1、 - 1 - 连城一中 20192020 学年上期高三（文科）月考二 数学试题 满分：150 分 考试时间：120 分钟 第卷（选择题，共 60 分） 一、选择题(本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。每小题只有一个选项符合题意，请将正确答案填入 答题卷中。) 1、已知集合 P3|xx，Q043| 2 xxx，则QP（ ） A. ), 4 B. ), 3( C. 1 , 3( D. 1 , 4 2、已知复数 i i z 21 5 （i为虚数单位） ，则复数z在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 3、若直线 :ax+y-1=0
2、 与:3x+(a+2)y+1=0 平行,则 a 的值为( ). A.1 B.-3 C.0 或- D.1 或-3 4、等差数列 n a中， 147 39aaa， 369 27aaa，则数列 n a前9项和 9 S等于（ ） A66 B99 C144 D297 5、 函数 | | 2 sin2 x yx的图象可能是( ) A B C D 6、 在ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别是 a,b,c,A=30 ,若将一枚质地均匀的正方体骰 子先后抛掷两次,所得的点数分别为 a,b,则满足条件的三角形有两个解的概率是 ( ). A. B. C. D. 7、如图在ABC中，G为ABC的重心，D在边AC
3、上，且3CDDA，则 ( ) A 17 312 GDABAC B 11 312 GDABAC C 17 312 GDABAC D 11 312 GDABAC 8、某几何体的三视图如图所示，则该几何体的外接球的表面积为( ) A. 3 B. 4 3 C. 12 D. 48 B A C G D - 2 - 9、若0a ，0b 且24ab，则 1 ab 的最小值为（ ） A 1 2 B 2 C. 4 D1 4 10、已知函数 fx是定义域为R的偶函数，且 1 1f x f x ，若 fx在1,0上是减函数，记 0.5 log2af， 2 log 4bf， 0.5 2cf，则（ ） A abc B a
4、cb C bac D bac 11、已知函数) 2 0 , 0)(sin()( xxf,0)(, 1)( 21 xfxf， 若 12 |xx的最小值为 1 2 ， 且 2 1 ) 2 1 (f ，则( )f x的单调递增区间为（ ） A. 51 +2 ,+2,. 66 kkkZ B. 15 +2 ,+2, 66 kkkZ C. 51 +2,+2, 66 kkkZ D. 17 +2 ,+2, 66 kkkZ 12、已知定义域为), 0( ，为的导函数，且满足)()( xxfxf，则不等式 )4()2()2( 2 xfxxf的解集是( ) A )2 , 0( B ), 2( C )3 , 2( D
5、 ), 3( 第卷（非选择题 90 分） 二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分,请将正确答案填入答题卷中。） 13、实数 x，y 满足 390 30 3 xy xy y ，则使得2zyx取得最大值是_ 14、已知圆 C:=4,直线:y=x，:y=kx-1.若，被圆 C 所截得的弦的长度 之比为 12,则 k 的值为 15、数列 n a的前n项和为 n S， 1 1a ， 1 21 nn aS ，若对任意的 * nN， 11 () 23 n Sk恒成立，则 实数k的取值范围是 16、在平面直角坐标系中,已知点 P(3,0)在圆C:(x-m)2+(y-2)2=40内,动直线
6、 AB 过点 P 且交圆 C 于 A,B 两 点,若ABC 的面积的最大值为 20,则实数 m 的取值范围是 三、解答题（本大题共 6 小题，共 70 分。解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 17. （本小题满分 12 分） 已知等比数列 n a的各项均为正数， 1 1a ， 公比为q； 等差数列 n b中， 3 1 b， - 3 - 且 n b的前n项和为 n S， 33 27aS， 2 2 S q a （1）求 n a与 n b的通项公式； （2）设数列 n c满足 n n S c 2 3 ，求 n c的前n项和 n T 18.（本小题满分 12 分）已知函数 2 ( )2s
