1、2020年浙教新版八年级上册数学第2章 特殊三角形单元测试卷一选择题（共10小题）1使两个直角三角形全等的条件是（）A一锐角对应相等B一条直角边和一个锐角对应相等C一条边对应相等D两锐角对应相等2如图，直线mn，点A在直线m上，点B、C在直线n上，ABCB，170，则BAC等于（）A40B55C70D1103如图，已知每个小方格的边长为1，A，B两点都在小方格的顶点上，请在图中找一个顶点C，使ABC为等腰三角形，则这样的顶点C有（）A8个B7个C6个D5个4用反证法证明“直角三角形中至少有一个锐角不大于45”，应先假设（）A直角三角形中两个锐角都大于45B直角三角形中两个锐角都不大于45C真角
2、三角形中有一个锐角大于45D直角三角形中有一个锐角不大于455对假命题“任何一个角的补角都不小于这个角”举反例，正确的反例是（）A60，的补角120，B90，的补角90，C100，的补角80，D两个角互为邻补角6如图，直线MN是四边形MANB的对称轴，点P在MN上则下列结论错误的是（）AANMBNMBMAPMBPCAMBMDAPBN7如图，ABC与ABC关于直线MN对称，P为MN上任一点（A、P、A不共线），下列结论中，错误的是（）AAAP是等腰三角形BMN垂直平分AA、CCCABC与ABC面积相等D直线AB，AB的交点不一定在直线MN上8下列四个图形中，不是轴对称图形的是（）ABCD9在一些
3、美术字中，有的汉字是轴对称图形下面4个汉字中，可以看作是轴对称图形的是（）ABCD10如图，分别以ABC的边AB，AC所在直线为对称轴作ABC的对称图形ABD和ACE，BAC150，线段BD与CE相交于点O，连接BE、ED、DC、OA有如下结论：EAD90；BOE60；OA平分BOC；EAED；BPEQ其中正确的结论个数是（）A4个B3个C2个D1个二填空题（共8小题）11如图，BD90，BCDC，140，则2 度12定义：等腰三角形的顶角与一个底角的度数的比值称为这个等腰三角形的“特征值”，记作k，若等腰ABC中，A40，则它的特征值k 13如图，直线PQ上有一点O，点A为直线外一点，连接O
4、A，在直线PQ上找一点B，使得AOB是等腰三角形，这样的点B最多有 个14如图，CE平分ACB且CEDB，DABDBA，AC9，CBD的周长为14，则DB的长为 15如图，由四个小正方形组成的田字格中，ABC的顶点都是小正方形的顶点在田字格上画与ABC成轴对称的三角形，且顶点都是小正方形的顶点，则这样的三角形（不包含ABC本身）共有 个16如图，有一个英语单词，四个字母都关于直线l对称，请在试卷上补全字母，在答题卡上写出这个单词所指的物品 17如图，折叠ABC纸片使得A，B两点重合，请在图中作出折痕所在的直线EF18已知：如图，直线MN和直线l相交于点O，其中两直线相交所构成的锐角等于45，且
5、OM6，MN2，若点P为直线l上一动点，那么PM+PN的最小值是 三解答题（共8小题）19已知一个等腰三角形的两个内角分别为（2x2）和（3x5），求这个等腰三角形各内角的度数20用一条长为18cm的细绳围成一个等腰三角形（1）如果腰长是底边长的2倍，求三角形各边的长（2）能围成有一边的长是4cm的等腰三角形吗？若能，求出其他两边的长；若不能，请说明理由21如图，BD是ABC的角平分线，DEBC交AB于点E，EFAC，EF分别交BC、BD于点F、G（1）求证：BECF；（2）若AEBE，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图中所有的直角三角形22仿照课本中“证明是无理数”的方法求证：是无理数
