2018-2019学年广东省汕头市潮阳区高二(上)期末数学试卷(理科)含详细解答

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1、2018-2019学年广东省汕头市潮阳区高二(上)期末数学试卷(理科)一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,有且只有一项符合题目要求.1(5分)已知集合Ax|x2k1,kz,Bx|x2x60,则AB()A1,1B3,1,1C0,1,2D1,0,1,22(5分)一路口的红绿灯,红灯的时间为30秒,黄灯的时间为5秒,绿灯的时间为40秒当你到达此路口时,看见的不是绿灯的概率为()ABCD3(5分)已知命题p:x1,x2R,(f(x1)f(x2)(x1x2)0,则p是()Ax1,x2R,(f(x1)f(x2)(x1x2)0Bx1,x2R,(f(x1)f(x2)(

2、x1x2)0Cx1,x2R,(f(x1)f(x2)(x1x2)0Dx1,x2R,(f(x1)f(x2)(x1x2)04(5分)小吴一星期的总开支分布如图1所示,一星期的食品开支如图2所示,则小吴一星期的鸡蛋开支占总开支的百分比为()A1%B2%C3%D5%5(5分)下列函数为奇函数的是()Af(x)x3+3x2Bf(x)2x+2xCf(x)xsinxDf(x)ln6(5分)函数f(x)sinxcosx在下列哪个区间上是单调递减的()A,0B0,CD7(5分)某程序框图如图所示,该程序运行后输出的k的值是()A4B5C6D78(5分)“a”是“ln(2a1)0”成立的()A充分不必要条件B充要条

3、件C必要不充分条件D既不充分也不必要条件9(5分)已知点M(3,8)在双曲线C:1(a0,b0)上,C的焦距为6,则它的离心率为()A2B3C4D510(5分)已知实数x,y满足,则zx+的最大值为()A7B1C10D011(5分)如图,四棱锥PABCD的底面ABCD是梯形,ABCD,若平面PAD平面PBCl,则()AlCDBlBCCl与直线AB相交Dl与直线DA相交12(5分)若曲线与直线ykx1有两个不同的交点,则实数k的取值范围是()ABCD二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分13(5分)已知地球表面及约是火星表面积的4倍,则地球体积是火星体积的   14(5分)已

4、知向量,间的夹角为,若(2,3),|,则   15(5分)九章算术中,将底面是直角三角形的直三棱柱称之为“堑堵”已知某“堑堵“的三视图如图所示,俯视图中间的实线平分矩形的面积,则该“堑堵”的表面积为   16(5分)已知抛物线y24x的焦点为F,点A(5,3),M为抛物线上一点且M不在直线AF上,则MAF周长的最小值为   三、解答题:本大题共70分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17(10分)已知在ABC中,角A,B,C所对的边分别为且a,b,c,且(1)求角A的大小;(2)若a6,sinB2sinC,求ABC的面积18(12分)已知圆的方程为:(x1)

5、2+y21求:(1)斜率为3且与圆相切直线的方程;(2)过定点(2,3)且圆相切的直线的方程19(12分)已知正项的等比数列an的前n项和为Sn,且(1)求数列an的通项公式;(2)若bnlog2an+3,数列的前n项和为Tn,求满足的正整数n的最小值20(12分)如图,四边形PDCE为矩形,四边形ABCD为梯形,平面PDCE平面ABCD,BADADC90,ABADCDa,PDa,M为PA中点(1)求证:AC平面MDE;(2)求直线ME与平面PBC所成角的正弦值21(12分)设函数f(x)(1)当a2时,求f(x)的单调区间;(2)当a0时,求不等式f(x)0的解集22(12分)已知椭圆+1(

