.平移变换 把图形中的某一个线段或者一个角移动到一个新的位置,使图形中分散的条件紧密地结合到一起。一般有2种方法:其一是平移已知条件,其二是平移所求问题,把所求问题转化,其实就是逆向证明。几何题多数都是逆向思考的。2.旋转变换 把平面图形绕旋转中心,旋转一个定角,使分散的条件集中在一起. 3.对称变换 通过作关于某一直线或一点的对称图,把图形中的图形对称到另一个位置上,使分散的条件集中在一起。当出现以下两种情况时,经常考虑用此变换:1.出现了明显的轴对称、中
5、心对称条件时。2.出现了明显的垂线条件时。【典例示例】例题1:( 四川省绵阳市,17,3分)如图,点O是边长为的等边ABC的内心,将OBC绕点O逆时针旋转30得到OB1C1,B1C1交BC于点D,B1C1交AC于点E,则DE_例题2:(2019湖北省咸宁市3分)如图,先有一张矩形纸片ABCD,AB4,BC8,点M,N分别在矩形的边AD,BC上,将矩形纸片沿直线MN折叠,使点C落在矩形的边AD上,记为点P,点D落在G处,连接PC,交MN于点Q,连接CM下列结论:CQCD;四边形CMPN是菱形;P,A重合时,MN2;PQM的面积S的取值范围是3S5其中正确的是(把正确结论的序号都填上)【强化巩固】
6、1. (2018黑龙江龙东)(3.00分)下列图形中,既是轴对称图形又是中心对称图形的是()ABCD2. (2017山东聊城)如图,将ABC绕点C顺时针旋转,使点B落在AB边上点B处,此时,点A的对应点A恰好落在BC边的延长线上,下列结论错误的()ABCB=ACABACB=2BCBCA=BACDBC平分BBA3. (2019湖北省荆门市3分)如图,RtOCB的斜边在y轴上,OC,含30角的顶点与原点重合,直角顶点C在第二象限,将RtOCB绕原点顺时针旋转120后得到OCB,则B点的对应点B的坐标是()A(,1)B(1,)C(2,0)D(,0)4. (2019,山东枣庄,3分)如图,将ABC沿B
7、C边上的中线AD平移到ABC的位置已知ABC的面积为16,阴影部分三角形的面积9若AA1,则AD等于()A2B3C4D5. (2019广西池河3分)如图,在平面直角坐标系中,A(2,0),B(0,1),AC由AB绕点A顺时针旋转90而得,则AC所在直线的解析式是6. (2018广西南宁)(8.00分)如图,在平面直角坐标系中,已知ABC的三个顶点坐标分别是A(1,1),B(4,1),C(3,3)(1)将ABC向下平移5个单位后得到A1B1C1,请画出A1B1C1;(2)将ABC绕原点O逆时针旋转90后得到A2B2C2,请画出A2B2C2;(3)判断以O,A1,B为顶点的三角形的形状(无须说明理
8、由)7. ( 四川省巴中市,26,10分)如图,方格中每个小正方形的边长都是单位1,ABC在平面直角坐标系中的位置如图.(1)画出将ABC向右平移2个单位得到的A1B1C1;(2)画出将ABC绕点O顺时针方向旋转900得到的A2B2C2;(3)求A1B1C1与A2B2C2重合部分的面积.8. (2018自贡)如图,已知AOB=60,在AOB的平分线OM上有一点C,将一个120角的顶点与点C重合,它的两条边分别与直线OA、OB相交于点D、E(1)当DCE绕点C旋转到CD与OA垂直时(如图1),请猜想OE+OD与OC的数量关系,并说明理由;(2)当DCE绕点C旋转到CD与OA不垂直时,到达图2的位置,(1)中的结论是否成立?并说明理由;(3)当DCE绕点C旋转到CD与OA的反向延长线相交时,上述结论是否成立?请在图3中画出图形,若成立,请给于证明;若不成立,线段OD、OE与OC之间又有怎样的数量关系?请写出你的猜想,不需证明6