2017-2018学年广东省广州市荔湾区高一（上）期末数学试卷（含详细解答）

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1、一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1（5分）已知集合MxZ|x（x3）0，Nx|lnx1，则MN（）A1，2B2，3C0，1，2D1，2，32（5分）直线3x+y+10的倾斜角是（）A30B60C120D1503（5分）计算其结果是（）A1B1C3D34（5分）已知四面体ABCD中，E，F分别是AC，BD的中点，若AB6，CD8，EF5，则AB与CD所成角的度数为（）A30B45C60D905（5分）直线在y轴上的截距是（）A|b|Bb2Cb2Db6（5分）已知，是两个不同的平面，给出下列四个条件：存在一条直线a，使得a，

2、a；存在两条平行直线a，b，使得a，a，b，b；存在两条异面直线a，b，使得a，b，a，b；存在一个平面，使得，其中可以推出的条件个数是（）A1B2C3D47（5分）已知梯形ABCD是直角梯形，按照斜二测画法画出它的直观图ABCD（如图所示），其中AD2，BC4，AB1，则直角梯形DC边的长度是（）'ABCD8（5分）经过点（2，1）的直线l到A（1，1），B（3，5）两点的距离相等，则直线l的方程为（）A2xy30Bx2C2xy30或x2D都不对9（5分）（理）已知函数的图象与函数ylogax（a0且a1）的图象交于点P（x0，y0），如果x02，那么a的取值范围是（）A2，+）B4

3、，+）C8，+）D16，+）10（5分）在矩形ABCD中，AB4，BC3，沿AC将矩形ABCD折成一个直二面角BACD，则四面体ABCD的外接球的体积为（）ABCD11（5分）若关于x的方程在区间（0，1）上有解，则实数m的取值范围是（）A（0，1）B（1，2）C（，1）（2，+）D（，0）（1，+）12（5分）已知棱长为的正方体ABCDA1B1C1D1内部有一圆柱，此圆柱恰好以直线AC1为轴，则该圆柱侧面积的最大值为（）ABCD二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13（5分）直线2x+（1a）y+20与直线ax3y20平行，则a   14（5分）如图所示的正四棱台

4、的上底面边长为2，下底面边长为8，高为3，则它的侧棱长为   15（5分）如图，网格纸上正方形小格的边长为1，图中粗线画出的是某三棱锥的三视图，则该三棱锥的体积为   16（5分）已知函数f（x），若存在实数k使得函数f（x）的值域为0，2，则实数a的取值范围是   三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17（10分）已知直线l的方程为2xy+10（）求过点A（3，2），且与l垂直的直线的方程；（）求与l平行，且到点P（3，0）的距离为的直线的方程18（12分）已知函数（1）讨论并证明函数f（x）在区间（0，+）的单调性；

5、（2）若对任意的x1，+），f（mx）+mf（x）0恒成立，求实数m的取值范围19（12分）如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，三角形ABC为等腰直角三角形，ACBC，AA11，点D是AB的中点（1）求证：AC1平面CDB1；（2）二面角B1CDB的平面角的大小20（12分）如图，已知多面体PABCDE的底面ABCD是边长为2的菱形，PA底面ABCD，EDPA，且PA2ED2（1）证明：平面PAC平面PCE；（2）若直线PC与平面ABCD所成的角为45，求直线CD与平面PCE所成角的正弦值21（12分）如图，甲、乙是边长为4a的两块正方形钢板，现要将甲裁剪焊接成一个正四棱柱，将乙裁剪焊接成一

6、个正四棱锥，使它们的全面积都等于一个正方形的面积（不计焊接缝的面积）（1）将你的裁剪方法用虚线标示在图中，并作简要说明；（2）试比较你所制作的正四棱柱与正四棱锥体积的大小，并证明你的结论22（12分）已知二次函数f（x）满足：f（0）f（4）4，且该函数的最小值为1（1）求此二次函数f（x）的解析式；（2）若函数f（x）的定义域为Am，n（其中0mn）问是否存在这样的两个实数m，n，使得函数f（x）的值域也为A？若存在，求出m，n的值；若不存在，请说明理由（3）若对于任意的x10，3，总存在x21，2使得，求a的取值范围2017-2018学年广东省实验中学高一（上）期末数学试卷参考答案与试题解

7、析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1（5分）已知集合MxZ|x（x3）0，Nx|lnx1，则MN（）A1，2B2，3C0，1，2D1，2，3【分析】解不等式化简集合M、N，根据交集的定义写出MN【解答】解：集合MxZ|x（x3）0xZ|0x30，1，2，3，Nx|lnx1x|0xe，则MN1，2故选：A【点评】本题考查了解不等式与集合的运算问题，是基础题目2（5分）直线3x+y+10的倾斜角是（）A30B60C120D150【分析】求出直线的斜率，然后求解直线的倾斜角【解答】解：直线3x+y+10的斜率为：，直线的倾斜角

