1、2.3.3向量数量积的坐标运算与度量公式学习目标1.理解两个向量数量积坐标表示的推导过程，能运用数量积的坐标表示进行向量数量积的运算.2.能根据向量的坐标计算向量的模，并推导平面内两点间的距离公式.3.能根据向量的坐标求向量的夹角及判定两个向量垂直.知识点一平面向量数量积的坐标运算设a(a1，a2)，b(b1，b2)，则(1)aba1b1a2b2，即两个向量的数量积等于相应坐标乘积的和.(2)abab0a1b1a2b20.知识点二向量模的坐标表示及两点间距离公式(1)向量的长度公式：设a(a1，a2)，则|a|.(2)两点间距离公式：若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|.知识点三两个向量
2、夹角余弦的坐标表达式设a(a1，a2)，b(b1，b2)，a与b的夹角为，则cos .1.若a(x1，y1)，b(x2，y2)，则abx1x2y1y20.()2.若a(x1，y1)，b(x2，y2)，则abx1y2x2y10.()3.若两个非零向量的夹角满足cos 0，则两向量的夹角一定是锐角.()提示当两向量同向共线时，cos 10，但夹角0，不是锐角.4.两个非零向量a(x1，y1)，b(x2，y2)，满足x1y2x2y10，则向量a与b的夹角为0.()题型一平面向量数量积的坐标运算例1已知a与b同向，b(1,2)，ab10.(1)求a的坐标；(2)若c(2，1)，求a(bc)及(ab)c
3、.解(1)设ab(，2)(0)，则有ab410，2，a(2,4).(2)bc12210，ab10，a(bc)0a0，(ab)c10(2，1)(20，10).反思感悟(1)解答有关向量数量积的坐标运算问题时，灵活应用基本公式是前提，设向量一般有两种方法：一是直接设坐标，二是利用共线或垂直的关系设向量.(2)一般情况下(ab)ca(bc)，即向量运算结合律一般不成立.跟踪训练1向量a(1，1)，b(1,2)，则(2ab)a等于()A.1 B.0 C.1 D.2答案C解析因为a(1，1)，b(1,2)，所以2ab2(1，1)(1,2)(1,0)，则(2ab)a(1,0)(1，1)1，故选C.题型二向
4、量的模、夹角问题例2在平面直角坐标系xOy中，O是原点(如图).已知点A(16,12)，B(5,15).(1)求|，|；(2)求OAB.解(1)由(16,12)，(516,1512)(21,3)，得|20，|15.(2)cosOABcos，.其中(16,12)(21,3)16(21)123300，故cosOAB.OAB45.反思感悟利用向量的数量积求两向量夹角的一般步骤(1)利用向量的坐标求出这两个向量的数量积.(2)利用|a|求两向量的模.(3)代入夹角公式求cos ，并根据的范围确定的值.跟踪训练2已知a(1，1)，b(，1)，若a与b的夹角为钝角，求的取值范围.解a(1，1)，b(，1)
5、，|a|，|b|，ab1.又a，b的夹角为钝角，即0)，因为AB2，点B的坐标是(2,0)，(2,0)，(x2，y).1，2(x2)1，解得x.又SABC，|AB|y，y，C点坐标为，则，|，故边AC的长为.素养评析本题通过建立坐标系利用平面向量的坐标解决线段的长度问题，突出考查数学运算及直观想象的核心素养.1.已知a(3，1)，b(1，2)，则a与b的夹角为()A. B. C. D.答案B解析|a|，|b|，ab5，cosa，b.又a，b的夹角范围为0，a与b的夹角为.2.已知向量，则ABC等于()A.30 B.45 C.60 D.120答案A解析|1，|1，cosABC，ABC30.3.已
6、知向量m(1,1)，n(2,2)，若(mn)(mn)，则等于()A.4 B.3 C.2 D.1答案B解析因为mn(23,3)，mn(1，1)，又(mn)(mn)，所以(mn)(mn)(23,3)(1，1)260，解得3.4.已知平面向量a，b，若a(4，3)，|b|1，且ab5，则向量b_.答案解析|a|5，cosa，b1，a，b方向相同，ba.5.已知a(4,3)，b(1,2).(1)求a与b的夹角的余弦值；(2)若(ab)(2ab)，求实数的值.解(1)ab4(1)322，|a|5，|b|，cosa，b.(2)ab(4，32)，2ab(7,8)，又(ab)(2ab)，(ab)(2ab)7(
7、4)8(32)0，.1.平面向量数量积的定义及其坐标表示，提供了数量积运算的两种不同的途径.准确地把握这两种途径，根据不同的条件选择不同的途径，可以优化解题过程.同时，平面向量数量积的两种形式沟通了“数”与“形”转化的桥梁，成为解决距离、角度、垂直等有关问题的有力工具.2.应用数量积运算可以解决两向量的垂直、平行、夹角以及长度等几何问题，在学习中要不断地提高利用向量工具解决数学问题的能力.3.注意区分两向量平行与垂直的坐标形式，二者不能混淆，可以对比学习、记忆.若a(x1，y1)，b(x2，y2)，则abx1y2x2y10，a，b不为0时，abx1x2y1y20.4.事实上应用平面向量的数量积公式解答某些平面向量问题时，向量夹角问题隐藏了许多陷阱与误区，常常会出现模糊“两向量的夹角的概念”和忽视“两向量夹角的范围”的问题，稍不注意就会带来失误与错误.
