1、2018-2019学年广东省惠州一中高二（下）开学数学试卷（理科）（2月份）一、选择题（共12小题，每小题5分，共60分）1（5分）在长为10cm的线段AB上任取一点G，用AG为半径作圆，则圆的面积介于36cm2到64cm2的概率是（）ABCD2（5分）曲线yx33x2+1在点x1处的切线方程为（）Ay3x6By5x+2Cy4x7Dy9x+63（5分）下列导数公式正确的是（）A（sina）cosa（a为常数）B（ex）exC（ sinx）cosxD（）4（5分）设F1是椭圆+y21的一个焦点，AB是经过另一个焦点F2的弦，则AF1B的周长是（）A12B6C4D85（5分）平面内一动点P满足到点
2、F1（6，0），F2（6，0）的距离之差|PF1|PF2|12的点的轨迹是（）A双曲线B双曲线的一支C两条射线D一条射线6（5分）若函数h（x）2x+在（1，+）上是增函数，则实数k的取值范围是（）A2，+）B2，+）C（，2D（，27（5分）已知椭圆与双曲线C2：y21（n0）的焦点重合，e1，e2分别为C1，C2的离心率，则（）Amn且e1e21Bmn且e1e21Cmn且e1e21Dmn且e1e218（5分）已知下列四个命题：p1：若直线l和平面内的无数条直线垂直，则l；p2：若f（x）2x2x，则xR，f（x）f（x）；p3：若，则x0（0，+），f（x0）1；p4：在ABC中，若AB，
3、则sinAsinB其中真命题的个数是（）A1B2C3D49（5分）已知p：x0，exax1成立，q：函数f（x）（a1）x是减函数，则p是q的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件10（5分）已知A，B为双曲线E的左，右顶点，点M在E上，ABM为等腰三角形，顶角为120，则E的离心率为（）AB2CD11（5分）已知直线yk（x+2）（k0）与抛物线C：y28x相交于A、B两点，F为C的焦点，若|FA|2|FB|，则k（）ABCD12（5分）设函数f（x）在R上存在导数f（x），xR，有f（x）+f（x）x2，在（0，+）上f（x）x，若f（6m）f（m）18+6m
4、0，则实数m的取值范围为（）A3，3B3，+）C2，+）D（，22，+）二、填空题（共4小题，每小题5分，共20分）13（5分）若样本x1+2，x2+2，xn+2的方差为3，则样本2x1+2019，2x2+2019，2xn+2019的方差是 14（5分）当x1，1时，函数f（x）的值域是 15（5分）已知向量，是空间的一个单位正交基底，向量+，是空间的另一个基底若向量在基底，下的坐标为（3，5，9），则在基底，3下的坐标为 16（5分）已知抛物线C：y22px（p0）的焦点为F，过F作直线交C于A，B两点，过A，B分别向C的准线l作垂线，垂足为A1，B
5、1，已知AA1F与BB1F的面积分别为9和1，则A1B1F的面积为 三解答题（共6小题，17题10分，其余每题12分，共70分）17（10分）已知函数f（x）x3+3x2+9x2，求：（1）函数yf（x）的图象在点（0，f（0）处的切线方程；（2）f（x）的单调递减区间18（12分）已知抛物线的顶点在原点，过点A（4，4）且焦点在x轴（1）求抛物线方程（2）直线l过定点B（1，0），与该抛物线相交所得弦长为8，求直线l的方程19（12分）某城市100户居民的月平均用电量（单位：度），以160，180），180，200），200.220），220，240），240，260），260
6、，280），280，300分组的频率分布直方图如图示（）求直方图中x的值；（）求月平均用电量的众数和中位数；（）在月平均用电量为220，240），240，260），260，280）的三组用户中，用分层抽样的方法抽取10户居民，则月平均用电量在220，240）的用户中应抽取多少户？20（12分）如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是平行四边形，BCD120，侧面PAB底面ABCD，BAP90，ABACPA2（I）求证：面PBD面PAC；（）过AC的平面交PD于点M，若平面AMC把四面体PACD分成体积相等的两部分，求二面角MPCB的余弦值21（12分）已知左焦点为F（1，0）的椭圆过点E（1