6、ab0)的左、右焦点分别为F1,F2,离心率e,点P是椭圆上的一个动点,PF1F2面积的最大值是4(1)求椭圆的方程;(2)若A,B,C,D是椭圆上不重合的四点,AC与BD相交于点F1,且AC与BD垂直,又|AC|+|BD|,求此时直线AC的方程2018-2019学年广东省汕头市潮阳区高二(上)期末数学试卷(理科)参考答案与试题解析一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,有且只有一项符合题目要求.1(5分)已知集合Ax|x2k1,kz,Bx|x2x60,则AB()A1,1B3,1,1C0,1,2D1,0,1,2【分析】化简集合B,根据交集的定义写出AB【解

7、答】解:集合Ax|x2k1,kz为奇数集,Bx|x2x60x|2x3,则AB1,1故选:A【点评】本题考查了集合的化简与运算问题,是基础题2(5分)一路口的红绿灯,红灯的时间为30秒,黄灯的时间为5秒,绿灯的时间为40秒当你到达此路口时,看见的不是绿灯的概率为()ABCD【分析】用几何概型的概率公式计算即可【解答】解:由题意知红灯的时间为30秒,黄灯的时间为5秒,绿灯的时间为40秒;到达此路口时看见的不是绿灯的概率为P1故选:C【点评】本题考查了几何概型的概率计算问题,是基础题3(5分)已知命题p:x1,x2R,(f(x1)f(x2)(x1x2)0,则p是()Ax1,x2R,(f(x1)f(x

8、2)(x1x2)0Bx1,x2R,(f(x1)f(x2)(x1x2)0Cx1,x2R,(f(x1)f(x2)(x1x2)0Dx1,x2R,(f(x1)f(x2)(x1x2)0【分析】由全称命题的否定是特称命题,写出命题p的否定p来【解答】解:根据全称命题的否定是特称命题,得;命题p的否定是p:x1,x2R,(f(x1)f(x2)(x1x2)0故选:C【点评】本题考查了全称命题的否定命题是什么,解题时直接写出它的否定命题即可,是容易题4(5分)小吴一星期的总开支分布如图1所示,一星期的食品开支如图2所示,则小吴一星期的鸡蛋开支占总开支的百分比为()A1%B2%C3%D5%【分析】由图1知食品开支

9、占总开支的30%,由图2知鸡蛋开支占食品开支的,由此求得鸡蛋开支占总开支的百分比【解答】解:由图1所示,食品开支占总开支的30%,由图2所示,鸡蛋开支占食品开支的,鸡蛋开支占总开支的百分比为30%3%故选:C【点评】本题考查了频率分布应用问题,是基础题5(5分)下列函数为奇函数的是()Af(x)x3+3x2Bf(x)2x+2xCf(x)xsinxDf(x)ln【分析】举例说明A不是奇函数,利用定义证明B,C为偶函数,D为奇函数【解答】解:对于A,f(1)2,f(1)4,f(1)f(1),函数不是奇函数;对于B,函数定义域为R,f(x)2x+2(x)2x+2xf(x),函数为偶函数;对于C,函数

10、定义域为R,f(x)xsin(x)xsinxf(x),函数为偶函数;对于D,由0,得3x3,函数定义域为(3,3),而f(x),函数为奇函数故选:D【点评】本题考查函数奇偶性的性质与判断,训练了利用定义法判断函数的奇偶性,是基础题6(5分)函数f(x)sinxcosx在下列哪个区间上是单调递减的()A,0B0,CD【分析】化函数f(x)为正弦型函数,再根据正弦函数的性质求f(x)的单调减区间【解答】解:函数f(x)sinxcosxsin(x),令+2kx+2k,kZ;解得+2kx+2k,kZ;令k0,得x,f(x)在区间,上是单调减函数故选:D【点评】本题考查了正弦函数的图象与性质的应用问题,

11、是基础题7(5分)某程序框图如图所示,该程序运行后输出的k的值是()A4B5C6D7【分析】由已知中的程序框图可知:该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量k的值,模拟程序的运行过程,分析循环中各变量值的变化情况,可得答案【解答】解:当S0时,满足继续循环的条件,故S1,k1;当S1时,满足继续循环的条件,故S3,k2;当S3时,满足继续循环的条件,故S11,k3;当S11时,满足继续循环的条件,故S2059,k4;当S2049时,不满足继续循环的条件,故输出的k值为4,故选:A【点评】本题考查的知识点是程序框图,当循环的次数不多,或有规律时,常采用模拟循环的方法解答8(5分)“a”是“ln(

