1、 - 1 - 2020 届甘肃省张掖市第二中学高三 11 月月考 数学(文)试卷 一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分。在每題给出的四个选项中,只有一项是符合题目 要求) 1复数 1 2 z i (i为虚数单位)在复平面内对应的点位于( ) A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 2设R,则“ 6 ”是“ 1 sin 2 ”的( ) A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3已知函数 ( )f x是定义在R上周期为4的奇函数,且当0,2x 时, 2 ( )2f xxx, 则( 5)f 的值为( )
2、 A. 3 B. 1 C. 1 D. 3 4已知向量2, 1 ,1,ab,若2/ / 2abab,则实数( ) A. 2 B. -2 C. 1 2 D. 1 - 2 5已知双曲线 22 2 10 3 xy a a 的一个焦点与抛物线 2 8yx的焦点重合,则a为( ) A19 B1 C.2 D4 6己知 4 sin() 65 ,则cos() 3 A. 4 5 B 3 5 C. 4 5 . D. 3 5 7已知正数项等比数列 n a中, 1 1a ,且 1 4a与 5 a的等差中项是 3 2a,则 2 a ( ) A2 B2 C4 D2 或 4 8 将函数( )2cos() 6 f xx 图像上
3、所有点的横坐标缩短为原来的 1 2 倍 (纵坐标不变) , 得到函数( )yg x 的图像,则函数( )yg x的图像的一个对称中心是( ) A. (,0) 12 B. (,0) 3 C. 5 (,0) 12 D. 2 (,0) 3 9 若A、 B为圆 2 2 :23C xy上任意两点,P为x轴上的一个动点, 则APB的最大值是 ( ) A30 B60 C90 D120 - 2 - 10双曲线 22 22 :1 xy E ab (00ab,)的离心率是5,过右焦点F作渐近线l的垂线,垂足为M,若 OFM的面积是 1,则双曲线E的实轴长是( ) A. 1 B. 2 C. 2 D. 2 2 11如
4、图 1,已知正方体 1111 ABCDABC D的棱长为2,P为棱 1 AA的中点,,M N Q分别是线段 11 AD, 1 CC, 11 AB上的点, 若三棱锥PMNQ的俯视图如图 2, 则点N到平面PMQ距离的最大值为 ( ) A.3 B. 34 2 C. 3 3 2 D. 5 3 3 12已知函数 2 2,0 ( ) e ,0 x xx f x x ,若 12 ( )()f xf x( 12 xx),则 12 xx的最大值为() A. 2 2 B.2ln22 C.3ln22 D.ln2 1 二、填空题(本大题共二、填空题(本大题共 4 4 小题,每小题小题,每小题 5 5 分,共分,共
5、2020 分)分) 1323 x , 2 4 log 3 y,则x y_. 14. 1 tan,sin= 2 ABC 中,则 15若函数 32 ( )3f xxtxx在区间1,4上单调递减,则实数 t 的取值范围是_ 16已知函数( )sin() 6 f xx (0)的最小正周期为,若( )f x在0, )xt时所求函数值中没有最 小值,则实数t的范围是_ 三、解答题(解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤)三、解答题(解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤) 17 (本小题满分 12 分)已知正项数列 n a的前n项和 n S满足: 11nn a aSS (1)求数列 n a的通项公式; (
6、2)令 2 log 32 n n a b ,求数列 n b的前n项和 n T. 18 (本小题满分 12 分)某高校在 2016 年的自主招生考试成绩中随机抽取 100 名学生的笔试成绩,按成绩 分组,得到的频率分布表如下表所示 组号 分组 频数 频率 A 1 A 1 B C B D 1 D 1 C P 图 1 1 1 图 2 - 3 - 第 1 组 160 165, 5 0.050 第 2 组 165 170, n 0.350 第 3 组 170 175, 30 p 第 4 组 175,180 20 0.200 第 5 组 180 185, 10 0.100 合计 100 1.000 (1)
