1、2019-2020学年九年级（上）期中数学试卷一、选择题（共10题）1一元二次方程x22x30的两个根分别为（）Ax11，x23Bx11，x23Cx11，x23Dx11，x232如图图案中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）ABCD3配方法解方程x2+8x+70，则方程可化为（）A（x4）29B（x+4）29C（x8）216D（x+8）2164已知关于x的方程mx22（3m1）x+9m10有两个实根，那么m的取值范围是（）AmBm且m0CmDm5将下列图形绕其对角线的交点逆时针旋转90，所得图形一定与原图形重合的是（）A平行四边形B矩形C菱形D正方形6抛物线ya（x+1）（x3）（a0）的对
2、称轴是直线（）Ax1Bx1Cx3Dx37二次函数yax2+bx+c的图象如图所示，则点（b，）在第（）象限A一B二C三D四8把抛物线y2x2+4x+1的图象向左平移2个单位，再向上平移3个单位，所得的抛物线的函数关系式是（）Ay2（x1）2+6By2（x1）26Cy2（x+1）2+6Dy2（x+1）269已知二次函数yx2+bx+c的图象过点A（1，m），B（3，m），若点M（2，y1），N（1，y2），K（8，y3）也在二次函数yx2+bx+c的图象上，则下列结论正确的是（）Ay1y2y3By2y1y3Cy3y1y2Dy1y3y210已知二次函数yax2+bx+c（a0）的图象如图所示，过点
3、（0，1）和（1，0），给出以下结论：ab0；4a+c1+b2；0c+b+a2；0b2；当x1时，y0；8a+7b+2c90其中正确结论的个数是（）A6B5C4D3二、填空题（每小题3分，共18分）11若关于x的一元二次方程（m1）x2+x+m210有一个根为0，则m的值为 12已知关于x的方程的两根是一个矩形两条邻边的长，那么当k 时，矩形的对角线长为13当x 时，二次函数yx2+2x2有最小值14已知点P（a，3）与点Q（2，b）关于原点对称，则ab 15在平行四边形；矩形；菱形；正方形；等腰梯形这五种图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是 （只填序号）16如图，RtOAB的顶点A（2
4、，4）在抛物线yax2上，将RtOAB绕点O顺时针旋转90，得到OCD，边CD与该抛物线交于点P，则点P的坐标为 三、解答题（共9小题，满分72分）17解下列方程：（1）4（x3）2x（x3）0；（2）16（1+x）225；（3）x24x+3018已知关于x的方程x2（m2）x0（1）求证：无论m为何值，方程总有两个不相等实数根（2）设方程的两实数根为x1，x2，且满足（x1+x2）2|x1|x2|+2，求m的值19如图，已知抛物线y12x2+2与直线y22x+2交于A、B两点（1）求线段AB的长度；（2）结合图象，请直接写出2x2+22x+2的解集20已知x1、x2是关于x的一元二次方程x2
5、2（m+2）x+m20的两个实数根（1）当m0时，求方程的根；（2）若（x12）（x22）41，求m的值；（3）已知等腰三角形ABC的一边长为9，若x1，x2恰好是ABC另外两边的边长，求这个三角形的周长21如图，ABC中，ABAC2，BAC45，AEF是由ABC绕点A按逆时针方向旋转得到的，连接BE、CF相交于点D（1）求证：BECF；（2）当四边形ABDF为菱形时，求CD的长22已知二次函数yx2+bx+c的图象经过A（2，0），B（0，6）两点（1）求这个二次函数的解析式；（2）设该二次函数图象的对称轴与x轴交于点C，连接BA、BC，求ABC的面积和周长23一中超市购进一种单价为40元的
6、商品，如果以单价50元出售，那么每月可售出该商品500件，根据销售经验，售价每提高1元，销售量相应减少10件，如果超市将售价提高x元，每月销售这种商品的利润y元（1）求y与x之间的函数关系式：（2）超市计划下月销售这种商品利润为8000元，又要吸引更多的顾客，那么这种商品的售价应定为多少元？24如图1，已知ABC是等腰直角三角形，BAC90，点D是BC的中点作正方形DEFG，使点A、C分别在DG和DE上，连接AE，BG（1）试猜想线段BG和AE的数量关系是 ；（2）将正方形DEFG绕点D逆时针方向旋转（0360），判断（1）中的结论是否仍然成立？请利用图2证明你的结论；若BCDE4，当AE取最
