1、2019年山东省济南市商河县中考数学二模试卷一选择题（共12小题）1下列各数中，比3小的数是（）A2B0C1D42如图所示几何体的左视图是（）ABCD3随着高铁的发展，预计2020年济南西客站客流量将达到2150万人，数字2150用科学记数法表示为（）A0.215104B2.15103C2.15104D21.51024如图，直线ABCD，AF交CD于点E，CEF140，则A等于（）A35B40C45D505下列图标中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）ABCD6化简的结果是（）ABCDm27在一个不透明的口袋中，装有5个红球3个白球，它们除颜色外都相同，从中任意摸出一个球，摸到红球的概率
2、为（）ABCD8同一直角坐标系中，一次函数y1k1x+b与正比例函数y2k2x的图象如图所示，则满足y1y2的x取值范围是（）Ax2Bx2Cx2Dx29已知A、B两地之间铁路长为450千米，动车比火车每小时多行驶50千米，从A市到B市乘动车比乘火车少用40分钟，设动车速度为每小时x千米，则可列方程为（）ABCD10如图，旗杆及升旗台的剖面和教学楼的剖面在同一平面上，旗杆与地面垂直，在教学楼底部E点处测得旗杆顶端的仰角AED58，升旗台底部到教学楼底部的距离DE7米，升旗台坡面CD的坡度i1：0.75，坡长CD2米，若旗杆底部到坡面CD的水平距离BC1米，则旗杆AB的高度约为（）（参考数据：si
3、n580.85，cos580.53，tan581.6）A12.6米B13.1米C14.7米D16.3米11如图1，在矩形ABCD中，点E在CD上，AEB90，点P从点A出发，沿AEB的路径匀速运动到点B停止，作PQCD于点Q，设点P运动的路程为x，PQ长为y，若y与x之间的函数关系图象如图2所示，当x6时，PQ的值是（）A2BCD112二次函数y（x1）2+5，当mxn且mn0时，y的最小值为2m，最大值为2n，则m+n的值为（）AB2CD二填空题（共6小题）13分解因式2x2y8y的结果是 14计算： 15如图，在矩形ABCD中，AB3，AD2，以点A为圆心，AD长为半径画弧，交AB于点E，
4、图中阴影部分的面积是 （结果保留）16如图，在RtABC中，ACB90，点D，E，F分别为AB，AC，BC的中点若CD5，则EF的长为 17如图，菱形ABCD的边ADy轴，垂足为点E，顶点A在第二象限，顶点B在y轴的正半轴上，反比例函数y（k0，x0）的图象经过顶点C、D，若点C的横坐标为5，BE3DE，则k的值为 18如图，点C为RtACB与RtDCE的公共点，ACBDCE90，连接AD、BE，过点C作CFAD于点F，延长FC交BE于点G若ACBC25，CE15，DC20，则的值为 三解答题（共9小题）19先化简，再求值：（xy）2+y（y+2x），其中x，y20解不等式组：21如图，点G、
5、E、F分别在平行四边形ABCD的边AD、BC和DC上，DGDC，CECF，点P是线段CG上一点，连接FP，EP求证：FPEP22为了奖励优秀班集体，学校购买了若干副乒乓球拍和羽毛球拍，购买2副乒乓球拍和1副羽毛球拍共需116元，购买3副乒乓球拍和2副羽毛球拍共需204元（1）每副乒乓球拍和羽毛球拍的单价各是多少元？（2）若学校购买5副乒乓球拍和3副羽毛球拍，一共应支出多少元？23如图，AD是ABC的外接圆O的直径，点P在BC延长线上，PA是O的切线，且B35（1）求PAC的度数（2）弦CEAD交AB于点F，若AFAB12，求AC的长24在大课间活动中，体育老师随机抽取了七年级甲、乙两班部分女学
6、生进行仰卧起坐的测试，并对成绩进行统计分析，绘制了频数分布表和统计图，请你根据图表中的信息完成下列问题：分 组频数频率第一组（0x15）30.15第二组（15x30）6a第三组（30x45）70.35第四组（45x60）b0.20（1）频数分布表中a ，b ，并将统计图补充完整；（2）如果该校七年级共有女生180人，估计仰卧起坐能够一分钟完成30或30次以上的女学生有多少人？（3）已知第一组中只有一个甲班学生，第四组中只有一个乙班学生，老师随机从这两个组中各选一名学生谈心得体会，则所选两人正好都是甲班学生的概率是多少？25如图，四边形ABCD的四个顶点分别在反比例函数y与y（x0，0mn）的图
