1、中考总复习：正多边形与圆的有关的证明和计算知识讲解（基础）责编：常春芳【考纲要求】1了解正多边形的概念，掌握用等分圆周画圆的内接正多边形的方法；会计算弧长及扇形的面积、圆锥的侧面积及全面积；2结合相关图形性质的探索和证明，进一步培养合情推理能力，发展逻辑思维能力和推理论证的表达能力；通过这一章的学习，进一步培养综合运用知识的能力，运用学过的知识解决问题的能力.【知识网络】 【考点梳理】考点一、正多边形和圆1、正多边形的有关概念：(1) 正多边形：各边相等，各角也相等的多边形叫做正多边形.(2)正多边形的中心正多边形的外接圆的圆心.(3)正多边形的半径正多边形的外接圆的半径.(4)正多边形的边心
2、距正多边形中心到正多边形各边的距离.（正多边形内切圆的半径）(5)正多边形的中心角正多边形每一边所对的外接圆的圆心角.2、正多边形与圆的关系：(1)将一个圆n(n3)等分(可以借助量角器)，依次连结各等分点所得的多边形是这个圆的内接正多边形.(2)这个圆是这个正多边形的外接圆. （3）把圆分成n(n3)等分，经过各分点作圆的切线，以相邻切线的交点为顶点的多边形是这个圆的外切正n边形.这个圆叫做正n边形的内切圆.（4）任何正n边形都有一个外接圆和一个内切圆，这两个圆是同心圆.3、正多边形性质：(1)任何正多边形都有一个外接圆.(2) 正多边形都是轴对称图形，一个正n边形共有n条对称轴，每条对称轴
3、都通过正n边形的中心当边数是偶数时，它又是中心对称图形，它的中心就是对称中心.(3)边数相同的正多边形相似.它们周长的比，边心距的比，半径的比都等于相似比，面积的比等于相似比的平方（4）任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆，这两个圆是同心圆.要点诠释：（1）正n边形的有n个相等的外角，而正n边形的外角和为360度，所以正n边形每个外角的度数是；所以正n边形的中心角等于它的外角.（2）边数相同的正多边形相似.周长的比等于它们边长（或半径、边心距）的比.面积比等于它们边长（或半径、边心距）平方的比.考点二、圆中有关计算1圆中有关计算圆的面积公式：，周长.圆心角为、半径为R的弧长.圆心角为，半径为
4、R，弧长为的扇形的面积.弓形的面积要转化为扇形和三角形的面积和、差来计算.圆柱的侧面图是一个矩形，底面半径为R，母线长为的圆柱的体积为，侧面积为，全面积为.圆锥的侧面展开图为扇形，底面半径为R，母线长为，高为的圆锥的侧面积为，全面积为，母线长、圆锥高、底面圆的半径之间有.要点诠释：(1)对于扇形面积公式，关键要理解圆心角是1的扇形面积是圆面积的，即；(2)在扇形面积公式中，涉及三个量：扇形面积S、扇形半径R、扇形的圆心角，知道其中的两个量就可以求出第三个量.(3)扇形面积公式，可根据题目条件灵活选择使用，它与三角形面积公式有点类似，可类比记忆；(4)扇形两个面积公式之间的联系：.【典型例题】类
5、型一、正多边形有关计算1（2015镇江）图是我们常见的地砖上的图案，其中包含了一种特殊的平面图形正八边形（1）如图，AE是O的直径，用直尺和圆规作O的内接正八边形ABCDEFGH（不写作法，保留作图痕迹）；（2）在（1）的前提下，连接OD，已知OA=5，若扇形OAD（AOD180）是一个圆锥的侧面，则这个圆锥底面圆的半径等于 【思路点拨】（1）作AE的垂直平分线交O于C，G，作AOG，EOG的角平分线，分别交O于H，F，反向延长 FO，HO，分别交O于D，B顺次连接A，B，C，D，E，F，G，H，八边形ABCDEFGH即为所求；（2）由八边形ABCDEFGH是正八边形，求得AOD=3=135得