7、求频率分布表中n,p的值,并估计该组数据的中位数(保留l位小数) ; (2)为了能选拔出最优秀的学生,高校决定在笔试成绩高的第 3、4、5 组中用分层抽样的方 法抽取 6 名学生进入第二轮面试,则第 3、4、5 组每组各抽取多少名学生进入第二轮面 试? (3)在(2)的前提下,学校决定从 6 名学生中随机抽取 2 名学生接受甲考官的面试,求第 4 组至少有 1 名学生被甲考官面试的概率 19 (本小题满分 12 分)如图,三棱柱 111 ABCABC中, 1 A A 面ABC,=90ACB,M是AB的中 点, 1 2ACCBCC ()求证:平面 1 ACM 平面 11 ABB A ()求点M到
8、平面 11 ACB的距离 20 (本小题满分 12 分) 已知函数1 2 1 sin)( 2 xxexf x (1)求曲线)(xfy 在点)0(, 0(f处的切线方程; M B A C 1 A 1 C 1 B - 4 - (2)若函数1sin)()(ln)(xexfxxaxg x 有两个极值点 1 x, 2 x)( 21 xx 。且不 等式)()()( 2121 xxxgxg恒成立,求实数的取值范围. 21(本小题满分 12 分) 已知椭圆C: 22 22 1(0) xy ab ab 的左, 右焦点分别为 1 3,0F , 2 3,0F, 且经过点 1 3, 2 A ()求椭圆C的标准方程;
9、()过点0(4 )B ,作一条斜率不为0的直线l与椭圆C相交于PQ,两点,记点P关于x轴 对称的点为 P 证明:直线P Q 经过x轴上一定点D,并求出定点D的坐标 22 (本小题满分 12 分)在直角坐标系xOy中,过点1,1P的直线l的参数方程为 1cos 1sin xt yt (t为 参数) 以坐标原点O为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系, 曲线C的极坐标方程为4cos ()求曲线C的直角坐标方程; ()若直线l与曲线C相交于,A B两点,求 11 |PAPB 的最小值 22 (本小题满分 12 分)设函数( )3f xxaxa (1)若 ( )f x的最小值是4,求a的值; (2)若
10、对于任意的实数xR,总存在2,3a ,使得 2 4( )0mmf x成立,求实 数m的取值范围 - 5 - 数学(文科)答案 1 答案】D【详解】复数 12222 222555 ii zi iii 对应的点坐标为 22 , 55 在第四象限 2【答案】A【分析】分别判断充分性和必要性,得到答案. 【详解】当 6 ,可以得到 1 sin 2 ,反过来若 1 sin 2 ,至少有 6 或 5 6 ,所以 6 为充分不必 要条件 3【答案】B 由题意,函数 fx是定义R在上周期为4的奇函数,所以( 5)( 54)( 1)(1)ffff , 又0,2x时, 2 2f xxx,则 2 2 1111f ,
11、所以( 5)(1)1ff ,故选 B. 4【答案】D【分析】根据平面向量的坐标运算与共线定理,列方程求出 的值 【详解】向量a (2,1) ,b (1, ) ,则 2ab(4,1+2 ) ,2ab(3,2 ) , 又( 2ab )(2a b ) ,所以 4(2 )3(1+2 )0,解得 1 2 故选:D 5【答案】B【解析】由题意得 22 321aa,选 B. 6 7 1 4a与 5 a的等差中项是 3 2a,所以 315 224aaa,即 24 111 224aqaaq, 42 2 4402122qqqa ,负值舍去,故选 B 8【答案】D【解析】将函数 2cos 6 f xx 图象上所有点
12、的横坐标缩短到原来的 1 2 倍(纵坐标不变) , 得 到 函 数 ygx的 图 象 , 则 2 c o s2 6 gxx , 由 题 可 得 当 2 3 x 时 , 223 2 c o s22 c o s0 3362 g .即函数 yg x的图象的一个对称中心是 2 ,0 3 故选 D 10【解析】由于双曲线焦点到渐近线的距离为b,故,OFb OMa FMb,根据面积公式有 1 1,2 2 abab,而 222 5, c cab a ,解得1,2,5abc,故实轴长22a ,选 B 11 解:由俯视图知,M为 11 AD的中点, Q为 11 AB的中点,平面/PMQ平面 11 AB D, 1
13、 AC平面 PMQ,当N与C重合,点N到平面PMQ的距离最大,最大值为 55 3 2 3 63 ,故选 D. 12 解:当(,0)x 时,( )f x单调递减,且( )(0,)f x ,当0,)x时,( )f x单调递增,且 ( )1,)f x ,可设 2 12 ( )()f xf xt( 12 0xx),其中1t ,则 1 2 2 xt , 2 2lnxt, - 6 - 12 2 2ln 2 xxtt (1t ),令 2 ( )2ln 2 g ttt , 2242 ( ) 22 t g t tt ,由( )0g t, 得12 2t ,由( )0g t,得2 2t ,( )g t在(1,2 2