7、大值时，求AF的值25如图，在平面直角坐标系中直线yx+3与x轴交于点B，与y轴交于点C，抛物线yax2+bx+c经过B，C两点，与x轴负半轴交于点A，连结AC，A（1，0）（1）求抛物线的解析式；（2）点P（m，n）是抛物线上在第一象限内的一点，求四边形OCPB面积S关于m的函数表达式及S的最大值；（3）若M为抛物线的顶点，点Q在直线BC上，点N在直线BM上，Q，M，N三点构成以MN为底边的等腰直角三角形，求点N的坐标参考答案一、选择题（共10题）1一元二次方程x22x30的两个根分别为（）Ax11，x23Bx11，x23Cx11，x23Dx11，x23解：x22x30（x+1）（x3）0x
8、11，x23故选：C2如图图案中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）ABCD解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形故错误；B、不是轴对称图形，是中心对称图形故错误；C、不是轴对称图形，也不是中心对称图形故错误；D、是轴对称图形，也是中心对称图形故正确故选：D3配方法解方程x2+8x+70，则方程可化为（）A（x4）29B（x+4）29C（x8）216D（x+8）216解：方程移项得：x2+8x7，配方得：x2+8x+169，即（x+4）29故选：B4已知关于x的方程mx22（3m1）x+9m10有两个实根，那么m的取值范围是（）AmBm且m0CmDm解：因为关于x的方程mx22（3m1）x+
9、9m10有两个实根，所以b24ac4（3m1）24m（9m1）0，且m0，解之得m且m0故选：B5将下列图形绕其对角线的交点逆时针旋转90，所得图形一定与原图形重合的是（）A平行四边形B矩形C菱形D正方形解：由题意可得，此四边形的对角线互相垂直、平分且相等，则这个四边形是正方形故选：D6抛物线ya（x+1）（x3）（a0）的对称轴是直线（）Ax1Bx1Cx3Dx3解：1，3是方程a（x+1）（x3）0的两根，抛物线ya（x+1）（x3）与x轴交点横坐标是1，3，这两个点关于对称轴对称，对称轴是x1故选：A7二次函数yax2+bx+c的图象如图所示，则点（b，）在第（）象限A一B二C三D四解：抛
10、物线开口方向向下，a0，抛物线对称轴在y轴右侧，0，又a0，b0，抛物线与y轴交点坐标为（0，c）点，由图知该点在x轴上方，c0，0（b，）在第四象限故选：D8把抛物线y2x2+4x+1的图象向左平移2个单位，再向上平移3个单位，所得的抛物线的函数关系式是（）Ay2（x1）2+6By2（x1）26Cy2（x+1）2+6Dy2（x+1）26解：原抛物线的顶点坐标为（1，3），向左平移2个单位，再向上平移3个单位得到新抛物线的顶点坐标为（1，6）可设新抛物线的解析式为：y2（xh）2+k，代入得：y2（x+1）2+6故选C9已知二次函数yx2+bx+c的图象过点A（1，m），B（3，m），若点M（
11、2，y1），N（1，y2），K（8，y3）也在二次函数yx2+bx+c的图象上，则下列结论正确的是（）Ay1y2y3By2y1y3Cy3y1y2Dy1y3y2解：二次函数yx2+bx+c的图象过点A（1，m），B（3，m），抛物线开口向上，对称轴为直线x2，M（2，y1），N（1，y2），K（8，y3），K点离对称轴最远，N点离对称轴最近，y2y1y3故选：B10已知二次函数yax2+bx+c（a0）的图象如图所示，过点（0，1）和（1，0），给出以下结论：ab0；4a+c1+b2；0c+b+a2；0b2；当x1时，y0；8a+7b+2c90其中正确结论的个数是（）A6B5C4D3解：开口向下
12、且对称轴位于y轴右侧，a0，b0，ab0，故正确；抛物线与x轴有两个交点且过点（0，1），b24ac0，c1，b24ac1，即4a+c1+b2，故正确；抛物线过（1，0），c1，ab+c0，ba+10，1a0，0a+11又a+b+ca+a+1+12a+22（a+1），且02（a+1）2，0c+b+a2，故正确；由知，0ba+11，故错误；由函数图象知当x1时，y0或y0，故错误；8a+7b+2c98a+7（a+1）+2915a，且a0，8a+7b+2c90，故正确；综上，正确的结论有共4个，故选：C二、填空题（每小题3分，共18分）11若关于x的一元二次方程（m1）x2+x+m210有一个根为
13、0，则m的值为1解：把x0代入（m1）x2+x+m210得m210，解得m11，m21，而m10，所以m1故答案为112已知关于x的方程的两根是一个矩形两条邻边的长，那么当k2时，矩形的对角线长为解：根据根与系数的关系得：AB+BCk+1，ABBCk2+1，四边形ABCD是矩形，B90，由勾股定理得：AB2+BC2（）25，（AB+BC）22ABBC5，（k+1）22（k2+1）5，k2，k6，当k2时，AB+BCK+13，当k6时，AB+BCk+150，舍去，故答案为：213当x1时，二次函数yx2+2x2有最小值解：二次函数yx2+2x2可化为y（x+1）23，当x1时，二次函数yx2+2