8、为：，tan，可得120故选：C【点评】本题考查直线的斜率与倾斜角的关系，考查计算能力3（5分）计算其结果是（）A1B1C3D3【分析】根据对数的运算法则和指数幂的运算性质计算即可【解答】解：原式+lg5+|lg21|+lg5lg1+11，故选：B【点评】本题考查了对数的运算法则和指数幂的运算性质，属于基础题4（5分）已知四面体ABCD中，E，F分别是AC，BD的中点，若AB6，CD8，EF5，则AB与CD所成角的度数为（）A30B45C60D90【分析】取BC的中点P，连接PF，PE，则PFCD，PEAB，则FPE是AB与CD所成的角，在三角形FPE中求出此角即可【解答】解：如图取BC的中点

9、P，连接PF，PE，则PFCD，PEAB，FPE（或补角）是AB与CD所成的角，AB6，CD8，PF4，PE3，而EF5FPE90，故选：D【点评】本小题主要考查异面直线所成的角，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力，属于基础题5（5分）直线在y轴上的截距是（）A|b|Bb2Cb2Db【分析】要求直线与y轴的截距，方法是令x0求出y的值即可【解答】解：令x0，得：1，解得yb2故选：B【点评】此题比较容易，是一道基础题学生只需知道截距的定义就可求出6（5分）已知，是两个不同的平面，给出下列四个条件：存在一条直线a，使得a，a；存在两条平行直线a，b，使得a，a，b，b；存在两条异面直线a，

10、b，使得a，b，a，b；存在一个平面，使得，其中可以推出的条件个数是（）A1B2C3D4【分析】根据垂直于同一直线的两平面平行，判断是否正确；利用线线平行，线面平行，面面平行的转化关系，判断是否正确；借助图象，分别过两平行线中一条的二平面位置关系部确定，判断的正确性；根据垂直于同一平面的两平面位置关系部确定来判断是否正确【解答】解：当、不平行时，不存在直线a与、都垂直，a，a，故正确；对，ab，a，b，a，b时，、位置关系不确定不正确；对，异面直线a，ba过上一点作cb；过b上一点作da，则 a与c相交；b与d相交，根据线线平行线面平行面面平行，正确对，、可以相交也可以平行，不正确故选：B【点

11、评】本题考查面面平行的判定通常利用线线、线面、面面平行关系的转化判定7（5分）已知梯形ABCD是直角梯形，按照斜二测画法画出它的直观图ABCD（如图所示），其中AD2，BC4，AB1，则直角梯形DC边的长度是（）'ABCD【分析】由已知直角梯形ABCD中，ABBC，ADAD2，BCBC4，AB2AB2，由此能求出直角梯形DC边的长度【解答】解：由已知作出梯形ABCD是直角梯形，如右图：按照斜二测画法画出它的直观图ABCD，AD2，BC4，AB1，直角梯形ABCD中，ABBC，ADAD2，BCBC4，AB2AB2，过D作DEBC，交BC于E，则DEAB2，ECBCAD422，直角梯形DC

12、边的长度为：2故选：B【点评】本题考查直角梯形中斜边长的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意斜二测画法的合理运用8（5分）经过点（2，1）的直线l到A（1，1），B（3，5）两点的距离相等，则直线l的方程为（）A2xy30Bx2C2xy30或x2D都不对【分析】分两种情况考虑，当直线l的斜率不存在时，得到直线x2显然满足题意；当直线l的斜率存在时，设出直线l的斜率为k，根据已知点的坐标表示出直线l的方程，然后利用点到直线的距离公式表示出A到直线l的距离和B到直线l的距离，让两距离相等即可得到关于k的方程，求出方程的解即可得到k的值，写出直线l的方程即可，综上，得到所有满足题意的直线l的方程【

13、解答】解：当直线l的斜率不存在时，直线x2显然满足题意；当直线l的斜率垂存在时，设直线l的斜率为k，则直线l为y1k（x2），即kxy+12k0，由A到直线l的距离等于B到直线l的距离得：，化简得：kk4或kk4（无解），解得k2，所以直线l的方程为2xy30，综上，直线l的方程为2xy30或x2故选：C【点评】此题考查学生灵活运用点到直线的距离公式化简求值，是一道基础题学生做题是容易把斜率不存在的情况遗漏，做题时应注意这点9（5分）（理）已知函数的图象与函数ylogax（a0且a1）的图象交于点P（x0，y0），如果x02，那么a的取值范围是（）A2，+）B4，+）C8，+）D16，+）【分

