1、2019-2020学年浙江省宁波市镇海区二校联考九年级（上）期中数学试卷一、选择题（每题4分，共48分）1（4分）下列事件中，属于必然事件的是（）A打开电视机，它正在播放广告B两个负数相乘，结果是正数C明天会下雨D抛一枚硬币，正面朝下2（4分）已知2a3b（b0），则下列比例式成立的是（）ABCD3（4分）抛物线y（x1）2+2的顶点坐标是（）A（1，2）B（1，2）C（1，2）D（1，2）4（4分）半径为9的圆中，120度的圆心角所对的弧长是（）A4B5C6D85（4分）如图，已知ABCDEF，AD：AF3：5，BE12，那么BC的长等于（）A2B4C4.8D7.26（4分）设有12只型号相
2、同的杯子，其中一等品7只，二等品2只，三等品3只则从中任意取一只，是二等品的概率等于（）ABCD7（4分）如图，圆O的内接四边形ABCD中，BCDC，BOC130，则BAD的度数是（）A120B130C140D1508（4分）下列命题中，正确的是（）平面内三个点确定一个圆；平分弦的直径平分弦所对的弧；半圆所对的圆周角是直角；圆的内接菱形是正方形；相等的弧所对的圆周角相等ABCD9（4分）如图，如果BADCAE，那么添加下列一个条件后，仍不能确定ABCADE的是（）ABDBCAEDCD10（4分）如图，取一张长为a，宽为b的长方形纸片，将它对折两次后得到一张小长方形纸片，若要使小长方形与原长方形
3、相似，则原长方形纸片的边a、b应满足的条件是（）AabBa2bCa2bDa4b11（4分）如图，在直角坐标系xOy中，A（4，0），B（0，2），连结AB并延长到C，连结CO，若COBCAO，则点C的坐标为（）A（1，）B（，）C（，2）D（，2）12（4分）如图，等边OAB的边长为1，以O为圆心，CD为直径的半圆经过点A，连接AD，BC相交于点P，将等边OAB从OA与OC重合的位置开始，绕着点O顺时针旋转120，交点P运动的路径长是（）ABCD二、填空题（共6小题，每小题4分，满分24分）13（4分）已知线段a4，b9，则a，b的比例中项线段长等于 14（4分）随机掷一枚均匀的硬币两次，两次
4、都是正面朝上的概率是 15（4分）如图，抛物线yax2与直线ybx+c的两个交点坐标分别为A（3，4），B（1，1），则关于x的方程ax2bxc0的解为 16（4分）在半径为1的O中，两条弦AB、AC的长分别为，则由两条弦AB与AC所夹的锐角的度数为 17（4分）如图，两根竖直的电线杆AB长为12，CD长为4，AD交BC于点E，则点E到地面的距离EF的长是 18（4分）如图，点A（1，2）在反比例函数y（x0）上，B为反比例函数图象上一点，不与A重合，当以OB为直径的圆经过A点，点B的坐标为 三、解答题（共8小题，满分78分）19（6分）如图，在所给的方格纸中，每个小正方形边长都是1ABC是格
5、点三角形（原点在方格顶点处）（1）在图2两格点A1B1C1使A1B1C1与ABC相似，相似比为2：1（2）在图3画格点A2B2C2，使A2B2C2与ABC相似，面积比为2：120（8分）某篮球运动员带了2件上衣和3条短裤（上衣和短裤分别装在两个包里），上衣的颜色是红色和白色，短裤的颜色是红色、白色、黄色（1）他随意拿出一件上衣和一条短裤配成一套，用画树状图或列表的方法列出所有可能出现的结果（2）他随意拿出一件上衣和一条短裤，颜色正好相同的概率是多少？21（8分）如图，在ABC中，D，E分别是AB，AC上的点，AEDABC，BAC的平分线AF交DE于点G，交BC于点F（1）试写出图中所有的相似三
6、角形，并说明理由（2）若，求的值22（10分）如图，抛物线y（x1）2+4与x轴交于点A，B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，CDx轴交抛物线另一点D，连结AC，DEAC交边CB于点E（1）求A，B两点的坐标；（2）求CDE与BAC的面积之比23（10分）如图，在ABC中，ABAC，E在AC上，经过A，B，E三点的圆O交BC于点D，且D点是弧BE的中点，（1）求证AB是圆的直径；（2）若AB8，C60，求阴影部分的面积；（3）当A为锐角时，试说明A与CBE的关系24（10分）某市政府大力扶持大学生创业，李明在政府的扶持下投资销售一种进价为每件20元的护眼台灯销售过程中发现，每月销售量y（件
