1、 第 1 页 遂 宁 市 高 中 2020 届 零 诊 考 试 数学（文科）试题 本试卷分第 I 卷（选择题）和第 II 卷（非选择题）两部分。总分 150 分。考试时间 120 分钟。 第卷（选择题，满分 60 分） 注意事项： 1答题前，考生务必将自己的姓名、班级、考号用 0.5 毫米的黑色墨水签字笔填写在答题卡上。并检查条形码粘贴是否正确。 2选择题使用 2B 铅笔填涂在答题卡对应题目标号的位置上，非选择题用 0.5 毫米黑色墨水签字笔书写在答题卡对应框内，超出答题区域 书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 3考试结束后，将答题卡收回。 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题
2、5 分，共 60 分。在每个小题给出的四个选项中，只有一个是符合 题目要求的。 1设集合2, 0 A， 2 , 0 , 1B，则BA A 0 B 1,2 C 2,0 D2, 1,0,2 2复数 ai)1 ( 是实数，其中i为虚数单位，则实数a等于 A 1 B1 C 0 D2 3 )240cos( A 1 2 B 1 2 C 3 2 D 3 2 4在等差数列 n a 中，0 2 a，4d，则 5 a A 25 B 12 C 16 D 8 第 2 页 5函数 的图象大致为 A B C D 6. 在等比数列 n a 中，公比为q，且1， 3 q，5成等差数列，则 31 64 4 logaa aa A
3、 5 1 B 4 1 C 3 1 D 2 1 7若正数m，n，满足2 1mn，则 nm2 1 2 1 的最小值为 A 21 B2 2 3 C 22 D 2 3 8宋元时期，中国数学鼎盛时期中杰出的数学家有“秦九韶、李冶、杨辉、朱世杰四大 家”，朱世杰就是其中之一。朱世杰是一位平民数学家和数学教育家。朱世 杰平生勤力研习九章算术 ，旁通其它各种算法，成为元代著名数学家。 他全面继承了前人数学成果， 既吸收了北方的天元术， 又吸收了南方的正负 开方术、各种日用算法及通俗歌诀，在此基础上进行了创造性的研究，写成 以总结和普及当时各种数学知识为宗旨的 算学启蒙 ， 其中有关于“松竹并 生”的问题：松长
4、四尺，竹长两尺，松日自半，竹日自倍，松竹何日而长等。 如图，是源于其思想的一个程序框图。若输入的a，b分别为3，1，则输 第 3 页 出的 n A2 B3 C4 D5 9如图所示，函数 ( )sin(2)()f xx 的图象过点 ,0 6 ，若将 fx的图象上所有点向右 平移 6 个单位长度，然后再向上平移1个单位长度，所得图象对应的函数为 )(xg ，则 )0(g A 2 3 1 B 2 3 1 C 2 3 1 或 2 3 1 D 2 3 10若函数x m xf x x tan 12 2 )( 的定义域为 1,1 ，且 0)0(f ，则满足 ) 1() 12(mxfxf 的 实数x的取值范围
5、是 A 1 , 0 B1,0 C 1,2 D0,1 11如图，在ABC中， ACAD 8 5 ， PDBP 5 2 ，若APABAC ， 则 的值为 A 11 12 B 28 25 C 4 1 D 14 13 12已知 f x是定义在),(上，且满足0)()(xfxf的函数，当0x 时， lnf xxx若 函数 g xf xa有 2 个不同的零点，则实数a的取值范围是 第 4 页 A, 11, B1,1 C , 11, D1,1 第卷（非选择题，满分 90 分） 注意事项： 1请用蓝黑钢笔或圆珠笔在第卷答题卡上作答，不能答在此试卷上。 2试卷中横线及框内注有“”的地方，是需要你在第卷答题卡上作
6、答。 本卷包括必考题和选考题两部分。第 13 题至第 21 题为必考题，每个试题考生都作答；第 22、23 题为 选考题，考生根据要求作答。 二、填空题：本大题共 4 个小题，每小题 5 分，共 20 分。 13已知向量) 1, 2( a，向量)2 , 1 (b ，则 ba 14已知函数 fx的导函数为( )fx ，且满足关系式 ( )3(2)lnf xxfx ，则 ) 1 (f 的值等于 15已知ABC的内角 , , CA B 的对边分别为a,b,c，且 sinsin2 sinsinaA bBbAcC，则角C 16对于函数 )(xf ，若在定义域内存在实数 0 x满足)()( 00 xfxf
7、 ，则称函数 )(xf 为“倒戈函数”。 设123)(mxf x ,(Rm 且 )0m 是定义在1 , 1上的“倒戈函数”，则实数m的取值范围是 第 5 页 三、解答题：本大题共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17 （本小题满分 12 分） 已知函数)6(log 1 )( 2 2 xx x x xf （1）求) 1 (f的值； （2）求函数 fx的定义域M； 若实数aM，且Ma ) 1(，求a的取值范围 18. （本小题满分 12 分） 已知等比数列 n a 的前n项和为 n S，且 342 2aaa ，22 22 aS 。 （1）求等比数列 n a 的通项公式； （2）