6、23如图，在等边ABC中，点D在BC边上，点E在AC的延长线上，DEDA（1）求证：BADEDC；（2）作出点E关于直线BC的对称点M，连接DM、AM，猜想DM与AM的数量关系，并说明理由24（1）请找出下图中每个正多边形对称轴的条数，并填入下表正多边形的边数34568对称轴的条数345（2）请写出正多边形的对称轴的条数y随正多边形的边数n（n3）变化的关系式 25如图：（1）画出ABC关于y轴对称的A1B1C1；（2）在y轴上画出点P，使PA+PC最小；（3）求ABC的面积26如图1，在ABC中，ABBC10，高AH8D是线段AC的动点，射线BD交AH于E点（1）若D恰好是AC的中点求证：A
7、CBD；求线段AE的长；（2）如图2，作AMBD于M，CNBD于N，求AM+CN的最大值和最小值2020年浙教新版八年级上册数学第2章 特殊三角形单元测试卷参考答案与试题解析一选择题（共10小题）1使两个直角三角形全等的条件是（）A一锐角对应相等B一条直角边和一个锐角对应相等C一条边对应相等D两锐角对应相等【分析】根据已知及全等三角形的判定方法进行分析，从而得到答案【解答】解：A、错误，全等三角形的判定必须有边的参与；B、正确，符合判定AAS或ASA；C、错误，全等的两个直角三角形的判定只有一条边对应相等不行；D、错误，全等三角形的判定必须有边的参与；故选：B【点评】本题考查三角形全等的判定方
8、法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角2如图，直线mn，点A在直线m上，点B、C在直线n上，ABCB，170，则BAC等于（）A40B55C70D110【分析】先由平行线的性质得出ACB170，根据等角对等边即可得出BACACB70【解答】解：mn，ACB170，ABBC，BACACB70，故选：C【点评】本题考查了平行线的性质，等腰三角形的判定以及三角形内角和定理，求出BAC70是解题的关键3如图，已知每个小方格的边长为1，A，B两点都在小方格的顶点上，请在图中找一个顶点C，使A
9、BC为等腰三角形，则这样的顶点C有（）A8个B7个C6个D5个【分析】分AB为腰和为底两种情况考虑，画出图形，即可找出点C的个数【解答】解：当AB为底时，作AB的垂直平分线，可找出格点C的个数有5个，当AB为腰时，分别以A、B点为顶点，以AB为半径作弧，可找出格点C的个数有3个；这样的顶点C有8个故选：A【点评】本题考查了等腰三角形的判定，解题的关键是画出图形，利用数形结合解决问题4用反证法证明“直角三角形中至少有一个锐角不大于45”，应先假设（）A直角三角形中两个锐角都大于45B直角三角形中两个锐角都不大于45C真角三角形中有一个锐角大于45D直角三角形中有一个锐角不大于45【分析】用反证法
10、证明命题的真假，应先按符合题设的条件，假设题设成立，再判断得出的结论是否成立即可【解答】解：用反证法证明命题“在直角三角形中，至少有一个锐角不大于45”时，应先假设两个锐角都大于45故选：A【点评】本题考查了反证法，解此题关键要懂得反证法的意义及步骤在假设结论不成立时要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必须一一否定5对假命题“任何一个角的补角都不小于这个角”举反例，正确的反例是（）A60，的补角120，B90，的补角90，C100，的补角80，D两个角互为邻补角【分析】熟记反证法的步骤，然后进行判断即可【解答】解：举反例应该是证明原命题不正
11、确，即要举出不符合叙述的情况；A、的补角，符合假命题的结论，故A错误；B、的补角，符合假命题的结论，故B错误；C、的补角，与假命题结论相反，故C正确；D、由于无法说明两角具体的大小关系，故D错误故选：C【点评】本题结合角的比较考查反证法，解此题关键要懂得反证法的意义及步骤6如图，直线MN是四边形MANB的对称轴，点P在MN上则下列结论错误的是（）AANMBNMBMAPMBPCAMBMDAPBN【分析】根据直线MN是四边形AMBN的对称轴，得到点A与点B对应，根据轴对称的性质即可得到结论【解答】解：直线MN是四边形AMBN的对称轴，点A与点B对应，AMBM，ANBN，ANMBNM，点P是直线MN