7、）与销售单价x（元）之间的关系可近似的看作一次函数：y10x+500（1）设李明每月获得利润为w（元），当销售单价定为多少元时，每月可获得最大利润？（2）如果李明想要每月获得2000元的利润，那么销售单价应定为多少元？（3）根据物价部门规定，这种护眼台灯的销售单价不得高于32元，如果李明想要每月获得的利润不低于2000元，那么他每月的成本最少需要多少元？（成本进价销售量）25（12分）若一个四边形的两条对角线互相垂直且相等，则称这个四边形为奇妙四边形如图1，四边形ABCD中，若ACBD，ACBD，则称四边形ABCD为奇妙四边形根据奇妙四边形对角线互相垂直的特征可得奇妙四边形的一个重要性质：奇妙
8、四边形的面积等于两条对角线乘积的一半根据以上信息回答：（1）矩形 奇妙四边形（填“是”或“不是”）；（2）如图2，已知O的内接四边形ABCD是奇妙四边形，若O的半径为8，BCD60求奇妙四边形ABCD的面积；（3）如图3，已知O的内四边形ABCD是奇妙四边形，作OMBC于M请猜测OM与AD的数量关系，并证明你的结论26（14分）如图，已知点A的坐标是（1，0），点B的坐标是（9，0），以AB为直径作O，交y轴的负半轴于点C，连接AC、BC，过A、B、C三点作抛物线（1）求点C的坐标及抛物线的解析式；（2）点E是AC延长线上一点，BCE的平分线CD交O于点D，求点D的坐标；并直接写出直线BC、直
9、线BD的解析式；（3）在（2）的条件下，抛物线上是否存在点P，使得PDBCBD，若存在，请求出点P的坐标，若不存在，请说明理由2019-2020学年浙江省宁波市镇海区二校联考九年级（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（每题4分，共48分）1（4分）下列事件中，属于必然事件的是（）A打开电视机，它正在播放广告B两个负数相乘，结果是正数C明天会下雨D抛一枚硬币，正面朝下【分析】根据事件的定义，可得答案【解答】解：A、打开电视机，它正在播放广告是随机事件，故A错误；B、两数相乘，同号得正，故B正确；C、明天会下雨是随机事件，故C错误；D、掷一枚硬币，正面向下是随机事件，故D错误；故选：B【
10、点评】本题考查了随机事件，解决本题需要正确理解必然事件、不可能事件、随机事件的概念必然事件指在一定条件下，一定发生的事件不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件2（4分）已知2a3b（b0），则下列比例式成立的是（）ABCD【分析】根据等式的性质，可得答案【解答】解：A、等式的左边除以4，右边除以9，故A错误；B、等式的两边都除以6，故B正确；C、等式的左边除以2b，右边除以，故C错误；D、等式的左边除以4，右边除以b2，故D错误；故选：B【点评】本题考查了比例的性质，利用了等式的性质2：等式的两边都乘以或除以同一个不为零的
11、数或整式，结果不变3（4分）抛物线y（x1）2+2的顶点坐标是（）A（1，2）B（1，2）C（1，2）D（1，2）【分析】根据抛物线的顶点式解析式写出顶点坐标即可【解答】解：y（x1）2+2的顶点坐标为（1，2）故选：A【点评】本题考查了二次函数的性质，熟练掌握利用顶点式解析式写出顶点坐标的方法是解题的关键4（4分）半径为9的圆中，120度的圆心角所对的弧长是（）A4B5C6D8【分析】根据弧长公式计算，得到答案【解答】解：半径为9的圆中，120度的圆心角所对的弧长6，故选：C【点评】本题考查的是弧长的计算，掌握弧长公式是解题的关键5（4分）如图，已知ABCDEF，AD：AF3：5，BE12，
12、那么BC的长等于（）A2B4C4.8D7.2【分析】根据平行线分线段成比例得到，即可求出BC【解答】解：ABCDEF，即，解得：BC7.2；故选：D【点评】本题考查了平行线分线段成比例；熟练掌握三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例是本题的关键6（4分）设有12只型号相同的杯子，其中一等品7只，二等品2只，三等品3只则从中任意取一只，是二等品的概率等于（）ABCD【分析】直接根据概率公式即可得出答案【解答】解：有12只型号相同的杯子，二等品2只，从中任意取1只，是二等品的概率故选：B【点评】本题考查的是概率公式，熟知如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，
