1、2019-2020学年山东省潍坊市诸城市、临朐县九年级（上）期中数学试卷一、选择题（本题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的，请把正确的选项选出来，每小题选对得3分，多选、不选、错选均记0分.）1（3分）下列说法中，正确的是A三点确定一个圆B三角形有且只有一个外接圆C圆有且只有一个内接三角形D相等的圆心角所对的弧相等2（3分）身高为的小冰在中午时影长为，小雪此时在同一地点的影长为，那么小雪的身高为ABCD3（3分）如图，是直径，若，则的度数是ABCD4（3分）如图，在平面直角坐标系中，的一边与轴正半轴重合，顶点为坐标原点，另一边过点，那么的值为ABC2D5（3分）在平面直角坐
2、标系中，已知点，以原点为位似中心，相似比为，把缩小，则点的对应点的坐标是ABC或D或6（3分）关于的一元二次方程的常数项是0，则的值A1B1或2C2D7（3分）“圆材埋壁”是我国古代著名数学著作九章算术中的一个问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”此问题即：“如图所示，垂直平分弦，寸，寸，求圆的直径” 尺寸）根据题意直径长为A10寸B20寸C13寸D26寸8（3分）直线、相交于点，射线平分，点在射线上（点与点不重合），如果以点为圆心的圆与直线相离，那么圆与直线的位置关系是A相离B相切C相交D不确定9（3分）如图，是一张周长为的三角形的纸片，是它的内切圆
3、，小明准备用剪刀在的右侧沿着与相切的任意一条直线剪下，则剪下的三角形的周长为ABCD随直线的变化而变化10（3分）若代数式，则与的大小关系是ABCD11（3分）如图，一艘渔船位于钓鱼岛的南偏东的处，它以每小时40海里的速度向正北方向航行，2小时后到达位于钓鱼岛的北偏东的处，则处与钓鱼岛的距离为A40海里B60海里C70海里D80海里12（3分）如图，正方形边长为4，以为直径的半圆交对角线于点，则阴影部分面积为ABCD二、填空题（本题共6小题，共18分，只要求填写最后结果，每小题填对得3分.）13（3分）在中，已知、都是锐角，那么的度数为14（3分）如图，平行于的直线把分成的两部分面积相等，则
4、15（3分）关于的二次方程的一个根是，则等于16（3分）已知，是上三点，经过点，点分别作的切线，两切线相交于点，如果，则17（3分）已知一块等腰三角形钢板的底边长为，腰长为，能从这块钢板上截得得最大圆的半径为 18（3分）如图，在中，垂足为给出下列四个结论：；其中正确的结论有三、解答题（本题共6小题，共66分.）19（8分）解下列方程（1）（2）20（10分）如图，有一块三角形余料，它的边，高，现在要把它加工成长与宽的比为的矩形零件，要求一条长边在上，其余两个顶点分别在，上，求矩形的周长21（11分）如图，是上的四个点，（1） 判断的形状， 并证明你的结论；（2） 若的长为 6 ，求的半径 2
5、2（12分）如图，防洪大堤的横截面是梯形，背水坡的坡度（垂直高度与水平宽度的比），米，米，身高为1.7米的小明米）站在大堤点，三点在同一条直线上），测得电线杆顶端的仰角（1）求；（2）求电线杆的高度（结果精确到个位，参考数据，23（12分）从三角形（不是等腰三角形）一个顶点引起一条射线与对边相交，顶点与交点之间的线段把这个三角形分割成两个小三角形，如果分得的两个小三角形中一个为等腰三角形，另一个与原三角形相似，我们把这条线段叫做这个三角形的完美分割线（1）在中，是的完美分割线，且，则 （2）如图，在中，是的完美分割线，且是以为底边的等腰三角形，求完美分割线的长24（13分）如图，以为直径作半圆
