1、2019-2020学年浙江省绍兴市柯桥区九年级（上）期中数学试卷一选择题1（3分）已知，则的值为（）ABCD2（3分）如图，点A，B，C在圆O上，若BOC72，则BAC的度数是（）A72B54C36D183（3分）把抛物线yx2+4先向左平移1个单位，再向下平移3个单位，所得的抛物线表达式为（）Ay（x+1）2+7By（x1）2+7Cy（x1）2+1Dy（x+1）2+14（3分）在圆内接四边形ABCD中，A：B：C：D的度数之比可能是（）A1：2：3：4B4：2：1：3C4：2：3：1D1：3：2：45（3分）如图，如果BADCAE，那么添加下列一个条件后，仍不能确定ABCADE的是（）ABD
2、BCAEDCD6（3分）一个扇形的弧长是10cm，面积是60cm2，则此扇形的圆心角的度数是（）A300B150C120D757（3分）点（2，y1）（3，y2）是抛物线y（x+1）2+m上的点，则y1，y2的大小关系为（）Ay1y2By1y2Cy1y2D无法确定8（3分）如图，已知AB和CD是O的两条等弦OMAB，ONCD，垂足分别为点M、N，BA、DC的延长线交于点P，联结OP下列四个说法中：；OMON；PAPC；BPODPO，正确的个数是（）A1B2C3D49（3分）如图，半径为5的A中，弦BC，ED所对的圆心角分别是BAC，EAD，若DE6，BAC+EAD180，则弦BC的弦心距长等于
3、（）A4B3CD10（3分）如图是抛物线yax2+bx+c（a0）的部分图象，其顶点坐标为（1，n），且与x轴的一个交点在点（3，0）和（4，0）之间，则下列结论：b2a；can；抛物线另一个交点（m，0）在2到1之间；当x0时，ax2+（b+2）x0；一元二次方程ax2+（b）x+c0有两个不相等的实数根其中正确结论的个数是（）A1个B2个C3个D4个二填空题11（3分）抛物线y3（x6）2+9的顶点坐标是 12（3分）在RtABC中，两直角边的长分别为6和8，则这个三角形的外接圆半径长为 13（3分）如图，已知ABCACP，A70，APC65，则B 14（3分）已知，在矩形ABCD中，AB
4、3，AD4，以点A为圆心，r为半径画圆，矩形的四个顶点恰好有一个在A外，则半径r的范围是 15（3分）阅读：我们约定，在平面直角坐标系中，经过某点且平行于坐标轴或平行于两坐标轴夹角平分线的直线，叫做该点的“特征线”例如，点M（1，3）的特征线有：x1，y3，yx+2，yx+4问题与探究：如图，在平面直角坐标系中有正方形OABC，点B在第一象限，A，C分别在x轴和y轴上，抛物线y（xa）2+b经过B，C两点，顶点D在正方形内部若点D有一条特征线是yx+2，则此抛物线的表达式是 16（3分）如图，AB是半圆O的直径，点C在半圆O上，AB4cm，CAB60，P是弧上的一个动点，连接AP，过C点作CD
5、AP于D，连接BD，在点P移动的过程中，BD的最小值是 三解答题17 如图所示，已知ABC的顶点A、B、C的坐标分别是A（1，1）、B（4，3）、C（4，1）（1）作出ABC关于原点O中心对称的图形ABC；（2）将ABC绕原点O按顺时针方向旋转90后得到A1B1C1，画出A1B1C1，并写出点的坐标18已知：如图，点C，D在线段AB上，PCD是等边三角形，且AC1，CD2，DB4求证：ACPPDB19如图，已知AB是O的直径，C，D是O上的点，OCBD，交AD于点E，连结BC（1）求证：AEED；（2）若AB8，CBD30，求图中阴影部分的面积20如图，在平面直角坐标系中，直线y5x+5与x轴
6、、y轴分别交于A，C两点，抛物线yx2+bx+c经过A，C两点，与x轴交于另一点B（1）求抛物线解析式及B点坐标；（2）x2+bx+c5x+5的解集是 ；（3）若点M为抛物线上一动点，连接MA、MB，当点M运动到某一位置时，ABM面积为ABC的面积的倍，求此时点M的坐标21如图，四边形ABCD内接于O，AC平分BAD，延长DC交AB的延长线于点E（1）若ADC86，求CBE的度数；（2）若ACEC，求证：ADBE22某商场经营某种品牌的计算器，购进时的单价是20元，根据市场调查：在一段时间内，销售单价是30元时，销售量是600个，而销售单价每上涨1元，就会少售出10个（1）不妨设该种品牌计算器
