7.3 球的表面积和体积 学案(含答案)
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1、7.3球的表面积和体积学习目标1.了解球的表面积与体积公式,并能应用它们求球的表面积及体积.2.会求解组合体的体积与表面积.知识点一球的截面用一个平面去截半径为R的球O的球面得到的是圆,有以下性质:(1)若平面过球心O,则截线是以O为圆心的球的大圆.(2)若平面不过球心O,如图,设OO,垂足为O,记OOd,对于平面与球面的任意一个公共点P,都满足OOOP,则有OP,即此时截线是以O为圆心,以r为半径的球的小圆.知识点二球的切线1.定义:与球只有唯一公共点的直线叫作球的切线.如图,l为球O的切线,M为切点.2.性质:(1)球的切线垂直于过切点的半径;(2)过球外一点的所有切线的长度都相等.知识点
2、三球的表面积与体积公式条件球的半径为R表面积公式S4R2体积公式VR31.球的表面积等于它的大圆面积的2倍.()2.两个球的半径之比为12,则其体积之比为14.()3.球心与其截面圆的圆心的连线垂直于截面.()4.球的体积是关于球半径的一个函数.()题型一球的表面积与体积例1(1)某几何体的三视图如图所示,则其表面积为_.答案3解析由三视图知该几何体为半球,则其表面积为412123.(2)已知球的表面积为64,求它的体积.解设球的半径为R,则4R264,解得R4,所以球的体积VR343.反思感悟(1)要求球的体积或表面积,必须知道半径R或者通过条件能求出半径R,然后代入体积或表面积公式求解.(
3、2)半径和球心是球的最关键要素,把握住了这两点,计算球的表面积或体积的相关题目也就易如反掌了.(3)由三视图计算球或球与其他几何体的组合体的表面积或体积,最重要的是还原组合体,并弄清组合体的结构特征和三视图中数据的含义.根据球与球的组合体的结构特征及数据计算其表面积或体积.此时要特别注意球的三视图都是直径相同的圆.跟踪训练1(1)已知球的体积为,则其表面积为_.答案100解析设球的的半径为R,则R3,解得R5,所以球的表面积S4R2452100.(2)某器物的三视图如图,根据图中数据可知该器物的体积是()A. B.C. D.考点组合几何体的表面积与体积题点柱、锥、台、球组合的几何体的表面积与体
4、积答案D解析由三视图可知,此几何体上部是直径为2的球,下部是底面直径为2,高为的圆锥,所以V1312.题型二球的截面例2在半径为R的球面上有A,B,C三点,且ABBCCA3,球心到ABC所在截面的距离为球半径的一半,求球的表面积.解依题意知,ABC是正三角形,ABC的外接圆半径r3.由R22()2,得R2.所以球的表面积S4R216.反思感悟(1)有关球的截面问题,常画出过球心的截面圆,将问题转化为平面中圆的问题.(2)解题时要注意借助球半径R,截面圆半径r,球心到截面的距离d构成的直角三角形,即R2d2r2.跟踪训练2如图,有一个水平放置的透明无盖的正方体容器,容器高8 cm,将一个球放在容
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