1、5.3 平行线的性质 5.3.2 命题、定理、证明,人教版 数学 七年级 下册,1,小明的百米成绩有进步，已达到9秒9.,有一位田径教练向领导汇报训练成绩；,相传,阎锡山在观看士兵篮球赛,双方争抢非常激烈.于是命令:,“不要再抢啦！每个人发一个球！”,1. 理解命题，定理及证明的概念，会区分命题的题设和结论.,2.会判断真假命题，知道证明的意义及必要性，了解反例的作用.,素养目标,3. 理解证明要步步有据，培养学生养成科学严谨的学习态度.,请同学读出下列语句： （1）如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行； （2）两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补； （3）对顶角相等；
2、 （4）等式两边都加同一个数，结果仍是等式,像这样判断一件事情的语句，叫做命题（proposition）.,4,2.如果一个句子没有对某一件事情作出任何判断,那么 它就不是命题.,如：画线段AB=CD.,1.只要对一件事情作出了判断,不管正确与否,都是命题.,如：相等的角是对顶角.,注意：,例1 判断下列四个语句中，哪个是命题， 哪个不是命题？并 说明理由：,（1）对顶角相等吗？,（2）画一条线段AB=2cm;,（3）两条直线平行，同位角相等；,（4）相等的两个角，一定是对顶角.,解：（3）（4）是命题，（1）（2）不是命题. 理由如下：（1）是问句，故不是命题； （2）是做一件事情，也不是命
3、题.,命题的识别,1.下列语句在表述形式上，哪些是命题？哪些不是命题？ （1）对顶角相等； （2）画一个角等于已知角； （3）两直线平行，同位角相等； （4）a、b两条直线平行吗？ （5）温柔的李明明； （6）玫瑰花是动物； （7）若a24，求a的值； （8）若a2b2，则ab.,否,是,否,否,是,否,是,是,观察下列命题，你能发现这些命题有什么共同的结构特 征？与同伴交流. （1）如果两个三角形的三条边相等，那么这两个三角形的周长相等； （2）如果两个数的绝对值相等，那么这两个数也相等； （3）如果一个数的平方等于9，那么这个数是3.,都是“如果那么”的形式,命题一般都可以写成“如果那么”
4、的形式. 1.“如果”后接的部分是题设, 2.“那么”后接的部分是结论.,如命题：熊猫没有翅膀.改写为：,如果这个动物是熊猫，那么它就没有翅膀.,注意：添加“如果”“那么”后，命题的意义不能改变，改写的句子要完整，语句要通顺，使命题的题设和结论更明朗，易于分辨，改写过程中，要适当增加词语，切不可生搬硬套.,命题,题设,结论,已知事项,由已知事项推出的事项,两直线平行， 同位角相等,题设（条件）,结论,命题的组成：,例2 分别把下列命题写成“如果那么”的形式. (1)两点确定一条直线； (2)等角的补角相等； (3)内错角相等.,解：(1)如果有两个定点，那么过这两点有且只有一条直线； (2)如
5、果两个角分别是两个等角的补角，那么这两个角相等； (3)如果两个角是内错角，那么这两个角相等.,命题表述形式的变换,2.请将它们改写成“如果，那么”的形式. （1）两条直线被第三条直线所截，同旁内角互补； （2）等式两边都加同一个数，结果仍是等式； （3）互为相反数的两个数相加得0； （4）同旁内角互补； （5）对顶角相等,如果两条直线被第三条直线所截，那么同旁内角互补；,如果等式两边都加同一个数，那么结果仍是等式；,如果两个数互为相反数，那么这两个数相加得0；,如果两个角是同旁内角，那么这两个角互补；,如果两个角互为对顶角，那么这两个角相等,有些命题如果题设成立，那么结论一定成立；而有些命题
