1、2.2一元二次不等式的应用学习目标1.会解简单的分式不等式和高次不等式.2.能够从实际生活和生产中抽象出一元二次不等式的模型，并加以解决.3.掌握与一元二次不等式有关的恒成立问题的解法.知识点一分式不等式的解法假定f(x)，g(x)均为一元一次代数式，则(1)分式不等式0的解集等价于一元二次不等式f(x)g(x)0的解集；(2)分式不等式0的解集等价于一元二次不等式f(x)g(x)0的解集；(3)分式不等式0的解集等价于一元二次不等式f(x)g(x)0且g(x)0的解集；(4)分式不等式0的解集等价于一元二次不等式f(x)g(x)0且g(x)0的解集.知识点二高次不等式的解法一般地，f(x)(
2、xa)(xb)(xc)(ab0(或0.则提取区间(a，b)(c，)，即为所求解集.知识点三一元二次不等式恒成立问题一般地，“不等式f(x)0在区间a，b上恒成立”的几何意义是函数yf(x)在区间a，b上的图像全部在x轴上方.区间a，b 是不等式f(x)0的解集的子集.恒成立的不等式问题通常转化为求最值问题，即：若f(x)有最大值，则kf(x)恒成立kf(x)max；若f(x)有最小值，则kf(x)恒成立kf(x)min.1.由于0等价于(x5)(x3)0，故y与y(x5)(x3)图像也相同.()2.x212x等价于(x21)min2x.()3.对于ax23x20，当a1时与a1时，对应的不等式
3、解集不能求并集.()4.(ax1)(x1)0(x1)0.()题型一分式不等式的解法例1解下列不等式：(1)0；(2)1.解(1)0(2x5)(x4)04x，原不等式的解集为.(2)1，10，0，即0.此不等式等价于(x4)0且x0，解得x0(1.解(1)原不等式可化为解得x或x，原不等式的解集为.(2)方法一原不等式可化为或解得或3x0，化简得0，即0，(2x1)(x3)0，解得3x.原不等式的解集为.题型二不等式恒成立问题例2设函数f(x)mx2mx1.(1)若对于一切实数x，f(x)0恒成立，求m的取值范围；(2)对于x1,3，f(x)m5恒成立，求m的取值范围.解(1)要使mx2mx10
4、恒成立，若m0，显然10，满足题意；若m0，则即4m0.4m0.(2)方法一要使f(x)m5在x1,3上恒成立，就要使m2m60时，g(x)在1,3上是增函数，g(x)maxg(3)7m60，0m；当m0时，60恒成立；当m0时，g(x)在1,3上是减函数，g(x)maxg(1)m60，得m6，m0.综上所述，m的取值范围是.方法二当x1,3时，f(x)m5恒成立，即当x1,3时，m(x2x1)60，又m(x2x1)60，m.函数y在1,3上的最小值为，只需m即可.综上所述，m的取值范围是.引申探究把本例(2)改为：对于任意m1,3，f(x)m5恒成立，求实数x的取值范围.解f(x)m5，即m
5、x2mx1m5，m(x2x1)60.设g(m)m(x2x1)6.则g(m)是关于m的一次函数且斜率x2x120.g(m)在1,3上为增函数，要使g(m)0在1,3上恒成立，只需g(m)maxg(3)0，即3(x2x1)60，x2x10，方程x2x10的两根为x1，x2，x2x10的解集为，即x的取值范围为.反思感悟有关不等式恒成立求参数的取值范围，通常处理方法有两种：(1)考虑能否进行参变量分离，若能，则构造关于变量的函数，转化为求函数的最大(小)值，从而建立参变量的不等式.(2)若参变量不能分离，则应构造关于变量的函数(如一次函数、二次函数)，并结合图像建立参变量的不等式求解.跟踪训练2当x
6、(1,2)时，不等式x2mx40恒成立，则m的取值范围是_.答案(，5解析构造函数f(x)x2mx4，x1,2，则f(x)在1,2上的最大值为f(1)或f(2).由于当x(1,2)时，不等式x2mx40恒成立.则有即可得所以m5.题型三实际问题中的一元二次不等式例3某校园内有一块长为800 m，宽为600 m的长方形地面，现要对该地面进行绿化，规划四周种花卉(花卉带的宽度相同)，中间种草坪，若要求草坪的面积不小于总面积的一半，求花卉带宽度的范围.解设花卉带的宽度为x m(0x300)，则中间草坪的长为(8002x)m，宽为(6002x)m.根据题意可得(8002x)(6002x)800600，
7、整理得x2700x6001000，即(x600)(x100)0，所以012，S乙0.05x乙0.005x10.分别求解，得x甲30，x乙40.由于x0，从而得x甲30 km/h，x乙40 km/h.经比较知乙车超过限速，应负主要责任.高次不等式的解法观察下列不等式解集与图像的关系.猜想第三个不等式的解集.不等式函数图像不等式解集x10(1，)(x1)(x2)0(，1)(2，)x(x1)(x2)0对于函数f(x)(xx1)(xx2)(xx3)(xxn)，不妨设x1x2x3xn.其图像有两个特点：当xxn时，xx10，xx20，xxn0，f(x)0.该区间内f(x)图像在x轴上方.从x轴右上方开始
8、，f(x)的图像每穿过一个零点，就从x轴一侧到另一侧变化一次.根据这个原理，只要画出f(x)示意图(穿针引线)，即可得到f(x)0(或f(x)0.解原不等式等价于(x1)(x2)(x1)0.解如图，由穿针引线法得不等式解集为(2,1)(1,3)(4，).3.解不等式7.解原不等式等价于70，即0，也即其中(2x1)(x1)20，由穿针引线法可得x，所以原不等式的解集为.素养评析(1)利用“穿针引线法”应注意：最高次项系数为正；从最大根的右上方依次穿入；若不等式对应方程为重根，此时应注意“奇穿偶折”；若不等式的不等号为“”“”，则应注意不要忘记x取单值的情况.(2)“穿针引线法”实质上就是数形结
9、合，体现了直观想象的数学核心素养.(3)“穿针引线法”的发现归功于从简单到复杂，从具体到一般的观察，发现问题，提出命题，这就是逻辑推理素养中的归纳.1.若不等式x2mx10的解集为R，则实数m的取值范围是()A.m2 B.m2C.m2或m2 D.2m2答案D解析由题意，得m240，2m2.2.不等式0的解集为()A.1,2 B.(，12，)C.1,2) D.(，1(2，)答案D解析由题意可知，不等式等价于x2或x1.3.不等式1的解集是()A.(，1)(1,2 B.1,2C.(，2 D.(1,2答案D解析1，10，0，即0，等价于(x2)(x1)0且x10，故1x2.4.若集合Ax|12x13，B，则AB等于()A.x|1x0 B.x|0x1C.x|0x2 D.x|0x1答案B解析Ax|1x1，Bx|0x2，ABx|0f(x)恒成立af(x)max；(2)af(x)恒成立af(x)min.3.解一元二次不等式应用题的关键在于构造一元二次不等式模型，选择其中起关键作用的未知量为x，用x来表示其他未知量，根据题意，列出不等关系再求解.4.用穿针引线法解不等式时注意先把各因式中x的系数化为正数.