7、的销售单价为x元（x30），请你分别用x的代数式来表示销售量y个和销售该品牌计算器获得利润w元，并把结果填写在表格中：销售单价（元）x（x30）销售量y（个） 销售计算器获得利润w（元） （2）在第（1）问的条件下，若计算器厂规定该品牌计算器销售单价不低于35元，且商场要完成不少于500个的销售任务，求：商场销售该品牌计算器获得最大利润是多少？23四边形的一条对角线把这个四边形分成了两个三角形，如果这两个三角形相似但不全等，我们就把这条对角线叫做这个四边形的“相似对角线”（1）如图1，在四边形ABCD中，ABC100，ADC130，BDBC，对角线BD平分ABC求证：BD是四边形ABCD的“相
8、似对角线”；（2）如图2，已知格点ABC，请你在正方形网格中画出所有的格点四边形ABCD，使四边形ABCD是以AC为“相似对角线”的四边形；（注：顶点在小正方形顶点处的多边形称为格点多边形）（3）如图3，四边形AOBC中，点A在射线OP：yx（x0）上，点B在x轴正半轴上，对角线OC平分AOB，连接AB若OC是四边形AOBC的“相似对角线”，SAOB6，求点C的坐标24已知抛物线ya（x1）（x3）（a0）的顶点为A，交y轴交于点C，过C作CBx轴交抛物线于点，过点B作直线lx轴，连结OA并延长，交l于点D，连结OB（1）当a1时，求线段OB的长（2）是否存在特定的a值，使得OBD为等腰三角形
9、？若存在，请写出a值的计算过程；若不存在，请说明理由（3）设OBD的外心M的坐标为（m，n），求m与n的数量关系式2019-2020学年浙江省绍兴市柯桥区九年级（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一选择题1（3分）已知，则的值为（）ABCD【分析】根据比例的性质解答即可【解答】解：，故选：A【点评】此题考查比例的性质，关键是根据比例的性质解答2（3分）如图，点A，B，C在圆O上，若BOC72，则BAC的度数是（）A72B54C36D18【分析】直接利用圆周角定理求解【解答】解：BACBOC7236故选：C【点评】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对
10、的圆心角的一半3（3分）把抛物线yx2+4先向左平移1个单位，再向下平移3个单位，所得的抛物线表达式为（）Ay（x+1）2+7By（x1）2+7Cy（x1）2+1Dy（x+1）2+1【分析】原抛物线的顶点坐标为（0，2），根据平移规律得平移后抛物线顶点坐标为（1，1），根据抛物线的顶点式求解析式【解答】解：抛物线yx2+4的顶点坐标为（0，4），向左平移1个单位，再向下平移3个单位顶点坐标为（1，1），平移后抛物线解析式为y（x+1）2+1故选：D【点评】本题考查了抛物线的平移与抛物线解析式的联系关键是把抛物线的平移转化为顶点的平移，利用顶点式求解析式4（3分）在圆内接四边形ABCD中，A：B
11、：C：D的度数之比可能是（）A1：2：3：4B4：2：1：3C4：2：3：1D1：3：2：4【分析】因为圆的内接四边形对角互补，则两对角的和应该相等，比值所占份数也相同，据此求解【解答】解：圆的内接四边形对角互补，A+CB+D180，A：B：C：D的可能的值是4：2：1：3故选：B【点评】本题考查的是圆内接四边形的性质，熟知圆内接四边形的对角互补是解答此题的关键5（3分）如图，如果BADCAE，那么添加下列一个条件后，仍不能确定ABCADE的是（）ABDBCAEDCD【分析】根据已知及相似三角形的判定方法对各个选项进行分析，从而得到最后答案【解答】解：BADCAE，DAEBAC，A，B，D都可
12、判定ABCADE选项C中不是夹这两个角的边，所以不相似，故选：C【点评】此题考查了相似三角形的判定：如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似；如果两个三角形的两条对应边的比相等，且夹角相等，那么这两个三角形相似；如果两个三角形的两个对应角相等，那么这两个三角形相似6（3分）一个扇形的弧长是10cm，面积是60cm2，则此扇形的圆心角的度数是（）A300B150C120D75【分析】利用扇形面积公式1求出R的值，再利用扇形面积公式2计算即可得到圆心角度数【解答】解：一个扇形的弧长是10cm，面积是60cm2，SRl，即60R10，解得：R12，S60，解得：n150，故选：B【点
