1、2018-2019学年四川省攀枝花市高二（上）期末数学试卷（文科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1（5分）抛物线y24x的准线方程为（）Ax1Bx1Cy1Dy12（5分）从含有10件正品、2件次品的12件产品中，任意抽取3件，则必然事件是（）A3件都是正品B3件都是次品C至少有1件次品D至少有1件正品3（5分）如图是8位学生的某次数学测试成绩的茎叶图，则下列说法正确的是（）A众数为7B极差为18C中位数是64.5D平均数是644（5分）如图是2018年第一季度五省GDP情况图，则下列描述中不正确的是（）A与去年同期相比201
2、8年第一季度五个省的GDP总量均实现了增长B2018年第一季度GDP增速由高到低排位第5的是浙江省C2018年第一季度GDP总量和增速由高到低排位均居同一位的省只有1个D去年同期河南省的GDP总量不超过4000亿元5（5分）若某群体中的成员只用现金支付的概率为0.45，既用现金支付也用非现金支付的概率为0.15，则不用现金支付的概率为（）A0.3B0.4C0.6D0.76（5分）执行如图所示的程序框图，当输出的值为1时，则输入x的值是（A1B1或C或1D1或7（5分）椭圆中，以点M（2，1）为中点的弦所在的直线斜率为（）ABCD8（5分）直线xy+m0与圆x2+y22x10有两个不同交点的一个
3、充分不必要条件是（）A0m1B4m2Cm1D3m19（5分）下列说法中，正确的是（）A“若，则”的逆命题是真命题B命题“p：x0R，lgx00”的否定是“x0R，lgx00”C“若ABB，则AB”的逆否命题是真命题D“在ABC中，若，则”的逆否命题假命题10（5分）已知双曲线x2y21，点F1，F2为其两个焦点，点P为双曲线上一点，若PF1PF2，则以F1，F2为焦点且经过P的椭圆的离心率等于（）A.BC.D.11（5分）下列说法正确的是（）设某大学的女生体重y（kg）与身高x（cm）具有线性相关关系，根据一组样本数据（xi，yi）（i1，2，3，n），用最小二乘法建立的线性回归方程为，则若该
4、大学某女生身高增加1cm，则其体重约增加0.85kg；关于x的方程x2mx+10（m2）的两根可分别作为椭圆和双曲线的离心率；过定圆C上一定点A作圆的动弦AB，O为原点，若，则动点P的轨迹为椭圆；已知F是椭圆的左焦点，设动点P在椭圆上，若直线FP的斜率大于，则直线OP（O为原点）的斜率的取值范围是ABCD12（5分）已知双曲线右支上的一点P，经过点P的直线与双曲线C的两条渐近线分别相交于A，B两点若点A，B分别位于第一，四象限，O为坐标原点当时，为（）AB9CD二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分13（5分）已知某地区中小学生人数如图所示，用分层抽样的方法抽取200名学生进行调查，
5、则抽取的高中生人数为 14（5分）运行如图所示的程序框图，则输出的所有y值之和为 15（5分）在区间0，1上随机取两个数x，y，则事件“9x+8y6”的概率为 16（5分）已知A，B分别为椭圆的右顶点和上顶点，平行于AB的直线l与x轴、y轴分别交于C、D两点，直线CE、DF均与椭圆相切，则CE和DF的斜率之积等于 三、解答题：本大题共6小题，共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17（10分）已知命题p：椭圆的焦点在x轴上；命题q：关于x的方程4x2+4（m2）x+10无实根（）当“命题p”和“命题q”为真命题时，求各自m的取值范围；（）若“p且q”是假命题，“p或q”是真命题，求实数
6、m的取值范围18（12分）求适合下列条件的双曲线的标准方程：（）焦点在y轴上，虚轴长为8，离心率为；（）经过点，且与双曲线有共同的渐近线19（12分）2018年9月16日下午5时左右，今年第22号台风“山竹”在广东江门川岛镇附近正面登陆，给当地人民造成了巨大的财产损失，某记者调查了当地某小区的100户居民由于台风造成的经济损失，将收集的数据分成0，2000，（2000，4000，（4000，6000，（6000，8000，（8000，10000五组，并作出如下频率分布直方图（）根据频率分布直方图估计该小区居民由于台风造成的经济损失的众数和平均值（）“一方有难，八方支援”，台风后居委会号召小区居