14、析】由已知中函数的图象与函数ylogax（a0且a1）的图象交于点P（x0，y0），如果x02，我们根据指数不等式的性质，求出y0的范围，进而结合点P（x0，y0）也在函数ylogax的图象上，再由对数函数的性质，构造关于a的不等式，解不等式即可得到答案【解答】解：由已知中函数的图象与函数ylogax（a0且a1）的图象交于点P（x0，y0），由指数函数的性质，若x02则0y0即0logax0由于x02故a1且x02故a16即a的取值范围为16，+）故选：D【点评】本题考查的知识点是指数函数的图象与性质，对数函数的图象与性质，其中根据指数函数的性质求出y0的范围，及由对数函数的性质，构造关于a

15、的不等式，都是解答本题的关键10（5分）在矩形ABCD中，AB4，BC3，沿AC将矩形ABCD折成一个直二面角BACD，则四面体ABCD的外接球的体积为（）ABCD【分析】球心到球面各点的距离相等，即可知道外接球的半径，就可以求出其体积了【解答】解：由题意知，球心到四个顶点的距离相等，所以球心在对角线AC上，且其半径为AC长度的一半，则V球（）3故选：C【点评】本题考查学生的思维意识，对球的结构和性质的运用，是基础题11（5分）若关于x的方程在区间（0，1）上有解，则实数m的取值范围是（）A（0，1）B（1，2）C（，1）（2，+）D（，0）（1，+）【分析】此题考查的是函数最值得问题在解答时

16、应先将函数在区间（0，1）上的值域求出，即可得到关于m的不等关系，从而问题即可获得解答【解答】解：由题意：函数在区间（0，1）上的值域为（0，+），所以，实数m的取值范围是（0，1）故选：A【点评】此题考查的是函数最值得问题在解答的过程当中充分体现了函数与方程的思想、问题转化的思想以及函数的性质和解不等式的方法值得同学们体会反思12（5分）已知棱长为的正方体ABCDA1B1C1D1内部有一圆柱，此圆柱恰好以直线AC1为轴，则该圆柱侧面积的最大值为（）ABCD【分析】由题知，只需考虑圆柱的底面与正方体的表面相切的情况，即可得出结论【解答】解：由题知，只需考虑圆柱的底面与正方体的表面相切的情况，由

17、图形的对称性可知，圆柱的上底面必与过A点的三个面相切，且切点分别在线段AB1，AC，AD1上，设线段AB1上的切点为E，AC1面A1BDO2，圆柱上底面的圆心为O1，半径即为O1E记为r，则，由O1EO2F知，则圆柱的高为，故选：A【点评】本题考查圆柱侧面积的最大值，考查旋转体，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13（5分）直线2x+（1a）y+20与直线ax3y20平行，则a3【分析】利用直线平行的性质直接求解【解答】解：直线2x+（1a）y+20与直线ax3y20平行，解得a3故答案为：3【点评】本题考查实数值的求法，考查直线与直线

18、平行的性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题14（5分）如图所示的正四棱台的上底面边长为2，下底面边长为8，高为3，则它的侧棱长为6【分析】连结OA，OA，过A作AEOA，交OA于点E，分别求出AE，AE，由此能求出它的侧棱长【解答】解：连结OA，OA，过A作AEOA，交OA于点E，正四棱台的上底面边长为2，下底面边长为8，高为3，AE3，AE3，它的侧棱长AA6故答案为：6【点评】本题考查正四棱台的侧棱长的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意正四棱台的性质的合理运用15（5分）如图，网格纸上正方形小格的边长为1，图中粗线画出的是某三棱锥的三视图，则该三棱锥的体积为【

19、分析】由三视图还原原几何体，可知该几何体为三棱锥ABCD，其中底面三角形BCD为等腰直角三角形，BCCD1，三棱锥的高为1，再由棱锥体积公式求解【解答】解：由三视图还原原几何体如图，该几何体为三棱锥ABCD，其中底面三角形BCD为等腰直角三角形，BCCD1，三棱锥的高为1该三棱锥的体积为V故答案为：【点评】本题考查由三视图求面积、体积，关键是由三视图还原原几何体，是中档题16（5分）已知函数f（x），若存在实数k使得函数f（x）的值域为0，2，则实数a的取值范围是1，2【分析】当1xk时，函数f（x）log2（1x）+1为减函数，且在区间左端点处有f（1）2，当kxa时，f（x）在k，1，a上