13、评】此题考查了扇形面积的计算，以及弧长的计算，熟练掌握扇形面积公式是解本题的关键7（3分）点（2，y1）（3，y2）是抛物线y（x+1）2+m上的点，则y1，y2的大小关系为（）Ay1y2By1y2Cy1y2D无法确定【分析】先根据二次函数的性质得到抛物线的对称轴为直线x1，然后根据二次函数的性质得到y1、y2的大小关系【解答】解：二次函数的解析式为y（x+1）2+m，抛物线的开口向下，对称轴为直线x1，当x1时，y随x的增大而增大，123，y1y2故选：A【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：熟练掌握二次函数的性质是解题的关键8（3分）如图，已知AB和CD是O的两条等弦OMAB，ON
14、CD，垂足分别为点M、N，BA、DC的延长线交于点P，联结OP下列四个说法中：；OMON；PAPC；BPODPO，正确的个数是（）A1B2C3D4【分析】如图连接OB、OD，只要证明RtOMBRtOND，RtOPMRtOPN即可解决问题【解答】解：如图连接OB、OD；ABCD，故正确OMAB，ONCD，AMMB，CNND，BMDN，OBOD，RtOMBRtOND，OMON，故正确，OPOP，RtOPMRtOPN，PMPN，OPBOPD，故正确，AMCN，PAPC，故正确，故选：D【点评】本题考查垂径定理、圆心角、弧、弦的关系、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线面构造全
15、等三角形解决问题，属于中考常考题型9（3分）如图，半径为5的A中，弦BC，ED所对的圆心角分别是BAC，EAD，若DE6，BAC+EAD180，则弦BC的弦心距长等于（）A4B3CD【分析】作直径CF，连接BF，如图，利用等角的补角相等得到BAFEAD，则BFDE6，根据圆周角定理得到CBF90，作AHBF，如图，然后利用AH为CBF的中位线得到AH的长【解答】解：作直径CF，连接BF，如图，BAC+EAD180，BAC+BAF180，BAFEAD，BFDE6，AF为直径，CBF90，作AHBF，如图，BHCH，AH为CBF的中位线，AHBF3，即弦BC的弦心距长等于3故选：B【点评】本题考查
16、了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90的圆周角所对的弦是直径也考查了垂径定理10（3分）如图是抛物线yax2+bx+c（a0）的部分图象，其顶点坐标为（1，n），且与x轴的一个交点在点（3，0）和（4，0）之间，则下列结论：b2a；can；抛物线另一个交点（m，0）在2到1之间；当x0时，ax2+（b+2）x0；一元二次方程ax2+（b）x+c0有两个不相等的实数根其中正确结论的个数是（）A1个B2个C3个D4个【分析】根据抛物线的对称轴公式即可求解；当x等于1时，y等于n，再利用对称轴公式即可求解；
17、根据抛物线的对称性即可求解；根据抛物线的平移即可求解；根据一元二次方程的判别式即可求解【解答】解：因为抛物线的对称轴为x1，即1，所以b2a，所以错误；当x1时，yn，所以a+b+cn，因为b2a，所以a+cn，所以正确；因为抛物线的顶点坐标为（1，n），即对称轴为x1，且与x轴的一个交点在点（3，0）和（4，0）之间，所以抛物线另一个交点（m，0）在2到1之间；所以正确；因为ax2+（b+2）x0，即ax2+bx2x根据图象可知：把抛物线yax2+bx+c（a0）图象向下平移c个单位后图象过原点，即可得抛物线yax2+bx（a0）的图象，所以当x0时，ax2+bx2x，即ax2+（b+2）x
18、0所以正确；一元二次方程ax2+（b）x+c0（b）24ac因为根据图象可知：a0，c0，所以4ac0，所以（b）24ac0所以一元二次方程ax2+（b）x+c0有两个不相等的实数根所以正确故选：D【点评】本题考查了二次函数与不等式、根的判别式、二次函数图象与系数的关系、抛物线与x轴的交点，解决本题的关键是综合运用以上知识二填空题11（3分）抛物线y3（x6）2+9的顶点坐标是（6，9）【分析】已知解析式为抛物线的顶点式，可直接写出顶点坐标【解答】解：y3（x6）2+9是抛物线解析式的顶点式，根据顶点式的坐标特点可知，顶点坐标为（6，9）故答案为：（6，9）【点评】此题主要考查了求抛物线的顶点
