1、题型四 与圆有关的证明与计算(近6年连续考查)【题型解读】近6年连续在解答题中考查，考查的类型有两种：在2017年中考查与切线性质有关的证明与计算，设问有：证明线段的相等和利用勾股定理求线段长；其余5年考查的是特殊四边形的动态探究，考查该类型的时候，第二问往往是以两个填空题的形式出现，主要考查内容是菱形、正方形的判定，其中菱形的判定是必考内容. 类型一 与切线判定有关的证明与计算1. 如图，D是O上的一点，C是直径AB延长线上一点，连接BD，CD，且ABDC.(1)求证：CD是O的切线；(2)若CM平分ACD，且分别交AD，BD于点M，N，当DM2时，求MN的长.第1题图2. 如图，ABC内接
2、于O，B60，CD是O的直径，点P是CD延长线上的一点，且APAC.(1)求证：PA是O的切线；(2)若AB3，BC2，求O的半径.第2题图3. (2019南充)如图，在ABC中，以AC为直径的O交AB于点D，连接CD，BCDA.(1)求证：BC是O的切线；(2)若BC5，BD3，求点O到CD的距离.第3题图4. (2019济宁)如图，AB是O的直径，C是O上一点，D是的中点，E为OD延长线上一点，且CAE 2C，AC与BD交于点H，与OE交于点F.(1)求证：AE是O的切线；(2)若DH9，tanC ，求直径AB的长.第4题图类型二 与切线性质有关的证明与计算(2017.18)1. (201
3、9河南定心卷)如图，O为ABC的外接圆，ABAC，直线MN与O相切于点C，弦BDMN，AC与BD相交于点E，连接AD，CD.(1)求证：ABEACD；(2)若AB5，BC3，求AE的长.第1题图2. 如图，在ABC中，C90，D是AB边上一点，以BD为直径的O与边AC相切于点E，与边BC交于点F，过点E作EHAB于点H，连接BE.(1)求证：BCBH；(2)若AB5，AC4，求CE的长.第2题图3. 如图，半圆O的直径为AB，D是半圆上的一个动点(不与点A，B重合)，连接BD并延长至点C，使CDBD，过点D作半圆O的切线交AC于点E.(1)求证：DEAC；(2)若BD2，且AB3BD，求DE的
4、长.第3题图4. (2019桂林改编)如图，BM是以AB为直径的O的切线，B为切点，BC平分ABM，弦CD交AB于点E，DEOE.(1)求证：CAECBA；(2)求证：OA2OEDC；(3)求tanACD的值.第4题图类型三 特殊四边形的动态探究题(2019、2015、2014.17；2018.19；2016.18)1. 如图所示，ADBC，BAD90，以点B为圆心，BC长为半径画弧，与射线AD相交于点E，连接BE，过点C作CFBE于点F.(1)线段BF与图中哪条线段相等？写出来并加以证明；(2)若AB12，BC13，P从E出发沿ED方向运动，Q从C出发向B运动，两点同时出发且速度均为每秒1个
5、单位.填空：当运动时间为秒时，四边形EPCQ是矩形；当运动时间为秒时，四边形EPCQ是菱形.第1题图2. 如图，已知BC是O的直径，AD与O相切于点A，CDOA交O于另一点E.(1)求证：ACDBCA；(2)若A是O上一动点，则当B时，以A，O，C，D为顶点的四边形是正方形；当B时，以A，O，C，E为顶点的四边形是菱形.第2题图3. 如图，在RtABC中，ABC90，以AB为直径作O，交AC于点D，过点D作O的切线，交BC于点E.(1)求证：EBEC；(2)填空：当BAC时，CDE为等边三角形；连接OD，当BAC时，四边形OBED是菱形.第3题图4. 如图，四边形ABCD内接于O，对角线AC为
6、O的直径，过点C作AC的垂线交AD的延长线于点E，过点D作O的切线，交EC于点F.(1)求证：EFFC；(2)填空：当ACD的度数为时，四边形ODFC为正方形；若AD4，DC2，则四边形ABCD的最大面积是.第4题图5. (2019许昌模拟)如图，O是ABC的外接圆，AB为直径，BAC的平分线交O于点D，过点D 作DEAC，分别交AC，AB的延长线于点E，F.(1)求证：EF是O的切线；(2)填空：当BAC的度数为时，四边形ACDO为菱形；若O的半径为5，AC3CE，则BC的长为.第5题图6. 如图，已知AB是O的直径，PC与O相切于点P，过点A作直线ACPC交O于另一点D，连接PA，PB，P