20、单调递增，在，1上单调递减从而当x1时，函数有最小值，即为f（1）0，函数在右端点的函数值为f（2）2，结合图象即可求出a的取值范围【解答】解：当1xk时，函数f（x）log2（1x）+1为减函数，且在区间左端点处有f（1）2，令f（x）0，解得x，令f（x）x|x1|2，解得x2，f（x）的值域为0，2，k，当kxa时，f（x）x|x1|，f（x）在k，1，a上单调递增，在，1上单调递减，从而当x1时，函数有最小值，即为f（1）0函数在右端点的函数值为f（2）2，f（x）的值域为0，2，1a2故答案为：1，2【点评】本题考查分段函数的问题，根据函数的单调性求出函数的值域是关键，属于中档题三、

21、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17（10分）已知直线l的方程为2xy+10（）求过点A（3，2），且与l垂直的直线的方程；（）求与l平行，且到点P（3，0）的距离为的直线的方程【分析】（）设与直线l：2xy+10垂直的直线l1的方程为：x+2y+m0，把点A（3，2）代入解得m即可；（）设与直线l：2xy+10平行的直线l2的方程为：2xy+c0，由于点P（3，0）到直线l2的距离为可得，解得c即可得出【解答】解：（）设与直线l：2xy+10垂直的直线l1的方程为：x+2y+m0，把点A（3，2）代入可得，3+22+m0，解得m7过点A（3，2），

22、且与直线l垂直的直线l1方程为：x+2y70；（）设与直线l：2xy+10平行的直线l2的方程为：2xy+c0，点P（3，0）到直线l2的距离为，解得c1或11直线l2方程为：2xy10或2xy110【点评】本题考查了相互平行与垂直的直线斜率之间的关系、点到直线的距离公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题18（12分）已知函数（1）讨论并证明函数f（x）在区间（0，+）的单调性；（2）若对任意的x1，+），f（mx）+mf（x）0恒成立，求实数m的取值范围【分析】（1）利用单调性的定义，根据步骤：取值，作差，变形，定号下结论，即可得到结论；（2）原不等式等价于2mx0对任意的x1，+）恒成

23、立，等价于2mx2m0对任意的x1，+）恒成立，从而可得m0，且2mm0，进而可求实数m的取值范围【解答】解：（1）函数f（x）在（0，+）上单调增证明：任取0x1x2，则f（x1）f（x2）（x1）（x2）（x1x2）（1+），0x1x2，x1x20，x1x20（x1x2）（1+）0f（x1）f（x2），所以函数f（x）在（0，+）上单调增；（2）原不等式等价于2mx0对任意的x1，+）恒成立，整理得，2mx2m0对任意的x1，+）恒成立若m0，则左边对应的函数，开口向上，故x1，+）时，必有大于0的函数值，m0，且2mm0，m0，且 0，m1【点评】本题重点考查函数的单调性，考查函数恒成立

24、问题，依据单调性的定义，正确转化是解题的关键19（12分）如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，三角形ABC为等腰直角三角形，ACBC，AA11，点D是AB的中点（1）求证：AC1平面CDB1；（2）二面角B1CDB的平面角的大小【分析】（1）设BC1B1CE，连接ED，则EDAC，由此能证明AC1平面CDB1 （2）推导出CDAB，BB1CD，从而CD平面ABB1A1，进而CDB1D，CDAB，B1DB为二面角B1CDB的平面角，由此能求出二面角B1CDB的平面角的大小【解答】（本小题10分）证明：（1）在直三棱柱ABCA1B1C1中，设BC1B1CE，则E为BC1的中点，连接EDD为AB的

25、中点，EDAC.（3分）又ED平面CDB1，AC1平面CDB1，AC1平面CDB1   （5分）解：（2）ABC中，ACBC，D为AB中点，CDAB，又BB1平面ABC，CD平面ABC，BB1CD，又ABBB1B，CD平面ABB1A1，（7分）B1D平面ABB1A1，AB平面ABB1A1CDB1D，CDAB，B1DB为二面角B1CDB的平面角（8分）三角形ABC中，AB2，BD1，在RtB1BD中，B1BD45，二面角B1CDB的平面角的大小为45（10分）【点评】本题考查线面平行的证明，考查二面角的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养20（12分）如图，已知多面