7、象上，对角线BDy轴，且BDAC于点P已知点B的横坐标为4（1）当m4，n20时若点P的纵坐标为2，求点A和点B的坐标若点P是BD的中点，试判断四边形ABCD的形状，并说明理由（2）四边形ABCD能否成为正方形？若能，求此时m，n之间的数量关系；若不能，试说明理由26如图1，在矩形ABCD中，E是AD的中点，以点E为直角顶点的直角三角形EFG的两边EF，EG分别过点B，C，F30（1）求证：BECE；（2）将EFG绕点E按顺时针方向旋转，当旋转到EF与AD重合时停止转动，若EF，EG分别与AB，BC相交于点M，N（如图2）求证：BEMCEN；若AB2，求BMN面积的最大值；当旋转停止时，点B恰
8、好在FG上（如图3），求sinEBG的值27如图，抛物线yax2+bx+c（a0，a、b、c为常数）与x轴交于A、C两点，与y轴交于B点，A（6，0），C（1，0），B（0，）（1）求该抛物线的函数关系式与直线AB的函数关系式；（2）已知点M（m，0）是线段OA上的一个动点，过点M作x轴的垂线l，分别与直线AB和抛物线交于D、E两点，当m为何值时，BDE恰好是以DE为底边的等腰三角形？（3）在（2）问条件下，当BDE恰妤是以DE为底边的等腰二角形时，动点M相应位置记为点M，将OM绕原点O顺时针旋转得到ON（旋转角在0到90之间）；i：探究：线段OB上是否存在定点P（P不与O、B重合），无论ON
9、如何旋转，始终保持不变，若存在，试求出P点坐标：若不存在，请说明理由；ii：试求出此旋转过程中，（NA+NB）的最小值 参考答案与试题解析一选择题（共12小题）1下列各数中，比3小的数是（）A2B0C1D4【分析】根据0大于负数，负数比较大小绝对值大的反而小，即可解答【解答】解：4320，比3小的数是4，故选：D2如图所示几何体的左视图是（）ABCD【分析】从左面观察几何体，能够看到的线用实线，看不到的线用虚线【解答】解：图中几何体的左视图如图所示：故选：C3随着高铁的发展，预计2020年济南西客站客流量将达到2150万人，数字2150用科学记数法表示为（）A0.215104B2.15103C
10、2.15104D21.5102【分析】科学记数法的表示形式为a10n的形式，其中1|a|10，n为整数确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同当原数绝对值1时，n是非负数；当原数的绝对值1时，n是负数【解答】解：21502.15103，故选：B4如图，直线ABCD，AF交CD于点E，CEF140，则A等于（）A35B40C45D50【分析】由邻补角的定义与CEF140，即可求得FED的度数，又由直线ABCD，根据两直线平行，同位角相等，即可求得A的度数【解答】解：CEF140，FED180CEF18014040，直线ABCD，AFED40故选：B5
11、下列图标中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）ABCD【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的概念对各选项分析判断即可得解【解答】解：A、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项错误；B、不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项错误；C、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项错误；D、既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项正确故选：D6化简的结果是（）ABCDm2【分析】分式的除法法则：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘，据此求解即可【解答】解：，故选：A7在一个不透明的口袋中，装有5个红球3个白球，它们除颜色外都相同，从中任意摸出一个球，摸到红球的概率为（