7、O.(1)求证：AP平分CAB；(2)若P是直径AB上方半圆弧上一动点，O的半径为2，则当弦AP时，以A，O，P，C为顶点的四边形是正方形；当弧AP时，以A，D，O，P为顶点的四边形是菱形.第6题图7. (2019新乡模拟)如图，在O中，AB为直径，点P为O外一点，且PAAB，PA，PB交O于D，E两点，PAB为锐角，连接DE，OD，OE.(1)求证：EDOEBO；(2)填空：若AB8，AOD的最大面积为；当DE时，四边形OBED为菱形.第7题图8. 如图，点A，C，B是O上三点，且C是劣弧的中点，点E，F是弦AB上两点，且AFBE.(1)求证：OEOF；(2)填空：若O的半径为，当AOB时，
8、四边形AOBC是菱形；当AOB90时，四边形AOBC的面积是.第8题图9. (2019开封模拟)如图，在ABCD中，O是ABC的外接圆，CD与O相切于点C，点P是劣弧上的一个动点(点P不与点B，C重合)，连接PA，PB，PC.(1)求证：CACB；(2)当APAC时，试判断APC与CBA是否全等，请说明理由；(3)填空：当D时，四边形ABCD是菱形.第9题图10. 如图，以ABC一边AB为直径作O，与另外两边分别交于点D、E，且点D为BC的中点，连接DE.(1)证明：ABC是等腰三角形；(2)填空：当B时，四边形BDEO是菱形；当B时，AOE是直角三角形.第10题图11. 如图，ABC内接于O
9、，ABAC，连接AO并延长交O于点D，交BC于点E，BF平分ABC，交AD于点F，连接BD，CD.(1)求证：BDECDE；(2)填空：连接CF，当BAC时，四边形BDCF是菱形；当FBD时，四边形ABDC是正方形.第11题图12. 如图，已知ABC内接于O，AB是O的直径，ODAC，ADOC.(1)求证：四边形OCAD是平行四边形；(2)探究：当B时，四边形OCAD是菱形；当B满足什么条件时，AD与O相切？请说明理由.第12题图参考答案类型一与切线判定有关的证明与计算1. (1)证明：如解图，连接OD.AB为O的直径，ADB90，即AABD90，又ODOB，ABDODB，ABDC，BDCOD
10、B90，即ODC90.OD是O的半径，CD是O的切线；第1题解图(2)解：CM平分ACD，DCMACM，又ABDC，AACMBDCDCM，即DMNDNM，ADB90，DM2，DNDM2，在RtNDM中，由勾股定理得，MN2.2. (1)证明：如解图，连接OA，B60，AOC2B120，又OAOC，OACOCA30，又APAC，PACO30，OAPAOCP90，OAPA，OA为O的半径，PA是O的切线；第2题解图(2)解：如解图，过点C作CEAB于点E.在RtBCE中，B60，BC2，BEBCcosB1，CE，AB3，AEABBE2，在RtACE中，AC，APAC.在RtPAO中，OAtan30
11、，O的半径为.3. (1)证明：AC是O的直径，ADC90.AACD90，BCDA，BCDACDACB90，OCBC.又OC为O的半径，BC是O的切线；(2)解：如解图，过点O作OECD于点E.在RtBCD中，BC5，BD3，CD4.ADCCDB90，BCDA，RtBDCRtCDA.，AD.OECD，E为CD的中点又点O是AC的中点，OEAD.点O到CD的距离为.第3题解图4. (1)证明：D是的中点，ODAC，即AFO90，CABAOF90.又CAE2C2BAOF，CAECABAOFCAB90EAO，EAAB.又AB为O的直径，AE是O的切线；(2)解：如解图，连接AD，CBHDF，D是的中
12、点，CDAHB，AB是O的直径，ADB90，RtADHRtBDA，tanC，DH9，AD12，BD16，在RtDAB中，AB20.第4题解图类型二与切线性质有关的证明与计算1. (1)证明：如解图，连接OC，直线MN与O相切于点C，OCMN.BDMN，OCBD.BAECAD.在ABE和ACD中，ABEACD(ASA)；第1题解图(2)解：由(1)知BACCADCBD，BCEACB.ACAB5，BC3，CE.AEACCE.2. (1)证明：如解图，连接OE，AC与O相切于点E，OEAC.C90，BCAC.OEBC.CBEOEB.OEOB，EBOOEB.CBEEBO，CEBC，EHAB，CEEH.