12、2a1)0”成立的()A充分不必要条件B充要条件C必要不充分条件D既不充分也不必要条件【分析】由ln(2a1)0得a1,再根据小范围推出大范围得结果【解答】解:ln(2a1)0,2a11,a1,a推不出a1,a1a,“a”是“ln(2a1)0”的必要不充分条件故选:C【点评】本题考查了充分条件和必要条件的判断,考查了推理能力与计算能力,属于基础题9(5分)已知点M(3,8)在双曲线C:1(a0,b0)上,C的焦距为6,则它的离心率为()A2B3C4D5【分析】由M在双曲线上,代入双曲线方程,又c3,即a2+b29,解方程可得a,由离心率公式可得所求值【解答】解:点M(3,8)在双曲线C:1(a

13、0,b0)上,可得1,C的焦距为6,即2c6,可得c3,即a2+b29由解得a1,b2,则e3,故选:B【点评】本题考查双曲线的方程和性质,考查离心率的求法,注意运用方程思想,考查运算能力,属于基础题10(5分)已知实数x,y满足,则zx+的最大值为()A7B1C10D0【分析】由约束条件作出可行域,化目标函数为直线方程的斜截式,数形结合得到最优解,联立方程组求得最优解的坐标,代入目标函数得答案【解答】解:由约束条件作出可行域如图,A(10,0),化目标函数zx+为y2x+2z,由图可知,当直线y2x+2z过点A时,直线在y轴上的截距最大,z有最大值为10故选:C【点评】本题考查简单的线性规划

14、,考查了数形结合的解题思想方法,是中档题11(5分)如图,四棱锥PABCD的底面ABCD是梯形,ABCD,若平面PAD平面PBCl,则()AlCDBlBCCl与直线AB相交Dl与直线DA相交【分析】可得AD与CB必相交于点M,则P是面平面PAD和平面PBC的公共点,又平面PAD平面PBCl【解答】解:四棱锥PABCD的底面ABCD是梯形,ABCDAD与CB必相交于点M,则P是面平面PAD和平面PBC的公共点,又平面PAD平面PBClPll与直线DA相交故选:D【点评】本题考查了空间几何体中的直线与平面的位置关系,属于中档题12(5分)若曲线与直线ykx1有两个不同的交点,则实数k的取值范围是(

15、)ABCD【分析】作出两个函数的图象,利用数形结合即可得到结论【解答】解:作出曲线 y的图象如图:直线ykx1过定点(0,1),当k0时,两个函数只有一个交点,不满足条件,当k0时,两个函数有2个交点,满足条件,当k0时,直线ykx1与y在x1相切时,两个函数只有一个交点,此时kx1,即kx2(1+k)x+30,判别式(1+k)212k0,解得k210k+10,k52或k5+2(舍去)综上满足条件的k的取值范围是(,0)(0,52),故选:D【点评】本题主要考查函数与方程的应用,利用数形结合以及分段函数的性质是解决本题的关键二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分13(5分)已知地球表

16、面及约是火星表面积的4倍,则地球体积是火星体积的8倍【分析】先利用已知条件得出地球半径与火星半径的倍数关系,再利用球体体积公式得出地球体积与火星体积的倍数关系【解答】解:设地球的半径为R,火星的半径为r,由已知条件得4R244r2,所以,R2r,所以,地球的体积为,因此,地球体积是火星体积的8倍,故答案为:8倍【点评】本题考查球体的表面积与体积,确定地球与火星半径之间的倍数关系,是解本题的关键,属于基础题14(5分)已知向量,间的夹角为,若(2,3),|,则【分析】可求出,并且,向量,间的夹角为,这样进行数量积的计算即可求出【解答】解:,且,间的夹角为;故答案为:【点评】考查根据向量坐标求向量