8、若数列 n a 为递增数列，数列 n b 是等差数列，且2 2 b，4 4 b；数列 12 1 log nn ba 的前n 项和为 n T，求 n T 19 （本小题满分 12 分） 设函数bxaxxxf 23 )(，且2) 1 (f，2)2(f。 （1）求函数)(xf的单调递增区间和单调递减区间； （2）若过点)2)(, 1 (mmM可作曲线( )yf x的三条切线，求实数m的取值范围. 第 6 页 20 （本小题满分 12 分） 已知向量)sin63,(sinxxa，向量 (2cos, 2sin1)bxx，10，函数baxf)(，直线 6 5 x是函数)(xf图象的一条对称 轴。 （1）求
9、函数 )(xf 的解析式及单调递增区间； （2）设ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且3c ， sin2sinBA，锐角C满 足2) 4 (Cf ，求 22 ab 的值. 21 （本小题满分 12 分） 已知函数1 2 1 sin)( 2 xxexf x （1）求曲线)(xfy 在点)0(, 0(f处的切线方程； （2）若函数1sin)()(ln)(xexfxxaxg x 有两个极值点 1 x， 2 x)( 21 xx 。且不等式 )()()( 2121 xxxgxg恒成立，求实数的取值范围. 请考生在第 22、23 两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分。 22 （本
10、小题满分 10 分）选修 44：坐标系与参数方程 在直角坐标系xOy中， 曲线 1 C的参数方程为 sin cos1 y x （为参数） 。 以坐标原点O为极点，x轴 第 7 页 正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 2 C的极坐标方程为1 ，直线l的极坐标方程为)( 4 R . （1）求：曲线 1 C的普通方程；曲线 2 C与直线l交点的直角坐标； （2）设点M的极坐标为) 3 , 6( ，点N是曲线 1 C上的点，求MON面积的最大值. 23 （本小题满分 10 分）选修 45：不等式选讲 已知函数2)( xxf （1）解不等式：) 1(4)(xfxf； （2）若函数( )3(4)g xxx与函
11、数)2(2)(xfxfmy的图象恒有公共点，求实数m的 取值范围 遂 宁 市 高 中 2020 届 零 诊 考 试 数学（文科）试题参考答案及评分意 见 一、选择题： 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 D C B B A D B C A D B A 二、填空题： 13. 0 0 14. 4 3 15. 3 4 16 1 ,0) 3 三、解答题： 17 （1）因为)6(log 1 )( 2 2 xx x x xf ，所以2 2 2 4log 11 1 ) 1 ( 2 f，即) 1 (f的值为 2 2 2 4 分 （2）由题意有 06 01 2 xx x 21 23
12、 1 x x x ，所以)2 , 1(M 8 分 由可有11 12 21 211 21 a a a a a ， 即a的取值范围是1 , 1 12 分 第 8 页 18 （1）等比数列 n a 中， 342 2aaa ，则 2 20qq ，所以 2q= 或 1 2 分 因为 22 22Sa ，所以 122 22aaa ，所以2 11 qaa 当 2q= 时， 1 2a ，此时2n n a ； 4 分 当 1q 时，1 1 a，此时 n n a) 1(。 6 分 （2）因为数列 n a 为递增数列，所以2n n a ，数列 n b 是等差数列，且2 2 b，4 4 b，设公差为 d， 则有2242
13、 24 dbb，所以1d， 所以nndnbbn1)2(2)2( 2 ，即nbn， 8 分 所以 1 11 ) 1( 1 log 1 21 nnnnb n a n 所以) 1 11 () 1 1 1 () 4 1 3 1 () 3 1 2 1 () 2 1 1 ( nnnn Tn 11 1 1 n n n ， 即 n T 1 n n 12 分 19 （1）因为2) 1 (f，0) 3(f，所以 3 0 2248 21 b a ba ba ， 2 分 故xxxf3)( 3 ，则) 1)(1( 3)( / xxxf， 3 分 由10)( / xxf或1x；由110)( / xxf，5 分 所以)(x
14、f的单调递增区间为1,，, 1；单调递减区间为1 , 1。6 分 （2）过点), 1 ( mM向曲线)(xfy 作切线，设切点为),( 00 yx，则由（1）知 0 3 00 3xxy， 33)( 2 00 / xxfk切，则切线方程为)(33()3( 0 2 00 3 0 xxxxxy，把点), 1 ( mM代入整理得 )(0332 2 0 3 0 mxx， 8 分 因为过点)2)(, 1 (mmM可作曲线( )yf x的三条切线，所以方程 有三个不同的实数根。 设 x (,0) 0 (0,1) 1 (1,) 第 9 页 322 ( )233,( )666 (1)g xxxmg xxxx x