14、x2有最小值故答案为：114已知点P（a，3）与点Q（2，b）关于原点对称，则ab5解：点P（a，3）与点Q（2，b）关于原点成中心对称，a2，b3，ab2+35故答案为：515在平行四边形；矩形；菱形；正方形；等腰梯形这五种图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是、（只填序号）解：不是轴对称图形，因为找不到任何这样的一条直线，沿这条直线对折后它的两部分能够重合；即不满足轴对称图形的定义是中心对称图形，故错误；都是轴对称图形，也是中心对称图形，故正确；是轴对称图形不是中心对称图形，因为找不到任何这样的一点，旋转180度后它的两部分能够重合；即不满足中心对称图形的定义故错误；故本题答案为：16
15、如图，RtOAB的顶点A（2，4）在抛物线yax2上，将RtOAB绕点O顺时针旋转90，得到OCD，边CD与该抛物线交于点P，则点P的坐标为（，2）解：RtOAB的顶点A（2，4）在抛物线yax2上，44a，解得a1，抛物线为yx2，点A（2，4），B（2，0），OB2，将RtOAB绕点O顺时针旋转90，得到OCD，D点在y轴上，且ODOB2，D（0，2），DCOD，DCx轴，P点的纵坐标为2，代入yx2，得2x2，解得x，P（，2）故答案为（，2）三、解答题（共9小题，满分72分）17解下列方程：（1）4（x3）2x（x3）0；（2）16（1+x）225；（3）x24x+30解：（1）4（x
16、3）2x（x3）0，（x3）（3x12）0，则x30或3x120，解得x3或x4；（2）16（1+x）225，（1+x）2，则x+1，解得x或x；（3）x24x+30，（x1）（x3）0，则x10或x30，解得x1或x318已知关于x的方程x2（m2）x0（1）求证：无论m为何值，方程总有两个不相等实数根（2）设方程的两实数根为x1，x2，且满足（x1+x2）2|x1|x2|+2，求m的值解：（1）（m2）24（）2m24m+42（m1）2+20，方程总有两个不相等的实数根；（2）x1x20，x1，x2至少有一个为0或不同号，当x20，（x1+x2）2|x1|x2|+2，（x1+x2）2x1+
17、x2+2，x1+x22，或x1+x21，m22，或m21，m4，或m1；当x10时，（x1+x2）2|x1|x2|+2，（x1+x2）2x1x2+2，x1+x22，或x1+x21m22，或m21，m0，或m3故m的值为m4或m1或m0或m319如图，已知抛物线y12x2+2与直线y22x+2交于A、B两点（1）求线段AB的长度；（2）结合图象，请直接写出2x2+22x+2的解集解：（1）抛物线y12x2+2与直线y22x+2交于A、B两点，2x2+22x+2，解得：x11，x20，当x1时，y0，当x0时，y2，故A（1，0），B（0，2），则AB；（2）由（1）得：2x2+22x+2的解集为
18、：1x020已知x1、x2是关于x的一元二次方程x22（m+2）x+m20的两个实数根（1）当m0时，求方程的根；（2）若（x12）（x22）41，求m的值；（3）已知等腰三角形ABC的一边长为9，若x1，x2恰好是ABC另外两边的边长，求这个三角形的周长解：（1）当m0时，方程即为x24x0，解得x10，x24；（2）x1、x2是关于x的一元二次方程x22（m+2）x+m20的两个实数根，x1+x22（m+2），x1x2m2，（x12）（x22）x1x22（x1+x2）+4m24（m+2）+4m24m441，m24m450，解得m19，m25当m19时，方程为x222x+810，（22）24
19、811600，符合题意；当m15时，方程为x2+6x+250，62425640，不符合题意；故m的值为9；（3）当9为底边时，此时方程x22（m+2）x+m20有两个相等的实数根，4（m+2）24m20，解得：m1，方程变为x22x+10，解得：x1x21，1+19，不能构成三角形；当9为腰时，设x19，代入方程得：8118（m+2）+m20，解得：m15或3，当m15时方程变为x234x+2250，解得：x9或25，9+925，不能组成三角形；当m3时方程变为x210x+90，解得：x1或9，此时三角形的周长为9+9+11921如图，ABC中，ABAC2，BAC45，AEF是由ABC绕点A按