12、）ABCD【分析】先求出球的所有个数与红球的个数，再根据概率公式解答即可【解答】解：共8球在袋中，其中5个红球，故摸到红球的概率为，故选：C8同一直角坐标系中，一次函数y1k1x+b与正比例函数y2k2x的图象如图所示，则满足y1y2的x取值范围是（）Ax2Bx2Cx2Dx2【分析】观察函数图象得到当x2时，直线l1：y1k1x+b1都在直线l2：y2k2x的上方，即y1y2【解答】解：当x2时，直线l1：y1k1x+b1都在直线l2：y2k2x的上方，即y1y2故选：A9已知A、B两地之间铁路长为450千米，动车比火车每小时多行驶50千米，从A市到B市乘动车比乘火车少用40分钟，设动车速度为
13、每小时x千米，则可列方程为（）ABCD【分析】动车速度为每小时x千米，直接利用从A市到B市乘动车比乘火车少用40分钟，得出等式求出答案【解答】解：设动车速度为每小时x千米，则可列方程为：故选：D10如图，旗杆及升旗台的剖面和教学楼的剖面在同一平面上，旗杆与地面垂直，在教学楼底部E点处测得旗杆顶端的仰角AED58，升旗台底部到教学楼底部的距离DE7米，升旗台坡面CD的坡度i1：0.75，坡长CD2米，若旗杆底部到坡面CD的水平距离BC1米，则旗杆AB的高度约为（）（参考数据：sin580.85，cos580.53，tan581.6）A12.6米B13.1米C14.7米D16.3米【分析】如图延长
14、AB交ED的延长线于M，作CJDM于J则四边形BMJC是矩形在RtCDJ中求出CJ、DJ，再根据，tanAEM构建方程即可解决问题；【解答】解：如图延长AB交ED的延长线于M，作CJDM于J则四边形BMJC是矩形在RtCJD中，设CJ4k，DJ3k，则有9k2+16k24，k，BMCJ，BCMJ1，DJ，EMMJ+DJ+DE，在RtAEM中，tanAEM，1.6，解得AB13.1（米），故选：B11如图1，在矩形ABCD中，点E在CD上，AEB90，点P从点A出发，沿AEB的路径匀速运动到点B停止，作PQCD于点Q，设点P运动的路程为x，PQ长为y，若y与x之间的函数关系图象如图2所示，当x6
15、时，PQ的值是（）A2BCD1【分析】由图象可知：AE3，BE4，DAECEB，设：ADBCa，在RtADE中，con，在RtBCE中，sin，由（sin）2+（con）21，解得：a，当x6时，即：EN3，则yMNENsin【解答】解：由图象可知：AE3，BE4，DAECEB，设：ADBCa，在RtADE中，cos，在RtBCE中，sin，由（sin）2+（cos）21，解得：a，当x6时，即：EN3，则yMNENsin故选：B12二次函数y（x1）2+5，当mxn且mn0时，y的最小值为2m，最大值为2n，则m+n的值为（）AB2CD【分析】条件mxn和mn0可得m0，n0所以y的最小值为
16、2m为负数，最大值为2n为正数最大值为2n分两种情况，（1）结合抛物线顶点纵坐标的取值范围，求出n2.5，结合图象最小值只能由xm时求出（2）结合抛物线顶点纵坐标的取值范围，图象最大值只能由xn求出，最小值只能由xm求出【解答】解：二次函数y（x1）2+5的大致图象如下：当m0xn1时，当xm时y取最小值，即2m（m1）2+5，解得：m2当xn时y取最大值，即2n（n1）2+5，解得：n2或n2（均不合题意，舍去）；当m0x1n时，当xm时y取最小值，即2m（m1）2+5，解得：m2当x1时y取最大值，即2n（11）2+5，解得：n，或xn时y取最小值，x1时y取最大值，2m（n1）2+5，n
17、，m，m0，此种情形不合题意，所以m+n2+故选：D二填空题（共6小题）13分解因式2x2y8y的结果是2y（x+2）（x2）【分析】原式提取公因式，再利用平方差公式分解即可【解答】解：原式2y（x+2）（x2）故答案为：2y（x+2）（x2）14计算：5【分析】直接利用绝对值的性质以及算术平方根的性质分别化简得出答案【解答】解：原式2+35故答案为：515如图，在矩形ABCD中，AB3，AD2，以点A为圆心，AD长为半径画弧，交AB于点E，图中阴影部分的面积是6（结果保留）【分析】用矩形的面积减去四分之一圆的面积即可求得阴影部分的面积【解答】解：在矩形ABCD中，AB3，AD2，S阴影S矩形