13、那么事件A的概率P（A）7（4分）如图，圆O的内接四边形ABCD中，BCDC，BOC130，则BAD的度数是（）A120B130C140D150【分析】根据圆心角、弧、弦的关系由BCDC得，则BOCCOD130，再利用周角定义计算出BOD100，再根据圆周角定理得到BCDBOD50，然后根据圆内接四边形的性质计算BAD的度数【解答】解：连结OD，如图，BCDC，BOCCOD130，BOD3602130100，BCDBOD50，BAD180BCD18050130故选：B【点评】本题考查了圆内接四边形的性质：圆内接四边形的对角互补；圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角（就是和它相邻的内角的对角
14、）也考查了圆心角、弧、弦的关系8（4分）下列命题中，正确的是（）平面内三个点确定一个圆；平分弦的直径平分弦所对的弧；半圆所对的圆周角是直角；圆的内接菱形是正方形；相等的弧所对的圆周角相等ABCD【分析】根据垂径定理、圆内接四边形的性质、圆周角定理、过不在同一直线上的三个点定理即可对每一种说法的正确性作出判断【解答】解：平面内，不在同一条直线上的三个点确定一个圆；故错误；平分弦（弦不是直径）的直径平分弦所对的弧；故错误；半圆所对的圆周角是直角；故正确；圆的内接菱形是正方形；故正确；相等的弧所对的圆周角相等；故正确；故选：D【点评】本题考查了垂径定理、圆内接四边形的性质、圆周角定理和过不在同一直线
15、上的三个点定理，准确掌握各种定理是解题的关键9（4分）如图，如果BADCAE，那么添加下列一个条件后，仍不能确定ABCADE的是（）ABDBCAEDCD【分析】根据已知及相似三角形的判定方法对各个选项进行分析，从而得到最后答案【解答】解：BADCAE，DAEBAC，A，B，D都可判定ABCADE选项C中不是夹这两个角的边，所以不相似，故选：C【点评】此题考查了相似三角形的判定：如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似；如果两个三角形的两条对应边的比相等，且夹角相等，那么这两个三角形相似；如果两个三角形的两个对应角相等，那么这两个三角形相似10（4分）如图，取一张长为a，宽为b的
16、长方形纸片，将它对折两次后得到一张小长方形纸片，若要使小长方形与原长方形相似，则原长方形纸片的边a、b应满足的条件是（）AabBa2bCa2bDa4b【分析】根据对折表示出小长方形的长和宽，再根据相似多边形的对应边成比例列式计算即可得解【解答】解：对折两次后的小长方形的长为b，宽为a，小长方形与原长方形相似，a2b故选：B【点评】本题考查了相似多边形对应边成比例的性质，准确表示出小长方形的长和宽是解题的关键11（4分）如图，在直角坐标系xOy中，A（4，0），B（0，2），连结AB并延长到C，连结CO，若COBCAO，则点C的坐标为（）A（1，）B（，）C（，2）D（，2）【分析】根据相似三角
17、形对应边成比例求出CB、AC的关系，从而得到，过点C作CDy轴于点D，然后求出AOB和CDB相似，根据相似三角形对应边成比例求出CD、BD，再求出OD，最后写出点C的坐标即可【解答】解：A（4，0），B（0，2），OA4，OB2，COBCAO，CO2CB，AC2CO，AC4CB，过点C作CDy轴于点D，AOy轴，AOCD，AOBCDB，CDAO，BDOB，ODOB+BD2+，点C的坐标为（，）故选：B【点评】本题考查了相似三角形的性质，坐标与图形性质，主要利用了相似三角形对应边成比例，求出是解题的关键，也是本题的难点12（4分）如图，等边OAB的边长为1，以O为圆心，CD为直径的半圆经过点A，