7、incos2 3cos3f xxxx （1）当 2 , 0 x，求函数)(xf的值域； （2） 已知ABC的三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c， 其中7a ， 若锐角A满足()3 26 A f ， 且 13 3 sinsin 14 BC，求bc的值 19. （本小题满分 12 分） 如图， 四棱锥SABCD中， 底面ABCD是菱形， 其对角线的交点为O，且,SASC SABD （1）求证：SO 平面ABCD； （2）设60BAD ，2ABSD，P是侧棱SD上的一点， 且SB平面APC，求三棱锥APCD的体积 20.（本小题满分 12 分） 中华人民共和国道路交通安全法第 47 条规定：机
8、动车行经人行横道时，应当 减速慢行；遇到行人正在通过人行横道，应当停车让行，俗称“礼让斑马线”.下表是某十字路口监控设备所 抓拍的 6 个月内驾驶员不“礼让斑马线”行为的统计数据： 月份x 1 2 3 4 5 6 - 4 - 不“礼让斑马线”驾驶员人数y 120 105 100 85 90 80 （1） 请根据表中所给前 5 个月的数据， 求不“礼让斑马线”的驾驶员人数y与月份x之间的回归直线方程 ybxa； （2） 若该十字路口某月不“礼让斑马线”驾驶员人数的实际人数与预测人数之差小于 5， 则称该十字路口“礼 让斑马线”情况达到“理想状态”.试根据（1）中的回归直线方程，判断 6 月份该十
9、字路口“礼让斑马线” 情况是否达到“理想状态”？ （3）若从表中 3、4 月份分别选取 4 人和 2 人，再从所选取的 6 人中任意抽取 2 人进行交规调查，求抽取 的两人恰好来自同一月份的概率. 参考公式： 11 222 11 () () () nn iiii ii nn ii ii x ynx yxxyy b xnxxx ， a ybx. 21.（本小题满分 12 分）已知函数 22 1 ln, 2 f xxmx g xmxx mR令 F xf xg x. （1）当 1 2 m 时，求函数 f x的单调区间及极值； （2）若关于x的不等式 1F xmx恒成立，求整数m的最小值. 请考生在第
10、 22、23 两题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一个题目计分 22. （本小题满分 10 分）选修 4-4：坐标系与参数方程 已知曲线 C 的极坐标方程是cos4.以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为 x 轴的正半轴，建立 - 5 - 平面直角坐标系，直线 l 的参数方程是为参数t ty tx sin cos1 . （）将曲线 C 的极坐标方程化为直角坐标方程； （）若直线 l 与曲线 C 相交于 A、B 两点，且15|AB，求直线 l 的倾斜角的值. 23.（本小题满分 10 分）选修 45：不等式选讲 已知函数|2|1|)(xxxf的最大值为t. （1）求t的值以及此时的x的取值范
11、围； （2）若实数ba,满足22 2 tba，证明： 4 1 2 22 ba - 6 - 连城一中 20192020 学年上期高三（文科）月考二数学试题 参考答案 一、选择题(本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分) 1-5 CDABD 6-10 ABCAB 11-12 AD 二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分) 13、5 14、 2 1 15、 2 ,) 9 16、（-3,-1?7,9） 三、解答题（本大题共 6 小题，共 70 分,解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 17.（1）解： （1）设数列 n b的公差为 d 则由已知有 3 3
12、6 183 27 2 2 2 2 33 d q qd dq a s q sa 1 3 n n a nbn3 6 分 （2）由题意得 2 )33(nn sn 1 11 ) ) 1( 1 ( 3 2 2 3 2 3 nnnns c n n 11 1 1) 1 11 () 3 1 2 1 () 2 1 1 ( n n nnn Tn .12 分 18. 解： （1） 2 ( )2sin cos2 3cos3f xxxx2sin 2 3 x ， 2 , 0 x 3 4 , 3 3 2 x 所以2 , 3) 3 2sin(2 x 从而)(xf的值域为2 , 3 .6 分 （2） 由()2sin(2()2s
13、in3 26263 AA fA ， 又A为锐角， 3 A ，由正弦定理可得 714 2 sin33 2 a R A ， 13 3 sinsin 214 bc BC R ， 则 13 3 14 13 143 bc ，由余弦定理可知， 22222 ()21 cos 222 bcabcbca A bcbc ， 可求得40bc .12 分 19.（1）证明：底面ABCD是菱形，对角线ACBD ， 又AACSASABD，BD平面SAC，SO平面SAC，BDSO， - 7 - 又OSCSA,为AC中点，,OBDACACSO，SO平面ABCD 6 分 （2）连,POSB?平面APC，SB 平面SBD，平面S