18、S四分之一圆23226，故答案为：616如图，在RtABC中，ACB90，点D，E，F分别为AB，AC，BC的中点若CD5，则EF的长为5【分析】已知CD是RtABC斜边AB的中线，那么AB2CD；EF是ABC的中位线，则EF应等于AB的一半【解答】解：ABC是直角三角形，CD是斜边的中线，CDAB，又EF是ABC的中位线，AB2CD2510cm，EF105cm故答案为：517如图，菱形ABCD的边ADy轴，垂足为点E，顶点A在第二象限，顶点B在y轴的正半轴上，反比例函数y（k0，x0）的图象经过顶点C、D，若点C的横坐标为5，BE3DE，则k的值为【分析】过点D作DFBC于点F，由菱形的性质
19、可得BCCD，ADBC，可证四边形DEBF是矩形，可得DFBE，DEBF，在RtDFC中，由勾股定理可求DE1，DF3，由反比例函数的性质可求k的值【解答】解：如图，过点D作DFBC于点F，四边形ABCD是菱形，BCCD，ADBCDEB90，ADBCEBC90，且DEB90，DFBC四边形DEBF是矩形DFBE，DEBF，点C的横坐标为5，BE3DE，BCCD5，DF3DE，CF5DECD2DF2+CF2，259DE2+（5DE）2，DE1DFBE3，设点C（5，m），点D（1，m+3）反比例函数y图象过点C，D5m1（m+3）m点C（5，）k5故答案为：18如图，点C为RtACB与RtDCE
20、的公共点，ACBDCE90，连接AD、BE，过点C作CFAD于点F，延长FC交BE于点G若ACBC25，CE15，DC20，则的值为【分析】过E作EHGF于H，过B作BPGF于P，依据EHGBPG，可得，再根据DCFCEH，ACFCBP，即可得到EHCF，BPCF，进而得出【解答】解：如图，过E作EHGF于H，过B作BPGF于P，则EHGBPG90，又EGHBGP，EHGBPG，CFAD，DFCAFC90，DFCCHE，AFCCPB，又ACBDCE90，CDFECH，FACPCB，DCFCEH，ACFCBP，1，EHCF，BPCF，故答案为：三解答题（共9小题）19先化简，再求值：（xy）2+
21、y（y+2x），其中x，y【分析】原式利用完全平方公式，单项式乘以多项式法则计算，去括号合并得到最简结果，把x与y的值代入计算即可求出值【解答】解：原式x22xy+y2+y2+2xyx2+2y2，当x，y时，原式2+6820解不等式组：【分析】首先分别解出两个不等式的解集，再求其公共解集即可【解答】解：解不等式+2x，得：x3，解不等式2x+23（x1），得：x5，不等式组的解集为3x521如图，点G、E、F分别在平行四边形ABCD的边AD、BC和DC上，DGDC，CECF，点P是线段CG上一点，连接FP，EP求证：FPEP【分析】先根据平行四边形的性质得到ADCB，则DGCGCE，再利用DG
22、DC得到DGCGCF，从而得到GCEGCF，然后根据“SAS”判断PCEPCF，从而得到结论【解答】证明：四边形ABCD是平行四边形，ADCB，DGCGCE，DGDC，DGCGCF，GCEGCF，在PCE和PCF中PCEPCF（SAS），FPEP22为了奖励优秀班集体，学校购买了若干副乒乓球拍和羽毛球拍，购买2副乒乓球拍和1副羽毛球拍共需116元，购买3副乒乓球拍和2副羽毛球拍共需204元（1）每副乒乓球拍和羽毛球拍的单价各是多少元？（2）若学校购买5副乒乓球拍和3副羽毛球拍，一共应支出多少元？【分析】（1）设购买一副乒乓球拍x元，一副羽毛球拍y元，由购买2副乒乓球拍和1副羽毛球拍共需116元