13、在RtEBC和RtEBH中，RtEBCRtEBH(HL)BCBH；第2题解图(2)解：AB5，AC4，在RtABC中，根据勾股定理可得BC3.BCBH，BH3.AHABBH532.设CEEHx，则AE4x，在RtAEH中，根据勾股定理可得AH2EH2AE2，即22x2(4x)2，解得x，CE.3. (1)证明：如解图，连接OD.DE是半圆O的切线，切点为D，ODDE，BDCD，OAOB，OD是ABC的中位线，ODAC.DEAC；第3题解图(2)解：如解图，连接AD，AB是半圆O的直径，ADB90，即ADBC，又DCBD2，AD是BC的垂直平分线，ABAC，ABDACD.又DEAC，CED90，
14、ADBDEC，ABDDCE.，即DE，在RtABD中，BD2，AB3BD6，AD4，DE.4. (1)证明：BM是O的切线，ABM90.BC平分ABM，ABCABM45.AB为O的直径，ACB90，BAC45，CAECBA；(2)证明：如解图，连接OC和OD.OCDO，DEOE，OCDODCDOE.OCDEDO，即DO2OEDC.又OADO，OA2OEDC；第4题解图(3)解：由(1)知，ACB为等腰直角三角形，C为的中点，COAB，如解图，过点E作EFAC于点F，设圆的半径为r，DCO，则有EODCDO，CEOEODCDO2，由290，得30，在RtCOE中，OEr，则AErrr，ACr.在
15、RtAEF中，AFEFrr，CFACAFrrr，tanACD2.类型三特殊四边形的动态探究题1. 解：(1)BFAE.证明如下：由题意可知ABFC90，BCBE.ADBC，AEBFBC，在ABE与FCB中，ABEFCB(AAS)AEBF；(2)8；【解法提示】设运动时间为t秒，四边形EPCQ是矩形，APC90，四边形ABCP是矩形，APBC.由勾股定理知AE5，EP1358，t8.13.【解法提示】四边形EPCQ是菱形，QEQC，点Q与点B重合，CQCB13，t13.2. (1)证明：AD与O相切于点 A，OAAD，CDOA，ADC90，BC 是O 的直径，BAC90，BACADC，又CDOA
16、，ACDCAO，OAOC，ACOCAO，ACDACO，ACDBCA；(2)解： 45；【解法提示】四边形AOCD为正方形，AOC90，OAOC，OCAOAC45，BAC90，OAOB，BOAB904545. 60.【解法提示】如解图，连接AE，AD为切线，DAEECA，OAD90.四边形AOCE为菱形，OACEAC，DAEECAOAC30，ACO30，AOBACOOAC303060，OAOB，B60.第2题解图3. (1)证明：如解图，连接OD，BD，ABC90，AB是O的直径，BC是O的切线DE是O的切线，BEDE.EBDEDB.AB是O的直径，ADB90.EBDC90，EDBCDE90.C
17、EDC.DECE.EBEC；第3题解图(2)解： 30；【解法提示】当CDE为等边三角形时，则CDEC60，ABC90，BAC906030. 45.【解法提示】当四边形OBED是菱形时，BODE，DEOB，BEOD，BEOD，ABC90，BOD90，ODOA，BAC45.4. (1)证明：AC是O的直径，CEAC，CE是O的切线又DF是O的切线，且交CE于点F，DFCF，CDFDCF，AC是O的直径，ADC90，DCFE90，CDFEDF90，EEDF，DFEF，EFFC；(2)解： 45；【解法提示】如解图，连接OD，四边形ODFC是正方形，DOC90，又ODOC，OCDODC45，ACDO
18、CD45.第4题解图 9.【解法提示】AC为O的直径，ADCABC90，AD4，DC2，AC2，要使四边形ABCD的面积最大，则ABC的面积最大，当ABC是等腰直角三角形时，ABC的面积最大，四边形ABCD的最大面积4229.5. (1)证明：如解图，连接OD，OAOD，OADODA，AD平分EAF，DAEDAO，DAEADO，ODAE，AEEF，ODEF，又OD为O的半径，EF是O的切线；第5题解图(2)解： 60；【解法提示】如解图，连接CD，当四边形ACDO为菱形时，AOCD，ACOD，已知AD为BAC的平分线，OADODAADCCAD，又CDACBA，ACB90，ABC30，BAC60
