1、2018-2019学年广东省揭阳市高二（下）期末数学试卷（文科）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1（5分）已知集合Mx|x1，则MN（）A（1，+）B（1，0C（1，2D（，22（5分）已知复数z满足（1+i）z1i，则z的共轭复数（）AiBiCiDi3（5分）sin45sin75sin45sin15（）ABC1D4（5分）已知等差数列an的前n项和为Sn，且S8S325，则a6（）A4B5C6D105（5分）为了判定两个分类变量X和Y是否有关系，应用k2独立性检验法算得k2的观测值为5，又已知P（k23.841）0.05，P
2、（k26.635）0.01，则下列说法正确的是（）A有99%以上的把握认为“X和Y有关系”B有99%以上的把握认为“X和Y没有关系”C有95%以上的把握认为“X和Y有关系”D有95%以上的把握认为“X和Y没有关系”6（5分）已知，则a，b，c的大小关系为（）AcbaBcabCbacDabc7（5分）已知两条不同直线a、b，两个不同平面、，有如下命题：若a，b，则ab；若a，b，则ab；若，a，则a；若，a，b，则ab；以上命题正确的个数为（）A3B2C1D08（5分）函数f（x）ln|x|（ln|x|+1）的图象大致为（）ABCD9（5分）执行如图所示的程序框图，若输出的y6，则满足条件的实数
3、x的个数为（）A1B2C3D410（5分）将函数的图象向左平移个单位长度，所得图象对应的函数（）A在区间上单调递增B在区间上单调递减C在区间上单调递增D在区间上单调递减11（5分）双曲线的左、右焦点分别为F1、F2，P在双曲线C上，且PF1F2是等腰三角形，其周长为22，则双曲线C的离心率为（）ABCD12（5分）已知定义在R上的奇函数f（x）满足f（x+2）f（2x），当2x0时，f（x）ax1（a0），且f（2）8，则f（1）+f（2）+f（3）+f（2019）（）A10B12C4D12二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分13（5分）已知向量，若，则m ；14（5
4、分）已知椭圆的焦点在y轴上，中心在坐标原点，其在x轴上的两个顶点与两个焦点恰好是边长为2的正方形的顶点，则该椭圆的标准方程为 ；15（5分）在ABC中，AB5，BC1，则AC ；16（5分）已知球的表面积为25，则球内接圆柱的侧面积最大值为 三、解答题：共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.第17题第21题为必考题，每个试题考生都必须作答第22题第23题为选考题，考生根据要求作答（一）必考题：共60分17（12分）设an是正项等比数列，且a12，a3a22a1（1）求an的通项公式；（2）求a1log2a1+a2log2a2+anlog2a
5、n18（12分）如图，在三棱锥PABC中，APCP，O是AC的中点，PO1，OB2，（1）证明：平面PAC平面ABC；（2）若ACBC，求点A到平面PBC的距离19（12分）已知某单位甲、乙、丙三个部门共有员工60人，为调查他们的睡眠情况，通过分层抽样获得部分员工每天睡眠的时间，数据如表（单位：小时）甲部门6 7 8乙部门5.5 6 6.5 7 &nbs
6、p; 7.5 8丙部门5 5.5 6 6.5 7 8.5（1）求该单位乙部门的员工人数？（2）若将每天睡眠时间不少于7小时视为睡眠充足，现从该单位任取1人，估计抽到的此人为睡眠充足者的概率；（3）再从甲部门和乙部门抽出的员工中，各随机选取一人，甲部门选出的员工记为A，乙部门选出的员工记为B，假设所有员工睡眠的时间相互独立，求A的睡眠时间不少于B的睡眠时间的概率20（12分）已知抛物线C：y2
7、2px（p0）与圆的一个公共点为A（2，2）（1）求圆M的方程；（2）已知过点A的直线l与抛物线C交于另一点B，若抛物线C在点A处的切线与直线OB垂直，求直线l的方程21（12分）已知函数f（x）ax（lnx+a1）（a0），（1）当a2时，求函数f（x）的单调性；（2）当a0时，若函数f（x）的极值为e，求a的值；（3）当x（0，e2）时，若f（x）0，求a的取值范围（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分选修4-4：坐标系与参数方程22（10分）在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为为参数），以原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，