7、民为台风重灾区捐款，记者调查的100户居民捐款情况如下表格，在图表格空白处填写正确数字，并说明是否有99%以上的把握认为捐款数额多于或少于500元和自身经济损失是否到4000元有关？经济损失不超过4000元经济损失超过4000元合计捐款超过500元60捐款不超过500元10合计参考公式：，其中na+b+c+dP（K2k）0.1000.0500.0100.001k2.7063.8416.63510.82820（12分）已知抛物线（p0），椭圆（0b4），O为坐标原点，F为抛物线的焦点，A是椭圆的右顶点，AOF的面积为4（）求抛物线C1的方程；（）过F点作直线l交C1于C、D两点，求OCD面积的最
8、小值21（12分）某公司为了确定下一年度投入某种产品的宣传费用，需了解年宣传费x（单位：万元）对年销量y（单位：吨）和年利润（单位：万元）的影响对近6年宣传费xi和年销量yi（i1，2，3，4，5，6）的数据做了初步统计，得到如下数据：年份201320142015201620172018年宣传费x（万元）384858687888年销售量y（吨）16.818.820.722.424.025.5经电脑模拟，发现年宣传费x（万元）与年销售量y（吨）之间近似满足关系式yaxb（a，b0）即lnyblnx+lna，对上述数据作了初步处理，得到相关的值如下表：75.324.618.3101.4（）从表中所
9、给出的6年年销售量数据中任选2年做年销售量的调研，求所选数据中至多有一年年销售量低于20吨的概率（）根据所给数据，求y关于x的回归方程；（）若生产该产品的固定成本为200（万元），且每生产1（吨）产品的生产成本为20（万元）（总成本固定成本+生产成本+年宣传费），销售收入为R（x）x+（40+20e）+500（万元），假定该产品产销平衡（即生产的产品都能卖掉），则2019年该公司应该投入多少宣传费才能使利润最大？（其中e2.71828）附：对于一组数据（u1，v1），（u2，v2），（un，vn），其回归直线vu+中的斜率和截距的最小二乘估计分别为，22（12分）在圆内有一点，Q为圆C1上一动
10、点，线段PQ的垂直平分线与C1Q的连线交于点C（）求点C的轨迹方程（）若动直线l与点C的轨迹交于M、N两点，且以MN为直径的圆恒过坐标原点O问是否存在一个定圆与动直线l总相切若存在，求出该定圆的方程；若不存在，请说明理由2018-2019学年四川省攀枝花市高二（上）期末数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1（5分）抛物线y24x的准线方程为（）Ax1Bx1Cy1Dy1【分析】利用抛物线的基本性质，能求出抛物线y24x的准线方程【解答】解：y24x，2p4，p2，抛物线y24x的准线方程为x1故选：
11、A【点评】本题考查抛物线的简单性质，是基础题解题时要认真审题，仔细解答2（5分）从含有10件正品、2件次品的12件产品中，任意抽取3件，则必然事件是（）A3件都是正品B3件都是次品C至少有1件次品D至少有1件正品【分析】利用必然事件、不可能事件、随机事件的定义直接求解【解答】解：从含有10件正品、2件次品的12件产品中，任意抽取3件，则必然事件是至少有1件正品故选：D【点评】本题考查必然事件、不可能事件、随机事件的判断，考查必然事件、不可能事件、随机事件的定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题3（5分）如图是8位学生的某次数学测试成绩的茎叶图，则下列说法正确的是（）A众数为7B极差为18C
12、中位数是64.5D平均数是64【分析】根据茎叶图中的数据，计算这组数据的中位数、众数、极差和平均数即可【解答】解：这组数据的众数是67，故A错误；极差是755817，故B错误；根据茎叶图中的数据知，这组数据的中位数是（62+67）64.5，故C正确；平均数是 （58+59+61+62+67+67+71+75）65，故D错误故选：C【点评】本题利用茎叶图考查了数据的中位数、众数、平均数和极差的应用问题，是基础题4（5分）如图是2018年第一季度五省GDP情况图，则下列描述中不正确的是（）A与去年同期相比2018年第一季度五个省的GDP总量均实现了增长B2018年第一季度GDP增速由高到低排位第5