17、长度的方法,以及向量数量积的计算公式15(5分)九章算术中,将底面是直角三角形的直三棱柱称之为“堑堵”已知某“堑堵“的三视图如图所示,俯视图中间的实线平分矩形的面积,则该“堑堵”的表面积为6+4【分析】首先把几何体的三视图转换为几何体,进一步利用几何体的表面积公式求出结果【解答】解:根据几何体的三视图,如图所示:转换为几何体为:底面为腰长为的等腰直角三角形,高为2的三棱柱故:+6+4故答案为:6+4【点评】本题考查的知识要点:三视图和几何体的转换,几何体的体积和表面积公式的应用,主要考查学生的运算能力和转化能力,属于基础题型16(5分)已知抛物线y24x的焦点为F,点A(5,3),M为抛物线上

18、一点且M不在直线AF上,则MAF周长的最小值为11【分析】当MAx轴时,|MF|+|MA|取得最小值,从而得出三角形周长的最小值【解答】解:F(1,0),|AF|5,过M向抛物线的准线x1作垂线,垂足为B,则|MF|MB|,当A,B,M三点共线时,|MA|+|MB|取得最小值5+16,即|MF|+|MA|的最小值为6,MAF周长的最小值为为11故答案为:11【点评】本题考查了抛物线的定义与性质,属于中档题三、解答题:本大题共70分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17(10分)已知在ABC中,角A,B,C所对的边分别为且a,b,c,且(1)求角A的大小;(2)若a6,sinB2sinC,

19、求ABC的面积【分析】(1)直接利用三角函数关系式和正弦定理的应用求出结果(2)利用余弦定理和三角形的面积公式求出结果【解答】解:(1)在ABC中,角A,B,C所对的边分别为且a,b,c,且则:,整理得:,则:tanA,由于:0A,解得:A(2)a6,sinB2sinC,所以:b2c,所以:a2b2+c22bccosA,整理得:364c2+c22c2,解得:c所以b则:【点评】本题考查的知识要点:三角函数关系式的恒等变换,正弦定理和余弦定理及三角形面积公式的应用18(12分)已知圆的方程为:(x1)2+y21求:(1)斜率为3且与圆相切直线的方程;(2)过定点(2,3)且圆相切的直线的方程【分

20、析】(1)设斜率为3且与圆相切的直线方程,利用圆心到直线的距离dr求得切线方程;(2)设过定点且与圆相切的直线方程,利用圆心到直线的距离dr求得切线方程,注意斜率不存在时的情况【解答】解:(1)圆的方程为:(x1)2+y21,设斜率为3且与圆相切的直线方程为y3x+b,则圆心C(1,0)到该直线的距离为d1,解得b3,y3x3+或y3x3;(2)设过定点(2,3)且与圆相切的直线方程为y+3k(x2),即kxy2k30,则圆心C到该直线的距离为d1,解得k,切线方程为y+3(x2),即4x+3y+10;又当斜率k不存在时,直线x2也是圆的切线;综上,所求圆的切线为x2或4x+3y+10【点评】

21、本题考查了直线与圆相切的情况与应用问题,是基础题19(12分)已知正项的等比数列an的前n项和为Sn,且(1)求数列an的通项公式;(2)若bnlog2an+3,数列的前n项和为Tn,求满足的正整数n的最小值【分析】(1)正项的等比数列an的公比为q(q0),由等比数列的通项公式,解方程可得首项和公比,即可得到所求通项公式;(2)求得bnlog2an+3log22n2+3n2+3n+1,运用裂项相消求和可得Tn,解不等式即可得到所求最小值【解答】解:(1)正项的等比数列an的公比为q(q0),可得2a1qa1+a1q+,a1q22,解得a1,q2,则ana1qn12n2;(2)bnlog2an