12、上的点，MAPMBP，A，B，C正确，而D错误，故选：D【点评】本题考查了轴对称的性质，熟练掌握轴对称的性质是解题的关键7如图，ABC与ABC关于直线MN对称，P为MN上任一点（A、P、A不共线），下列结论中，错误的是（）AAAP是等腰三角形BMN垂直平分AA、CCCABC与ABC面积相等D直线AB，AB的交点不一定在直线MN上【分析】据对称轴的定义，ABC与ABC关于直线MN对称，P为MN上任意一点，可以判断出图中各点或线段之间的关系【解答】解：ABC与ABC关于直线MN对称，P为MN上任意一点，AAP是等腰三角形，MN垂直平分AA，CC，这两个三角形的面积相等，故A、B、C选项正确，直线A
13、B，AB关于直线MN对称，因此交点一定在MN上，故D错误，故选：D【点评】本题考查轴对称的性质与运用，解题时注意：对应点所连的线段被对称轴垂直平分，对称轴上的任何一点到两个对应点之间的距离相等，对应的角、线段都相等8下列四个图形中，不是轴对称图形的是（）ABCD【分析】根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形可得答案【解答】解：A、是轴对称图形，故此选项错误；B、不是轴对称图形，故此选项符合题意；C、是轴对称图形，故此选项错误；D、是轴对称图形，故此选项错误；故选：B【点评】此题主要考查了轴对称图形，关键是掌握轴对称图形定义9在一些美术字中，有的汉字是
14、轴对称图形下面4个汉字中，可以看作是轴对称图形的是（）ABCD【分析】根据轴对称图形的概念判断即可【解答】解：A、是轴对称图形；B、不是轴对称图形；C、不是轴对称图形；D、不是轴对称图形故选：A【点评】本题考查的是轴对称图形的概念轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合10如图，分别以ABC的边AB，AC所在直线为对称轴作ABC的对称图形ABD和ACE，BAC150，线段BD与CE相交于点O，连接BE、ED、DC、OA有如下结论：EAD90；BOE60；OA平分BOC；EAED；BPEQ其中正确的结论个数是（）A4个B3个C2个D1个【分析】根据轴对称的性质可得BADCAEBAC，
15、再根据周角等于360列式计算即可求出EAD90，判断出正确；再求出BAECAD60，根据翻折可得AECABDABC，利用三角形的内角和定理可得BOEBAE，判断出正确；根据全等三角形的对应边上的高相等，即可判断出正确；无法求出ADE30，判断出错误；判断出ABP和AEQ不全等，从而得到BPEQ，判断出错误【解答】解：ABD和ACE是ABC的轴对称图形，BADCAEBAC，ABAE，ACAD，EAD3BAC360315036090，故正确；BAECAD（36090150）60，由翻折的性质得，AECABDABC，又EPOBPA，BOEBAE60，故正确；ACEADB，SACESADB，BDCE，
16、BD边上的高与CE边上的高相等，即点A到BOC两边的距离相等，OA平分BOC，故正确；只有当ACAB时，ADE30，才有EAED，故错误；在ABP和AEQ中，ABDAEC，ABAE，BAE60，EAQ90，BPEQ，故错误；综上所述，结论正确的是共3个故选：B【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，轴对称的性质的综合运用，熟记各性质并准确识图理清图中各角度之间的关系是解题的关键二填空题（共8小题）11如图，BD90，BCDC，140，则250度【分析】在ABC中，根据三角形的内角和定理即可求得ACB，利用HL定理即可判断ABCADC，根据全等三角形的对应边相等，即可求解【解答】解：在直角AB