19、坐标的方法利用解析式化为ya（xh）2+k，顶点坐标是（h，k），对称轴是xh得出是解题关键12（3分）在RtABC中，两直角边的长分别为6和8，则这个三角形的外接圆半径长为5【分析】直角三角形外接圆的直径是斜边的长【解答】解：由勾股定理得：AB10，ACB90，AB是O的直径，这个三角形的外接圆直径是10；这个三角形的外接圆半径长为5，故答案为：5【点评】本题考查了三角形的外接圆与外心，知道直角三角形外接圆的直径是斜边的长是关键；外心是三边垂直平分线的交点，外心到三个顶点的距离相等13（3分）如图，已知ABCACP，A70，APC65，则B45【分析】根据相似三角形对应角相等可得ACBAPC
20、65，再根据三角形内角和定理即可求解【解答】解：ABCACP，ACBAPC65，A70，B180AACB180706545故答案为45【点评】本题考查了相似三角形的性质，掌握相似三角形对应角相等是解题的关键也考查了三角形内角和定理14（3分）已知，在矩形ABCD中，AB3，AD4，以点A为圆心，r为半径画圆，矩形的四个顶点恰好有一个在A外，则半径r的范围是4r5【分析】点B离A最近，点C离A最远，要想矩形的四个顶点恰好有一个在A外，若r小于AD则必有两点在A外，那么r必须大于或等于AD，且小于AC【解答】解：由题意可知，r必须大于或等于AD，且小于AC，而AD4，AC5，所以r的范围为：4r5
21、故答案为4r5【点评】本题涉及矩形和直角三角形的相关性质，难度中等15（3分）阅读：我们约定，在平面直角坐标系中，经过某点且平行于坐标轴或平行于两坐标轴夹角平分线的直线，叫做该点的“特征线”例如，点M（1，3）的特征线有：x1，y3，yx+2，yx+4问题与探究：如图，在平面直角坐标系中有正方形OABC，点B在第一象限，A，C分别在x轴和y轴上，抛物线y（xa）2+b经过B，C两点，顶点D在正方形内部若点D有一条特征线是yx+2，则此抛物线的表达式是y（x+44）2+42【分析】由特征线确定a与b的关系为ba+2，再有D点横坐标，确定正方形边长为2a，进而得到C（0，2a），将C点坐标代入函数
22、解析式即可求得a【解答】解：由题意可知D（a，b）在yx+2上，ba+2，正方形的边长为2a，C（0，2a），将点C代入y（xa）2+b得到，（a）2+a+22a，a4+4或a44（舍去），y（x+44）2+42；故答案为y（x+44）2+42【点评】本题考查二次函数图象及性质，正方形的性质，一次函数图象及性质；熟练掌握二次函数的图象及性质，结合正方形的对称性，确定C点的坐标是解题的关键16（3分）如图，AB是半圆O的直径，点C在半圆O上，AB4cm，CAB60，P是弧上的一个动点，连接AP，过C点作CDAP于D，连接BD，在点P移动的过程中，BD的最小值是（1）cm【分析】以AC为直径作圆O
23、，连接BO、BC在点P移动的过程中，点D在以AC为直径的圆上运动，当O、D、B共线时，BD的值最小，最小值为OBOD，利用勾股定理求出BO即可解决问题【解答】解：如图，以AC为直径作圆O，连接BO、BCCDAP，ADC90，在点P移动的过程中，点D在以AC为直径的圆上运动，AB是直径，ACB90，在RtABC中，AB4cm，CAB60，BCABsin602，ACABcos602cm在RtBCO中，BO，OD+BDOB，当O、D、B共线时，BD的值最小，最小值为OBOD1，故答案为（1）cm【点评】本题考查圆周角定理，勾股定理、点与圆的位置关系等知识，解题的关键是确定点D的运动轨迹是以AC为直径
24、的圆上运动，属于中考填空题中的压轴题三解答题17 如图所示，已知ABC的顶点A、B、C的坐标分别是A（1，1）、B（4，3）、C（4，1）（1）作出ABC关于原点O中心对称的图形ABC；（2）将ABC绕原点O按顺时针方向旋转90后得到A1B1C1，画出A1B1C1，并写出点的坐标【分析】（1）分别作出各点关于原点的对称点，再顺次连接即可；（2）根据图形旋转的性质画出A1B1C1即可【解答】解：（1）如图所示，ABC即为所求；（2）如图所示，A1B1C1即为所求，A1（1，1）B1（3，4）C1（1，4）【点评】本题考查的是作图旋转变换，熟知图形旋转不变性的性质是解答此题的关键18已知：如图，点
