1、9.2等差数列(三)学习目标1.掌握等差数列前n项和公式及其获取思路.2.了解公式的推导过程，体会数形结合的数学思想，体验从特殊到一般的研究方法，学会观察、归纳、反思.3.熟练掌握等差数列的五个量a1，d，n，an，Sn的关系，能够由其中三个求另外两个知识链接1设梯形的上底、下底、高分别为a，b，h，把两个相同的梯形拼成平行四边形，则梯形的面积为_答案2二次函数y2x24x3，当x_时，有最_值为_答案1小5解析函数y2x24x3，a20, x1时，ymin5.3把二次函数y2x24x3化成ya(xh)2k的形式是_，当x_时，y有最大值_答案y2(x1)2515解析y2x24x32(x22x
2、)32(x1)25.x1时，y有最大值5.预习导引1数列前n项和的概念把a1a2an叫数列an的前n项和，记作Sn.a1a2a3an1Sn1(n2)2等差数列前n项和公式(1)若an是等差数列，则Sn可以用首项a1和末项an表示为Sn；(2)若首项为a1，公差为d，则Sn可以表示为Snna1n(n1)d.3等差数列前n项和的性质(1)若数列an是公差为d的等差数列，则数列也是等差数列，且公差为.(2)Sm，S2m，S3m分别为an的前m项，前2m项，前3m项的和，则Sm，S2mSm，S3mS2m也成等差数列，公差为m2d.(3)设两个等差数列an、bn的前n项和分别为Sn，Tn，则.题型一与等
3、差数列Sn有关的基本量的计算例1在等差数列an中(1)a1，an，Sn5，求n和d.(2)a14，S8172，求a8和d.(3)已知d2，an11，Sn35，求a1和n.解(1)由题意，得Sn5172，解得n15.又a15(151)d，d.(2)由已知，得S8172，解得a839，又a84(81)d39，d5.(3)由得解方程组得或规律方法a1，d，n称为等差数列的三个基本量，an和Sn都可以用这三个基本量来表示，五个量a1，d，n，an，Sn中可知三求二，一般通过通项公式和前n项和公式联立方程(组)求解，在求解过程中要注意整体思想的运用跟踪演练1等差数列an中，前m项的和为77(m为奇数)，
4、其中偶数项的和为33，且a1am18，求这个数列的通项公式解设公差等于d，由题意可得偶数项共有项则ma1d77，(a1d)2d33，a1am(m1)d18，解得m7，d3，a120，所以ana1(n1)d203n33n23.题型二等差数列前n项和公式在实际中的应用例2某人用分期付款的方式购买一件家电，价格为1150元，购买当天先付150元，以后每月的这一天都交付50元，并加付欠款利息，月利率为1%.若交付150元的后一个月开始算分期付款的第一个月，则分期付款的第10个月该交付多少钱？全部贷款付清后，买这件家电实际花费多少钱？解设每次交款数额依次为a1，a2，a20，则a15010001%60(
5、元)，a250(100050)1%59.5(元)，a1050(1000950)1%55.5(元)，即第10个月应付款55.5元由于an是以60为首项，以0.5为公差的等差数列，所以有S20201105(元)，即全部付清后实际付款11051501255(元)规律方法建立等差数列的模型时，要根据题意找准首项、公差和项数或者首项、末项和项数跟踪演练2甲、乙两物体分别从相距70m的两处同时相向运动，甲第1分钟走2m，以后每分钟比前1分钟多走1m，乙每分钟走5m.(1)甲、乙开始运动后几分钟相遇？(2)如果甲、乙到达对方起点后立即返回，甲继续每分钟比前1分钟多走1m，乙继续每分钟走5m，那么开始运动几分
6、钟后第二次相遇？解(1)设n分钟后第1次相遇，依题意，有2n5n70，整理得n213n1400.解之得n7，n20(舍去)第1次相遇是在开始运动后7分钟(2)设n分钟后第2次相遇，依题意，有2n5n370，整理得n213n4200.解之得n15，n28(舍去)第2次相遇是在开始运动后15分钟题型三等差数列前n项和性质的应用例3(1)等差数列an的前m项和为30，前2m项和为100，求数列an的前3m项和S3m.(2)两个等差数列an，bn的前n项和分别为Sn和Tn，已知，求的值解(1)方法一在等差数列中，Sm，S2mSm，S3mS2m成等差数列30,70，S3m100成等差数列27030(S3
7、m100)，S3m210.方法二在等差数列中，成等差数列，.即S3m3(S2mSm)3(10030)210.(2).规律方法等差数列前n项和Sn的有关性质在解题过程中，如果运用得当可以达到化繁为简、化难为易、事半功倍的效果跟踪演练3设an为等差数列，Sn为数列an的前n项和，已知S77，S1575，Tn为数列的前n项和，求Tn.解设等差数列an的公差为d，则Snna1n(n1)d，S77，S1575，即解得a1(n1)d2(n1)，数列是等差数列，其首项为2，公差为，Tnn(2)n2n.课堂达标1在等差数列an中，S10120，那么a1a10的值是()A12B24C36D48答案B解析由S10
8、，得a1a1024.2记等差数列前n项和为Sn，若S24，S420，则该数列的公差d等于()A2B3C6D7答案B解析方法一由解得d3.方法二由S4S2a3a4a12da22dS24d，所以20444d，解得d3.3等差数列an、bn的前n项和分别为Sn和Tn，若，则等于()A1B.C.D.答案C解析由题意，得.故选C.4设Sn是等差数列an的前n项和，若，则_.答案解析由等差数列的求和公式可得，可得a12d且d0，所以.5已知等差数列an中，(1)a1，d，Sn15，求n及a12；(2)a11，an512，Sn1022，求d.解(1)Snn15，整理得n27n600，解之得n12或n5(舍去)，a12(121)4.(2)由Sn1022，解之得n4.又由ana1(n1)d，即5121(41)d，解之得d171.课堂小结1求等差数列前n项和公式的方法称为倒序相加法，在某些数列求和中也可能用到2等差数列的两个求和公式中，一共涉及a1，an，Sn，n，d五个量，若已知其中三个量，通过方程思想可求另外两个量，在利用求和公式时，要注意整体思想的应用，注意结论若mnpq，则amanapaq(m，n，p，qN*)，若mn2p，则aman2ap的应用