17、C与直角ADC中，BCDC，ACACABCADC2ACB在ABC中ACB180B150250【点评】本题主要考查了全等三角形的对应角相等，对应边相等，以及三角形内角和定理12定义：等腰三角形的顶角与一个底角的度数的比值称为这个等腰三角形的“特征值”，记作k，若等腰ABC中，A40，则它的特征值k或【分析】分两种情况：A为顶角或A为底角，再根据三角形内角和定理可求得底角或顶角的度数，即可得到它的特征值k【解答】解：当A为顶角时，则底角B70；此时，特征值k；当A为底角时，则顶角为100；此时，特征值k；故答案为：或【点评】本题主要考查竺腰三角形的性质，掌握等腰三角形的两底角相等是解题的关键，注意
18、分类讨论13如图，直线PQ上有一点O，点A为直线外一点，连接OA，在直线PQ上找一点B，使得AOB是等腰三角形，这样的点B最多有4个【分析】分别以A、O为圆心AO长为半径画弧，作AO的垂直平分线，即可在直线PQ上找一点B，使得AOB是等腰三角形【解答】解：如图所示，分别以A、O为圆心，AO长为半径画弧，与直线PQ的交点B1，B2，B3符合题意；作AO的垂直平分线，与直线PQ的交点B4符合题意，若B2，B3，B4不重合，则最多有4个故答案为：4【点评】本题主要考查等腰三角形的判定，利用圆上的点到圆心的距离相等确定点P的位置是解题的关键，也是这类问题的常用方法14如图，CE平分ACB且CEDB，D
19、ABDBA，AC9，CBD的周长为14，则DB的长为4【分析】先判定CDECBE，即可得到CDCB，再根据ADBD，即可得出ACAD+CDBD+CD9，依据CBD的周长为14，即可得到CD5，进而得到AD4BD【解答】解：CE平分ACB且CEDB，DCEBCE，CEDCEB，又CECE，CDECBE（ASA），CDCB，DABDBA，ADBD，ACAD+CDBD+CD9，又CBD的周长为14，BC1495，CD5，AD954BD，故答案为：4【点评】本题主要考查了等腰三角形的判定与性质，等腰三角形提供了好多相等的线段和相等的角，判定三角形是等腰三角形是证明线段相等、角相等的重要手段15如图，由
20、四个小正方形组成的田字格中，ABC的顶点都是小正方形的顶点在田字格上画与ABC成轴对称的三角形，且顶点都是小正方形的顶点，则这样的三角形（不包含ABC本身）共有3个【分析】先确定对称轴，根据轴对称图形的性质，即可找出符合条件的三角形【解答】解：如图所示：符合题意的有3个三角形故答案为：3【点评】此题主要考查了利用轴对称设计图案，正确把握轴对称图形的性质是解题关键16如图，有一个英语单词，四个字母都关于直线l对称，请在试卷上补全字母，在答题卡上写出这个单词所指的物品书【分析】根据轴对称图形的性质，组成图形，即可解答【解答】解：如图，这个单词所指的物品是书故答案为：书【点评】本题考查了轴对称图形，
21、解决本题的关键是根据轴对称的性质，作出图形17如图，折叠ABC纸片使得A，B两点重合，请在图中作出折痕所在的直线EF【分析】分别以点A、点B为圆心，以大于AB的长的一半为半径画弧，过两弧的交点作直线即可作出折痕所在的直线EF【解答】解：如图，EF即为所求：【点评】该题主要考查了翻折变换的性质，根据翻折变换的性质准确找出图形中隐含的数量关系是解题的关键18已知：如图，直线MN和直线l相交于点O，其中两直线相交所构成的锐角等于45，且OM6，MN2，若点P为直线l上一动点，那么PM+PN的最小值是10【分析】作点M关于直线l的对称点M，连接NM，交直线l于P，连接NP，则MPMP，依据轴对称的性质
22、，即可得到OMOM6，NOM90，再根据勾股定理即可得到PM+PN的最小值【解答】解：如图，作点M关于直线l的对称点M，连接NM，交直线l于P，连接NP，则MPMP，PM+PN的最小值等于线段MN的长，OMOM，OPOP，PMPM，OPMOPM（SSS），POMPOM45，OMOM6，NOM90，RtNMO中，MN10，PM+PN的最小值是10，故答案为：10【点评】此题主要考查了利用轴对称求最短路径问题和勾股定理等知识，凡是涉及最短距离的问题，一般要考虑线段的性质定理，结合轴对称变换来解决，多数情况要作点关于某直线的对称点三解答题（共8小题）19已知一个等腰三角形的两个内角分别为（2x2）和