13、的是浙江省C2018年第一季度GDP总量和增速由高到低排位均居同一位的省只有1个D去年同期河南省的GDP总量不超过4000亿元【分析】20178第一季度GDP总量和增速由高到低排位均居同一位的省有江苏和山东【解答】解：由2018年第一季度五省GDP情况图，知：在A中，与去年同期相比，2018年第一季度五个省的GDP总量均实现了增长，故A正确，在B中，2017年第一季度GDP增速由高到低排位第5的是浙江省，故B正确在C中，2018年第一季度GDP总量和增速由高到低排位均居同一位的省有江苏和山东，共2个，故C错误；在D中，去年同期河南省的GDP总量不超过4000亿元，故D正确；故选：C【点评】本题
14、考查命题真假的判断，考查折线图、柱形图等基础知识，考查运算求解能力、数据处理能力，考查函数与方程思想、数形结合思想，是基础题5（5分）若某群体中的成员只用现金支付的概率为0.45，既用现金支付也用非现金支付的概率为0.15，则不用现金支付的概率为（）A0.3B0.4C0.6D0.7【分析】直接利用互斥事件的概率的加法公式求解即可【解答】解：某群体中的成员只用现金支付，既用现金支付也用非现金支付，不用现金支付，是互斥事件，所以不用现金支付的概率为：10.450.150.4故选：B【点评】本题考查互斥事件的概率的求法，判断事件是互斥事件是解题的关键，是基本知识的考查6（5分）执行如图所示的程序框图
15、，当输出的值为1时，则输入x的值是（A1B1或C或1D1或【分析】根据程序框图，是计算并输出y的值，由题意分类讨论即可得解【解答】解：根据程序框图，是计算并输出y的值，由于输出的值为1，可得：x0时，2x21，解得：x1或1（舍去）；x0时，x221，解得：x，或（舍去）故选：C【点评】本题主要考察程序框图和算法，属于基础题7（5分）椭圆中，以点M（2，1）为中点的弦所在的直线斜率为（）ABCD【分析】先设出弦的两端点的坐标，分别代入椭圆方程，两式相减后整理即可求得弦所在的直线的斜率【解答】解：设弦的两端点为A（x1，y1），B（x2，y2），点M（2，1）为AB的中点，x1+x24，y1+y
16、22A（x1，y1），B（x2，y2），代入椭圆得，两式相减得+0，可得，即k，弦所在的直线的斜率为，故选：D【点评】本题主要考查了椭圆的性质以及直线与椭圆的关系在解决弦长的中点问题，常用“点差法”设而不求，将弦所在直线的斜率、弦的中点坐标联系起来，相互转化，达到解决问题的目的8（5分）直线xy+m0与圆x2+y22x10有两个不同交点的一个充分不必要条件是（）A0m1B4m2Cm1D3m1【分析】把圆的方程整理为标准方程，找出圆心坐标与半径r，根据直线与圆有两个不同交点得到直线与圆相交，即圆心到直线的距离d小于半径r，求出m的范围，即可作出判断【解答】解：圆方程整理得：（x1）2+y22，圆
17、心（1，0），半径r，直线xy+m0与圆x2+y22x10有两个不同交点，直线与圆相交，即dr，即|m+1|2，解得：3m1，则直线xy+m0与圆x2+y22x+10有两个不同交点的一个充分不必要条件是0m1，故选：A【点评】此题考查了直线与圆相交的性质，直线与圆有两个不同的交点即为直线与圆相交9（5分）下列说法中，正确的是（）A“若，则”的逆命题是真命题B命题“p：x0R，lgx00”的否定是“x0R，lgx00”C“若ABB，则AB”的逆否命题是真命题D“在ABC中，若，则”的逆否命题假命题【分析】利用四种命题的逆否关系判断A、C、D的正误，命题的复数判断B的正误，即可推出结果【解答】解：
18、“若，则”的逆命题：可得，显然是假命题，所以A不正确：命题“p：x0R，lgx00”的否定是“x0R，lgx00，不满足命题的否定形式，所以不正确；“若ABB，则AB”的逆否命题是真命题，不正确，因为原命题是假命题，所以C不正确；“在ABC中，若，则”是假命题，所以它的逆否命题所以：sinA，也是假命题，所以D正确；故选：D【点评】本题考查命题的真假，涉及命题的真假四中命题的逆否关系，命题的否定，是基本知识的考查10（5分）已知双曲线x2y21，点F1，F2为其两个焦点，点P为双曲线上一点，若PF1PF2，则以F1，F2为焦点且经过P的椭圆的离心率等于（）A.BC.D.【分析】根据双曲线方程为
