1、2019-2020学年甘肃省庆阳市镇原县九年级（上）期中数学试卷一、选择题（共12小题，每小题4分，满分48分）1（4分）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是ABCD2（4分）一元二次方程的一次项系数是ABC4D53（4分）若方程的两个根是和1，那么二次函数的图象的对称轴是直线ABCD4（4分）抛物线的顶点坐标是ABCD5（4分）用配方法解一元二次方程，此方程可化为ABCD6（4分）把抛物线向右平移 3 个单位， 再向下平移 2 个单位， 得到抛物线A B C D 7（4分）下列方程中，是一元二次方程的是ABCD8（4分）若是二次函数，则等于AB2CD不能确定9（4分）一元二次方程的
2、根为A，B，C，D，10（4分）点关于原点对称的点的坐标为ABCD11（4分）某商品原价为200元，连续两次降价后，售价为148元下面所列方程正确的是ABCD12（4分）函数和的图象大致正确的是ABCD二、填空题（共6小题，每小题4分，满分24分）13（4分）函数的最小值是14（4分）已知是关于的方程的一个根，则 15（4分）若关于的方程的一个根是1，则的值为 16（4分）等边三角形至少旋转 度才能与自身重合17（4分）已知抛物线的对称轴为直线，且经过点，试比较和的大小： （填“”，“ ”或“” 18（4分）如图，将绕直角顶点顺时针旋转，得到，连接，若，则的度数是 三、解答题（共9小题，满分7
3、8分）19（8分）按要求解下列方程：（1）用配方法解方程：；（2）用公式法解方程：20（8分）已知关于的一元二次方程（1）求证：方程总有实数根；（2）设这个方程的两个实数根分别为，且，求的值21（8分）抛物线的顶点坐标为，且经过点（1）求抛物线的解析式；（2）将抛物线向上平移3个单位，向左平移2个单位，直接写出平移后的抛物线解析式22（8分）如图，已知的顶点，的坐标分别是，（1）作出关于原点中心对称的图形；（2）将绕原点按顺时针方向旋转后得到，画出，并写出点的坐标23（8分）如图，将三角形绕点顺时针旋转得到三角形若点，在同一条直线上，求的度数24（8分）如图，某小区规划在长32米，宽20米的矩
4、形场地上修建三条同样宽的3条小路，使其中两条与平行，一条与平行，其余部分种植草坪，若使草坪的面积为570米，问小路宽为多少米？25（8分）如图，有长为的篱笆，现一面利用墙（墙的最大可用长度为围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃，设花圃的宽为，面积为（1）求与的函数关系式及值的取值范围；（2）要围成面积为的花圃，的长是多少米？26（10分）将正方形和正方形如图（一所示放置，已知，将正方形绕点顺时针旋转一定的角度到图（二所示：连接，（1）求线段与的关系，并给出证明（2）当旋转至某一个角度时，点，在同一条直线上，请画出示意图形，并求出此时的长27（12分）施工队要修建一个横断面为抛物线的公路隧道，其高度
5、为6米，宽度为12米，现在点为原点，所在直线为轴建立直角坐标系（如图所示）（1）直接写出点及抛物线顶点的坐标；（2）求出这条抛物线的函数解析式；（3）施工队计划在隧道门口搭建一个矩形“脚手架” ，使、点在抛物线上，、点在地面上为了筹备材料，需求出“脚手架”三根木杆、的长度之和的最大值是多少？请你帮施工队计算一下2019-2020学年甘肃省庆阳市镇原县九年级（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题4分，满分48分）1（4分）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是ABCD【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解【解答】解：、是轴对称图形，不是中心对称图形，故