6、，点是半圆上一点，的平分线交于，为延长线上一点，且（1）求证：为切线；（2）若，求的值参考答案与试题解析一、选择题（本题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的，请把正确的选项选出来，每小题选对得3分，多选、不选、错选均记0分.）1（3分）下列说法中，正确的是A三点确定一个圆B三角形有且只有一个外接圆C圆有且只有一个内接三角形D相等的圆心角所对的弧相等【分析】不在同一直线上三点才可以作一个圆，在同一直线上三点不能作一个圆，三角形的外心是三角形三边垂直平分线的交点，锐角三角形的外心在三角形的内部，三角形的外心是三角形三边垂直平分线的交点，根据以上内容判断即可【解答】解：、不在同一直
7、线上三点才可以作一个圆，选项不符合题意；、三角形有且只有一个外接圆，故选项符合题意；、圆有无数个内接三角形，故选项不符合题意；、在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，故选项不符合题意；故选：【点评】本题考查了三角形的外心与外接圆，线段垂直平分线性质，确定圆的条件的应用，主要考查学生的理解能力和辨析能力2（3分）身高为的小冰在中午时影长为，小雪此时在同一地点的影长为，那么小雪的身高为ABCD【分析】在同一时刻物高和影长成正比，即在同一时刻的两个物体，影子，经过物体顶部的太阳光线三者构成的两个直角三角形相似【解答】解：，小雪的身高小雪的影长故选：【点评】此题主要考查了相似三角形的应用，解题时关
8、键是找出相似的三角形，然后根据对应边成比例列出方程，建立适当的数学模型来解决问题3（3分）如图，是直径，若，则的度数是ABCD【分析】根据题意作出合适的辅助线，然后根据题意和图形即可求得的度数，本题得以解决【解答】解：连接，是直径，故选：【点评】本题考查圆周角定理，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答4（3分）如图，在平面直角坐标系中，的一边与轴正半轴重合，顶点为坐标原点，另一边过点，那么的值为ABC2D【分析】根据勾股定理得出的长，进而解答即可【解答】解：由图可得：，所以的值，故选：【点评】此题考查解直角三角形问题，关键是根据勾股定理得出的长5（3分）在平面直角坐标系中，已知点，
9、以原点为位似中心，相似比为，把缩小，则点的对应点的坐标是ABC或D或【分析】根据已知得出位似图形对应坐标与位似图形比的关系进而得出答案【解答】解：的一个顶点的坐标是，以原点为位似中心相似比为将缩小得到它的位似图形，点的坐标是：，即，故选：【点评】此题主要考查了位似图形的性质，根据如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为，那么位似图形对应点的坐标的比等于或得出是解题关键6（3分）关于的一元二次方程的常数项是0，则的值A1B1或2C2D【分析】一元二次方程，是常数且中、分别是二次项系数、一次项系数、常数项【解答】解：由题意，得且，解得，故选：【点评】本题考查了一元二次方程的一般形式：，是常数且特别
10、要注意的条件这是在做题过程中容易忽视的知识点在一般形式中叫二次项，叫一次项，是常数项其中，分别叫二次项系数，一次项系数，常数项7（3分）“圆材埋壁”是我国古代著名数学著作九章算术中的一个问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”此问题即：“如图所示，垂直平分弦，寸，寸，求圆的直径” 尺寸）根据题意直径长为A10寸B20寸C13寸D26寸【分析】连接，根据垂径定理求出的长，再根据勾股定理求出的值即可【解答】解：连接，垂直平分弦，寸，寸，寸，在中，即，解得：，故圆的直径为26寸，故选：【点评】本题考查的是垂径定理，熟知平分弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两