23、（3x5），求这个等腰三角形各内角的度数【分析】（2x2）和（3x5）有可能是两个底角，即（2x2）（3x5）；也有可能是一个底角，一个顶角，应分别讨论【解答】解：当（2x2）和（3x5）是两个底角时，2x23x5，x3，三个内角分别是4，4，172；当2x2是顶角时，2x2+2（3x5）180，解得x24，三个内角分别是46，67，67；当3x5是顶角时，3x5+2（2x2）180，解得x27，三个内角分别是76，52，52【点评】本题考查了等腰三角形的性质；分类讨论是正确解答本题的关键20用一条长为18cm的细绳围成一个等腰三角形（1）如果腰长是底边长的2倍，求三角形各边的长（2）能围成有
24、一边的长是4cm的等腰三角形吗？若能，求出其他两边的长；若不能，请说明理由【分析】（1）设底边长为xcm，则腰长为2xcm，根据周长公式列一元一次方程，解方程即可求得各边的长；（2）题中没有指明4cm所在边是底还是腰，故应该分情况进行分析，注意利用三角形三边关系进行检验【解答】解：（1）设底边长为xcm，则腰长为2xcm依题意，得2x+2x+x18，解得x2x三角形三边的长为cm、cm、cm（2）若腰长为4cm，则底边长为184410cm而4+410，所以不能围成腰长为4cm的等腰三角形若底边长为4cm，则腰长为（184）7cm此时能围成等腰三角形，三边长分别为4cm、7cm、7cm【点评】本
25、题考查的是等腰三角形的性质及三角形的三边关系，在解答此类题目时要注意分类讨论，不要漏解21如图，BD是ABC的角平分线，DEBC交AB于点E，EFAC，EF分别交BC、BD于点F、G（1）求证：BECF；（2）若AEBE，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图中所有的直角三角形【分析】（1）要证明BECF，先证四边形EFDC是平行四边形，再利用BEED转化，进而可求出结论（2）依据AEDEBE，即可得到ADE+EDB90，即BDAC，依据EFAC，可得BDEF，进而得出图中的直角三角形【解答】解：（1）BD平分ABC，ABDCBDABC，DEBC，EDBCBD，ABDEDB，BEDE，DEB
26、C，EFAC，四边形EFCD是平行四边形，DECF，BECF（2）若AEBE，则AEDEBE，AADE，EBDEDB，又A+ADE+EDB+EBD180，ADE+EDB90，即BDAC，又EFAC，BDEF，图中的直角三角形为：ABD，CBD，BEG，BFG，DEG【点评】本题考查了等腰三角形的判定，平行四边形的判定与性质，熟练掌握性质定理和判定定理是解题的关键22仿照课本中“证明是无理数”的方法求证：是无理数【分析】利用反证法的一般步骤是：假设命题的结论不成立；从这个假设出发，经过推理论证，得出矛盾；由矛盾判定假设不正确，从而肯定原命题的结论正确，进而判断即可【解答】证明：假设是有理数，那么
27、它可以表示成（p与q是互质的两个正整数）于是（）2（）23，所以，q23p2于是q2是3的倍数，所以q也是3的倍数，从而可设q3m，所以（3m）23p2，p23m2，于是可得p也是3的倍数这与“p与q是互质的两个正整数”矛盾从而可知“是有理数”的假设不成立，所以，是无理数【点评】此题主要考查了反证法，正确把握反证法的一般步骤是解题关键23如图，在等边ABC中，点D在BC边上，点E在AC的延长线上，DEDA（1）求证：BADEDC；（2）作出点E关于直线BC的对称点M，连接DM、AM，猜想DM与AM的数量关系，并说明理由【分析】（1）根据等腰三角形的性质，得出EDAC，根据等边三角形的性质，得出
