1、专题突破一频率分布直方图中的统计问题一、求样本中限制条件下的个体所占频率例1观察新生儿的体重，其频率分布直方图如图所示，则新生儿体重在2 700,3 000)的频率为()A.0.001 B.0.1C.0.2 D.0.3思维切入求对应区间上的小矩形的面积.答案D解析由直方图的意义可知，在区间2 700,3 000)内取值的频率为(3 0002 700)0.0010.3.点评频率为直方图中相应小长方形的面积，即频率纵坐标横坐标差的绝对值.跟踪训练1某中学举办电脑知识竞赛，满分为100分，80分以上为优秀(含80分)，现将高一两个班参赛学生的成绩进行整理后分成5组，绘制成频率分布直方图如下图所示.已
2、知图中从左到右的第一、三、四、五小组的频率分别为0.30,0.15,0.10,0.05，而第二小组的频数是40，则参赛的人数是_，成绩优秀的频率是_.答案1000.15解析设参赛的人数为n，第二小组的频率为1(0.300.150.100.05)0.4，依题意0.4，n100，优秀的频率是0.100.050.15.二、求样本中限制条件下的个体的频数例2某市高三数学抽样考试中，对90分以上的成绩进行统计，其频率分布如图所示.若130140分数段的人数为90，则90100分数段的人数为_.思维切入对应区间上的频数即为对应区间的频率样本容量.答案810解析由于90分以上的考试人数是样本容量，则图中5个
3、分数段的频率之和等于1，设130140分数段的频率为p，则0.450.250.150.10p1，即0.95p1，则p0.05，设该样本总体共有n个学生的分数，且设90100分数段的人数为x，则由频率概念得解得故90100分数段的人数为810.点评本题是频率分布条形图.由于各分数段的人数与频率成正比，则可由，求出x；题设条形图的纵坐标是“频率”这是有别于常规的，在审题时不能混淆.跟踪训练2为了研究某药品的疗效，选取若干名志愿者进行临床试验，所有志愿者的舒张压数据(单位：kPa)的分组区间为12,13)，13,14)，14,15)，15,16)，16,17)，将其按从左到右的顺序分别编号为第一组，
4、第二组，第五组，如图是根据试验数据制成的频率分布直方图.已知第一组与第二组共有20人，第三组中没有疗效的有6人，则第三组中有疗效的人数为_.答案12解析志愿者的总人数为50，所以第三组人数为500.36118，所以有疗效的人数为18612.三、求频率分布直方图中的参数问题例3为了解某校高三学生的视力情况，随机地抽查了该校100名高三学生的视力，得到频率分布直方图，如图，由于不慎将部分数据丢失，但知道前4组的频数成等比数列，后6组的频数成等差数列，设最大频率为a，视力在4.6到5.0之间的学生数为b，则a，b的值分别为()A.0.27,78 B.0.27,83C.2.7,78 D.2.7,83思
5、维切入根据频率分布直方图的性质列方程求解.答案A解析注意到纵轴表示，由图象可知，前4组的公比为3，最大频率a0.1330.10.27，设后6组公差为d，则0.010.030.090.276d1，解得d0.05，即后6组频率的公差为0.05，所以，视力在4.6到5.0之间的学生数为(0.270.220.170.12)10078，故选A.点评解答本题关键是要利用频率分布直方图中残缺不全的数据，分析它们之间存在的内在关系.跟踪训练3某学校随机抽取部分新生调查其上学所需时间(单位：分钟)，并将所得数据绘制成频率分布直方图(如图所示)，其中上学所需时间的范围是0,100，样本数据分组为0,20)，20,
6、40)，40,60)，60,80)，80,100.(1)求频率分布直方图中x的值；(2)如果上学所需时间不少于1小时的学生可申请在学校住宿，请估计学校600名新生中有多少名学生可以申请住宿.解(1)由频率分布直方图可得20x0.025200.006 5200.0032201，所以x0.012 5.(2)由频率分布直方图可知，新生上学所需时间不少于1小时的频率为0.0032200.12.因为6000.1272，所以估计600名新生中有72名学生可以申请住宿.四、频率分布直方图中的数字特征例4从某小学随机抽取100名同学，将他们的身高(单位：cm)数据绘制成频率分布直方图(如图).(1)由图中数据
7、求a的值；(2)若要从身高在120,130)，130,140)，140,150三组的学生中，用分层抽样的方法选取18人参加一项活动，则从身高在140,150的学生中选取的人数应为多少？(3)估计这所小学的小学生身高的众数、中位数(保留两位小数)及平均数.思维切入众数即为出现次数最多的数，所以它的频率最大，在最高的小矩形中.中位数即为从小到大中间的数(或中间两数的平均数).解(1)因为直方图中的各个矩形的面积之和为1，所以10(0.0050.035a0.0200.010)1，解得a0.030.(2)由直方图知，身高在120,130)，130,140)，140,150三组的学生总数为10010(0
8、.0300.0200.010)60，其中身高在140,150的学生人数为10，所以从身高在140,150内选取的学生人数为103.(3)根据频率分布直方图知，身高在110,120)的小矩形最高，所以这所小学的小学生身高的众数为115(cm).又0.005100.035100.40.5，0.40.030100.70.5，所以中位数在120,130)内，可设为x，则(x120)0.0300.40.5，解得x123.33，所以中位数为123.33 cm.根据频率分布直方图，计算平均数为1050.051150.351250.31350.21450.1124.5(cm).点评用频率分布直方图求得的众数、