18、连接AD，BC相交于点P，将等边OAB从OA与OC重合的位置开始，绕着点O顺时针旋转120，交点P运动的路径长是（）ABCD【分析】如图点C的运动轨迹是弧，所在圆的半径是等边三角形ACDM的外接圆的半径，利用弧长公式计算即可【解答】解：如图，AOB60，AOC+BOD120，BCD+ADCBOD+AOC（BOD+AOC）60，ACPD120，点P的运动轨迹是弧，所在圆的半径是等边三角形CDM的外接圆的半径，易知等边三角形ABD的外接圆的半径，点P的运动路径的长故选：B【点评】本题考查轨迹，等边三角形的性质、旋转变换等知识，解题的关键是证明ACB120，得出点C的运动轨迹是弧二、填空题（共6小题
19、，每小题4分，满分24分）13（4分）已知线段a4，b9，则a，b的比例中项线段长等于6【分析】根据比例中项的定义，列出比例式即可求解【解答】解：设a，b的比例中项为c，根据比例中项的定义得：比例中项的平方等于两条线段的乘积，c2ab4936，解得：c6或c6（不合题意，舍去）故答案为：6【点评】此题考查了比例线段；理解比例中项的概念，注意线段不能是负数14（4分）随机掷一枚均匀的硬币两次，两次都是正面朝上的概率是【分析】首先可以利用列举法，求得随机掷一枚均匀的硬币两次所出现的所有等可能的结果，然后利用概率公式直接求解即可【解答】解：随机掷一枚均匀的硬币两次，可能出现的情况为：正正，正反，反正
20、，反反，两次都是正面朝上的概率是【点评】此题考查了列举法求概率的知识解题的关键是注意不重不漏的列举出所有等可能的结果用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比15（4分）如图，抛物线yax2与直线ybx+c的两个交点坐标分别为A（3，4），B（1，1），则关于x的方程ax2bxc0的解为3，1【分析】根据抛物线与直线的交点坐标的横坐标即可求解【解答】解：因为抛物线yax2与直线ybx+c的两个交点坐标分别为A（3，4），B（1，1），所以关于x的方程ax2bx+c的解为x13，x21，即关于x的方程ax2bxc0的解为x13，x21故答案为3、1【点评】本题考查了抛物线与直线交点坐标，解决本
21、题的关键是两交点的横坐标就是方程的解16（4分）在半径为1的O中，两条弦AB、AC的长分别为，则由两条弦AB与AC所夹的锐角的度数为75或15【分析】径为1，弦AB、AC分别是、，作OMAB，ONAC；利用余弦函数，可求出OAM45，OAN30；AC的位置情况有两种，如图所示；故BAC的度数为45+30或4530问题可求【解答】解：作OMAB，ONAC；由垂径定理，可得AM，AN，弦AB、AC分别是、，AM，AN；半径为1OA1；OAM45；同理，OAN30；当OA在AB和AC之间时，如图1，BACOAM+OAN45+3075；当B、C在OA的同一侧时，如图2，BACOAMOAN453015B
22、AC75或15故答案是：75或15【点评】本题综合性强，关键是画出图形，作好辅助线，利用垂径定理和直角三角形的特殊余弦值求得角的度数17（4分）如图，两根竖直的电线杆AB长为12，CD长为4，AD交BC于点E，则点E到地面的距离EF的长是3【分析】根据相似三角形对应边成比例可得，然后代入数据两式相加其解即可【解答】解：两根电线杆AB、CD都竖直，EF垂直于地面，ABDEFD，BCDBEF，+，即+1，解得EF3故答案为：3【点评】本题考查了相似三角形的应用，主要利用了相似三角形对应边成比例的性质，利用+1是解题的关键18（4分）如图，点A（1，2）在反比例函数y（x0）上，B为反比例函数图象上
23、一点，不与A重合，当以OB为直径的圆经过A点，点B的坐标为（4，0.5）【分析】待定系数法求得反比例函数的解析式y，则设B（m，），连接AB，过点A作x轴的平行线，交y轴于点C，过点B作y轴的平行线，交直线AC于点D，通过证AOCBAD得到关于m的方程，解方程求得m的值即可【解答】解：将点A（1，2）代入y，得：k2，则反比例函数解析式为y，设点B（m，），如图，连接AB，过点A作x轴的平行线，交y轴于点C，过点B作y轴的平行线，交直线AC于点D，则OCAD90，AOC+OAC90，OB为圆的直径，OAB90，OAC+BAD90，AOCBAD，则AOCBAD，即，解得：m1（舍）或m4，则点B