19、x2y21，可得焦距，因为PF1PF2，所以|PF1|2+|PF2|2|F1F2|2再结合双曲线的定义，得到|PF1|PF2|2，最后联解、配方，可得（|PF1|+|PF2|）212，从而得到|PF1|+|PF2|的值，即可求出以F1，F2为焦点且经过P的椭圆的离心率【解答】解：双曲线方程为x2y21，a2b21，c2a2+b22，可得|F1F2|2，PF1PF2，|PF1|2+|PF2|2|F1F2|28又P为双曲线x2y21上一点，|PF1|PF2|2a2，（|PF1|PF2|）24，因此（|PF1|+|PF2|）22（|PF1|2+|PF2|2）（|PF1|PF2|）212|PF1|+|
20、PF2|的值为2，以F1，F2为焦点且经过P的椭圆的离心率故选：B【点评】本题根据已知双曲线上对两个焦点的张角为直角的两条焦半径，求它们长度的和、以F1，F2为焦点且经过P的椭圆的离心率，着重考查了双曲线的基本概念与简单性质，属于中档题11（5分）下列说法正确的是（）设某大学的女生体重y（kg）与身高x（cm）具有线性相关关系，根据一组样本数据（xi，yi）（i1，2，3，n），用最小二乘法建立的线性回归方程为，则若该大学某女生身高增加1cm，则其体重约增加0.85kg；关于x的方程x2mx+10（m2）的两根可分别作为椭圆和双曲线的离心率；过定圆C上一定点A作圆的动弦AB，O为原点，若，则动
21、点P的轨迹为椭圆；已知F是椭圆的左焦点，设动点P在椭圆上，若直线FP的斜率大于，则直线OP（O为原点）的斜率的取值范围是ABCD【分析】由线性回归直线方程的斜率大于0，可判断；由二次方程实根分布和椭圆、双曲线的离心率范围，可判断；由P为AB的中点，CPAB，可得P的轨迹为圆，可判断；由题意画出图形，得到满足直线FP的斜率大于的P的范围，则直线OP的斜率的取值范围可求，可判断【解答】解：设某大学的女生体重y（kg）与身高x（cm）具有线性相关关系，根据一组样本数据（xi，yi）（i1，2，n），用最小二乘法建立的线性回归方程为y0.85x85.71，则若该大学某女生身高增加1cm，则其体重约增加
22、0.85kg，故正确；关于x的方程x2mx+10（m2）的两根设为x1，x2，可得m240，即有x1+x2m2，x1x21，可得两根中一个根大于1，另一根介于（0，1），可得作为椭圆和双曲线的离心率，故正确；过定圆C上一定点A作圆的动弦AB，O为坐标原点若（+），则P为AB的中点，CPAB，则动点P的轨迹为以AC为直径的圆，故错误；由椭圆，得a24，b23，c1则F（1，0），如图：过F作垂直于x轴的直线，交椭圆于A（x轴上方），则xA1，代入椭圆方程可得yA，当P为椭圆上顶点时，P（0，），此时kFP，又kOA，当直线FP的斜率大于时，直线OP的斜率的取值范围是（，）当P为椭圆下顶点时，P（
23、0，），当直线FP的斜率大于时，直线OP的斜率的取值范围是（，），综上，直线FP的斜率大于，则直线OP（O为原点）的斜率的取值范围是（，）（，），故正确故选：C【点评】本题考查命题的真假判断，主要考查线性回归直线方程的特点，圆锥曲线方程和性质，轨迹方程的求法，考查化简变形能力，属于中档题12（5分）已知双曲线右支上的一点P，经过点P的直线与双曲线C的两条渐近线分别相交于A，B两点若点A，B分别位于第一，四象限，O为坐标原点当时，为（）AB9CD【分析】求得双曲线的渐近线方程，设A（x1，x1），B（x2，x2），x1，x20，运用向量共线的坐标表示，可得P的坐标，代入双曲线方程可得x1x2，再
24、由两点距离公式计算可得所求值【解答】解：双曲线的渐近线方程为yx，设A（x1，x1），B（x2，x2），x1，x20，由，可得xP，yP（x12x2），将P的坐标代入双曲线方程，可得（x1+2x2）2（x12x2）21，化简可得x1x2，则|OA|OB|x1x2故选：A【点评】本题考查双曲线的方程和性质，主要是渐近线方程，考查向量共线的坐标表示，以及方程思想和运算能力，属于中档题二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分13（5分）已知某地区中小学生人数如图所示，用分层抽样的方法抽取200名学生进行调查，则抽取的高中生人数为40【分析】利用分层抽样的性质直接求解【解答】解：某地区中小学生