25、C，D在线段AB上，PCD是等边三角形，且AC1，CD2，DB4求证：ACPPDB【分析】根据等边三角形的性质得到PCDPDC60，PCCDPD2，得到PCAPDB120，根据已知条件得到，于是得到结论【解答】证明：PCD是等边三角形，PCDPDC60，PCCDPD2，PCAPDB120，AC1，BD4，ACPPDB【点评】本题考查了相似三角形的判定，等边三角形的性质，熟练掌握相似三角形的判定定理是解题的关键19如图，已知AB是O的直径，C，D是O上的点，OCBD，交AD于点E，连结BC（1）求证：AEED；（2）若AB8，CBD30，求图中阴影部分的面积【分析】（1）根据平行线的性质得出AE
26、O90，再利用垂径定理证明即可（2）根据S阴S扇形OADSADO计算即可【解答】证明：（1）AB是O的直径，ADB90，OCBD，AEOADB90，即OCAD，AEED；（2）连接CD，OD，OCBD，OCBCBD30，OCOB，OCBOBC30，AOCOCB+OBC60，COD2CBD60，AOD120，S阴S扇形OADSADO424【点评】本题考查扇形的面积公式，垂径定理，圆周角定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型20如图，在平面直角坐标系中，直线y5x+5与x轴、y轴分别交于A，C两点，抛物线yx2+bx+c经过A，C两点，与x轴交于另一点B（1）求抛物线解析式及B
27、点坐标；（2）x2+bx+c5x+5的解集是0x1；（3）若点M为抛物线上一动点，连接MA、MB，当点M运动到某一位置时，ABM面积为ABC的面积的倍，求此时点M的坐标【分析】（1）根据已知条件将A点、C点代入抛物线即可求解；（2）根据抛物线与直线的交点坐标即可求解；（3）先设动点M的坐标，再根据两个三角形的面积关系即可求解【解答】解：（1）因为直线y5x+5与x轴、y轴分别交于A，C两点，所以当x0时，y5，所以C（0，5）当y0时，x1，所以A（1，0）因为抛物线yx2+bx+c经过A，C两点，所以c5，1+b+50，解得b6，所以抛物线解析式为yx26x+5当y0时，0x26x+5解得x
28、11，x25所以B点坐标为（5，0）答：抛物线解析式为yx26x+5B点坐标为（5，0）；（2）观察图象可知：x2+bx+c5x+5的解集是0x1故答案为0x1（3）设M（m，m26m+5）因为SABMSABC458所以4|m26m+5|8所以|m26m+5|4所以m26m+90或m26m+10解得m1m23或m32所以M点的坐标为（3，4）或（3+2，4）或（32，4）答：此时点M的坐标为（3，4）或（3+2，4）或（32，4）【点评】本题考查了二次函数与不等式的关系、待定系数法求二次函数解析式、抛物线与x轴的交点，解决本题的关键是综合运用以上知识21如图，四边形ABCD内接于O，AC平分B
29、AD，延长DC交AB的延长线于点E（1）若ADC86，求CBE的度数；（2）若ACEC，求证：ADBE【分析】（1）根据圆内接四边形的性质计算即可；（2）证明ADCEBC即可【解答】（1）解：四边形ABCD内接于O，ADC+ABC180，又ADC86，ABC94，CBE1809486；（2）证明：ACEC，ECAE，AC平分BAD，DACCAB，DACE，四边形ABCD内接于O，ADC+ABC180，又CBE+ABC180，ADCCBE，在ADC和EBC中，ADCEBC，ADBE【点评】本题考查的是圆内接四边形的性质、圆周角定理，掌握圆内接四边形的对角互补是解题的关键22某商场经营某种品牌的计
30、算器，购进时的单价是20元，根据市场调查：在一段时间内，销售单价是30元时，销售量是600个，而销售单价每上涨1元，就会少售出10个（1）不妨设该种品牌计算器的销售单价为x元（x30），请你分别用x的代数式来表示销售量y个和销售该品牌计算器获得利润w元，并把结果填写在表格中：销售单价（元）x（x30）销售量y（个）10x+900销售计算器获得利润w（元）10x2+1100x18000（2）在第（1）问的条件下，若计算器厂规定该品牌计算器销售单价不低于35元，且商场要完成不少于500个的销售任务，求：商场销售该品牌计算器获得最大利润是多少？【分析】（1）根据题意可以用含x的代数式分别表示出y和w