8、点在直线l：cossin+m0上（1）求曲线C和直线l的直角坐标方程；（2）若直线l与曲线C的相交于点A、B，求|PA|PB|的值选修4-5：不等式选讲23已知函数f（x）|x+2a|xa|（1）若f（1）2，求a的取值范围；（2）x、yR，f（x）f（y）6，求a的取值范围2018-2019学年广东省揭阳市高二（下）期末数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1（5分）已知集合Mx|x1，则MN（）A（1，+）B（1，0C（1，2D（，2【分析】先分别求出集合M，N，由此能求出MN【解答】解：集合M
9、x|x1，x|x2，MNx|1x2（1，2故选：C【点评】本题考查交集的求法，考查交集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题2（5分）已知复数z满足（1+i）z1i，则z的共轭复数（）AiBiCiDi【分析】由条件求出z，可得复数z的共轭复数【解答】解：z（1+i）1i，zi，z的共轭复数为i，故选：A【点评】本题主要考查复数的基本概念，两个复数代数形式的乘除法法则的应用，虚数单位i的幂运算性质，属于基础题3（5分）sin45sin75sin45sin15（）ABC1D【分析】由题意利用两角和差的三角公式、特殊角的三角函数的值，求得结果【解答】解：sin45sin75sin45
10、sin15sin45sin（45+30）sin（4530）sin45cos30+cos45sin30sin45cos30+cos45sin302cos45sin30，故选：D【点评】本题主要考查两角和差的三角公式、特殊角的三角函数的值，属于基础题4（5分）已知等差数列an的前n项和为Sn，且S8S325，则a6（）A4B5C6D10【分析】根据题意，分析可得a4+a5+a6+a7+a8S8S325，又由等差数列的性质可得5a625，变形即可得答案【解答】解：根据题意，等差数列an中S8S325，则有a4+a5+a6+a7+a8S8S325，又由a4+a8a5+a72a6，则有5a625，则a6
11、5，故选：B【点评】本题考查等差数列的性质以及等差数列的前n项和，属于基础题5（5分）为了判定两个分类变量X和Y是否有关系，应用k2独立性检验法算得k2的观测值为5，又已知P（k23.841）0.05，P（k26.635）0.01，则下列说法正确的是（）A有99%以上的把握认为“X和Y有关系”B有99%以上的把握认为“X和Y没有关系”C有95%以上的把握认为“X和Y有关系”D有95%以上的把握认为“X和Y没有关系”【分析】根据所给的观测值，与所给的临界值表中的数据进行比较，即可得出正确的结论【解答】解：3.481K256.635，而在观测值表中对应于3.841的是0.05，对应于6.635的是
12、0.01，有10.0595%以上的把握认为“X和Y有关系”故选：C【点评】本题考查了独立性检验的应用问题，是基础题6（5分）已知，则a，b，c的大小关系为（）AcbaBcabCbacDabc【分析】利用指数函数、幂函数的单调性分别比较a与b，b与c的大小得答案【解答】解：0.20.30.30.3，0.30.30.30.2，0.20.30.30.2，由，0.30.10.30.2，cba故选：A【点评】本题考查指数函数、幂函数的单调性，考查转化思想方法，是基础题7（5分）已知两条不同直线a、b，两个不同平面、，有如下命题：若a，b，则ab；若a，b，则ab；若，a，则a；若，a，b，则ab；以上命
13、题正确的个数为（）A3B2C1D0【分析】直接利用空间中线线、线面、面面间的位置关系逐一判定即可得答案【解答】解：若a，b，则a与b平行或异面，故错误；若a，b，则ab，则a与b平行，相交或异面，故错误；若，a，则a与没有公共点，即a，故正确；若，a，b，则a与b平行或异面，故错误正确的个数为1故选：C【点评】本题考查命题真假的判断，考查直线与平面之间的位置关系，是基础题8（5分）函数f（x）ln|x|（ln|x|+1）的图象大致为（）ABCD【分析】根据题意，分析函数f（x）的奇偶性以及在区间（0，）上，有f（x）0，据此分析选项，即可得答案【解答】解：根据题意，f（x）ln|x|（ln|x
14、|+1），有f（x）ln|x|（ln|x|+1）ln|x|（ln|x|+1）f（x），则f（x）为偶函数，排除C、D，当x0时，f（x）lnx（lnx+1），在区间（0，）上，lnx1，则有lnx+10，则f（x）lnx（lnx+1）0，排除B；故选：A【点评】本题考查函数的图象分析，一般用排除法分析，属于基础题9（5分）执行如图所示的程序框图，若输出的y6，则满足条件的实数x的个数为（）A1B2C3D4【分析】该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量y的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况可得答案【解答】解：由程序框图可知，要输出y6，则需要计算满足条件的分段函数的x即可，即