14、)上单调递增,在(2 2,)上单调递减, max ( )(2 2)3ln22g tg,即 12 xx的最大值为3ln22,故选 C. 13 14 【解析】 2 ( )323fxxtx,由于 ( )f x在区间1,4上单调递减,则有( )0fx 在1,4上恒成立, 即 2 3230xtx,也即 31 () 2 tx x 在1,4上恒成立,因为 31 () 2 yx x 在1,4上单调递增,所以 3151 (4) 248 t , 16.【详解】因为函数( )sin() 6 f xx (0)的最小正周期为,所以2, 当0, )xt时,2,2) 666 xt ,因为0, )xt时所求函数值中没有最小值
15、, 所以 53 2 662 t ,解得 2 33 t ,所以t的取值范围是 2 (, 33 , 17【答案】 (1)2n n a ; (2) 2 9 2 nn 【试题解析】 (1)由已知 11nn a aSS,可得 当1n 时, 2 111 aaa,可解得 1 0a ,或 1 2a ,由 n a是正项数列,故 1 2a . 当2n 时, 由已知可得22 nn aS, 11 22 nn aS , 两式相减得, 1 2 nnn aaa .化简得 1 2 nn aa , 数列 n a是以 2 为首项,2 为公比的等比数列,故2n n a .数列 n a的通项公式为2n n a . (2) 2 log
16、 32 n n a b ,代入2n n a 化简得5 n bn,显然 n b是等差数列, 其前n项和 2 459 22 n nnnn T . 【答案】 (1)35n ,0.300p ,中位数估计值为 171.7(2)第 3、4、5 组每组各抽学生人数为 3、2、1 (3) 3 5 【分析】 (1)由频率分布表可得:35n ,0.300p ,由中位数的求法可得中位数估计值为 171.7; (2)因为笔试成绩高的第 3、4、5 组的人数之比为3:2:1,由分层抽样的方法选 6 名学生,三个小组分别 选的人数为 3、2、1; (3)先列举出从 6 名学生中随机抽取 2 名学生的不同取法,再列举出第
17、4 组至少有 1 名学生被甲考官面试 5 5 - 7 - 的取法,再结合古典概型的概率公式即可得解. 【详解】解: (1)由已知:53020 10100n,0.5000.3500.2000.1001.000p, 35n,0.300p ,中位数为 0.1 170 0.06 171.7,即中位数估计值为 171.7, (2)由已知,笔试成绩高的第 3、4、5 组的人数之比为3:2:1,现用分层抽样的方法选 6 名学生。故第 3、 4、5 组每组各抽学生人数为 3、2、1。 (3)在(2)的前提下,记第 3 组的 3 名学生为 1 c, 2 c, 3 c, 第 4 组的 2 名学生为 1 d, 2
18、d,第 5 组的 1 名学生为 1 e,且“第 4 组至少有 1 名学生被甲考官面试”为事件 A。 则所有的基本事件有: 12 ,c c, 13 ,c c, 11 ,c d, 12 ,c d, 11 ,c e, 23 ,c c, 21 ,c d, 22 ,c d, 21 ,c e, 31 ,c d , 32 ,c d , 31 ,c e , 12 ,d d , 11 ,d e , 21 ,de ,一共 15 种。 A事件有: 11 ,c d , 12 ,c d , 21 ,c d , 22 ,c d , 31 ,c d , 32 ,c d , 12 ,d d , 11 ,d e , 21 ,d
19、e ,一 共 9 种。 93 155 P A,答:第 4 组至少有 1 名学生被甲考官面试的概率为 3 5 。 19 (本小题满分 12 分) 证: ()由A1A平面ABC,CM平面ABC,则A1ACM 由ACCB,M是AB的中点,则ABCM 又A1AABA,则CM平面ABB1A1, 又CM平面A1CM,所以平面A1CM平面ABB1A16 分 ()设点M到平面A1CB1的距离为h, 由题意可知A1CCB1A1B12MC2 2,SA1CB12 3,SA1MB12 2 由()可知CM平面ABB1A1,得,VCA1MB1 1 3 MCSA1MB1 VMA1CB1 1 3 hSA1CB1, 所以,点M