24、（4，0.5），故答案为（4，0.5）【点评】本题主要考查反比例函数图象上点的坐标特征及相似三角形的判定与性质、圆周角定理，根据相似三角形的判定与性质建立方程是解题的关键三、解答题（共8小题，满分78分）19（6分）如图，在所给的方格纸中，每个小正方形边长都是1ABC是格点三角形（原点在方格顶点处）（1）在图2两格点A1B1C1使A1B1C1与ABC相似，相似比为2：1（2）在图3画格点A2B2C2，使A2B2C2与ABC相似，面积比为2：1【分析】（1）根据相似比进而得出各边扩大2倍得出答案；（2）根据相似比进而得出各边扩大倍得出答案【解答】解：（1）如图所示：A1B1C1即为所求：（2）如
25、图所示：A2B2C2即为所求：【点评】此题主要考查了相似变换，根据题意得出对应边的长是解题关键20（8分）某篮球运动员带了2件上衣和3条短裤（上衣和短裤分别装在两个包里），上衣的颜色是红色和白色，短裤的颜色是红色、白色、黄色（1）他随意拿出一件上衣和一条短裤配成一套，用画树状图或列表的方法列出所有可能出现的结果（2）他随意拿出一件上衣和一条短裤，颜色正好相同的概率是多少？【分析】（1）根据题意画出树状图即可；（2）由树状图求得所有等可能的结果与某篮球运动员穿的上衣和裤子恰好是相同颜色的情况，再利用概率公式即可求得答案【解答】解：（1）树状图如下：（2）由树状图可知，共有6种等可能的结果，其中上
26、衣和短裤颜色正好相同的有2种情况，所以P（颜色相同）【点评】此题考查了用列表法或画树状图法求概率列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件注意概率所求情况数与总情况数之比21（8分）如图，在ABC中，D，E分别是AB，AC上的点，AEDABC，BAC的平分线AF交DE于点G，交BC于点F（1）试写出图中所有的相似三角形，并说明理由（2）若，求的值【分析】（1）根据两组对应角相等可判断ABCAED，ADGACF，AEGABF（2）根据相似三角形的对应高相等可以进行计算【解答】解：（1）AEDABC，EADBAC，ABC
27、AED，ADEACBAEDABC，EAGBAF，AEGABFEDGACF，DAGCAF，ADGACF（2），ABCAED，ADGACF，【点评】（1）本题考查了相似三角形的判定，解答本题，要找到两组对应角相等（2）本题考查了相似三角形的对应高的比等于相似比，灵活运用是关键22（10分）如图，抛物线y（x1）2+4与x轴交于点A，B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，CDx轴交抛物线另一点D，连结AC，DEAC交边CB于点E（1）求A，B两点的坐标；（2）求CDE与BAC的面积之比【分析】（1）直接把y0代入求出x的值即可；（2）先根据CDAB，DEAC得出CDEBAC，求出CD的长，再由相似
28、三角形的性质即可得出结论【解答】解：（1）令y0，则（x1）2+40，解得x11，x23，A（1，0），B（3，0）；（2）CDAB，DEAC，CDEBAC当y3时，x10，x22，CD2AB4，（）2【点评】本题考查的是相似三角形的判定与性质，熟知相似三角形的对应边成比例是解答此题的关键23（10分）如图，在ABC中，ABAC，E在AC上，经过A，B，E三点的圆O交BC于点D，且D点是弧BE的中点，（1）求证AB是圆的直径；（2）若AB8，C60，求阴影部分的面积；（3）当A为锐角时，试说明A与CBE的关系【分析】（1）连接AD，根据等腰三角形的三线合一得到ADBC，根据圆周角定理的推论证明
29、；（2）连接OE，根据扇形面积公式计算即可；（3）由（1）知AB是直径，得到BEA90，根据余角的性质得到EBCCAD，等量代换即可得到结论【解答】解：（1）连结AD，D是中点，BADCAD，又ABAC，ADBD，ADB90，AB是O直径；（2）连结OE，C60，ABAB，BAC60，AOE60，BOC120，OBE30，AB8，OB4，S阴影S扇形AOE+SBOE+24+4（3）由（1）知AB是O的直径，BEA90，EBC+CCAD+C90，EBCCAD，CAB2EBC【点评】本题考查了扇形面积的计算，等腰三角形的性质，圆周角定理，正确的作出辅助线是解题的关键24（10分）某市政府大力扶持大