11、条弧是解答此题的关键8（3分）直线、相交于点，射线平分，点在射线上（点与点不重合），如果以点为圆心的圆与直线相离，那么圆与直线的位置关系是A相离B相切C相交D不确定【分析】根据角平分线的性质和点与直线的位置关系解答即可【解答】解：如图所示；平分，以点为圆心的圆与直线相离，以点为圆心的圆与直线相离，故选：【点评】此题考查直线与圆的位置关系，关键是根据角平分线的性质解答9（3分）如图，是一张周长为的三角形的纸片，是它的内切圆，小明准备用剪刀在的右侧沿着与相切的任意一条直线剪下，则剪下的三角形的周长为ABCD随直线的变化而变化【分析】利用切线长定理得出，进而得出答案【解答】解：设、分别是的切点，是一
12、张三角形的纸片，是它的内切圆，点是其中的一个切点，则，故，故选：【点评】此题主要考查了切线长定理，得出是解题关键10（3分）若代数式，则与的大小关系是ABCD【分析】用作差法得出，再用即可得出结论【解答】解：，故选：【点评】此题主要考查了偶次方的性质，配方法，比较代数式的方法作差法，掌握比较代数式大小的方法是解本题的关键11（3分）如图，一艘渔船位于钓鱼岛的南偏东的处，它以每小时40海里的速度向正北方向航行，2小时后到达位于钓鱼岛的北偏东的处，则处与钓鱼岛的距离为A40海里B60海里C70海里D80海里【分析】根据方向角的定义即可求得，则在中利用内角和定理求得的度数，证明三角形是等腰三角形，即
13、可求解【解答】解：（海里），（海里）故选：【点评】本题考查了方向角的定义，以及三角形内角和定理，等腰三角形的判定定理，理解方向角的定义是关键12（3分）如图，正方形边长为4，以为直径的半圆交对角线于点，则阴影部分面积为ABCD【分析】根据题意作出合适的辅助线，可知阴影部分的面积是的面积减去和扇形的面积【解答】解：由题意可得，连接，则，阴影部分面积为：，故选：【点评】本题考查扇形面积的计算、正方形的性质，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答二、填空题（本题共6小题，共18分，只要求填写最后结果，每小题填对得3分.）13（3分）在中，已知、都是锐角，那么的度数为
14、105【分析】根据非负数的性质得到，根据特殊角的三角函数值、三角形内角和定理计算即可【解答】解：，故答案为：105【点评】本题考查的是特殊角的三角函数值、非负数的性质，熟记特殊角的三角函数值是解题的关键14（3分）如图，平行于的直线把分成的两部分面积相等，则【分析】根据相似三角形的判定与性质，可得答案【解答】解：，故答案为：【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，平行于三角形一边截三角形另外两边所得的三角形与原三角形相似，相似三角形面积的比等于相似比的平方15（3分）关于的二次方程的一个根是，则等于3或5【分析】根据一元二次方程的根的定义、一元二次方程的定义求解把代入方程式即可解【解答】解：
15、把代入方程得到，解得或5故本题答案为：3或5【点评】本题主要考查了方程的解的定义，方程的解就是能使方程的左右两边相等的未知数的值16（3分）已知，是上三点，经过点，点分别作的切线，两切线相交于点，如果，则或【分析】直接利用切线的性质结合圆周角定理以及圆内接四边形的性质得出答案【解答】解：如图所示：连接，经过点，点分别作的切线，两切线相交于点，则，综上所述：或故答案为：或【点评】此题主要考查了切线的性质以及及圆内接四边形的性质，注意分情况讨论是解题关键17（3分）已知一块等腰三角形钢板的底边长为，腰长为，能从这块钢板上截得得最大圆的半径为15【分析】作于，根据等腰三角形的性质、勾股定理求出，根据
16、三角形的面积公式计算即可【解答】解：作于，设最大圆的圆心为，半径为，连接、，在中，由得，解得，故答案为：15【点评】本题考查了三角形的内切圆与内心、等腰三角形的性质，解题的关键是熟练掌握内心的性质与等腰三角形的特殊性18（3分）如图，在中，垂足为给出下列四个结论：；其中正确的结论有【分析】根据同角的余角相等判断；根据三角函数的定义判断；根据射影定理判断、【解答】解：，正确；，正确；由射影定理得，、正确；故答案为：【点评】本题考查的是射影定理、锐角三角函数的性质，射影定理：直角三角形中，斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项每一条直角边是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项三、解答题（本