25、人数如图所示，用分层抽样的方法抽取200名学生进行调查，则抽取的高中生人数为：20040故答案为：40【点评】本题考查抽取的高中生人数的求法，考查分层抽样的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题14（5分）运行如图所示的程序框图，则输出的所有y值之和为10【分析】由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量y的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案【解答】解：模拟程序的运行，可得n2，满足判断框内的条件，执行循环体，y8，输出y的值为8，n1满足判断框内的条件，执行循环体，y3，输出y的值为3，n0满足判断框内的条件，执行循环体，y0，输出y的值
26、为0，n1满足判断框内的条件，执行循环体，y1，输出y的值为1，n2此时，不满足判断框内的条件，退出循环，结束，则输出的所有y值之和为10故答案为：10【点评】本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题15（5分）在区间0，1上随机取两个数x，y，则事件“9x+8y6”的概率为【分析】先作出两个数x，y0，1，“9x+8y6”所对应的区域，然后结合几何概型中的面积型，求面积之比即可【解答】解：由已知在区间0，1上随机取两个数x，y，结合几何概型中的面积型，有：事件“9x+8y6”的概率为：11，故答案为：【点评】本题考查了几何概型中的面积型，属简
27、单题16（5分）已知A，B分别为椭圆的右顶点和上顶点，平行于AB的直线l与x轴、y轴分别交于C、D两点，直线CE、DF均与椭圆相切，则CE和DF的斜率之积等于【分析】不妨令CD与该椭圆相切，切点为H，利用对称性，将复杂问题简单化，即可求得CE和DF的斜率之积【解答】解：依题意，不妨令CD与该椭圆相切，切点为H，则切点F与H关于y轴对称，切点E与H关于x轴对称，如图，kAB，直线 lAB，kCD，kDF（切点F在第二象限），或kDF（切点F在第一象限）；同理可得，kCE（切点E在第四象限），或kCE（切点E在第一象限）CE与DF的斜率之积kCEkDF故答案为：【点评】本题考查椭圆的简单性质，将C
28、D特殊化处理（与椭圆相切）是关键，考查化归思想，分类讨论思想，数形结合思想的综合运用，考查分析问题、解决问题的能力，是中档题三、解答题：本大题共6小题，共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17（10分）已知命题p：椭圆的焦点在x轴上；命题q：关于x的方程4x2+4（m2）x+10无实根（）当“命题p”和“命题q”为真命题时，求各自m的取值范围；（）若“p且q”是假命题，“p或q”是真命题，求实数m的取值范围【分析】（）由已知得等价不等式，解之即可；（）由已知得p、q两命题一真一假，得等价不等式组，解之即可【解答】解：（）由7m3+m0可知，3m2即p为真命题时：3m2若方程4x2+4
29、（m2）x+10无实根，则16（m24m+3）0，解得1m3即q为真命题时：1m3（）由“p且q”是假命题，“p或q”是真命题，所以p、q两命题中应一真一假，于是或，解得2m3或3m1，实数m的取值范围为：2m3或3m1【点评】本题考查了简易逻辑的判定，考查了推理能力与计算能力，属于基础题18（12分）求适合下列条件的双曲线的标准方程：（）焦点在y轴上，虚轴长为8，离心率为；（）经过点，且与双曲线有共同的渐近线【分析】（）设所求双曲线的标准方程为，运用离心率公式和a，b，c的关系，解方程可得a，即可得到所求双曲线方程；（）由题意可设所求双曲线方程为，点代入双曲线方程，解方程可得，即可得到所求双