7、，）过点P（1，1）分别作斜率为k1，k2的椭圆的动弦AB，CD，设M，N分别为线段AB，CD的中点（1）求椭圆的标准方程；（2）若P为线段AB的中点，求k1；（3）若k1+k21，求证直线MN恒过定点，并求出定点坐标22（12分）已知函数f（x）ex+mx3，g（x）ln（x+1）+2（1）若曲线yf（x）在点（0，f（0）处的切线斜率为1，求实数m的值；（2）当m1时，证明：f（x）g（x）x32018-2019学年广东省惠州一中高二（下）开学数学试卷（理科）（2月份）参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题5分，共60分）1（5分）在长为10cm的线段AB上任取一点G，用AG为半
8、径作圆，则圆的面积介于36cm2到64cm2的概率是（）ABCD【分析】由题意，这个正方形的面积介于36cm2到64cm2，即边长介于6到8之间，利用长度之比求概率【解答】解：圆的面积介于36cm2到64cm2，即圆的半径介于6到8之间，所有所求概率为p；故选：A【点评】本题考查了几何概型的概率求法；明确所求概率是线段长度之比是关键2（5分）曲线yx33x2+1在点x1处的切线方程为（）Ay3x6By5x+2Cy4x7Dy9x+6【分析】根据题意，求出曲线方程的导数，进而可得y|x1的值，即可得切线的斜率，将x1代入曲线方程，可得切点的坐标，由直线的点斜式方程分析可得答案【解答】解：根据题意，
9、曲线yx33x2+1，其导数y3x26x，则有y|x13（6）9，即切线的斜率k9，又由当x1时，y13+13，即切点的坐标为（1，3），则切线的方程为y+39（x+1），变形可得y9x+6；故选：D【点评】本题考查利用导数分析切线的方程，关键是掌握导数的几何意义，属于基础题3（5分）下列导数公式正确的是（）A（sina）cosa（a为常数）B（ex）exC（ sinx）cosxD（）【分析】根据题意，依次分析选项中导数的计算，综合即可得答案【解答】解：根据题意，依次分析选项：对于A，sin为常数，则（sin）0，A错误；对于B，（ex）ex，B错误；对于C，（sinx）cosx，C错误；对于
10、D，（），D正确；故选：D【点评】本题考查导数的计算，关键是掌握导数的计算公式，属于基础题4（5分）设F1是椭圆+y21的一个焦点，AB是经过另一个焦点F2的弦，则AF1B的周长是（）A12B6C4D8【分析】根据题意，由椭圆的方程求出a的值，利用椭圆的定义知，ABF1的周长为4a，从而可得答案【解答】解：根据题意，椭圆的方程为：+y21，则a3，又过焦点F2的直线与椭圆交于A，B两点，A，B与椭圆的另一个焦点F1构成ABF1，则ABF1的周长l|AB|+|AF1|+|BF1|（|AF1|+|AF2|）+（|BF1|+|BF2|）2a+2a4a12故选：A【点评】题考椭圆的简单性质，着重考查椭
11、圆定义的应用，属于基础题5（5分）平面内一动点P满足到点F1（6，0），F2（6，0）的距离之差|PF1|PF2|12的点的轨迹是（）A双曲线B双曲线的一支C两条射线D一条射线【分析】根据题意，分析可得|F1F2|12，结合题意分析可得答案【解答】解：根据题意，F1（6，0），F2（6，0），则|F1F2|12，动点P满足到点F1（6，0），F2（6，0）的距离之差|PF1|PF2|12，则P的轨迹为一条射线；故选：D【点评】本题考查了双曲线的定义及其轨迹方程，关键是掌握双曲线的定义，属于基础题6（5分）若函数h（x）2x+在（1，+）上是增函数，则实数k的取值范围是（）A2，+）B2，+）C