6、到的长=，设这个圆锥底面圆的半径为R，根据圆的周长的公式即可求得结论【答案与解析】（1）如图所示，八边形ABCDEFGH即为所求，（2）八边形ABCDEFGH是正八边形，AOD=3=135，OA=5，的长=，设这个圆锥底面圆的半径为R，2R=，R=，即这个圆锥底面圆的半径为故答案为：【总结升华】本题考查了尺规作图，圆内接八边形的性质，弧长的计算，圆的周长公式的应用，会求八边形的内角的度数是解题的关键举一反三：【变式1】如图是三根外径均为1米的圆形钢管堆积图和主视图，则其最高点与地面的距离是_米【答案】. 解析：如图，以三个圆心为顶点等边三角形O1O2O3的高O1C，所以ABAO1+O1C+BC
7、【高清课堂：正多边形与圆的有关证明与计算 自主学习4】【变式2】同一个圆的内接正三角形、正方形、正六边形的边长的比是_.【答案】【高清课堂：正多边形与圆的有关证明与计算 自主学习2】【变式3】（2015广西自主招生）一张圆心角为45的扇形纸板和圆形纸板按如图方式剪得一个正方形，边长都为2，则扇形纸板和圆形纸板的面积比是（）A5：4 B5：2 C：2D：【答案】A.【解析】解：如图1，连接OD，四边形ABCD是正方形，DCB=ABO=90，AB=BC=CD=2，AOB=45，OB=AB=2，由勾股定理得：OD=2，扇形的面积是=；如图2，连接MB、MC，四边形ABCD是M的内接四边形，四边形AB
8、CD是正方形，BMC=90，MB=MC，MCB=MBC=45，BC=2，MC=MB=，M的面积是（）2=2，扇形和圆形纸板的面积比是（2）=故选：A类型二、正多边形与圆有关面积的计算2(1)如图(a)，扇形OAB的圆心角为90，分别以OA，OB为直径在扇形内作半圆，P和Q分别表示阴影部分的面积，那么P和Q的大小关系是( )APQ BPQ CPQ D无法确定 (2)如图(b)，ABC为等腰直角三角形，AC3，以BC为直径的半圆与斜边AB交于点D，则图中阴影部分的面积是_(3)如图(c)，AOB中，OA3cm，OB1cm，将AOB绕点O逆时针旋转90到AOB，求AB扫过的区域(图中阴影部分)的面积
9、(结果保留)【思路点拨】 直接使用公式计算阴影部分面积比较困难时，可采用和差法、转化法、方程法等，有时也需要运用变换的观点来解决问题【答案与解析】解：(1)阴影部分的面积直接求出十分困难，可利用几个图形面积的和差进行计算： ； (2)(转化法“凑整”)利用，则阴影部分的面积可转化为ACD的面积，等于ABC面积的一半，答案为；(3)(旋转法)将图形ABM绕点O逆时针旋转到ABM位置，则【总结升华】求阴影面积的几种常用方 (1)公式法；(2)割补法；（3）旋转法；(4)拼凑法；(5)等积变形法；(6)构造方程法举一反三：【变式】如图，在ABC中，ABAC，AB8，BC12，分别以AB、AC为直径作
10、半圆，则图中阴影部分的面积是( )A B C D【答案】 解：如图，由AB，AC为直径可得ADBC，则BDDC6在RtABD中， 答案选D.3如图所示，A是半径为2的O外一点，OA4，AB是O的切线，B为切点，弦BCOA，连AC，求阴影部分的面积【思路点拨】图中的阴影是不规则图形，不易直接求出，如果连接OB、OC，由BCOA，根据同底等高的三角形面积相等，于是所求阴影可化为扇形OBC去求解【答案与解析】 解：如图所示，连OB、OC BCOA OBC和ABC同底等高， SABCSOBC， AB为O的切线， OBAB OA4，OB2， AOB60 BCOA， AOBOBC60 OBOC， OBC为
11、正三角形 COB60， 【总结升华】通过等积替换化不规则图形为规则图形，在等积转化中可根据平移、旋转或轴对称等图形变换；可根据同底（等底）同高（等高）的三角形面积相等进行转化举一反三：【变式】如图所示，半圆的直径AB10，P为AB上一点，点C，D为半圆的三等分点，则阴影部分的面积等于_ 【答案】解：连接OC、OD、CD C、D为半圆的三等分点， AOCCODDOB 又 OCOD， OCDODC60， DCAB， ， 4（2015秋江都市期中）如图，在边长为4的正方形ABCD中，以AB为直径的半圆与对角线AC交于点E（1）求弧BE所对的圆心角的度数（2）求图中阴影部分的面积（结果保留）【思路点拨