30、曲线方程【解答】解：（）设所求双曲线的标准方程为，则，从而，代入c2a2+b2，得a29，故双曲线的标准方程为；（）由题意可设所求双曲线方程为，将点的坐标代入，得，解得，所以所求双曲线的标准方程为【点评】本题考查双曲线的标准方程的求法，注意运用待定系数法和方程思想，考查运算能力，属于基础题19（12分）2018年9月16日下午5时左右，今年第22号台风“山竹”在广东江门川岛镇附近正面登陆，给当地人民造成了巨大的财产损失，某记者调查了当地某小区的100户居民由于台风造成的经济损失，将收集的数据分成0，2000，（2000，4000，（4000，6000，（6000，8000，（8000，1000
31、0五组，并作出如下频率分布直方图（）根据频率分布直方图估计该小区居民由于台风造成的经济损失的众数和平均值（）“一方有难，八方支援”，台风后居委会号召小区居民为台风重灾区捐款，记者调查的100户居民捐款情况如下表格，在图表格空白处填写正确数字，并说明是否有99%以上的把握认为捐款数额多于或少于500元和自身经济损失是否到4000元有关？经济损失不超过4000元经济损失超过4000元合计捐款超过500元60捐款不超过500元10合计参考公式：，其中na+b+c+dP（K2k）0.1000.0500.0100.001k2.7063.8416.63510.828【分析】（）根据频率分布直方图可知这组数
32、据的众数，再利用定义计算平均数；（）由题意填写列联表，计算观测值，对照临界值得出结论【解答】解：（）根据频率分布直方图知该小区居民由于台风造成的经济损失的众数为3000（元），（2分）平均值为10000.3+30000.5+50000.16+70000.02+90000.022920（元）；（4分）（）由频率分布直方图可知，在抽取的100人中，经济损失不超过4000元的有0.810080（人），经济损失超过4000元的有1008020（人），（6分）则表格数据如下：经济损失不超过4000元经济损失超过4000元合计捐款超过500元601070捐款不超过500元201030合计8020100计算
33、，（11分）由于4.7626.635，P（k6.635）0.010；所以没有99%以上的把握认为捐款数额是否多于或少于500元和自身经济损失是否到4000元有关（12分）【点评】本题考查了频率分布直方图与独立性检验的应用问题，是基础题20（12分）已知抛物线（p0），椭圆（0b4），O为坐标原点，F为抛物线的焦点，A是椭圆的右顶点，AOF的面积为4（）求抛物线C1的方程；（）过F点作直线l交C1于C、D两点，求OCD面积的最小值【分析】（）求得抛物线的焦点，以及椭圆的右顶点坐标，由三角形的面积公式计算可得p2，进而得到所求抛物线方程；（）由题知直线CD斜率一定存在，设为k，则设直线的方程为yk
34、x+2，代入抛物线方程，运用韦达定理和弦长公式，以及点到直线的距离公式，三角形的面积公式，不等式的性质即可得到所求最小值【解答】解：（）已知，因为椭圆长半轴长的平方为16，所以右顶点为A（4，0），又AOF的面积为，解得p4，所以抛物线方程为x28y；（）由题知直线CD斜率一定存在，设为k，则设直线的方程为ykx+2，联立抛物线方程得x28kx160，由根与系数的关系x1+x28k，x1x216，即，点O到直线CD的距离为，所以SOCD，当k0时，上式取得最小值8，所以SOCD最小值为8【点评】本题考查抛物线的方程的求法，注意运用椭圆的顶点坐标，考查直线的方程和抛物线方程联立，运用韦达定理和弦
35、长公式，以及点到直线的距离公式，考查三角形的面积的最值求法，化简整理的运算能力，属于中档题21（12分）某公司为了确定下一年度投入某种产品的宣传费用，需了解年宣传费x（单位：万元）对年销量y（单位：吨）和年利润（单位：万元）的影响对近6年宣传费xi和年销量yi（i1，2，3，4，5，6）的数据做了初步统计，得到如下数据：年份201320142015201620172018年宣传费x（万元）384858687888年销售量y（吨）16.818.820.722.424.025.5经电脑模拟，发现年宣传费x（万元）与年销售量y（吨）之间近似满足关系式yaxb（a，b0）即lnyblnx+lna，对上
