1、9.2等差数列(一)学习目标1.理解等差数列的定义,掌握等差数列的通项公式.2.会推导等差数列的通项公式,能运用等差数列的通项公式解决一些简单的问题.3.掌握等差中项的概念,深化认识并能运用知识链接第一届现代奥运会于1896年在希腊雅典举行,此后每4年举行一次,奥运会如因故不能举行,届数照算这样举行奥运会的年份数构成一个数列,这个数列有什么特征呢?这个数列叫什么数列呢?答从第二届起,每一届的年份与它前一届年份的差等于同一个常数4.这个数列叫等差数列预习导引1等差数列的概念一般地,如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的差等于同一个常数,那么这样的数列称为等差数列,这个常数叫作等差数列的公差
2、,公差通常用字母d表示2等差中项的概念若三个数a,A,b构成等差数列,则A叫做a与b的等差中项,并且A.3等差数列的通项公式若等差数列的首项为a1,公差为d,则其通项ana1(n1)d.4等差数列的单调性等差数列an中,若公差d0,则数列an为递增数列;若公差d0,则数列an为递减数列5等差数列与一次函数的关系已知数列an中,anpnq,其中p,q是常数,且p不为0,那么数列an是首项a1pq,公差dp的等差数列题型一等差数列的概念例1若数列an的通项公式为an10lg2n,试说明数列an为等差数列解因为an10lg2n10nlg2,所以an1an10(n1)lg 2(10nlg2)lg2(n
3、N*)所以数列an为等差数列规律方法判断一个数列是不是等差数列,就是判断an1an(n1)是不是一个与n无关的常数跟踪演练1数列an的通项公式an2n5,则此数列()A是公差为2的等差数列B是公差为5的等差数列C是首项为5的等差数列D是公差为n的等差数列答案A解析an1an2(n1)5(2n5)2,an是公差为2的等差数列题型二等差中项及其应用例2(1)在1与7之间顺次插入三个数a,b,c使这五个数成等差数列,求此数列(2)已知数列xn的首项x13,通项xn2npnq(nN*,p,q为常数),且x1,x4,x5成等差数列求p,q的值解(1)1,a,b,c,7成等差数列,b是1与7的等差中项b3
4、.又a是1与3的等差中项,a1.又c是3与7的等差中项,c5.该数列为1,1,3,5,7.(2)由x13,得2pq3,又x424p4q,x525p5q,且x1x52x4,得325p5q25p8q,即q1,将代入,得p1.故p1,q1.规律方法在等差数列an中,由定义有an1ananan1(n2,nN*),即an,从而由等差中项的定义知,等差数列从第2项起的每一项都是它前一项与后一项的等差中项跟踪演练2若m和2n的等差中项为4,2m和n的等差中项为5,求m和n的等差中项解由m和2n的等差中项为4,得m2n8.又由2m和n的等差中项为5,得2mn10.两式相加,得mn6.m和n的等差中项为3.题型
5、三等差数列的通项公式及应用例3(1)若an是等差数列,a158,a6020,求a75.(2)已知递减等差数列an的前三项和为18,前三项的乘积为66.求数列的通项公式,并判断34是该数列的项吗?解(1)设an的公差为d.由题意知解得所以a75a174d7424.(2)依题意得解得或数列an是递减等差数列,d0.故取a111,d5.an11(n1)(5)5n16.即等差数列an的通项公式为an5n16.令an34,即5n1634,得n10.34是数列an的第10项规律方法在等差数列an中,首项a1与公差d是两个最基本的元素,有关等差数列的问题,如果条件与结论间的联系不明显,则均可化成有关a1,d
6、的关系列方程组求解,但是要注意公式的变形及整体代换,以减少计算量跟踪演练3已知an为等差数列,分别根据下列条件写出它的通项公式:(1)a35,a713;(2)前三项为a,2a1,3a.解(1) 设首项为a1,公差为d,则解得ana1(n1)d1(n1)22n1.(2)由等差中项公式得2(2a1)a(3a),a,首项为a,公差为2a1aa11,an(n1)1.课堂达标1已知等差数列an的通项公式an32n,则它的公差d为()A2B3C2D3答案C解析由等差数列的定义,得da2a1112.2ABC中,三内角A、B、C成等差数列,则角B等于()A30B60C90D120答案B解析因为A、B、C成等差
7、数列,所以B是A,C的等差中项,则有AC2B,又因ABC180,所以3B180,从而B60.3在等差数列an中,a10,a34,则a10等于()A12B14C16D18答案D解析因a3a12d4,所以d2,则有a10a1(101)d18.4下列数列是等差数列的有_(1)9, 7, 5, 3, ,2n11, ;(2)1, 11, 23, 35, ,12n13, ;(3)1, 2, 1, 2, ;(4)1, 2, 4, 6, 8, 10, ;(5)a,a,a,a,a.答案(1)(2)(5)解析由等差数列的定义,得(1)(2)(5)为等差数列,(3)(4)不是等差数列5等差数列an中,已知a1,a2a54,an33,求n的值解a2a5(a1d)(a14d)2a15d4,d.an(n1)n.由ann33,解得n50.课堂小结1判断一个数列是否是等差数列的常用方法有:(1)an1and(d为常数,nN*)an是等差数列;(2)2an1anan2(nN*)an是等差数列;(3)anknb(k,b为常数,nN*)an是等差数列但若要说明一个数列不是等差数列,则只需举出一个反例即可2由等差数列的通项公式ana1(n1)d可以看出,只要知道首项a1和公差d,就可以求出通项公式,反过来,在a1、d、n、an四个量中,只要知道其中任意三个量,就可以求出另一个量