28、BAD+DACE+EDC60，据此可得出BADEDC；（2）根据轴对称作图，要证明DAAM，只需根据有一个角是60的等腰三角形是等边三角形，证ADM是等边三角形即可【解答】解：（1）如图1，ABC是等边三角形，BACACB60又BAD+DACBAC，EDC+DECACB，BAD+DACEDC+DECDEDA，DACDEC，BADEDC（2）猜想：DMAM理由如下：点M、E关于直线BC对称，MDCEDC，DEDM又由（1）知BADEDC，MDCBADADCBAD+B，即ADM+MDCBAD+B，ADMB60又DADEDM，ADM是等边三角形，DMAM【点评】本题主要考查了等边三角形的性质、全等三
29、角形的判定和性质、轴对称变换以及三角形外角性质等知识的综合应用解题时注意运用等边三角形的三个内角都等于60，三条边都相等24（1）请找出下图中每个正多边形对称轴的条数，并填入下表正多边形的边数34568对称轴的条数345（2）请写出正多边形的对称轴的条数y随正多边形的边数n（n3）变化的关系式yn【分析】（1）观察出正三角形的对称轴有3条，正方形有4条对称轴，正5边形有5条对称轴，再分别画出正6、8边形的对称轴即可推出答案；（2）根据正三角形的对称轴有3条，正方形有4条对称轴，正5边形有5条对称轴等等，即可找出规律正多边形得边数和对称轴的条数相等，即可写出答案【解答】答（1）正多边形的边数34
30、568对称轴的条数34568故答案为：6，8解：（2）yn（n3）故答案为：yn【点评】本题主要考查学生的画图能力和观察能力，能根据已知和（1）总结出规律是解此题的目的25如图：（1）画出ABC关于y轴对称的A1B1C1；（2）在y轴上画出点P，使PA+PC最小；（3）求ABC的面积【分析】（1）分别作出点A、B、C关于y轴对称的点A1，B1，C1，然后顺次连接，并写出坐标（2）连接AC1交y轴于点P，则PA+PC最小，点P即为所求（3）利用ABC所在梯形面积减去周围三角形面积，进而得出答案【解答】解：（1）如图所示，A1B1C1即为所求；（2）如图所示，点P即为所求；（3）如图所示，SABC
31、S梯形BCDESACDSABE122.536.5【点评】本题考查轴对称变换、三角形的面积、两点之间线段最短等知识，解答本题的关键是根据网格结构作出对应点的位置，然后顺次连接26如图1，在ABC中，ABBC10，高AH8D是线段AC的动点，射线BD交AH于E点（1）若D恰好是AC的中点求证：ACBD；求线段AE的长；（2）如图2，作AMBD于M，CNBD于N，求AM+CN的最大值和最小值【分析】（1）依据勾股定理，即可得到ACBD4；过E作EFAB于F，设EFEHx，依据勾股定理，即可得到RtAEF中，42+x2（8x）2，进而得出AE的长；（2）依据SABD+SCBDSABC，即可得出AM+C
32、N，根据垂线段最短，可得BD的最小值为4，即可得到AM+CN的最大值为4；依据BD的最大值为10，即可得出AM+CN的最小值为8【解答】解：（1）在ABC中，ABBC10，高AH8RtABH中，BH6，CH4，RtACH中，AC4，ABBC，D是AC的中点，BDAC，RtBCD中，BD4，ACBD；如图，过E作EFAB于F，则易得BEFBHF，BFBH6，设EFEHx，在RtAEF中，42+x2（8x）2，解得x3，AE835；（2）SABD+SCBDSABC，BDAM+BDCN108，AM+CN，根据垂线段最短，可得BD的最小值为4，AM+CN的最大值为4，BD的最大值为10，AM+CN的最小值为8【点评】本题主要考查了最短路线问题以及勾股定理的综合运用，解题时，我们常常设要求的线段长为x，然后用含x的代数式表示其他线段的长度，选择适当的直角三角形，运用勾股定理列出方程求出答案