30、学生创业，李明在政府的扶持下投资销售一种进价为每件20元的护眼台灯销售过程中发现，每月销售量y（件）与销售单价x（元）之间的关系可近似的看作一次函数：y10x+500（1）设李明每月获得利润为w（元），当销售单价定为多少元时，每月可获得最大利润？（2）如果李明想要每月获得2000元的利润，那么销售单价应定为多少元？（3）根据物价部门规定，这种护眼台灯的销售单价不得高于32元，如果李明想要每月获得的利润不低于2000元，那么他每月的成本最少需要多少元？（成本进价销售量）【分析】（1）由题意得，每月销售量与销售单价之间的关系可近似看作一次函数，利润（定价进价）销售量，从而列出关系式；（2）令w20
31、00，然后解一元二次方程，从而求出销售单价；（3）根据抛物线的性质和图象，求出每月的成本【解答】解：（1）由题意，得：w（x20）y，（x20）（10x+500）10x2+700x10000，答：当销售单价定为35元时，每月可获得最大利润（2）由题意，得：10x2+700x100002000，解这个方程得：x130，x240，答：李明想要每月获得2000元的利润，销售单价应定为30元或40元（3）a100，抛物线开口向下，当30x40时，w2000，x32，当30x32时，w2000，设成本为P（元），由题意，得：P20（10x+500）200x+10000，a2000，P随x的增大而减小，当
32、x32时，P最小3600，答：想要每月获得的利润不低于2000元，每月的成本最少为3600元【点评】此题考查二次函数的性质及其应用，还考查抛物线的基本性质，另外将实际问题转化为求函数最值问题，从而来解决实际问题25（12分）若一个四边形的两条对角线互相垂直且相等，则称这个四边形为奇妙四边形如图1，四边形ABCD中，若ACBD，ACBD，则称四边形ABCD为奇妙四边形根据奇妙四边形对角线互相垂直的特征可得奇妙四边形的一个重要性质：奇妙四边形的面积等于两条对角线乘积的一半根据以上信息回答：（1）矩形不是奇妙四边形（填“是”或“不是”）；（2）如图2，已知O的内接四边形ABCD是奇妙四边形，若O的半
33、径为8，BCD60求奇妙四边形ABCD的面积；（3）如图3，已知O的内四边形ABCD是奇妙四边形，作OMBC于M请猜测OM与AD的数量关系，并证明你的结论【分析】（1）根据矩形的对角线的性质判断即可（2）如图2中，连结OB、OD，作OHBD于H，则BHDH解直角三角形求出BD，再根据奇妙四边形的面积等于两条对角线乘积的一半计算即可（3）结论：AD2OM如图3中，连结OB、OC、OA、OD，作OEAD于E证明BOMOAE（AAS）即可解决问题【解答】解：（1）矩形的对角线不一定相互垂直，矩形不是“奇妙四边形”，故答案为不是（2）如图2中，连结OB、OD，作OHBD于H，则BHDHBOD2BCD2
34、60120，OBD30，在RtOBH中，OBH30，OHOB3，BHOH3BD2BH6ACBD6“奇妙四边形”ABCD的面积ACBD54（3）结论：AD2OM理由如下：如图3中，连结OB、OC、OA、OD，作OEAD于EOEAD，AEDE，BOC2BAC，而BOC2BOM，BOMBAC，同理可得AOEABD，BDAC，BAC+ABD90，BOM+AOE90，BOM+OBM90，OBMAOE，在BOM和OAE中BOMOAE（AAS），OMAE，AD2OM【点评】本题考查圆综合题，考查了垂径定理，解直角三角形，全等三角形的判定和性质，“奇妙四边形”的定义等知识，解题的关键是理解题意，正确寻找全等三
35、角形解决问题，属于中考压轴题26（14分）如图，已知点A的坐标是（1，0），点B的坐标是（9，0），以AB为直径作O，交y轴的负半轴于点C，连接AC、BC，过A、B、C三点作抛物线（1）求点C的坐标及抛物线的解析式；（2）点E是AC延长线上一点，BCE的平分线CD交O于点D，求点D的坐标；并直接写出直线BC、直线BD的解析式；（3）在（2）的条件下，抛物线上是否存在点P，使得PDBCBD，若存在，请求出点P的坐标，若不存在，请说明理由【分析】（1）已知了A、B两点的坐标即可得出OA、OB的长，在直角三角形ACB中由于OCAB，因此可用射影定理求出OC的长，即可得出C点的坐标然后用待定系数法即可