12、（，2D（，2【分析】对给定函数求导，h（x）0，解出关于k的不等式即可【解答】解：函数在（1，+）上是增函数h（x）2+0，k2x2x12x22k2故选A【点评】本题考查利用导数研究函数的单调性，属于基础题7（5分）已知椭圆与双曲线C2：y21（n0）的焦点重合，e1，e2分别为C1，C2的离心率，则（）Amn且e1e21Bmn且e1e21Cmn且e1e21Dmn且e1e21【分析】由题意可得m21n2+1，即m2n2+2，由条件可得mn，再由离心率公式，即可得到结论【解答】解：由题意可得m21n2+1，即m2n2+2，又m1，n0，则mn，由e12e221+1，则e1e21故选：A【点评】
13、本题考查双曲线和椭圆的离心率的关系，考查椭圆和双曲线的方程和性质，以及转化思想和运算能力，属于中档题8（5分）已知下列四个命题：p1：若直线l和平面内的无数条直线垂直，则l；p2：若f（x）2x2x，则xR，f（x）f（x）；p3：若，则x0（0，+），f（x0）1；p4：在ABC中，若AB，则sinAsinB其中真命题的个数是（）A1B2C3D4【分析】p1：根据线面垂直的判断定理判定即可；p2：根据奇函数的定义判定即可；p3：对表达式变形可得x+1+1，利用均值定理判定即可；p4：根据三角形角边关系和正弦定理判定结论成立【解答】解：p1：根据判断定理可知，若直线l和平面内两条相交的直线垂直
14、，则l，若没有相交，无数的平行直线也不能判断垂直，故错误；p2：根据奇函数的定义可知，f（x）2x2xf（x），故xR，f（x）f（x），故正确；p3：若x+1+11，且当x0时，等号成立，故不存在x0（0，+），f（x0）1，故错误；p4：在ABC中，根据大边对大角可知，若AB，则ab，由正弦定理可知，sinAsinB，故正确故选：B【点评】考查了线面垂直，奇函数的定义，均值定理和三角形的性质及正弦定理的应用属于基础题型，应熟练掌握9（5分）已知p：x0，exax1成立，q：函数f（x）（a1）x是减函数，则p是q的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件【分析】
15、利用导数研究p的单调性可得a0且a1q：函数f（x）（a1）x是减函数，则a11，解得a2即可判断出结论【解答】解：p：令f（x）exax1，f（0）0由x0，exax1成立，f（x）min0f（x）exa可知：a0时，函数f（x）单调递增，舍去a0时，f（x）在（0，lna）上单调递减，在（lna，+）上单调递增因此xlna时，函数f（x）取得极小值即最小值f（lna）aalna10令g（a）aalna1，g（1）0g（a）1lna1lna，可知：a1时，g（a）取得最大值，因此a0且a1q：函数f（x）（a1）x是减函数，则a11，解得a2则p是q的必要不充分条件故选：B【点评】本题考查了
16、利用导数研究函数的单调性、复合函数与指数函数的单调性、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题10（5分）已知A，B为双曲线E的左，右顶点，点M在E上，ABM为等腰三角形，顶角为120，则E的离心率为（）AB2CD【分析】设M在双曲线1的左支上，由题意可得M的坐标为（2a，a），代入双曲线方程可得ab，再由离心率公式即可得到所求值【解答】解：设M在双曲线1的左支上，且MAAB2a，MAB120，则M的坐标为（2a，a），代入双曲线方程可得，1，可得ab，ca，即有e故选：D【点评】本题考查双曲线的方程和性质，主要考查双曲线的离心率的求法，运用任意角的三角函数的定义求得M的坐标是
17、解题的关键11（5分）已知直线yk（x+2）（k0）与抛物线C：y28x相交于A、B两点，F为C的焦点，若|FA|2|FB|，则k（）ABCD【分析】根据直线方程可知直线恒过定点，如图过A、B分别作AMl于M，BNl于N，根据|FA|2|FB|，推断出|AM|2|BN|，点B为AP的中点、连接OB，进而可知，进而推断出|OB|BF|，进而求得点B的横坐标，则点B的坐标可得，最后利用直线上的两点求得直线的斜率【解答】解：设抛物线C：y28x的准线为l：x2直线yk（x+2）（k0）恒过定点P（2，0）如图过A、B分别作AMl于M，BNl于N，由|FA|2|FB|，则|AM|2|BN|，点B为AP