26、体PABCDE的底面ABCD是边长为2的菱形，PA底面ABCD，EDPA，且PA2ED2（1）证明：平面PAC平面PCE；（2）若直线PC与平面ABCD所成的角为45，求直线CD与平面PCE所成角的正弦值【分析】（1）连接BD，交AC于点O，设PC中点为F，连接OF，EF证明ODEF，即BDEF，推出PABD，BDAC得到BD平面PAC，EF平面PAC，然后证明平面PAC平面PCE（2）设CD的中点为M，连接AM，则AMCD，设点D到平面PCE的距离为h1，点P到平面CDE的距离为h2，通过VDPCEVPCDE，转化推出点P到平面CDE的距离与点A到平面CDE的距离相等，然后利用三角形的面积求

27、解CD与平面PCE所成角的正弦值【解答】（1）证明：连接BD，交AC于点O，设PC中点为F，连接OF，EFO，F分别为AC，PC的中点，OFPA，且，DEPA，且，OFDE，且OFDE，四边形OFED为平行四边形，ODEF，即BDEF，PA平面ABCD，BD平面ABCD，PABD，ABCD是菱形，BDACPAACA，BD平面PAC，BDEF，EF平面PAC，FE平面PCE，平面PAC平面PCE（2）因为直线PC与平面ABCD所成角为45，所以PCA45，所以ACPA2，所以ACAB，故ABC为等边三角形，设CD的中点为M，连接AM，则AMCD，设点D到平面PCE的距离为h1，点P到平面CDE的

28、距离为h2，则由VDPCEVPCDE，得（*）因为ED面ABCD，AM面ABCD，所以EDAM，又AMCD，CDDED，AM面CDE；因为PADE，PA平面CDE，DE面CDE，所以PA面CDE，所以点P到平面CDE的距离与点A到平面CDE的距离相等，即，因为，所以，又SCDE1，代入（*）得，所以，所以CD与平面PCE所成角的正弦值为【点评】本题考查直线与平面垂直的判断定理以及性质定理的应用，直线与平面所成角的求法，等体积法的应用，考查空间想象能力以及计算能力21（12分）如图，甲、乙是边长为4a的两块正方形钢板，现要将甲裁剪焊接成一个正四棱柱，将乙裁剪焊接成一个正四棱锥，使它们的全面积都等

29、于一个正方形的面积（不计焊接缝的面积）（1）将你的裁剪方法用虚线标示在图中，并作简要说明；（2）试比较你所制作的正四棱柱与正四棱锥体积的大小，并证明你的结论【分析】（1）由题意分别把两个正方形剪开如图所示，得到一个正四棱住与一个正四棱锥；（2）分别求出正四棱柱与正四棱锥体积，作差比较大小【解答】解：（1）将正方形甲按图中虚线剪开，以两个正方形为底面，四个长方形为侧面，焊接成一个底面边长为2a，高为a的正四棱柱将正方形乙按图中虚线剪开，以两个长方形焊接成边长为2a的正方形为底面，三个等腰三角形为侧面，两个直角三角形合拼成为一侧面，焊接成一个底面板长为2a，斜高为3a的正四棱锥（2）正四棱柱的底面

30、边长为2a，高为a，其体积，又正四棱锥的底面边长为2a，高为，其体积，即，V1V2，故所制作的正四棱柱的体积比正四棱锥的体积大【点评】本题考查棱柱、棱锥及棱台的体积，考查空间想象能力与思维能力，是中档题22（12分）已知二次函数f（x）满足：f（0）f（4）4，且该函数的最小值为1（1）求此二次函数f（x）的解析式；（2）若函数f（x）的定义域为Am，n（其中0mn）问是否存在这样的两个实数m，n，使得函数f（x）的值域也为A？若存在，求出m，n的值；若不存在，请说明理由（3）若对于任意的x10，3，总存在x21，2使得，求a的取值范围【分析】（1）设f（x）a（x2）2+1，由f（0）4，求

31、出a值，可得二次函数f（x）的解析式；（2）分当mn2时，当m2n时，当2mn时，三种情况讨论，可得存在满足条件的m，n，其中m1，n4（3）若对于任意的x10，3，总存在x21，2使得，即，进而得到答案【解答】解：（1）依题意，可设f（x）a（x2）2+1，因f（0）4，代入得，所以（2）假设存在这样的m，n，分类讨论如下：当mn2时，依题意，即两式相减，整理得，代入进一步得，产生矛盾，故舍去；当m2n时，依题意mf（2）1若n3，f（n）n，解得若2n3，产生矛盾，故舍去当2mn时，依题意，即解得产生矛盾，故舍去；综上：存在满足条件的m，n，其中m1，n4（3）依题意：，由（1）可知，f（x1）max4，x10，3即在1，2上有解；整理得：有解又，当x2时，有ymin2；依题意：a2【点评】本题考查的知识点是二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质，是解答的关键