19、.8.【解法提示】如解图，设OD与BC交于点G，AB为直径，ACB90，DEAC，四边形CEDG是矩形，DGCE，AC3CE，OGACCE，ODCE5，CE2，AC6，AB2510，BC8.6. (1)证明：如解图，PC与O相切于点P，OPPC.ACPC，ACOP.13.OPOA，23，12，AP平分CAB；第6题解图(2)解： 2；【解法提示】AOPC为正方形，OPOA2，POA90，AP2. 或.【解法提示】当ADAPOPOD时，四边形ADOP为菱形，AOP和AOD为等边三角形，则AOP60，l；当ADDPPOOA时，四边形ADPO为菱形，AOD和DOP为等边三角形，则AOP120，l.综
20、上所述，当弧AP为或时，以A，D，O，P为顶点的四边形是菱形7. (1)证明：如解图，连接AE, 第7题解图AB为O的直径，AEB90，PAAB，E为PB的中点，AOOB，OEPA，ADODOE，AEOB，ODOA，AADO，EOBDOE，ODOEOB，EDOEBO；(2)解： 8；【解法提示】AB8，OA4，当OA边上的高最大时，AOD的面积最大，此时点D是的中点，ODAB，SAOD448. 4.【解法提示】当四边形OBED为菱形时，ODOBBEDEAB，DE4.8. (1)证明：OAOB，OABOBA，AFBE，AEBF，在OAE和OBF中，OAEOBF(SAS)，OEOF；(2)解：12
21、0； .【解法提示】如解图，连接OC，四边形AOBC是菱形，OAACBCOB，OAOC，OAACBCOBOC，AOC和BOC都是等边三角形，AOCBOC60，AOBAOCBOC6060120；如解图，设OC与AB交于点D，点C是劣弧的中点，OCAB，OAOB，ADBD，AOCBOC45，ODBD，OB，BDOD1，AB2，S四边形AOBC SAOBSACBABODABCDABOC2.第8题解图9. (1)证明：如解图，连接CO并延长交AB于点E，CD与O相切于点C，CECD，四边形ABCD为平行四边形，ABCD，CEAB，AEBE，CACB；第9题解图(2)解：当ACAP时，APCCBA.理由
22、如下：CACB，ACAP，ABCBAC，APCACP，ABCAPC，BACACP，在APC与CBA中，APCCBA(AAS)；(3)解：60.【解法提示】ABCD是菱形，BD，ABBCCDDA，由(1)可知，CACB，ABC是等边三角形，DB60.10. (1)证明：如解图，连接AD，AB是O的直径，BDA90.D为BC的中点，BDDC，ABAC，ABC是等腰三角形；(2)解： 60； 67.5.【解法提示】当B60时，四边形BDEO是菱形如解图，连接OD，B60，ABC是等边三角形，OBD是等边三角形，AOE是等边三角形，DOE是等边三角形，OBBDDEEO, 四边形BDEO是菱形；若AOE
23、是直角三角形， 只有一种情况，即AOE90，OAOE，OAEAEO45，由(1)知 ABC 是等腰三角形，BC67.5.第10题解图11. (1)证明：AD是O的直径，ABDACD90.在RtABD和RtACD中，RtABDRtACD(HL)，ADBADC，BDCD，在BDE和CDE中，BDECDE(SAS)；(2)解： 60； 67.5.【解法提示】四边形BDCF是菱形，FBCDBC，BF平分ABC，ABFFBCDBC，又ABD90，ABFFBC30，ABC60，又ABAC，ABC为等边三角形，BAC60；四边形ABDC是正方形，ABCDBC45，BF平分ABC，ABFFBC22.5，FBDFBCDBC22.54567.5.12. (1)证明：OAOC，ADOC，OAAD，OACOCA，AODADO，ODAC，OACAOD，OACOCAAODADO，AOCOAD，OCAD，OCAD，四边形OCAD是平行四边形；(2)解：30；【解法提示】四边形OCAD是菱形，OCAC，又OCOA，OCOAAC，AOC60，BAOC30.当B45时，AD与O相切理由如下：AD与O相切，OAD90，ADOC，AOC90，BAOC45.