18、的中点、连接OB，则，|OB|BF|，点B的横坐标为1，故点B的坐标为，故选：D【点评】本题主要考查了抛物线的简单性质考查了对抛物线的基础知识的灵活运用12（5分）设函数f（x）在R上存在导数f（x），xR，有f（x）+f（x）x2，在（0，+）上f（x）x，若f（6m）f（m）18+6m0，则实数m的取值范围为（）A3，3B3，+）C2，+）D（，22，+）【分析】令g（x）f（x）x2，根据已知条件得到g（x）的单调性，从而得到关于m的不等式，解出即可【解答】解：令g（x）f（x）x2，g（x）+g（x）f（x）x2+f（x）x20，函数g（x）为奇函数x（0，+）时，g（x）f（x）x0
19、，函数g（x）在x（0，+）为减函数，又由题可知，f（0）0，g（0）0，所以函数g（x）在R上为减函数f（6m）f（m）f（6m）+（6m）2f（m）m20，即g（6m）g（m）0，g（6m）g（m），6mm，m3【点评】本题考查了函数的单调性、奇偶性，考查导数的应用，构造函数g（x）f（x）x2，判断出g（x）的单调性是解答本题的关键，本题是一道中档题二、填空题（共4小题，每小题5分，共20分）13（5分）若样本x1+2，x2+2，xn+2的方差为3，则样本2x1+2019，2x2+2019，2xn+2019的方差是12【分析】利用方差的性质直接求解【解答】解：样本x1+2，x2+2，xn
20、+2的方差为3，样本2x1+2019，2x2+2019，2xn+2019的方差是：22312故答案为：12【点评】本题考查方差的求法，考查方差的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题14（5分）当x1，1时，函数f（x）的值域是0，e【分析】求出函数的导数，研究函数在区间1，1上的单调性，确定出函数端点值和极值，代入求出函数值域即可【解答】解：f'（x），在区间1，0上f'（x）0，在区间0，1上f'（x）0，f（1）e，f（1），最大值为e，又f（0）0，为极小值，也为最小值，所以值域为0，e故答案为：0，e【点评】本题考查了对数函数的导数运算、导数在最大值、最小
21、值问题中的应用，解答关键是利用导数工具研究函数的最值问题15（5分）已知向量，是空间的一个单位正交基底，向量+，是空间的另一个基底若向量在基底，下的坐标为（3，5，9），则在基底，3下的坐标为（4，1，3）【分析】由空间向量基本定理得：，得，得解【解答】解：由题意有3，设x（）+y（）+3z，则有，得，故答案为：（4，1，3）【点评】本题考查了空间向量基本定理，属简单题16（5分）已知抛物线C：y22px（p0）的焦点为F，过F作直线交C于A，B两点，过A，B分别向C的准线l作垂线，垂足为A1，B1，已知AA1F与BB1F的面积分别为9和1，则A1B1F的面积为6【分析】设直线AB的方程为：x
22、ty+，将其代入y22px，得y22ptyp20，设A（x1，y1），B（x2，y2），则y1+y22pt，y1y2p2，根据两个面积列式相乘可得（t2+1）p436，再根据S|A1B1|p可得【解答】解：设直线AB的方程为：xty+，将其代入y22px，得y22ptyp20，设A（x1，y1），B（x2，y2），则y1+y22pt，y1y2p2，S|AA1|y1|（x1+）|y1|（+）|y1|9S|BB1|y2|（x2+）|y2|（+）|y2|1，（+）（+）|y1y2|36，（+（y+y）|y1y2|36，+（y1+y2）22y1y2），+（4p2t2+2p2），p2+p2t2，（t2+
23、1）p436，S|A1B1|pp|y1y2|ppp2p26故答案为：6【点评】本题考查了抛物线的性质，属中档题三解答题（共6小题，17题10分，其余每题12分，共70分）17（10分）已知函数f（x）x3+3x2+9x2，求：（1）函数yf（x）的图象在点（0，f（0）处的切线方程；（2）f（x）的单调递减区间【分析】（1）求出f（x）3x2+6x+9，f（0）9，f（0）2，由此利用导数的几何意义能求出函数yf（x）的图象在点（0，f（0）处的切线方程（2）由f（x）3x2+6x+90，能求出f（x）的单调递减区间【解答】解：（1）f（x）x3+3x2+9x2，f（x）3x2+6x+9，f（