23、，购买3副乒乓球拍和2副羽毛球拍共需204元，可得出方程组，求解即可；（2）计算一副乒乓球拍的价格5+一副羽毛球拍的价格3即可【解答】解：（1）设购买一副乒乓球拍x元，一副羽毛球拍y元，由题意得，解得：答：购买一副乒乓球拍28元，一副羽毛球拍60元；（2）528+360320（元）答：购买5副乒乓球拍和3副羽毛球拍共320元23如图，AD是ABC的外接圆O的直径，点P在BC延长线上，PA是O的切线，且B35（1）求PAC的度数（2）弦CEAD交AB于点F，若AFAB12，求AC的长【分析】（1）根据圆周角定理得到ACD90，DB，根据切线的性质得到PAD90，然后利用等量代换得到PACB35；
24、（2）利用垂径定理得到，则ACEABC，于是可证明RtAFCRtACB，利用相似比可求出AC的长【解答】解：（1）ADO的直径，ACD90，D90CAD，PA是圆O的切线，APAD，PAD90，PAC90CAD，PACD，DB，PACB35；（2）CFAD，ACEABC，RtAFCRtACB，AC2AFAB12，AC224在大课间活动中，体育老师随机抽取了七年级甲、乙两班部分女学生进行仰卧起坐的测试，并对成绩进行统计分析，绘制了频数分布表和统计图，请你根据图表中的信息完成下列问题：分 组频数频率第一组（0x15）30.15第二组（15x30）6a第三组（30x45）70.35第四组（45x60
25、）b0.20（1）频数分布表中a0.3，b4，并将统计图补充完整；（2）如果该校七年级共有女生180人，估计仰卧起坐能够一分钟完成30或30次以上的女学生有多少人？（3）已知第一组中只有一个甲班学生，第四组中只有一个乙班学生，老师随机从这两个组中各选一名学生谈心得体会，则所选两人正好都是甲班学生的概率是多少？【分析】（1）由统计图易得a与b的值，继而将统计图补充完整；（2）利用用样本估计总体的知识求解即可求得答案；（3）首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与所选两人正好都是甲班学生的情况，再利用概率公式即可求得答案【解答】解：（1）a10.150.350.200.3；总人数
26、为：30.1520（人），b200.204（人）；故答案为：0.3，4；补全统计图得：（2）估计仰卧起坐能够一分钟完成30或30次以上的女学生有：180（0.35+0.20）99（人）；（3）画树状图得：共有12种等可能的结果，所选两人正好都是甲班学生的有3种情况，所选两人正好都是甲班学生的概率是：25如图，四边形ABCD的四个顶点分别在反比例函数y与y（x0，0mn）的图象上，对角线BDy轴，且BDAC于点P已知点B的横坐标为4（1）当m4，n20时若点P的纵坐标为2，求点A和点B的坐标若点P是BD的中点，试判断四边形ABCD的形状，并说明理由（2）四边形ABCD能否成为正方形？若能，求此时
27、m，n之间的数量关系；若不能，试说明理由【分析】（1）利用反比例函数图象上点的坐标特征，可得出点A，B的坐标；由可得出点B，D，由点P为线段BD的中点可得出点P的坐标，利用反比例函数图象上点的坐标特征可得出点A，C的坐标，进而可得出PAPC，结合PBPD可得出四边形ABCD为平行四边形，再结合BDAC可得出四边形ABCD为菱形；（2）当四边形ABCD为正方形时，设PAPBPCPDt（t0），利用反比例函数图象上点的坐标特征可得出点B的坐标，由PAPBt可得出点A的坐标，利用反比例函数图象上点的坐标特征可得出t4，由点B的坐标结合BD2t可得出点D的坐标，再利用反比例函数图象上点的坐标特征可得出
28、m+n32【解答】解：（1）当x4时，y1，点B的坐标为（4，1）；当y2时，2，解得：x2，点A的坐标为（2，2）四边形ABCD为菱形，理由如下：由得：点B的坐标为（4，1），点D的坐标为（4，5），点P为线段BD的中点，点P的坐标为（4，3）当y3时，3，解得：x，点A的坐标为（，3）；当y3时，3，解得：x，点C的坐标为（，3）PA4，PC4，PAPCPBPD，四边形ABCD为平行四边形又BDAC，四边形ABCD为菱形（2）四边形ABCD能成为正方形当四边形ABCD为正方形时，设PAPBPCPDt（t0）当x4时，y，点B的坐标为（4，），点A的坐标为（4t，+t）点A在反比例函数y的图