36、求出抛物线的解析式；（2）本题的关键是得出D点的坐标，CD平分BCE，如果连接OD，那么根据圆周角定理即可得出DOB2BCDBCE90由此可得出D的坐标为（4，5）根据B、D两点的坐标即可用待定系数法求出直线BD的解析式；（3）本题要分两种情况进行讨论：过D作DPBC，交D点右侧的抛物线于P，此时PDBCBD，可先用待定系数法求出直线BC的解析式，然后根据BC与DP平行，那么直线DP的斜率与直线BC的斜率相同，因此可根据D的坐标求出DP的解析式，然后联立直线DP的解析式和抛物线的解析式即可求出交点坐标，然后将不合题意的舍去即可得出符合条件的P点同的思路类似，先作与CBD相等的角：在OB上取一点
37、N，使BNBM可通过证NBDMDB，得出NDBCBD，然后同的方法一样，先求直线DN的解析式，进而可求出其与抛物线的交点即P点的坐标综上所述可求出符合条件的P点的值【解答】解：（1）以AB为直径作O，交y轴的负半轴于点C，OCA+OCB90，又OCB+OBC90，OCAOBC，又AOCCOB90，AOCCOB，又A（1，0），B（9，0），解得OC3（负值舍去）C（0，3），故设抛物线解析式为ya（x+1）（x9），3a（0+1）（09），解得a，二次函数的解析式为y（x+1）（x9），即yx2x3（2）AB为O的直径，且A（1，0），B（9，0），OO4，O（4，0），点E是AC延长线上一点
38、，BCE的平分线CD交O于点D，BCDBCE9045，连接OD交BC于点M，则BOD2BCD24590，OO4，ODAB5ODx轴D（4，5）设直线BD的解析式为ykx+b，解得 直线BD的解析式为yx9C（0，3），设直线BC的解析式为：yax+b，解得：，直线BC的解析式为：yx3（3）假设在抛物线上存在点P，使得PDBCBD，解法一：设射线DP交O于点Q，则分两种情况（如图所示）：O（4，0），D（4，5），B（9，0），C（0，3）把点C、D绕点O逆时针旋转90，使点D与点B重合，则点C与点Q1重合，因此，点Q1（7，4）符合，D（4，5），Q1（7，4），用待定系数法可求出直线DQ1
39、解析式为yx解方程组 得 点P1坐标为（，），坐标为（，）不符合题意，舍去Q1（7，4），点Q1关于x轴对称的点的坐标为Q2（7，4）也符合D（4，5），Q2（7，4）用待定系数法可求出直线DQ2解析式为y3x17解方程组 得，即 点P2坐标为（14，25），坐标为（3，8）不符合题意，舍去符合条件的点P有两个：P1（，），P2（14，25）解法二：分两种情况（如图所示）：当DP1CB时，能使PDBCBDB（9，0），C（0，3）用待定系数法可求出直线BC解析式为yx3又DP1CB，设直线DP1的解析式为yx+n把D（4，5）代入可求n，直线DP1解析式为yx解方程组 得 点P1坐标为（，）或
40、（，）（不符合题意舍去）在线段OB上取一点N，使BNDM时，得NBDMDB（SAS），NDBCBD由知，直线BC解析式为yx3取x4，得y，M（4，），ONOM，N（，0），又D（4，5），直线DN解析式为y3x17解方程组 得，点P2坐标为（14，25），坐标为（3，8）不符合题意，舍去符合条件的点P有两个：P1（，），P2（14，25）解法三：分两种情况（如图所示）：求点P1坐标同解法二过C点作BD的平行线，交圆O于G，此时，GDBGCBCBD由（2）题知直线BD的解析式为yx9，又C（0，3）可求得CG的解析式为yx3，设G（m，m3），作GHx轴交于x轴与H，连接OG，在RtOGH中，利用勾股定理可得，m7，由D（4，5）与G（7，4）可得，DG的解析式为y3x17，解方程组 得，即 点P2坐标为（14，25），坐标为（3，8）不符合题意舍去符合条件的点P有两个：P1（，），P2（14，25）【点评】本题着重考查了待定系数法求二次函数解析式、三角形相似及全等、探究角相等的构成情况等知识点，综合性强，考查学生分类讨论，数形结合的数学思想方法