15、 ;令( )0,0g xx或1x . 则,( ), ( )x g x g x的变 化情况如下表 ： 当0, ( )xg x有极大值3;1, ( )mxg x有极小值2m.由( )g x的简图知， 当且仅当 (0)0, (1)0 g g 即 23 02 03 m m m ， 函数( )g x有三个不同零点， 过点M可作三条不同切线。 所以若过点), 1 ( mM 可作曲线( )yf x的三条不同切线，则m的取值范围是( 3, 2). 12 分 20 （1） ) 3 2sin(22cos32sin)( xxxbaxf 2 分 直线 6 5 x是函数)(xf图象的一条对称轴， 236 5 2 k，Z
16、k ， 2 1 5 3 k ，Zk ， ) 1 , 0(， 2 1 , 0k，) 3 sin(2)( xxf. 4 分 由 2 2 32 2 kxk，得 6 5 2 6 2 kxk，Zk 单调递增区间为 6 5 2 , 6 2 kk，Zk 6 分 （2）由2) 4 (Cf ，得2) 34 sin(2 C，即 2 2 ) 12 sin( C，因为C为锐角，所以 12 5 1212 C，所以 412 C，即 3 C ， 8 分 又sin2sinBA，所以由正弦定理得2 b a . 9 分 由余弦定理，得 222 2cos 3 cabab，即 22 3abab. 10 分 由解得3 22 ab 12
17、 分 21 （1）因为1 2 1 sin)( 2 xxexf x ，所以xxexexf xx cossin)( / ， 1 分 所以1)0( / fk切，又1)0(f，故所求的切线方程为)0(11xy，即01 yx 4 分 （2）因为1sin)()(ln)(xexfxxaxg x2 2 1 )(lnxxxa 所以)0()( 2 / x x aaxx xg， 5 分 ( )g x 0 0 ( )g x 极大 极小 第 10 页 由题意0)( / xg有两个不同的正根，即0 2 aaxx有两个不同的正根， 则4 0 0 04 21 21 2 a axx axx aa ， 7 分 不等式)()()(
18、 2121 xxxgxg恒成立等价于 a xgxg xx xgxg)()()()( 21 21 21 恒成立 又 2 222 2 11121 2 1 )(ln 2 1 )(ln)()(xxxaxxxaxgxg )( 2 1 )()ln(ln 2 2 2 12121 xxxxaxxa 2)( 2 1 )(ln 21 2 212121 xxxxxxaxxa )2( 2 1 ln 22 aaaaa aaaa 2 2 1 ln所以1 2 1 ln )()( 21 21 aa xx xgxg ， 10 分 令1 2 1 lnaay（4a） ，则0 2 11 / a y， 所以1 2 1 lnaay在),
19、 4( 上单调递减， 11 分 所以32ln2y，所以32ln2 12 分 22 （ （本小题满分 10 分） （1）因为 sin cos1 y x ，又1cossin 22 ，所以1) 1( 22 yx， 即曲线 1 C的普通方程为1) 1( 22 yx； 2 分 由 222 yx 得曲线 2 C的直角坐标方程为1 22 yx，又直线l的直角坐标方程为 0 yx ， 所以 2 2 2 2 0 1 1 1 22 y x yx yx 或 2 2 2 2 2 2 y x ， 所以曲线 2 C与直线l的交点的直角 坐标为) 2 2 , 2 2 (和) 2 2 , 2 2 ( 5 分 （2）设 ),(
20、N ,又由曲线 1 C的普通方程为1) 1( 22 yx得其极坐标方程=2cos.MON的面 积 第 11 页 ) 3 sin(cos6) 3 sin(6 2 1 sin 2 1 MONONOMS 2 33 ) 6 2cos(3 2 33 )2 3 sin(3 8 分 所以当 23 12 时， 2 33 3)( max MON S。 10 分 23. （本小题满分（本小题满分 10 分）分） （1）由) 1(4)(xfxf得142xx， 即 2 432 x x 或 21 41 x 或 1 423 x x 。 解得 2 7 2 x或21 x或1 2 1 x，即 2 7 2 1 x， 所以原不等式的解集为 2 7 2 1 |xx 5 分 （2）因为函数)4(3)(xxxg在, 4单调递增，所以1)4()( min gxg， 因为 )2(2)(xfxfmy 4,103 42 , 6 2,103 xmx xmx xmx ， 在4x处取得最大值2m， 8 分 要使函数)4(3)(xxxg与函数)2(2)(xfxfmy的图象恒有公共点，则须 12 m，即3m，故实数m的取值范围是, 3 10 分
