1、提分专练(六)与四边形有关的计算与证明|类型1|平行四边形背景问题1.2019沈阳如图T6-1,在四边形ABCD中,点E和点F是对角线AC上的两点,AE=CF,DF=BE,且DFBE,过点C作CGAB交AB的延长线于点G.(1)求证:四边形ABCD是平行四边形;(2)若tanCAB=25,CBG=45,BC=42,则ABCD的面积是.图T6-12.2018贵阳如图T6-2,在平行四边形ABCD中,AE是BC边上的高,点F是DE的中点,AB与AG关于AE对称,AE与AF关于AG对称.(1)求证:AEF是等边三角形;(2)若AB=2,求AFD的面积.图T6-2|类型2|特殊四边形背景问题3.201
2、9新疆生产建设兵团如图T6-3,在菱形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,E是CD中点,连接OE.过点C作CFBD交OE的延长线于点F,连接DF.求证:(1)ODEFCE;(2)四边形OCFD是矩形.图T6-34.2018呼和浩特如图T6-4,已知A,F,C,D四点在同一条直线上,AF=CD,ABDE,且AB=DE.(1)求证:ABCDEF;(2)若EF=3,DE=4,DEF=90,请直接写出使四边形EFBC为菱形时AF的长度.图T6-45.2019潍坊如图T6-5,正方形ABCD的边CD在正方形ECGF的边CE上,连接DG,过点A作AHDG,交BG于点H,连接HF,AF,其中AF交EC于
3、点M.(1)求证:AHF为等腰直角三角形;(2)若AB=3,EC=5,求EM的长.图T6-56.2018遵义 如图T6-6,正方形ABCD的对角线交于点O,点E,F分别在AB,BC上(AEBE),且EOF=90,OE,DA的延长线交于点M,OF,AB的延长线交于点N,连接MN.(1)求证:OM=ON;(2)若正方形ABCD的边长为4,E为OM的中点,求MN的长.图T6-67.2018江西在菱形ABCD中,ABC=60,点P是射线BD上一动点,以AP为边向右侧作等边三角形APE,点E的位置随着点P的位置变化而变化.(1)如图T6-7,当点E在菱形ABCD内部或边上时,连接CE,BP与CE的数量关
4、系是,CE与AD的位置关系是.(2)当点E在菱形ABCD外部时,(1)中的结论是否还成立?若成立,请予以证明;若不成立,请说明理由(选择图,图中的一种情况予以证明或说明理由).(3)如图,当点P在线段BD的延长线上时,连接BE,若AB=23,BE=219,求四边形ADPE的面积.图T6-7【参考答案】1.解:(1)证明:AE=CF,AE+EF=CF+EF,即AF=CE,DFBE,DFA=BEC,DF=BE,ADFCBE(SAS),AD=CB,DAF=BCE,ADCB,四边形ABCD是平行四边形.(2)24解析CGAB,G=90,CBG=45,BCG是等腰直角三角形,BC=42,BG=CG=4,
5、tanCAB=25,AG=10,AB=6,ABCD的面积=64=24.2.解:(1)证明:在平行四边形ABCD中,AE是BC边上的高,DAE=AEB=90.点F是DE的中点,在RtAED中,FE=AF.AE与AF关于AG对称,AE=AF.AE=AF=EF.AEF是等边三角形.(2)AEF是等边三角形,EAF=AEF=60,EAG=EDA=30.AB与AG关于AE对称,BAE=EAG=30.在RtABE中,AB=2,BE=12AB=1,AE=22-12=3.DE=23,AD=3.SAFD=12SADE=1212AEAD=121233=343.3.证明:(1)CFBD,ODC=DCF.E是CD中点
6、,ED=EC.DEO=CEF,ODEFCE.(2)ODEFCE,OE=EF.又DE=EC,四边形OCFD是平行四边形.四边形ABCD是菱形,BDAC.DOC=90.四边形OCFD是矩形.4.解:(1)证明:ABDE,A=D.AF=CD,AC=DF.又AB=DE,ABCDEF.(2)AF=75解析由勾股定理得DF=EF2+DE2=32+42=5,作EPDF于P,则EP=DEEFDF=125.四边形BCEF是菱形,EF=CE,由勾股定理得FP=EF2-EP2=32-(125)2=95,则CP=FP=95,AF=DC=DF-CF=5-295=75.5.解:(1)证明:ADCG,AHDG,四边形ADG
7、H为平行四边形.AD=HG.AD=BC=AB,AB=BC=HG,BC+CH=GH+HC,即BH=CG,GF=BH.在ABH和HGF中,AB=HG,B=HGF,BH=GF,ABHHGF,AH=HF,BAH=GHF.BAH+BHA=90,GHF+BHA=90,AHF=90,AHF为等腰直角三角形.(2)AB=3,EC=5,AD=CD=3,EF=5,DE=2.ADEF,DMEM=ADEF=35,EM=58DE=54.6.解:(1)证明:正方形ABCD中,AC=BD,OA=12AC,OB=12BD,所以OA=OB.因为ACBD,所以AOB=AOD=90,所以OAD=OBA=45,所以OAM=OBN,又
8、因为EOF=90,所以AOM=BON,所以AOMBON,所以OM=ON.(2)过点O作OPAB于P,所以OPA=90,所以OPA=MAE,因为E为OM的中点,所以OE=ME,又因为AEM=PEO,所以AEMPEO,所以AE=EP.因为OA=OB,OPAB,所以AP=BP=12AB=2,所以EP=1.RtOPB中,OBP=45,所以OP=PB=2,RtOEP中,OE=OP2+PE2=5,所以OM=2OE=25,RtOMN中,OM=ON,所以MN=2OM=210.7.解:(1)BP=CECEAD解析连接AC交BD于O点,如图,BA=BC,ABC=60,ABC是等边三角形,AC=AB,BAC=60=
9、PAE,BAP=CAE.在BAP和CAE中,AB=AC,BAP=CAE,AP=AE,BAPCAE(SAS),BP=CE.BAPCAE,ACE=ABP=12ABC=30,ACD=60,ECD=30,CE为ACD的平分线,CA=CD,由三线合一知CEAD.(2)仍然成立,选择图,理由如下:如图,连接AC交BD于O点,设CE交AD于点H,在菱形ABCD中,ABC=60,BA=BC,ABC为等边三角形,BA=CA.APE为等边三角形,AP=AE,PAE=BAC=60,BAP=CAE.在BAP和CAE中,AB=AC,BAP=CAE,AP=AE,BAPCAE(SAS),BP=CE,ACE=ABP=30.又
10、CAD=60,AHC=90,即CEAD.选择图,理由如下:如图,连接AC交BD于点O,设CE交AD于点H.同理得BAPCAE,BP=CE,ACE=ABP=30,又CAD=60,AHC=90,即CEAD.(3)如图,连接AC交BD于点O,连接CE交AD于点H.由(2)可知,CEAD,CE=BP,在菱形ABCD中,ADBC,ECBC.BC=AB=23,BE=219,在RtBCE中,CE=(219)2-(23)2=8,BP=CE=8.AC与BD是菱形的对角线,ABD=12ABC=30,ACBD,BD=2BO=2ABcos30=6,AO=12AB=3,DP=BP-BD=8-6=2,OP=OD+DP=5.在RtAOP中,AP=AO2+OP2=27,S四边形ADPE=SADP+SAPE=12DPAO+34AP2=1223+34(27)2=83.
