2.5 向量的应用 学案(含答案)
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1、2.5向量的应用学习目标1.学习用向量方法解决某些简单的平面几何问题及某些物理学中的问题.2.体会向量是一种处理几何及物理问题的有力工具.3.培养运算能力、分析和解决实际问题的能力知识点一几何性质与向量的关系设a(x1,y1),b(x2,y2),a,b的夹角为.用向量解决常见平面几何问题的技巧问题类型所用知识公式表示线平行、点共线等问题共线向量定理ababx1y2x2y10,其中a(x1,y1),b(x2,y2),b0垂直问题数量积的运算性质abab0x1x2y1y20,其中a(x1,y1),b(x2,y2),且a,b为非零向量夹角问题数量积的定义cos (为向量a,b的夹角),其中a,b为非
2、零向量长度问题数量积的定义|a|,其中a(x,y),a为非零向量知识点二向量方法解决平面几何问题的步骤1建立平面几何与向量的联系,用向量表示问题中涉及的几何元素,将平面几何问题转化为向量问题2通过向量运算,研究几何元素之间的关系,如距离、夹角等问题3把运算结果“翻译”成几何关系知识点三物理中的量和向量的关系1物理学中的许多量,如力、速度、加速度、位移都是向量2物理学中的力、速度、加速度、位移的合成与分解就是向量的加法运算与减法运算1功是力F与位移s的数量积()2力的合成与分解体现了向量的加减法运算()3某轮船需横渡长江,船速为v1,水速为v2,要使轮船最快到达江的另一岸,则需保持船头方向与江岸
3、垂直()4求力F1和F2的合力可按照向量加法的平行四边形法则()题型一用平面向量求解平面几何问题例1如图所示,在正方形ABCD中,E,F分别是AB,BC的中点,求证:AFDE.考点平面几何中的向量方法题点向量在平面几何中的应用证明方法一设a,b,则|a|b|,ab0.又a,b,所以ab|a|2|b|20.故,即AFDE.方法二如图所示,建立平面直角坐标系,设正方形的边长为2,则A(0,0),D(0,2),E(1,0),F(2,1),则(2,1),(1,2)因为(2,1)(1,2)220.所以,即AFDE.反思感悟用向量证明平面几何问题的两种基本思路:(1)向量的线性运算法的四个步骤:选取基底用
4、基底表示相关向量利用向量的线性运算或数量积找出相应关系把几何问题向量化(2)向量的坐标运算法的四个步骤:建立适当的平面直角坐标系把相关向量坐标化用向量的坐标运算找出相应关系把几何问题向量化跟踪训练1如图,在正方形ABCD中,P为对角线AC上任一点,PEAB,PFBC,垂足分别为E,F,连结DP,EF,求证:DPEF.证明方法一设正方形ABCD的边长为1,AEa(0a1),则EPAEa,PFEB1a,APa,()()1acos 1801(1a)cos 90aacos 45a(1a)cos 45aa2a(1a)0.,即DPEF.方法二如图,以A为原点,AB,AD所在直线分别为x轴,y轴建立平面直角
5、坐标系设正方形ABCD的边长为1,AP(0),则D(0,1),P,E,F.(,1),(1,)220,即DPEF.题型二向量在物理学中的应用命题角度1向量的线性运算在物理中的应用例2在重300 N的物体上系两根绳子,这两根绳子在铅垂线的两侧,与铅垂线的夹角分别为30,60(如图),求重物平衡时,两根绳子拉力的大小解如图,两根绳子的拉力之和,且|300 N,AOC30,BOC60.在OAC中,ACOBOC60,AOC30,则OAC90,从而|cos 30150(N),|sin 30150(N),所以|150(N)答与铅垂线成30角的绳子的拉力是150 N,与铅垂线成60角的绳子的拉力是150 N.
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