22、+3log22n2+3n2+3n+1,前n项和为Tn+,满足,可得,解得n4,满足的正整数n的最小值为5【点评】本题考查等比数列的通项公式的运用,考查数列的求和方法:裂项相消求和,不等式的解法,考查运算能力属于中档题20(12分)如图,四边形PDCE为矩形,四边形ABCD为梯形,平面PDCE平面ABCD,BADADC90,ABADCDa,PDa,M为PA中点(1)求证:AC平面MDE;(2)求直线ME与平面PBC所成角的正弦值【分析】(1)连结PC,交DE于N,连结MN,推导出MNAC,由此能证明AC平面MDE(2)以D为原点,DA,DB,DP所在直线为x,y,z轴,建立空间直角坐标系,利用向

23、量法能求出直线ME与平面PBC所成角的正弦值【解答】证明:(1)连结PC,交DE于N,连结MN,在PAC中,M,N分别为PA,PC的中点,MNAC,AC平面MDE,MN平面MDE,AC平面MDE解:(2)以D为原点,DA,DB,DP所在直线为x,y,z轴,建立空间直角坐标系,则P(0,0,),B(a,a,0),C(0,2a,0),A(a,0,0),M(),E(0,2a,),(a,a,),(a,a,0),设平面PBC的法向量(x,y,z),则,取z1,得(,1),(,2a,a),设直线ME与平面PBC所成角为,则sin|cos|,直线ME与平面PBC所成角的正弦值为【点评】本题考查线面平行的证明

24、,考查线面角的正弦值的求法,考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识,考查运算求解能力,考查数形结合思想,是中档题21(12分)设函数f(x)(1)当a2时,求f(x)的单调区间;(2)当a0时,求不等式f(x)0的解集【分析】(1)a2时,根据一次函数和二次函数的单调性即可找出f(x)的单调区间;(2)a0时,可将原不等式转化为,或,然后可将a分成0a1和a1两种情况,分别解出不等式组,的解,再求并集即可【解答】解:(1)a2时,;根据一次函数和二次函数的单调性得,f(x)在(,1,(1,+)上单调递减;f(x)的单调递减区间为(,1,(1,+);(2)a0时,不等式转化为,或;若0

25、a1时,解得,xa;解得,x1,不等式的解集为(,a)(1,+);若a1时,解得,x1;解得,xa,不等式的解集为(,1(a,+)【点评】考查分段函数的单调性的判断,一次函数和二次函数的单调性,以及一元二次不等式的解法22(12分)已知椭圆+1(ab0)的左、右焦点分别为F1,F2,离心率e,点P是椭圆上的一个动点,PF1F2面积的最大值是4(1)求椭圆的方程;(2)若A,B,C,D是椭圆上不重合的四点,AC与BD相交于点F1,且AC与BD垂直,又|AC|+|BD|,求此时直线AC的方程【分析】(1)由椭圆的离心率公式和当P位于椭圆的短轴的端点时,PF1F2面积取得最大值,由三角形的面积公式和

26、基本量的关系,解方程可得a,b,进而得到所求椭圆方程;(2)讨论直线AC,BD的斜率是否存在,设出直线方程,联立椭圆方程,运用弦长公式,解方程即可得到所求方程【解答】解:(1)由题意可得e,当P位于椭圆的短轴的端点时,PF1F2面积的最大值是4,即有b2c4,又a2b2c2,解得a4,b2,则椭圆方程为+1;(2)由(1)知F1(2,0),ACBD,当直线AC,BD中一条直线斜率不存在时,|AC|+|BD|14,不合题意;当直线AC斜率为k,k0时,其方程为yk(x+2),将该方程带入椭圆方程并整理得(3+4k2)x2+16k2x+16k2480,若设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2,x1x2,|AC|x1x2|;直线BD的方程为y(x+2),同理可得|BD|;|AC|+|BD|,解得k21,即直线AC的方程为y(x+2)【点评】本题考查三角形的面积公式,椭圆离心率的概念,椭圆的标准方程,a,b,c三个系数的几何意义,直线的点斜式方程,以及弦长公式,属于中档题

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