24、0）9，f（0）2，函数yf（x）的图象在点（0，f（0）处的切线方程为：y+29x，即9xy20（2）f（x）x3+3x2+9x2，f（x）3x2+6x+9，由f（x）3x2+6x+90，解得x1或x3f（x）的单调递减区间为（，1），（3，+）【点评】本题考查函数的切线方程的求法，考查函数的减区间的求法，考查导数的几何意义、导数性质等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是中档题18（12分）已知抛物线的顶点在原点，过点A（4，4）且焦点在x轴（1）求抛物线方程（2）直线l过定点B（1，0），与该抛物线相交所得弦长为8，求直线l的方程【分析】（1）设
25、抛物线方程为y22px，抛物线过点（4，4），求出p，即可可得抛物线方程（2）当直线l的斜率不存在时，直线l：x1与抛物线交于（1，2）、（1，2），弦长为4，不合题意当直线l的斜率存在时，设斜率为k，直线为yk（x+1），与抛物线方程联立，利用韦达定理转化通过弦长公式，然后求解k，即可得到直线方程【解答】解：（1）设抛物线方程为y22px，抛物线过点（4，4），422p（4），得p2，则y24x（2）当直线l的斜率不存在时，直线l：x1与抛物线交于（1，2）、（1，2），弦长为4，不合题意当直线l的斜率存在时，设斜率为k，直线为yk（x+1），消y得k2x2+（2k2+4）x+k20，x1+
26、x2，x1x21；弦长8，解得k21，得k1，所以直线l方程为yx+1或yx1【点评】本题考查直线与抛物线的位置关系的应用，考查转化思想以及计算能力19（12分）某城市100户居民的月平均用电量（单位：度），以160，180），180，200），200.220），220，240），240，260），260，280），280，300分组的频率分布直方图如图示（）求直方图中x的值；（）求月平均用电量的众数和中位数；（）在月平均用电量为220，240），240，260），260，280）的三组用户中，用分层抽样的方法抽取10户居民，则月平均用电量在220，240）的用户中应抽取多少户？【分析】（）由
27、直方图的性质能求出直方图中x的值（）由频率分布直方图能求出月平均用电量的众数和中位数（）月平均用电量为220，240的用户有25户，月平均用电量为240，260）的用户有15户，月平均用电量为260，280）的用户有10户，由此能求出月平均用电量在220，240）的用户中应抽取的户数【解答】（本小题10分）解：（）由直方图的性质，可得（0.002+0.0095+0.011+0.0125+x+0.005+0.0025）201得：x0.0075，所以直方图中x的值是0.0075（3分）（）月平均用电量的众数是230（4分）因为（0.002+0.0095+0.011）200.450.5，所以月平均用
28、电量的中位数在220，240）内，设中位数为a，由（0.002+0.0095+0.011）20+0.0125（a220）0.5得：a224，所以月平均用电量的中位数是224（6分）（）月平均用电量为220，240的用户有0.01252010025户，月平均用电量为240，260）的用户有0.00752010015户，月平均用电量为260，280）的用户有0.0052010010户，（8分）抽取比例，所以月平均用电量在220，240）的用户中应抽取255户（10分）【点评】本题考查频率分布直方图的应用，考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等可能事件概率计算公式的合理运用20（12分）