20、到平面A1CB1的距离h MCSA1MB1 SA1CB1 2 3 3 12 分 M B A C 1 A 1 C 1 B - 8 - 2121 (1)因为1 2 1 sin)( 2 xxexf x ,所以xxexexf xx cossin)( / , 1 分 所以1)0( / fk切,又1)0(f,故所求的切线方程为)0(11xy,即01 yx 4 分 (2)因为1sin)()(ln)(xexfxxaxg x2 2 1 )(lnxxxa 所以)0()( 2 / x x aaxx xg, 5 分 由题意0)( / xg有两个不同的正根,即0 2 aaxx有两个不同的正根, 则4 0 0 04 21
21、 21 2 a axx axx aa , 7 分 不等式)()()( 2121 xxxgxg恒成立等价于 a xgxg xx xgxg)()()()( 21 21 21 恒成立 又 2 222 2 11121 2 1 )(ln 2 1 )(ln)()(xxxaxxxaxgxg )( 2 1 )()ln(ln 2 2 2 12121 xxxxaxxa 2)( 2 1 )(ln 21 2 212121 xxxxxxaxxa )2( 2 1 ln 22 aaaaa aaaa 2 2 1 ln所以1 2 1 ln )()( 21 21 aa xx xgxg , 10 分 令1 2 1 lnaay(4a
22、) ,则0 2 11 / a y, 所以1 2 1 lnaay在), 4( 上单调递减, 11 分 所以32ln2y,所以32ln2 12 分 21【答案】 () 2 2 1 4 x y()证明见解析,直线P Q 经过x轴上定点D,其坐标为1,0 【分析】 ()由已知结合椭圆定义求得a,再求得b,则椭圆方程可求; ()由题意,设直线l的方程为 4(0)xmym ,再设 1 (P x, 1) y, 2 (Q x, 2) y ,则 1 (P x , 1) y 联立直线方程与椭圆方程,化为关于y 的一元二次方程,求出P Q 所在直线方程,取0y 求得x值,即可证明直线P Q 经过x轴上一定点D, 并
23、求出定点D的坐标 【详解】解: ()由椭圆的定义,可知 12 2aAFAF 2 2 11 2 34 22 . 解得2a . 又 2 22 31ba,椭圆C的标准方程为 2 2 1 4 x y. - 9 - ()由题意,设直线l的方程为40xmym. 设 11 ,P x y, 22 ,Q xy,则 11 ,P xy. 由 2 2 4 1 4 xmy x y ,消去x,可得 22 48120mymy. 2 16120m Q, 2 12m . 12 2 8 4 m yy m , 12 2 12 4 y y m . 2121 2121 PQ yyyy k xxm yy ,直线P Q 的方程为 21 1
24、1 21 yy yyxx m yy . 令0y ,可得 21 1 12 4 m yy xmy yy . 12 12 2 4 my y x yy 2 2 12 2 24 4 441 8 8 4 m m m m m m .1,0D. 直线P Q经过x轴上定点D,其坐标为1,0. 【答案】 () 22 40xyx() 2 【详解】解: ()4cos, 2 4 cos. 由直角坐标与极坐标的互化关系 222 xy,cosx. 曲线C的直角坐标方程为 22 40xyx. ()将直线l的参数方程代入曲线C的方程,并整理得 2 2sin2cos20tt . 2 2sin2cos80 Q, 可设 12 ,t
25、t是方程的两个实数根,则 12 2cos2sintt, 1 2 20t t . 11 PAPB 1212 12121 2 11tttt ttt tt t 2 121 2 4 2 ttt t 2 2cos2sin8 8 2 22 , 当 4 时,等号成立. 11 PAPB 的最小值为 2. 【点睛】本题考查的知识要点:参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换,一元二次方程根和系数 关系式的应用,三角函数关系式的恒等变换,考查直线参数方程 t 的几何意义,主要考察学生的运算能力 和转换能力,属于基础题型 22【答案】 (1) 1a; (2)66m 详解: ()( ) |3 |f xxaxa|()(3 )| 4|xaxaa, 由已知 min ( )4f x ,知4| 4a ,解得 1a. ()由题知 2 | 4| 4|mma,又a是存在的, 2 max |4| 4|12mma. - 10 - 即 2 |4| 120mm,变形得(| 6)(| 2)0mm,| 6m ,66m . 点睛: (1)利用ababab和ababab可对含绝对值的不等式进行放缩,从 而求得最值(注意验证取等号的条件) ;