1、章末检测卷（二）(时间：120分钟满分：150分)一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分)1与向量a(1，)的夹角为30的单位向量是()A(，)或(1，) B(，)C(0,1) D(0,1)或(，)答案D2若四边形ABCD满足且|，则四边形ABCD的形状是()A等腰梯形 B矩形C正方形 D菱形答案D解析，AD綊BC，四边形ABCD为平行四边形，又|，ADAB，四边形ABCD为菱形3已知三个力f1(2，1)，f2(3,2)，f3(4，3)同时作用于某物体上一点，为使物体保持平衡，现加上一个力f4，则f4等于()A(1，2) B(1，2) C(1,2) D(1,2)答案D解析根据力的
2、平衡原理有f1f2f3f40，f4(f1f2f3)(1,2)4已知正方形ABCD的边长为1，a，b，c，则abc的模等于()A0 B2 C. D2答案D解析|abc|2|2|2.5若向量a(1,1)，b(1，1)，c(1,2)，则c等于()Aab B.abC.ab Dab答案B解析令cab，则cab.6若向量a(1,1)，b(2,5)，c(3，x)，满足条件(8ab)c30，则x等于()A6B5C4D3答案C解析a(1,1)，b(2,5)，8ab(8,8)(2,5)(6,3)又(8ab)c30，(6,3)(3，x)183x30.x4.7向量(4，3)，向量(2，4)，则ABC的形状为()A等腰
3、非直角三角形B等边三角形C直角非等腰三角形D等腰直角三角形答案C解析(4，3)，(2，4)，(2，1)，(2,1)(2,4)0，C90，且|，|2，|.ABC是直角非等腰三角形8设点A(1,2)、B(3,5)，将向量按向量a(1，1)平移后得到为()A(1,2) B(2,3)C(3,4) D(4,7)答案B解析(3,5)(1,2)(2,3)，平移向量后得，(2,3)9已知D，E，F分别是ABC的边BC，CA，AB的中点，且a，b，c，则ba；ab；ab；0.其中正确的等式的个数为()A1B2C3D4答案D解析如图可知ba，故正确ab，故正确b(ab)ab，故正确()(ab)abab0，故正确1
4、0.定义p*q是向量p和q的“向量积”，它的长度|p*q|p|q|sin ，其中为向量p和q的夹角，若a(2，0)，ab(1，)，则|a*(ab)|()A. B.2 C. D.2答案B解析由a(2，0)，ab(1，)，得b(1，)；ab(3，)，a和ab的夹角的余弦为cos ，a和ab的夹角30，|a*(ab)|2sin 302.11设02，已知两个向量(cos，sin)，(2sin，2cos)，则向量长度的最大值是()A. B. C3 D2答案C解析(2sincos，2cossin)，|3.12.若a，b，c均为单位向量，且ab0，(ac)(bc)0，则|abc|的最大值为()A.1 B.1
5、 C. D.2答案B解析设a(1，0)，b(0，1)，c(x，y)，则x2y21，ac(1x，y)，bc(x，1y)，则(ac)(bc)(1x)(x)(y)(1y)x2y2xy1xy0，即xy1.又abc(1x，1y)，|abc|.方法一如图，c(x，y)对应点在上，而式的几何意义为点P到上点的距离，其最大值为1.方法二|abc|，由xy1，|abc|1，最大值为1.二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13已知向量a(2，1)，b(1，m)，c(1,2)，若(ab)c，则m_.答案1解析a(2，1)，b(1，m)，ab(1，m1)(ab)c，c(1,2)，2(1)(m1)0.m1
6、.14已知向量(1，3)，(2，1)，(k1，k2)，若A，B，C三点能构成三角形，则实数k应满足的条件是_答案k1解析若点A，B，C能构成三角形，则向量，不共线(2，1)(1，3)(1,2)，(k1，k2)(1，3)(k，k1)，1(k1)2k0，解得k1.15已知非零向量a，b，若|a|b|1，且ab，又知(2a3b)(ka4b)，则实数k的值为_答案6解析由(2a3b)(ka4b)2ka212b22k120，k6.16.如图所示，半圆的直径AB2，O为圆心，C是半圆上不同于A，B的任意一点，若P为半径OC上的动点，则()的最小值是_答案解析因为点O是A，B的中点，所以2，设|x，则|1x
7、(0x1)所以()22x(1x)2(x)2.所以当x时，()取到最小值.三、解答题(本大题共6小题，共70分)17.(本小题满分10分)已知a，b，c在同一平面内，且a(1,2)(1)若|c|2，且ca，求c；(2)若|b|，且(a2b)(2ab)，求a与b的夹角解(1)ca，设ca，则c(，2)又|c|2，2，c(2,4)或(2，4)(2)(2ab)，(a2b)(2ab)0.|a|，|b|，ab.cos1，又0180，180.18.(本小题满分12分)已知向量a(cos ，sin )，b(cos ，sin )，0.(1)若|ab|，求证：ab；(2)设c(0，1)，若abc，求，的值.(1)
8、证明由题意得|ab|22，即(ab)2a22abb22.又因为a2b2|a|2|b|21，所以22ab2，即ab0，故ab.(2)解因为ab(cos cos ，sin sin )(0，1)，所以由此得cos cos()，由0，得0，又0，所以，.19.(本小题满分12分)如图，在ABC中，D，F分别是BC，AC的中点，a，b，(1)以a，b为一组基底来表示，；(2)求证：B，E，F三点共线.(1)解()ab，ab，b，ab，ba.(2)证明由(1)知，又与有共同的起点，B，E，F三点共线.20(本小题满分12分)在ABC中，0，|12，|15，l为线段BC的垂直平分线，l与BC交于点D，E为l
9、上异于D的任意一点(1)求的值；(2)判断的值是否为一个常数，并说明理由解(1)0，ABAC.又|12，|15，|9.由已知可得()，()()(22)(14481).(2)的值为一个常数理由：l为线段BC的垂直平分线，l与BC交于点D，E为l上异于D的任意一点，0.故().21(本小题满分12分)已知O的直径为10，AB是O的一条直径，长为20的线段MN的中点P在O上运动(异于A，B两点)(1)求证：与点P在O上的位置无关；(2)当与的夹角取何值时，有最大值？(1)证明AB为O的直径，P为圆上一点，APBP，即0.P为MN的中点，且|20，|10，()()()()()100100.仅与，的夹角
10、有关，而与点P在O上的位置无关(2)解由(1)得，100100cos100.0，当0时，取得最大值0.22(本小题满分12分)已知正方形ABCD，E、F分别是CD、AD的中点，BE、CF交于点P.求证：(1)BECF；(2)APAB.证明如图建立直角坐标系xOy，其中A为原点，不妨设AB2，则A(0,0)，B(2,0)，C(2,2)，E(1,2)，F(0,1)(1)(1,2)(2,0)(1,2)，(0,1)(2,2)(2，1)，1(2)2(1)0，即BECF.(2)设P(x，y)，则(x，y1)，(2，1)，x2(y1)，即x2y2.同理由，得y2x4，代入x2y2.解得x，y，即P.22242，|，即APAB.