17、题共6小题，共66分.）19（8分）解下列方程（1）（2）【分析】（1）先找，再求，根据根的判别式判断方程根的情况，再代入公式计算即可；（2）整理后，提公因式，转化为两个一元一次方程，解一元一次方程即可【解答】解：（1），（2），或，【点评】本题考查了一元二次方程的解法，一元二次方程的解法，有配方法，公式法以及因式分解法20（10分）如图，有一块三角形余料，它的边，高，现在要把它加工成长与宽的比为的矩形零件，要求一条长边在上，其余两个顶点分别在，上，求矩形的周长【分析】直接利用相似三角形的判定与性质得出，进而得出，的长，即可得出答案【解答】解：矩形中，又，设，则，解得：，矩形的周长为：【点评】
18、此题主要考查了相似三角形的应用，正确得出相似三角形是解题关键21（11分）如图，是上的四个点，（1） 判断的形状， 并证明你的结论；（2） 若的长为 6 ，求的半径 【分析】（1） 根据圆周角定理得到，根据等边三角形的判定定理证明；（2） 延长交于，连接，根据圆周角定理得到，根据正弦的概念计算即可 【解答】解： （1）是等边三角形，理由如下： 由圆周角定理得，是等边三角形；（2） 延长交于，连接，由圆周角定理得，的半径为【点评】本题考查的是圆周角定理、 等边三角形的判定， 掌握同弧所对的圆周角相等是解题的关键 22（12分）如图，防洪大堤的横截面是梯形，背水坡的坡度（垂直高度与水平宽度的比），
19、米，米，身高为1.7米的小明米）站在大堤点，三点在同一条直线上），测得电线杆顶端的仰角（1）求；（2）求电线杆的高度（结果精确到个位，参考数据，【分析】（1）由，得出，即可得出结果；（2）过点作垂直于的于点，含角直角三角形的性质得出，由三角函数定义得出，则，求出，即可得出结果【解答】解：（1），；（2）过点作垂直于的于点，如图所示：，答：电线杆的高度约为31米【点评】本题考查了解直角三角形及其应用的知识，熟练掌握直角三角形的性质与三角函数定义是解题的关键23（12分）从三角形（不是等腰三角形）一个顶点引起一条射线与对边相交，顶点与交点之间的线段把这个三角形分割成两个小三角形，如果分得的两个小三
20、角形中一个为等腰三角形，另一个与原三角形相似，我们把这条线段叫做这个三角形的完美分割线（1）在中，是的完美分割线，且，则96（2）如图，在中，是的完美分割线，且是以为底边的等腰三角形，求完美分割线的长【分析】（1）根据相似三角形的性质得到，再根据角的和差关系求出即可（2）设，利用，得，列出方程即可解决问题【解答】解：（1）当时，如图3，（2）由已知，设，故答案为：96【点评】本题考查相似三角形的判定和性质、等腰三角形的性质等知识，解题的关键是理解题意，属于中考常考题型24（13分）如图，以为直径作半圆，点是半圆上一点，的平分线交于，为延长线上一点，且（1）求证：为切线；（2）若，求的值【分析】
21、（1）先利用角平分线定义、圆周角定理证明，再利用为直径得到，则，然后根据切线的判定方法得到为切线；（2）先利用圆周角定理得到，则，设，所以连接交于点，如图，利用垂径定理得，所以，则，再证明，利用相似比得到，于是可计算出，然后根据正切的定义求解【解答】（1）证明：平分，为直径，即，为切线；（2）解：为直径，在中，设，则连接交于点，如图，在中，即【点评】本题考查了切线的判定与性质：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线；圆的切线垂直于经过切点的半径判定切线时“连圆心和直线与圆的公共点”或“过圆心作这条直线的垂线”；有切线时，常常“遇到切点连圆心得半径”也考查了圆周角定理、垂径定理和解直角三角形