36、述数据作了初步处理，得到相关的值如下表：75.324.618.3101.4（）从表中所给出的6年年销售量数据中任选2年做年销售量的调研，求所选数据中至多有一年年销售量低于20吨的概率（）根据所给数据，求y关于x的回归方程；（）若生产该产品的固定成本为200（万元），且每生产1（吨）产品的生产成本为20（万元）（总成本固定成本+生产成本+年宣传费），销售收入为R（x）x+（40+20e）+500（万元），假定该产品产销平衡（即生产的产品都能卖掉），则2019年该公司应该投入多少宣传费才能使利润最大？（其中e2.71828）附：对于一组数据（u1，v1），（u2，v2），（un，vn），其回归直线
37、vu+中的斜率和截距的最小二乘估计分别为，【分析】（）记事件A表示“至多有一年年销量低于20吨”，由表中数据可知6年的数据中有2013年和2014年的年销量低于20吨，记这两年为c，d，其余四年为e，f，g，h，利用枚举法列出从6年中任取2年的事件数，求出事件A包括的事件数，利用古典概型概率计算公式得答案；（）对yaxb（a0，b0）两边取对数得lnylna+blnx，令uilnxi，vilnyi，得vlna+bu，分别求出b与a的值，则回归方程可求；（）设该公司的年利润为f（x），得到利润关于x的函数关系，利用配方法求最值【解答】解：（）记事件A表示“至多有一年年销量低于20吨”，由表中数据
38、可知6年的数据中有2013年和2014年的年销量低于20吨，记这两年为c，d，其余四年为e，f，g，h，则从6年中任取2年共有（c，d），（c，e），（c，f），（c，g），（c，h），（d，e），（d，f），（d，g），（d，h），（e，f），（e，g），（e，h），（f，g），（f，h），（g，h）15种不同取法，事件A包括（c，e），（c，f），（c，g），（c，h），（d，e），（d，f），（d，g），（d，h），（e，f），（e，g），（e，h），（f，g），（f，h），（g，h）共14种取法，故；（3分）（）对yaxb（a0，b0）两边取对数得lnylna+blnx，令uilnxi
39、，vilnyi，得vlna+bu，由题中数据得：，（4分），由，得ae，故所求回归方程为；（8分）（）设该公司的年利润为f（x），利润销售收入总成本，由题意可知，当即x100时，利润f（x）取得最大值500（万元），故2019年该公司投入100万元的宣传费才能获得最大利润（12分）【点评】本题考查了非线性回归方程及应用，考查数学转化思想方法，考查计算能力，为中档题22（12分）在圆内有一点，Q为圆C1上一动点，线段PQ的垂直平分线与C1Q的连线交于点C（）求点C的轨迹方程（）若动直线l与点C的轨迹交于M、N两点，且以MN为直径的圆恒过坐标原点O问是否存在一个定圆与动直线l总相切若存在，求出该定
40、圆的方程；若不存在，请说明理由【分析】（）根据线段中垂线的性质可得，|CP|CQ|，又，根据椭圆的定义判断轨迹椭圆，求出a、b值，即得椭圆的标准方程（）先假设存在这样的圆，分析可得x1x2+y1y20，按直线的斜率存在与否分两种情况讨论，设出直线的方程，求出原点O到直线l的距离，由直线与圆的位置关系分析可得答案【解答】解：（）圆的圆心为，半径为点C在线段PQ的垂直平分线上，|CP|CQ|又点C在线段C1Q的上，由椭圆的定义可知点C的轨迹是以，为焦点，长轴长为的椭圆，故点C的轨迹方程为（4分）（）假设存在这样的圆设M（x1，y1），N（x2y2）由已知，以MN为直径的圆恒过原点，即0，所以x1x
41、2+y1y20（5分）当直线l垂直于x轴时，所以，又，解得，不妨设，或，即直线的方程为或，此时原点O到直线l的距离为（7分）当直线l的斜率存在时，可设直线l的方程为ykx+m，由消去y得方程：（1+3k2）x2+6kmx+3m2120因为直线与椭圆C交于M，N两点，所以方程的判别式（6km）24（1+3k2）（3m212）0即m24（1+3k2），且，由x1x2+y1y20，得，所以，整理得m23（1+k2）（满足0）所以原点O到直线l的距离综上所述，原点O到直线l的距离为定值，即存在定圆x2+y23总与直线l相切（12分）【点评】本题考查直线与椭圆的位置关系，涉及椭圆的标准方程，需要直线的斜率存在与否进行分类讨论