14、BD平面APCPO， SB?PO， 在三角形SBD中，O是BD的中点，P是SD的中点 取OD的中点E， 连PE， 则PE?SO， PE底面ACD，且SOPE 2 1 ， 在直角三角形ADO中，1,302DODAOAD， 在直角三角形SDO中， 2 3 , 32PESOSD 3120sin22 2 1 ACD S三角形 2 1 2 3 3 3 1 ACDPPCDA VV 三棱锥三棱锥 12 分 20（1）依题意3,100xy， 55 2 11 1420,55 iii ii x yx 5 1 5 22 1 5 14205 3 100 8 555 9 5 ii i i i x yx y b xx ，
15、 124aybx y关于x的线性回归方程为：8124yx . 5 分 （2）由（1）得：当6x 时，76y . 807645 故 6 月份该十字路口“礼让斑马线”情况达到“理想状态”. 7 分 （3） 设 3 月份选取的 4 位驾驶员的分别记为：1 234 ,a a a a， 从 4 月份选取的 2 位驾驶员的分别为 12 ,B B 从这 6 人中任抽两人包含以下基本事件： 12 ,a a、 13 ,a a、 14 ,a a、 11 ,a B、 12 ,a B、 23 ,a a、 24 ,a a， 21 ,a B、 22 ,a B、 34 ,a a、 31 ,a B、 32 ,a B、 41
16、,a B、 42 ,a B、 12 ,B B共 15 个基本事件，其中两个恰好来自同一月份的包含 7 个基本事件， 所求概率 7 15 p . 12 分 21 （1）解： （1）由题得， 2 1 ln0 2 f xxxx，所以 1 0fxx x x . 令 0,fx 得1x . - 8 - 由 0,fx 得01x，所以 f x的单调递增区间为0,1， 由 0,fx 得1x ，所以 f x的单调递减区间1,. 所以函数 1 =1 2 f xf 极大值 ，无极小值. 4 分 （2）法一：令 2 1 1ln11 2 G xF xmxxmxm x， 所以 2 111 1 mxm x G xmxm xx
17、 . 当0m时，因为0x ，所以 0G x ，所以 G x在0,上是递增函数. 又因为 3 120 2 Gm ，所以关于x的不等式 1G xmx不能恒成立. 当0m 时， 2 1 1 11 m xx mxm x m G x xx . 令 0G x ,得 1 x m ， 所以当 1 0,x m 时， 0G x ；当 1 ,x m 时， 0G x ， 因此函数 G x在 1 0,x m 上是增函数，在 1 ,x m 上是减函数. 故函数 G x的最大值为 11 ln 2 Gm mm . 令 1 ln 2 h mm m ， 因为 1 10 2 h， 1 2ln20 4 h， 又因为 h m在0,m上
18、是减函数， 所以当2m时， 0h m ， 所以整数m的最小值为 2. 12 分 法二：由 1F xmx恒成立，知 2 2 ln1 0 2 xx mx xx 恒成立. 令 2 2 ln1 0 2 xx h xx xx ，则 2 2 21 2ln 2 xxx h x xx . 令 2lnxxx， - 9 - 因为 11 ln40 22 ， 110 ，且 x为增函数. 故存在 0 1 ,1 2 x ，使 0 0x，即 00 2ln0xx. 当 0 0xx时， 0h x ， h x为增函数，当 0 xx时， 0h x ， h x为减函数， 所以 00 0 2max 000 2ln221 2 xx h
19、xh x xxx .而 0 1 ,1 2 x ，所以 0 1 1,2 x ， 所以整数m的最小值为 2. 12 分 22 解： （）由cos4得cos4 2 . sin,cos, 222 yxyx 曲线 C 的直角坐标方程为4204 2 2 22 yxxyx即. 5 分 （）将 sin cos1 ty tx 代入圆的方程化简得03cos2 2 tt. 设 A,B 两点对应的参数分别为 21,t t，则 3 cos2 21 21 t t tt . 1512cos44 2 21 2 2121 t tttttAB 2 3 cos, 3cos4 2 则 ，0 6 5 6 或. 10 分 23. 解： （1）依题意，得 1 (2)3,(1) ( )+1 (2)21( 1,3),( 12) ( +1)(2)3,(2) xxx f xxxxx xxx 所以3t，此时), 2 x5 分 （2）由 2 1 0211222 222 bbabatba， 所以 4 1 2)2(242 2222 bbbba10 分 （其他证法酌情给分)