20、逆时针方向旋转得到的，连接BE、CF相交于点D（1）求证：BECF；（2）当四边形ABDF为菱形时，求CD的长【解答】（1）证明：如图，AEF是由ABC绕点A按逆时针方向旋转得到的，AEAFABAC2，EAFBAC45，BAC+3EAF+3，即BAECAF，在ABE和ACF中，ABEACF，BECF；（2）解：如图，四边形ABDF为菱形，DFAF2，DFAB，1BAC45，ACF为等腰直角三角形，CFAF2，CDCFDF2222已知二次函数yx2+bx+c的图象经过A（2，0），B（0，6）两点（1）求这个二次函数的解析式；（2）设该二次函数图象的对称轴与x轴交于点C，连接BA、BC，求ABC
21、的面积和周长解：（1）把（2，0）、（0，6）代入二次函数解析式，可得，解得，故解析式是yx2+4x6；（2）对称轴x4，C点的坐标是（4，0），AC2，OB6，AB2，BC2，SABCACOB266，ABC的周长AC+AB+BC2+2+223一中超市购进一种单价为40元的商品，如果以单价50元出售，那么每月可售出该商品500件，根据销售经验，售价每提高1元，销售量相应减少10件，如果超市将售价提高x元，每月销售这种商品的利润y元（1）求y与x之间的函数关系式：（2）超市计划下月销售这种商品利润为8000元，又要吸引更多的顾客，那么这种商品的售价应定为多少元？解：（1）由题意知每件商品所获得的
22、利润是（x+10）元，每月的销售量是（50010x）个，设销售这批商品的利润为y元，由题意，得：y（x+10）（50010x）10x2+400x+5000；（2）由题意可得：（10+x）（50010x）8000，（10+x）（50x）800，x2+40x3000，x240x+3000，（x10）（x30）0，解得x110，x230，要吸引更多的顾客，即销售量尽可能大，x10，答：销售定价为60元24如图1，已知ABC是等腰直角三角形，BAC90，点D是BC的中点作正方形DEFG，使点A、C分别在DG和DE上，连接AE，BG（1）试猜想线段BG和AE的数量关系是BGAE；（2）将正方形DEFG绕
23、点D逆时针方向旋转（0360），判断（1）中的结论是否仍然成立？请利用图2证明你的结论；若BCDE4，当AE取最大值时，求AF的值解：（1）BGAE理由：如图1，ABC是等腰直角三角形，BAC90，点D是BC的中点，ADBC，BDCD，ADBADC90四边形DEFG是正方形，DEDG在BDG和ADE中，ADEBDG（SAS），BGAE故答案为：BGAE；（2）成立BGAE理由：如图2，连接AD，在RtBAC中，D为斜边BC中点，ADBD，ADBC，ADG+GDB90 四边形EFGD为正方形，DEDG，且GDE90，ADG+ADE90，BDGADE在BDG和ADE中，BDGADE（SAS），BG
24、AE； BGAE，当BG取得最大值时，AE取得最大值如图3，当旋转角为270时，BGAEBCDE4，BG2+46AE6在RtAEF中，由勾股定理，得AF，AF225如图，在平面直角坐标系中直线yx+3与x轴交于点B，与y轴交于点C，抛物线yax2+bx+c经过B，C两点，与x轴负半轴交于点A，连结AC，A（1，0）（1）求抛物线的解析式；（2）点P（m，n）是抛物线上在第一象限内的一点，求四边形OCPB面积S关于m的函数表达式及S的最大值；（3）若M为抛物线的顶点，点Q在直线BC上，点N在直线BM上，Q，M，N三点构成以MN为底边的等腰直角三角形，求点N的坐标解：（1）当x0时，y3，C（0，
25、3），OC3，当y0时，x+30，x3，B（3，0），A（1，0），设抛物线的解析式为：ya（x+1）（x3），把C（0，3）代入得：3a（0+1）（03），a1，y（x+1）（x3）x2+2x+3；（2）如图1，过P作PEx轴于E，P（m，n），OEm，BE3m，PEn，SS梯形COEP+SPEBOE（PE+OC）+BEPE，m（n+3）+n（3m），m+n，nm2+2m+3，Sm+（m2+2m+3）m2+m+（m）2+，当m时，S有最大值是；（3）yx2+2x+3（x1）2+4，M（1，4），设直线BM的解析式为：ykx+b，把B（3，0），M（1，4）代入得：，解得：，直线BM的解析式为：y2x+6，设N（a，2a+6），Q（n，n+3），分两种情况：当N在射线MB上时，如图2，过Q作EFy轴，分别过M、N作x轴的平行线，交EF于E、F，EQN是等腰直角三角形，MQQN，MQN90，EQM+FQN90，EQM+EMQ90，FQNEMQ，QEMQFN90，EMQFQN，EMFQ，EQFN，解得：，当a2时，y2a+622+62，N（2，2），当N在射线BM上时，如图3，同理作辅助线，得ENQFQM，ENFQ，EQFM，解得：，N（1，8），综上所述，点N的坐标为（2，2）或（1，8）