15、：62x2，x，满足x3，6，x，不满足x5，舍去62x3，x，满足3x5，属于附条件的x的个数为：x，；3个故选：C【点评】本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题10（5分）将函数的图象向左平移个单位长度，所得图象对应的函数（）A在区间上单调递增B在区间上单调递减C在区间上单调递增D在区间上单调递减【分析】由题意利用函数yAsin（x+）的图象变换规律，可得所得函数的解析式，再利用正弦函数的单调性，得出结论【解答】解：将函数的图象向左平移个单位长度，所得图象对应的函数ysin2x的图象，在区间上，2x，所得函数ysin2x单调递增，故A正确
16、；在区间上，2x，2，所得函数ysin2x单调递增，故B错误；在区间上，2x，3，所得函数ysin2x单调递减，故C不正确；在区间上，2x3，4，所得函数ysin2x没有单调性，故D不正确，故选：A【点评】本题主要考查函数yAsin（x+）的图象变换规律，正弦函数的单调性，属于基础题11（5分）双曲线的左、右焦点分别为F1、F2，P在双曲线C上，且PF1F2是等腰三角形，其周长为22，则双曲线C的离心率为（）ABCD【分析】由题意画出图形，分类由三角形周长列式求得b，进一步求得c，则双曲线的离心率可求【解答】解：如图，由，得c2b2+9，c设|PF1|m，|PF2|n，由题意，mn6，若n2c
17、2，m6+n6+2，则m+n+2c，解得b；若m2c2，nm6则m+n+2c，解得，ce故选：C【点评】本题考查双曲线的简单性质，考查双曲线定义及其应用，是中档题12（5分）已知定义在R上的奇函数f（x）满足f（x+2）f（2x），当2x0时，f（x）ax1（a0），且f（2）8，则f（1）+f（2）+f（3）+f（2019）（）A10B12C4D12【分析】根据f（x）是奇函数，以及f（x+2）f（2x）即可得出f（x+8）f（x），即得出f（x）的周期为8，而根据f（2）8及2x0时，f（x）ax1（a0）即可求出a，从而得出f（3）f（1）2，f（4）f（8）0，f（5）f（1），f（6
18、）f（2），f（7）f（3），这样即可求出f（1）+f（2）+f（3）+f（4）+f（5）+f（6）+f（7）+f（8）0，而20193+2528，从而得出f（1）+f（2）+f（3）+f（2019）12【解答】解：f（x）是R上的奇函数，且f（x+2）f（2x）；f（x+4）f（x）f（x）；f（x+8）f（x）；f（x）的周期为8；f（2）8，且2x0时，f（x）ax1；f（2）a218，且a0；2x0时，f（x）；f（3）f（1）f（1）2，f（4）f（0）0，f（5）f（1），f（6）f（2），f（7）f（3），f（8）f（0）0；f（1）+f（2）+f（3）+f（4）+f（5）+f（
19、6）+f（7）+f（8）f（1）+f（2）+f（3）+0f（1）f（2）f（3）+00；20193+2528；f（1）+f（2）+f（3）+f（2019）f（1）+f（2）+f（3）28212故选：B【点评】考查奇函数的定义，周期函数的定义，以及已知函数求值的方法，奇函数在原点有定义时，原点处的函数值为0二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分13（5分）已知向量，若，则m2；【分析】利用向量平行的性质直接求解【解答】解：向量，解得m2故答案为：2【点评】本题考查实数值的求法，考查向量平行的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题14（5分）已知椭圆的焦点在y轴上，中心在坐标原点，其
20、在x轴上的两个顶点与两个焦点恰好是边长为2的正方形的顶点，则该椭圆的标准方程为+1；【分析】根据题意，利用正方形的正方形边长为2，分析可得|AF1|AF2|a2，以及|F1F2|2，即可得b的值，由椭圆的标准方程分析可得答案【解答】解：根据题意，椭圆的焦点在y轴上，设其上下焦点为F1、F2，左顶点为A，若椭圆在x轴上的两个顶点与两个焦点恰好是边长为2的正方形的顶点，则|AF1|AF2|a2，|F1F2|2，cb；则要求椭圆的方程为+1；故答案为：+1【点评】本题考查用待定系数法求椭圆的标准方程，涉及椭圆的简单几何性质，属于基础题15（5分）在ABC中，AB5，BC1，则AC；【分析】利用半角公