29、象上，（4t）（+t）m，化简得：t4，点D的纵坐标为+2t+2（4）8，点D的坐标为（4，8），4（8）n，整理，得：m+n32即四边形ABCD能成为正方形，此时m+n3226如图1，在矩形ABCD中，E是AD的中点，以点E为直角顶点的直角三角形EFG的两边EF，EG分别过点B，C，F30（1）求证：BECE；（2）将EFG绕点E按顺时针方向旋转，当旋转到EF与AD重合时停止转动，若EF，EG分别与AB，BC相交于点M，N（如图2）求证：BEMCEN；若AB2，求BMN面积的最大值；当旋转停止时，点B恰好在FG上（如图3），求sinEBG的值【分析】（1）只要证明BAECDE即可；（2）利用
30、（1）可知EBC是等腰直角三角形，根据ASA即可证明；构建二次函数，利用二次函数的性质即可解决问题；如图3中，作EHBG于H设NGm，则BG2m，BNENm，EBm利用面积法求出EH，根据三角函数的定义即可解决问题；【解答】（1）证明：如图1中，四边形ABCD是矩形，ABDC，AD90，E是AD中点，AEDE，BAECDE，BECE（2）解：如图2中，由（1）可知，EBC是等腰直角三角形，EBCECB45，ABCBCD90，EBMECN45，MENBEC90，BEMCEN，EBEC，BEMCEN；BEMCEN，BMCN，设BMCNx，则BN4x，SBMNx（4x）（x2）2+2，0，x2时，B
31、MN的面积最大，最大值为2解：如图3中，作EHBG于H设NGm，则BG2m，BNENm，EBmEGm+m（1+）m，SBEGEGBNBGEH，EHm，在RtEBH中，sinEBH27如图，抛物线yax2+bx+c（a0，a、b、c为常数）与x轴交于A、C两点，与y轴交于B点，A（6，0），C（1，0），B（0，）（1）求该抛物线的函数关系式与直线AB的函数关系式；（2）已知点M（m，0）是线段OA上的一个动点，过点M作x轴的垂线l，分别与直线AB和抛物线交于D、E两点，当m为何值时，BDE恰好是以DE为底边的等腰三角形？（3）在（2）问条件下，当BDE恰妤是以DE为底边的等腰二角形时，动点M相
32、应位置记为点M，将OM绕原点O顺时针旋转得到ON（旋转角在0到90之间）；i：探究：线段OB上是否存在定点P（P不与O、B重合），无论ON如何旋转，始终保持不变，若存在，试求出P点坐标：若不存在，请说明理由；ii：试求出此旋转过程中，（NA+NB）的最小值【分析】（1）根据已知条件可以设抛物线解析式为ya（x+6x）（x1），然后把点B的坐标代入函数解析式求得系数a的值即可；利用待定系数法求得直线AB的解析式；（2）由点M（m，0），过点M作x轴的垂线l分别与直线AB和抛物线交于D、E两点，得到D（m，m+），当DE为底时，作BGDE于G，根据等腰三角形的性质得到EGGDED，GMOB，列方程
33、即可得到结论；（3）i：根据已知条件得到ONOM4，OB，由NOPBON，特殊的当NOPBON时，根据相似三角形的性质得到，于是得到结论；ii：根据题意得到N在以O为圆心，4为半径的半圆上，由知，得到NPNB，于是得到（NA+NB）的最小值NA+NP，此时N，A，P三点共线，根据勾股定理得到结论【解答】解：设抛物线解析式为ya（x+6x）（x1），（a0）将B（0，）代入，得a（x+6）（x1），解得a，该抛物线解析式为y（x+6）（x1）或yx2x+设直线AB的解析式为ykx+n（k0）将点A（6，0），B（0，）代入，得，解得，则直线AB的解析式为：yx+；（2）点M（m，0），过点M作x轴的垂线l分别与直线AB和抛物线交于D、E两点，D（m，m+），当DE为底时，如图1，作BGDE于G，则EGGDED，GMOB，DM+DGGMOB，m+（m2m+m），解得：m14，m20（不合题意，舍去），当m4时，BDE恰好是以DE为底边的等腰三角形；（3）i：存在，如图2ONOM4，OB，NOPBON，当NOPBON时，不变，即OPON43，P（0，3）；ii：N在以O为圆心，4为半径的半圆上，由i知，NPNB，（NA+NB）的最小值NA+NP，此时N，A，P三点共线，（NA+NB）的最小值3