6、题设成立时，结论不一定成立.,正确的命题叫真命题，错误的命题叫假命题.,如命题：“如果两个角互补，那么它们是邻补角”就是一个错误的命题.,如命题：“如果一个数能被4整除，那么它也能被2整除”就是一个正确的命题.,确定一个命题真假的方法：,利用已有的知识，通过观察、验证、推理、举反例等方法.,13,例3 下列命题哪些命题是正确的，哪些命题是错误的？ （1）两条直线被第三条直线所截，同旁内角互补； （2）等式两边都加同一个数，结果仍是等式； （3）互为相反数的两个数相加得0； （4）同旁内角互补； （5）对顶角相等,真假命题的识别,3.下列句子哪些是命题？是命题的，指出是真命题还是假命题？,（1）
7、猪有四只脚； （2）内错角相等； （3）画一条直线； （4）四边形是正方形； （5）你的作业做完了吗？ （6）同位角相等，两直线平行； （7）同角的补角相等； （8）同垂直于一直线的两直线平行； （9）过点P画线段MN的垂线； （10）x2,是,真命题,否,是,假命题,是,假命题,否,是,真命题,是,真命题,是,真命题,否,否,15,“因为早上我发现王五从苹果园那边过来，把一袋东西背回家，还发现我果园的苹果被人偷了，我知道王五家没有苹果树. 所以我家苹果肯定是王五偷的.”,情节1：一天早上，张老汉来到公安局里告状说：王五刚刚在他地里偷了一袋子苹果.文局长立即派干警将王五传唤到公安局审讯: 文局
8、长问张老汉：“你怎知是王五偷了你的苹果?”,这种从已知条件出发（列出理由），推断出结论的证明方法，叫综合法.综合法是最常用的证明方法.,16,情节2：文局长一时拿不定主意，就问旁边的梁副局长：“梁局长，你怎么看？” 梁局长说“这事要证明是王五干的，还得弄清那袋子里装的是不是刚摘的苹果，还要看看地里的脚印是不是王五的才行. 如果袋子里装的是刚摘的苹果，且地里的脚印是王五的，那就一定是他偷的。”,从结论出发，逆着寻找所需要的条件的思考过程，叫分析.,在分析的过程中，如果发现所需要的条件，都已具备或可从已知条件中推得.那么证明就很容易了.,17,在很多情况下，一个命题的正确性需要经过推理才能作出判断
9、，这个推理过程叫作证明.,注意：证明的每一步推理都要有根据，不能“想当然”. 这些根据，可以是已知条件，也可以是学过的定义、 基本事实、定理等.,证明的概念,确定一个命题是假命题的方法：,例如，要判定命题“相等的角是对顶角”是假命题 ，可以举出如下反例：,如图，OC是AOB的平分线， 1=2，但它们不是对顶角.,只要举出一个例子（反例）：它符合命题的题设，但不满足结论即可.,【讨论】如何判定一个命题是假命题呢？,举反例,分析：要证明AB，CD平行，就需要同位角相等的条件，图中1与3就是同位角.我们只要找到：能说明它们相等的条件就行了. 从图中，我们可以发现：2与3是对顶角，所以3=2.这样我们
10、就找到了1与3相等的确切条件了.,例4 如图，1=2，试说明直线AB，CD平行.,利用证明推理解决问题,证明： 2与3是对顶角， 3=2 又1=2 1=3， ABCD,20,4.如图所示，直线AB和直线CD，直线BE和直线CF都被直线BC所截，在下面三个式子中，请你选择其中两个作为题设，剩下的一个作为结论，组成一个真命题并写出对应的推理过程 ABCD，BECF，12 题设(已知)； . 结论(求证)： .,理由： 证明：ABCD， ABCDCB， 又BECF. EBCFCB. ABCEBCDCBFCB， 12.,1.数学中有些命题的正确性是人们在长期实践中总结出来的，并把它们作为判断其他命题真
11、假的原始依据，这样的真命题叫做公理.,两点确定一条直线.,两点间线段最短.,经过直线外的一点有且仅有一条直线与已知直线平行.,直线公理： 线段公理： 平行线公理：,公理的概念,2.有些命题是基本事实，还有些命题它们的正确性是经过推理证实的，这样得到的真命题叫做定理.定理也可以作为继续推理的依据.,同角或等角的补角相等.,（2）余角的性质：,同角或等角的余角相等.,（4）垂线的性质：,在同一平面内过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；,（1）补角的性质：,（3）对顶角的性质：,对顶角相等.,垂线段最短.,学过的定理：,定理的概念,例5 已知：bc， ab ,求证：ac,证明： a b（已知）,