21、式cosB1求出cosB，然后用余弦定理求出AC【解答】解：，cosB，由余弦定理，有，故答案为：【点评】本题考查了正弦定理的应用和半角公式，属基础题16（5分）已知球的表面积为25，则球内接圆柱的侧面积最大值为【分析】由球的表面积求出球的半径R，再设底面圆的半径r和母线长l，计算球内接圆柱的侧面积，求出它的最大值【解答】解：如图所示，由球的表面积为25，所以球半径为R；设底面圆的半径为r，母线长为l，则r2+，解得r；所以球内接圆柱的侧面积为S圆柱侧面积2rl2l，当且仅当25l2l2，即l时取等号，所以球内接圆柱的侧面积的最大值为故答案为：【点评】本题考查了球内接圆柱体的侧面积计算问题，是
22、基础题三、解答题：共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.第17题第21题为必考题，每个试题考生都必须作答第22题第23题为选考题，考生根据要求作答（一）必考题：共60分17（12分）设an是正项等比数列，且a12，a3a22a1（1）求an的通项公式；（2）求a1log2a1+a2log2a2+anlog2an【分析】（1）设等比数列an的公比为q，由等比数列的性质可得2q22q22，解可得q的值，结合等比数列的通项公式分析可得答案；（2）设Sna1log2a1+a2log2a2+anlog2an，分析可得Sn2log22+22log222+2nlog22n12+222+n2n，由
23、错位相减法分析可得答案【解答】解：（1）根据题意，设等比数列an的公比为q，（q0）若a12，a3a22a1，则有2q22q22，解可得：q2或q1（舍），则ana1qn122n12n；（2）设Sna1log2a1+a2log2a2+anlog2an，则Sn2log22+22log222+2nlog22n12+222+n2n，则有2Sn122+223+n2n+1，则可得：Sn2+（22+23+2n）n2n+1（1n）2n+12；变形可得：Sn（n1）2n+1+2【点评】本题考查等比数列的求出，涉及等比数列的通项公式的求法，属于基础题18（12分）如图，在三棱锥PABC中，APCP，O是AC的中
24、点，PO1，OB2，（1）证明：平面PAC平面ABC；（2）若ACBC，求点A到平面PBC的距离【分析】（1）利用POAC，OP2+OB2PB2，即POOB可证明PO面ABC，即可得平面PAC平面ABC；（2）设O到平面PBC的距离为d由VPBCOVOPBC，可得d，又点A到平面PBC的距离为2d，即可求解【解答】解：（1）证明：APCP，O是AC的中点，POAC，PO1，OB2，PBOP2+OB2PB2，即POOBACOBO，PO面ABC，PO面PAC，平面PAC平面ABC；（2）设O到平面PBC的距离为d平面PAC平面ABC，平面PAC平面ABCAC，ACBC，BC面PAC，BCPC则有V
25、PBCOVOPBC，即有，S，SPBCd，O是AC的中点，点A到平面PBC的距离为2d【点评】本题考查了空间面面垂直的证明，等体积法求距离，属于中档题19（12分）已知某单位甲、乙、丙三个部门共有员工60人，为调查他们的睡眠情况，通过分层抽样获得部分员工每天睡眠的时间，数据如表（单位：小时）甲部门6 7 8乙部门5.5 6 6.5 7 &n
26、bsp; 7.5 8丙部门5 5.5 6 6.5 7 8.5（1）求该单位乙部门的员工人数？（2）若将每天睡眠时间不少于7小时视为睡眠充足，现从该单位任取1人，估计抽到的此人为睡眠充足者的概率；（3）再从甲部门和乙部门抽出的员工中，各随机选取一人，甲部门选出的员工记为A，乙部门选出的员工记为B，假设所有员工睡眠的时间相互独立，求A的睡眠时间不少于B的睡眠时间的概率【分析】（1）运用分层抽样的特点，计算可得
27、所求；（2）求得从15人中抽一个人可得15种，每天睡眠时间不少于7小时的共有7人，由古典概率的计算公式可得所求；（3）运用分类讨论思想，由古典概率的计算公式计算可得所求【解答】解：（1）通过分层抽样获得部分员工的人数为15，乙部门的抽取人数为6，可得乙部门的人数为624；（2）从15人中抽一个人可得15种，每天睡眠时间不少于7小时的共有7人，则估计抽到的此人为睡眠充足者的概率为；（3）从甲部门和乙部门抽出的员工中，各随机选取一人，共有3618种；A的睡眠时间不少于B的睡眠时间的共有2+4+612种，则A的睡眠时间不少于B的睡眠时间的概率为【点评】本题考查分层抽样和古典概率的求法，考查分类讨论思
28、想和运算能力，属于基础题20（12分）已知抛物线C：y22px（p0）与圆的一个公共点为A（2，2）（1）求圆M的方程；（2）已知过点A的直线l与抛物线C交于另一点B，若抛物线C在点A处的切线与直线OB垂直，求直线l的方程【分析】（1）把A（2，2）代入抛物线、圆的方程求得p、r即可求得圆的方程（2）由0求得切线斜率，写出OB的方程，求得B的坐标，即可求得直线方程【解答】解：（1）抛物线C：y22px（p0）过A（2，2）p1，圆的为（x）2+y2r2把A（2，2）代入圆M的方程，可得r2故圆M：（x）2+y2（2）设过点A的切线方程为yk（x2）+2由ky22y+44k0（2）24k（44k