12、】（1）连接OE，由条件可求得EAB=45，利用圆周角定理可知弧BE所对的圆心角EOB=2EAB=90；（2）利用条件可求得扇形AOE的面积，进一步求得弓形的面积，利用RtADC的面积减去弓的面积可求得阴影部分的面积【答案与解析】解：（1）连接OE，四边形ABCD为正方形，EAB=45，EOB=2EAB=90；（2）由（1）EOB=90，且AB=4，则OA=2，S扇形AOE=，SAOE=OA2=2，S弓形=S扇形AOESAOE=2，又SACD=ADCD=44=8，S阴影=8（2）=10【总结升华】本题主要考查扇形面积的计算和正方形的性质，掌握扇形的面积公式是解题的关键，注意弓形面积的计算方法5
13、将一块三角板和半圆形量角器按图中方式叠放，重叠部分（阴影）的量角器圆弧（）对应的中心角（AOB）为120，AO的长为4cm，求图中阴影部分的面积.【思路点拨】 看是否由“规则的”三角形、四边形、圆、扇形、弓形等可求面积的图形，经过怎样的拼凑、割补、叠合而成，这是解决这类题的关键【答案与解析】阴影部分的面积可看成是由一个扇形AOB和一个RtBOC组成，其中扇形AOB的中心角是，AO的长为4，RtBOC中，OBOA4，BOC60， 可求得BC长和OC长，从而可求得面积，阴影部分面积扇形AOB面积+BOC面积【总结升华】本题是求简单组合图形的面积问题，解答时，常常是寻找这些“不规则的图形”是由哪些“
14、可求面积的、规则的图形”组合而成. 举一反三：【变式】如图，矩形ABCD中，AB1，以AD的长为半径的A交BC于点E，则图中阴影部分的面积为_【答案】. 解析：连接AE，易证ABBE1，BAE45，所以EAD45，所以 6如图，AB是O的直径，点P是AB延长线上一点，PC切O于点C，连接AC，过点O作AC的垂线交AC于点D，交O于点E已知AB8，P=30（1）求线段PC的长；（2）求阴影部分的面积【思路点拨】（1）连接OC，由PC为圆O的切线，根据切线的性质得到OC与PC垂直，可得三角形OCP为直角三角形，同时由直径AB的长求出半径OC的长，根据锐角三角函数定义得到tanP为P的对边OC与邻边
15、PC的比值，根据P的度数，利用特殊角的三角函数值求出tanP的值，由tanP及OC的值，可得出PC的长； （2）由直角三角形中P的度数，根据直角三角形的两个锐角互余求出AOC的度数，进而得出BOC的度数，由OD与BC垂直，且OC=OB，利用等腰三角形的三线合一得到OD为BOC的平分线，可求出COD度数为60，再根据直角三角形中两锐角互余求出OCD度数为30，根据30角所对的直角边等于斜边的一半，由斜边OC的长求出OD的长，先由COD的度数及半径OC的长，利用扇形的面积公式求出扇形COE的面积，再由OD与CD的长，利用直角三角形两直角边乘积的一半求出直角三角形COD的面积，用扇形COE的面积减去
16、三角形COD的面积，即可求出阴影部分的面积【答案与解析】解：（1）连接OC，PC切O于点C，OCPC，AB=8，OC=AB=4，又在直角三角形OCP中，P=30，tanP=tan30=，即PC=4；（2）OCP=90，P=30，COP=60，AOC=120，又ACOE，OA=OC，OD为AOC的平分线，COE=AOC=60，又半径OC=4，S扇形OCE=，在RtOCD中，COD=60，OCD=30，OD=OC=2，根据勾股定理得：CD=，SOCD=DCOD=22=2，则S阴影=S扇形OCE-SOCD=【总结升华】此题考查了切线的性质，含30角的直角三角形的性质，等腰三角形的性质，锐角三角函数定义，以及扇形的面积公式，遇到已知切线的类型题时，常常连接圆心与切点，利用切线的性质得出垂直，利用直角三角形的性质来解决问题