12、1=90（垂直的定义）,又 b c（已知）, 2=1=90（两直线平行，同位角相等）, a c（垂直的定义）.,利用公理定理进行推理,5.填空 已知：如图，1=2，3=4， 求证：EGFH 证明：1=2（已知） AEF=1 （ ）； AEF=2 （ ） ABCD （ ） BEF=CFE （ ） 3=4（已知）BEF4=CFE3 即GEF=HFE （ ） EGFH （ ）,对顶角相等,等量代换,同位角相等，两直线平行,两直线平行，内错角相等,等式性质,内错角相等，两直线平行,（2019娄底模拟）给出下列说法: (1)两条直线被第三条直线所截,同位角相等; (2)平面内的一条直线和两条平行线中的一
13、条相交,则它与另一条也相交; (3)相等的两个角是对顶角; (4)从直线外一点到这条直线的垂线段,叫做这点到直线的距离. 其中正确的命题有( ) A.0个 B.1个 C.2个 D.3个,巩固练习,B,1. 如图所示，从12 CD AF 三个条件中选出两个作为已知条件，另一个作为结论所组成的命题中，正确命题的个数为( ) A. 0 B. 1 C. 2 D. 3,D,2. 下列命题： 两点确定一条直线；两点之间，线段最短；对顶角相等；内错角相等； 其中真命题的个数是 ( ) A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个,C,3. 下列选项中，可以用来说明命题“两个锐角的和是锐角”是假命题的反例的
14、是 ( ) A. A30，B40 B. A30，B110 C. A30，B70 D. A30，B90,C,4. 下列命题是真命题的是 ( ) A. 相等的角是对顶角 B. 如果一个数能被3整除，那么它也能被6整除 C. 同旁内角互补 D. 同位角相等，两直线平行,D,5. 如图所示，已知AC与BD相交于点O，OE是AOD的平分线，可以作为假命题“相等的角是对顶角”的反例的是( ) A. AOBDOC B. EOCDOC C. EOBEOC D. EOCDOC,C,6.在下面的括号内，填上推理的依据.,如图，AB CD,CB DE , 求证： B+ D=180 证明： AB CD, B= C(
15、) CB DE C+ D=180( ) B+ D=180( ),等量代换,两直线平行，内错角相等,两直线平行，同旁内角互补,(1)如图所示，若12，则ABCD，试判断该命题的真假： (填“真”或“假”). (2)若上述命题为真命题，请说明理由，若上述命题为假命题，请你再添加一条件，使该命题成为真命题，并说明理由.,假,解：加条件：BEFD. 理由如下：BEFD，EBDFDN(两直线平行，同位角相等). 又12，ABDCDN. ABCD(同位角相等，两直线平行).,证明：ABCD(已知)， BPQCQP(两直线平行,内错角相等) 又PG平分BPQ，QH平分CQP(已知)， GPQ BPQ,HQP CQP(角平分线的定义)， GPQHQP(等量代换)， PGHQ(内错角相等，两直线平行),如图，已知ABCD，直线AB，CD被直 线MN所截，交点分别为P，Q，PG平分 BPQ，QH平分CQP， 求证：PGHQ.,真命题,假命题,公理,定理,（只需举一个反例）,（不需证明）,（由推理证实）,1.命题的定义: 2.命题的组成: 3.命题的分类：,判断一件事情的句子,题设和结论,课后作业,作业 内容,教材作业,从课后习题中选取,自主安排,配套练习册练习,