29、）0，解得kkOB2直线OB：y2x，y0或y1，B（，1）直线l的方程：y2（x2）即y2x2【点评】本题考查了抛物线、圆的方程，考查了抛物线的切线，属于中档题21（12分）已知函数f（x）ax（lnx+a1）（a0），（1）当a2时，求函数f（x）的单调性；（2）当a0时，若函数f（x）的极值为e，求a的值；（3）当x（0，e2）时，若f（x）0，求a的取值范围【分析】（1）先求导，根据导数和函数单调性的关系即可求出，（2）根据导数和函数的极值的关系即可求出，（3）根据函数的单调性和端点值以及最值，分类讨论即可求出【解答】解：（1）当a2时，f（x）2x（lnx+1）2（xlnx+x），x
30、0，f（x）2（2+lnx），令f（x）0，解得x，当x时，f（x）0，0x时，f（x）0，f（x）在（0，）上单调递减，在（，+）上单调递增；（2）：f'（x）alnx+a2a（lnx+a），a0当x（0，ea）时，f'（x）0，f（x）单调递增；当x（ea，+），f'（x）0，f（x）单调递减，f（x）极大值f（ea）aea（lnea+a1）aeae，解得a1；（3）f'（x）alnx+a2a（lnx+a），令f'（x）0，解得xea，当eae2，即a2时，由（2）可得函数f（x）在（0，e2）上单调递增，当x0时，lnx+a0，ax0，f（x）0恒
31、成立，符合题意，当eae2，即a2时，（i）当2a0时，由（2）可得函数f（x）在（0，ea）上单调递增，在（ea，e2）上单调递减，f（e2）ae2（lne2+a1）ae2（1+a），当1a0时，f（e2）0，不符合题意，当2a1时，f（e2）0，符合题意，当a1时，f（e2）0，不符合题意，（ii）当a0时，f'（x）alnx+a2a（lnx+a），可得函数f（x）在（0，ea）上单调递减，在（ea，e2）上单调递增，f（x）minf（ea）aea0不符合题意，综上所述a的取值范围为（，1）【点评】本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、不等式的解法、等价转化方法，考查了推理
32、能力与计算能力，属于难题（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分选修4-4：坐标系与参数方程22（10分）在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为为参数），以原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，点在直线l：cossin+m0上（1）求曲线C和直线l的直角坐标方程；（2）若直线l与曲线C的相交于点A、B，求|PA|PB|的值【分析】（1）直接把曲线C的参数方程中的参数消去，即可得到曲线C的普通方程，把P的极坐标代入直线方程求得m，结合极坐标与直角坐标的互化公式可得直线l的直角坐标方程；（2）写出直线l的参数方程，把直线l的参数方程代入曲线
33、C的直角坐标方程，化为关于t的一元二次方程，利用此时t的几何意义及根与系数的关系求解【解答】解：（1）由为参数），消去参数，可得曲线C的普通方程为；由在直线l：cossin+m0上，得，得m直线l：cossin+m0的直角坐标方程为xy+0；（2）直线l的参数方程为，代入，得：13t220t200|PA|PB|【点评】本题考查简单曲线的极坐标方程，考查参数方程化普通方程，关键是参数方程中此时t的几何意义的应用，是中档题选修4-5：不等式选讲23已知函数f（x）|x+2a|xa|（1）若f（1）2，求a的取值范围；（2）x、yR，f（x）f（y）6，求a的取值范围【分析】（1）f（1）|2a+1
34、|a1|，根据f（1）2分别解不等式即可'（2）根据觉得值三角不等式求出f（x）的值域，然后由条件可得f（x）minf（y）max6，即3|a|3|a|6，解出a的范围【解答】解：（1）f（x）|x+2a|xa|，f（1）|2a+1|a1|，f（1）2，或，或，a1，或a1，或a4，a的取值范围为；（2）|x+2a|xa|（x+2a）（xa）|3|a|，f（x）3|a|，3|a|，x、yR，f（x）f（y）6，只需f（x）minf（y）max6，即3|a|3|a|6，6|a|6，1a1，a的取值范围为1，1【点评】本题考查了绝对值不等式的解法和利用绝对值三角不等式求函数的范围，考查了分类讨论和转化思想，属中档题