9、中位数不一定是样本中的具体数.跟踪训练4某中学举行电脑知识竞赛，现将高一参赛学生的成绩进行整理后分成五组绘制成如图所示的频率分布直方图，已知图中从左到右的第一、二、三、四、五小组的频率分别是0.30,0.40,0.15,0.10,0.05. 求：(1)高一参赛学生成绩的众数、中位数；(2)高一参赛学生的平均成绩.解(1)由图可知众数为65，又第一个小矩形的面积为0.3，第二个小矩形的面积为0.4，设中位数为60x，则0.3x0.040.5，得x5，中位数为60565.(2)依题意，550.3650.4750.15850.1950.0567，平均成绩约为67分.1.统计某校1 000名学生的数学
10、水平测试成绩，得到样本的频率分布直方图如图所示.若满分为100分，规定不低于60分为及格，则及格率是()A.20% B.25% C.60% D.80%答案D2.在中秋的促销活动中，某商场对9月14日9时到14时的销售额进行统计，其频率分布直方图如图所示，已知12时到14时的销售额为7万元，则10时到11时的销售额为()A.1万元 B.2万元C.3万元 D.4万元答案C3.如图是根据部分城市某年6月份的平均气温(单位：)数据得到的样本频率分布直方图，其中平均气温的范围是20.5,26.5，样本数据的分组为20.5,21.5)，21.5,22.5)，22.5,23.5)，23.5,24.5)，24
11、.5,25.5)，25.5,26.5.已知样本中平均气温低于22.5 的城市个数为11，则样本中平均气温不低于25.5 的城市个数为_.答案94.一个社会调查机构就某地居民的月收入调查了10 000人，并根据所得数据画了样本的频率分布直方图(如图).为了分析居民的收入与年龄、学历、职业等方面的关系，要从这10 000人中再用分层抽样方法抽出100人作进一步调查，则在2 500,3 000)(元)月收入段应抽出_人.答案25解析由频率分布直方图可得2 500,3 000)(元)月收入段共有10 0000.000 55002 500(人)，按分层抽样应抽出2 50025(人).5.我国是世界上严重
12、缺水的国家，某市为了制定合理的节水方案，对居民用水情况进行了调查.通过抽样，获得了某年100位居民每人的月均用水量(单位：吨)，将数据按照0,0.5)，0.5,1)，4,4.5分成9组，制成了如图所示的频率分布直方图.估计居民月均用水量的中位数.解由(0.080.16a0.420.50a0.120.080.04)0.51，解得a0.30.设中位数为x吨.因为前5组的频率之和为0.040.080.150.210.250.730.5.而前4组的频率之和为0.040.080.150.210.480.5.所以2x2.5.由0.50(x2)0.50.48，解得x2.04.故可估计居民月均用水量的中位数为
13、2.04吨.6.某市居民用水拟实行阶梯水价.每人月用水量中不超过w立方米的部分按4元/立方米收费，超出w立方米的部分按10元/立方米收费.从该市随机调查了10 000位居民，获得了他们某月的用水量数据，整理得到如图所示的频率分布直方图：(1)如果w为整数，那么根据此次调查，为使80%以上居民在该月的用水价格为4元/方立米，w至少定为多少？(2)假设同组中的每个数据用该组区间的右端点值代替.当w3时，估计该市居民该月的人均水费.解(1)由用水量的频率分布直方图知，该市居民该月用水量在区间0.5,1)，1,1.5)，1.5,2)，2,2.5)，2.5,3)内的频率依次为0.1,0.15,0.2,0
14、.25,0.15.所以该月用水量不超过3立方米的居民占85%，用水量不超过2立方米的居民占45%.依题意，w至少定为3.(2)由用水量的频率分布直方图及题意，得居民该月用水费用的数据分组与频率分布表：组号12345678分组2,4)4,6)6,8)8,10)10,12)12,17)17,22)22,27频率0.10.150.20.250.150.050.050.05根据题意，该市居民该月的人均水费估计为40.160.1580.2100.25120.15170.05220.05270.0510.5(元).7.某城市100户居民的月平均用电量(单位：度)，以160,180)，180,200)，20
15、0,220)，220,240)，240,260)，260,280)，280,300)分组的频率分布直方图如图.(1)求直方图中x的值；(2)求月平均用电量的众数和中位数；(3)在月平均用电量为220,240)，240,260)，260,280)，280,300)的四组用户中，用分层抽样的方法抽取11户居民，则月平均用电量在220,240)的用户中应抽取多少户？解(1)由(0.0020.009 50.0110.012 5x0.0050.002 5)201，得x0.007 5，所以直方图中x的值是0.007 5.(2)月平均用电量的众数是230.因为(0.0020.009 50.011)200.450.5，所以月平均用电量的中位数在220,240)内，设中位数为a，由(0.0020.009 50.011)200.012 5(a220)0.5，得a224，所以月平均用电量的中位数是224.(3)月平均用电量为220,240)的用户有0.012 52010025(户)，月平均用电量为240,260)的用户有0.007 52010015(户)，月平均用电量为260,280)的用户有0.0052010010(户)，月平均用电量为280,300)的用户有0.002 5201005(户)，抽取比例为，所以月平均用电量在220,240)的用户中应抽取255(户).