29、如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是平行四边形，BCD120，侧面PAB底面ABCD，BAP90，ABACPA2（I）求证：面PBD面PAC；（）过AC的平面交PD于点M，若平面AMC把四面体PACD分成体积相等的两部分，求二面角MPCB的余弦值【分析】（I）证明PAAB，PABD，BDAC，推出BD面PAC，即可证明面PAC面PBD；（）建立如图所示的空间直角坐标系，求出面MPC的法向量，面MPC的法向量利用空间向量的数量积求解二面角MPCB的余弦值即可【解答】（I）证明：因为BAP90，则PAAB，又侧面PAB底面ABCD，面PAB面ABCDAB，PA面PAB，则PA面ABCDBD面
30、ABCD，则PABD又因为BCD120，ABCD为平行四边形，则ABC60，又ABAC则ABC为等边三角形，则ABCD为菱形，则BDAC，又PAACA，则BD面PAC，BD面PBD，则面PAC面PBD；（）由平面AMC把四面体PACD分成体积相等的两部分，则M为PB中点由（）知建立如图所示的空间直角坐标系，则，则中点M为（0，1，1），设面MPC的法向量为，则，则，设面MPC的法向量为，则，则，则，则二面角MPCB的余弦值为【点评】本题考查直线与平面垂直以及平面与平面垂直的判定定理的应用，二面角的平面角的求法，考查计算能力21（12分）已知左焦点为F（1，0）的椭圆过点E（1，）过点P（1，1
31、）分别作斜率为k1，k2的椭圆的动弦AB，CD，设M，N分别为线段AB，CD的中点（1）求椭圆的标准方程；（2）若P为线段AB的中点，求k1；（3）若k1+k21，求证直线MN恒过定点，并求出定点坐标【分析】（1）利用椭圆的定义求出椭圆的标准方程；（2）设A，B的坐标，利用点差法确定k1的值；（3）求出直线MN的方程，利用根与系数的关系以及k1+k21探究直线过哪个定点【解答】（1）解：由题意c1，且右焦点F（1，0）2aEF+EF，b2a2c22所求椭圆方程为；（2）解：设A（x1，y1），B（x2，y2），则，可得k1；（3）证明：由题意，k1k2，设M（xM，yM），直线AB的方程为y1
32、k1（x1），即yk1x+k2，代入椭圆方程并化简得（）x2+6k1k2x+0，同理，当k1k20时，直线MN的斜率k直线MN的方程为y（x）即此时直线过定点（0，）当k1k20时，直线MN即为y轴，此时亦过点（0，）综上，直线MN恒过定点，且坐标为（0，）【点评】本题考查椭圆方程，考查点差法的运用，考查直线与椭圆的位置关系，考查直线恒过定点，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题22（12分）已知函数f（x）ex+mx3，g（x）ln（x+1）+2（1）若曲线yf（x）在点（0，f（0）处的切线斜率为1，求实数m的值；（2）当m1时，证明：f（x）g（x）x3【分析】（1）求出f（x）的导数
33、，求得切线的斜率，解方程可得m；（2）f（x）g（x）x3即为ex+mln（x+1）+2由函数yexx1，求得最小值，可得exx+1，则ex+mx+m+1，再由h（x）x+m+1ln（x+1）2x+mln（x+1）1，求出导数，求得最小值，由条件即可得证【解答】解：（1）函数f（x）ex+mx3的导数为f（x）ex+m3x2，在点（0，f（0）处的切线斜率为kem1，解得m0；（2）证明：f（x）g（x）x3即为ex+mln（x+1）+2由yexx1的导数为yex1，当x0时，y0，函数递增；当x0时，y0，函数递减即有x0处取得极小值，也为最小值0即有exx+1，则ex+mx+m+1，由h（x）x+m+1ln（x+1）2x+mln（x+1）1，h（x）1，当x0时，h（x）0，h（x）递增；1x0时，h（x）0，h（x）递减即有x0处取得最小值，且为m1，当m1时，即有h（x）m10，即x+m+1ln（x+1）+2，则有f（x）g（x）x3成立【点评】本题考查导数的运用：求切线的斜率和单调区间、极值和最值，考查不等式的证明，注意运用构造法，以及不等式的传递性，考查推理能力，属于中档题
