1、第二章 变化率与导数,3 计算导数,学习目标,3.能利用给出的导数公式求简单函数的导数.,1.理解导函数的定义.,问题导学,达标检测,题型探究,内容索引,问题导学,知识点一 导函数的概念,答案 f(2)2，f(1)1，f(2)2.,思考2 对思考1中的函数f(x)，试求f(x0).,梳理 导函数的定义 若一个函数f(x)在区间(a，b)上的每一点x处都有导数，导数值记为 f(x)：f(x) ，则f(x)是关于x的函数，称 的导函数，简称为 .,f(x)为f(x),导数,知识点二 函数的导数公式,sin x,axln a,0,cos x,ex,1.函数在一点处的导数f(x0)是一个常数.( )
2、2.函数yf(x)在点x0处的导数f(x0)就是导函数f(x)在点xx0处的函数值. ( ) 3.若f(x)sin x，则f(x)cos x.( ),思考辨析 判断正误,题型探究,类型一 求函数的导数,解答,例1 (1)利用导函数的定义求函数f(x)(2x1)(3x1)的导数，并求x0和x2处的导数值.,命题角度1 利用导函数定义求导数,解 f(x)(2x1)(3x1)6x2x1，,f(0)1，f(2)122125.,解答,反思与感悟 由导数的定义知，计算函数yf(x)在xx0处的导数的步骤如下： (1)通过自变量在x0处的改变量x确定函数yf(x)在x0处的改变量：yf(x0x)f(x0)；
3、 (2)确定函数yf(x)在x0处的平均变化率： (3)当x趋于0时，得到导数：f(x0) 上述求导方法可简记为：一差，二比，三极限.,跟踪训练1 求函数yf(x) x的导数f(x)，并利用f(x)求f(1)，f(2)，f(3).,解答,解 yf(xx)f(x),解答,例2 求下列函数的导数.,解 y0.,命题角度2 利用导数公式求导,解答,(3)ylg x；,解答,y(cos x)sin x.,反思与感悟 (1)若所求函数符合导数公式，则直接利用公式求解. (2)若给出的函数解析式不符合基本初等函数的导数公式，则通过恒等变换对解析式进行化简或变形后求导，如根式要化成指数幂的形式求导. 如y
4、可以写成yx4，y 可以写成y 等，这样就可以直接使用幂函数的求导公式求导，以免在求导过程中出现指数或系数的运算失误.,跟踪训练2 下列结论： (sin x)cos x； ； (log3x) ；(ln x) . 其中正确的有 A.0个 B.1个 C.2个 D.3个,解析,答案,错误，故选C.,类型二 利用导数公式研究切线问题,命题角度1 求切线方程或切线斜率,解答,y1(x1)，,其与x轴的交点坐标分别为(1,0)，(2,0)，,反思与感悟 解决切线问题，关键是确定切点，要充分利用切点处的导数是切线的斜率、切点在切线上及切点在曲线上这三个条件联立方程解决.,跟踪训练3 已知直线ykx是曲线yl
5、n x的一条切线，则k .,解析,答案,解析 设切点坐标为(x0，y0)，,又y0kx0， 而且y0ln x0， ,命题角度2 求切点坐标问题,解答,例4 求抛物线yx2上的点到直线xy20的最短距离.,依题意知与直线xy20平行的抛物线yx2的切线的切点到直线xy20的距离最短.,反思与感悟 利用基本初等函数的求导公式，可求其图像在某一点P(x0，y0)处的切线方程，可以解决一些与距离、面积相关的几何的最值问题，一般都与函数图像的切线有关.解题时可先利用图像分析取最值时的位置情况，再利用导数的几何意义准确计算.,跟踪训练4 已知直线l: 2xy40与抛物线yx2相交于A，B两点，O是坐标原点
6、，试求与直线l平行的抛物线的切线方程，并在弧 上求一点P，使ABP的面积最大.,解答,解 设P(x0，y0)为切点，过点P与AB平行的直线斜率ky2x0， k2x02，x01，y0 1. 故可得P(1,1)，切线方程为2xy10. 由于直线l: 2xy40与抛物线yx2相交于A，B两点， |AB|为定值，要使ABP的面积最大，只要点P到AB的距离最大， 故P(1,1)点即为所求弧 上的点，使ABP的面积最大.,达标检测,1.下列函数求导运算正确的个数为,1,2,3,4,5,解析,答案,A.1 B.2 C.3 D.4,解析 中(3x)3xln 3，均正确.,1,2,3,4,5,2.函数f(x)x
7、3的斜率等于1的切线有 A.1条 B.2条 C.3条 D.不确定,解析,答案,故斜率等于1的切线有2条.,3.已知f(x)x2，g(x)ln x，若f(x)g(x)1，则x .,1,2,3,4,5,解析,答案,1,答案,解析,4.过原点作曲线yex的切线，则切点的坐标为 ，切线的斜率为 .,1,2,3,4,5,(1，e),解析 设切点坐标为(x0，y0)，,切线的斜率为y在xx0处的导数 ，,e,又y0 ， 由可得x01， 切点坐标为(1，e)，切线的斜率为e.,解答,1,2,3,4,5,1.利用常见函数的导数公式可以比较简捷地求出函数的导数，其关键是牢记和运用好导数公式.解题时，能认真观察函数的结构特征，积极地进行联想化归. 2.有些函数可先化简再应用公式求导. 如求y12sin2 的导数.因为y12sin2 cos x， 所以y(cos x)sin x. 3.对于正弦、余弦函数的导数，一是注意函数名称的变化，二是注意函数符号的变化.,规律与方法,