31、，本题得以解决；（2）根据题意可以列出相应的不等式和将w的关系式化为顶点式，本题得以解决【解答】解：（1）由题意可得，y60010（x30）10x+900；w（x20）（10x+900）10x2+1100x18000，即y10x+900，w10x2+1100x18000，故答案为：y10x+900，w10x2+1100x18000；（2）由题意可得，解得，35x40，w10x2+1100x180010（x55）2+18000，当x40时，w取得最大值，此时w10（4055）2+1800010000，即商场销售该品牌玩具获得最大利润是10000元【点评】本题考查二次函数的应用、一元二次方程的应用
32、，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件23四边形的一条对角线把这个四边形分成了两个三角形，如果这两个三角形相似但不全等，我们就把这条对角线叫做这个四边形的“相似对角线”（1）如图1，在四边形ABCD中，ABC100，ADC130，BDBC，对角线BD平分ABC求证：BD是四边形ABCD的“相似对角线”；（2）如图2，已知格点ABC，请你在正方形网格中画出所有的格点四边形ABCD，使四边形ABCD是以AC为“相似对角线”的四边形；（注：顶点在小正方形顶点处的多边形称为格点多边形）（3）如图3，四边形AOBC中，点A在射线OP：yx（x0）上，点B在x轴正半轴上，对角线OC平分AOB，连接
33、AB若OC是四边形AOBC的“相似对角线”，SAOB6，求点C的坐标【分析】（1）ADB180ABDA130A，BDCADCADB130（130A）A，即可求解；（2）如图所示，根据两个三角形夹角相等，夹边成比例，则三角形相似，即可求解；（3）利用AOCCOB，则OAOBOC2，而SAOBOByAOBOAsin606，即可求解【解答】解：（1）如图1，对角线BD平分ABC，则ABDDBC50，ADB180ABDA130A，BDCADCADB130（130A）A，又ABDDBC50，ABDDBC，即BD是四边形ABCD的“相似对角线”；（2）如下图所示：ABCACD190，ABCACD1，故：以
34、AC为“相似对角线”的四边形有：ABCD1，同理可得：以AC为“相似对角线”的四边形还有：ABCD2、ABCD3、ABCD4；故：以AC为“相似对角线”的四边形有：ABCD1、ABCD2、ABCD3、ABCD4；（3）OACOCB，AOCCOB，则：OAOBOC2，SAOBOByAOBOAsin60OAOB6，即：OAOB24，即：OC2，yCOCsin30，同理可得：xC3，即点C的坐标为（3，）【点评】本题是阅读理解型一次函数综合题，此类题目通常要弄清楚题意，逐次求解，一般难度不是很大24已知抛物线ya（x1）（x3）（a0）的顶点为A，交y轴交于点C，过C作CBx轴交抛物线于点，过点B作
35、直线lx轴，连结OA并延长，交l于点D，连结OB（1）当a1时，求线段OB的长（2）是否存在特定的a值，使得OBD为等腰三角形？若存在，请写出a值的计算过程；若不存在，请说明理由（3）设OBD的外心M的坐标为（m，n），求m与n的数量关系式【分析】（1）点B（4，3），故OB5；（2）分ODOB、ODBD、OBBD三种情况，分别求解即可；（3）线段OD的中垂线的表达式为：yxa，线段BD的中垂线的表达式为：ya，联立并解得：xa2+2m，yan，即可求解【解答】解：ya（x1）（x3）a（x24x+3），则点C（0，3a）、函数的对称轴为：x2，则点B（4，3a），点A（2，a），点D（4，2
36、a）；（1）点B（4，3），故OB5；（2）OD216+4a2，OB216+9a2，BD225a2，当ODOB时，即16+4a216+9a2，解得：a0（舍去）；当ODBD时，同理可得：a（正值已舍去）；当OBBD时，同理可得：a1（正值已舍去）；综上，a1或；（3）线段OD的函数表达式为：yax，直线OD的中点为点A（2，a），则线段OD的中垂线的表达式为：yx+b，将点A的坐标代入上式并解得：线段OD的中垂线的表达式为：yxa，线段BD的中垂线的表达式为：ya，联立并解得：xa2+2m，yan，故m3n2+2【点评】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数、三角形外心、等腰三角形的性质等，其中（2），要注意分类求解，避免遗漏