6、此选项错误；、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项错误；、不是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项错误；、既是轴对称图形又是中心对称图形，故此选项正确故选：【点评】此题主要考查了中心对称图形与轴对称图形的概念轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合2（4分）一元二次方程的一次项系数是ABC4D5【分析】在一般形式中叫二次项，叫一次项，是常数项其中，分别叫二次项系数，一次项系数，常数项【解答】解：一元二次方程的一次项系数是，故选：【点评】本题考查了一元二次方程的一般形式：，是常数且特别要注意的条件这是在做题过程中容易忽视的
7、知识点在一般形式中叫二次项，叫一次项，是常数项其中，分别叫二次项系数，一次项系数，常数项3（4分）若方程的两个根是和1，那么二次函数的图象的对称轴是直线ABCD【分析】先根据题意得出抛物线与轴的交点坐标，再由两点坐标关于抛物线的对称轴对称即可得出结论【解答】解：方程的两个根是和1，二次函数的图象与轴的交点分别为，此两点关于对称轴对称，对称轴是直线故选：【点评】本题考查的是抛物线与轴的交点，熟知抛物线与轴的交点与一元二次方程根的关系是解答此题的关键4（4分）抛物线的顶点坐标是ABCD【分析】根据顶点式的坐标特点直接写出顶点坐标【解答】解：是抛物线解析式的顶点式，顶点坐标为故选：【点评】此题考查二
8、次函数的性质，掌握顶点式中，顶点坐标是是解决问题的关键5（4分）用配方法解一元二次方程，此方程可化为ABCD【分析】常数项移到方程的右边后，两边配上一次项系数一半的平方，写成完全平方式即可得【解答】解：，即，故选：【点评】本题主要考查配方法解一元二次方程的能力，熟练掌握完全平方公式和配方法的基本步骤是解题的关键6（4分）把抛物线向右平移 3 个单位， 再向下平移 2 个单位， 得到抛物线A B C D 【分析】易得原抛物线的顶点及平移后抛物线的顶点， 根据平移不改变抛物线的二次项系数可得新的抛物线解析式 【解答】解： 由题意得原抛物线的顶点为，平移后抛物线的顶点为，新抛物线解析式为，故选：【点
9、评】考查二次函数的几何变换；用到的知识点为： 二次函数的平移不改变二次项的系数；得多新抛物线的顶点是解决本题的突破点 7（4分）下列方程中，是一元二次方程的是ABCD【分析】只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程【解答】解：、是一元二次方程；、是一元一次方程；、是二元一次方程；、不是一元二次方程故选：【点评】本题主要考查的是一元二次方程的定义，熟练掌握一元二次方程的定义是解题的关键8（4分）若是二次函数，则等于AB2CD不能确定【分析】根据二次函数的定义求解即可【解答】解：由题意，得，且，解得，故选：【点评】本题考查了二次函数的定义：一般地，形如、是常数，的函数，叫
10、做二次函数其中、是变量，、是常量，是二次项系数，是一次项系数，是常数项、是常数，也叫做二次函数的一般形式9（4分）一元二次方程的根为A，B，C，D，【分析】根据两数相乘积为0，两因式中至少有一个为0转化为两个一元一次方程来求解【解答】解：，可得或，解得：，故选：【点评】此题考查了解一元二次方程因式分解法，利用此方法解方程时，首先将方程右边化为0，左边化为积的形式，然后利用两数相乘积为0，两因式中至少有一个为0转化为两个一元一次方程来求解10（4分）点关于原点对称的点的坐标为ABCD【分析】直接利用关于原点对称点的性质得出答案【解答】解：点关于原点对称的点的坐标为：故选：【点评】此题主要考查了关
11、于原点对称点的性质，正确记忆横纵坐标的符号是解题关键11（4分）某商品原价为200元，连续两次降价后，售价为148元下面所列方程正确的是ABCD【分析】根据题意可得，现价原价，据此列方程【解答】解：由题意得，列方程为：故选：【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列方程12（4分）函数和的图象大致正确的是ABCD【分析】由一次函数性质可知当，时，图象过一、三、四象限，进而可确定其图形的位置；由二次函数图象的性质可知当，函数图象开口向上，并且过一、二象限，进而可确定的图象，问题得解【解答】解：，图象过一、三、四象限，函数图象开口向
12、上，并且过一、二象限，结合题目的选项可知答案符合题意，故选：【点评】本题考查了一次函数和二次函数图象的位置确定问题，解题的关键是熟记一次函数在不同情况下所在的象限，以及熟练掌握二次函数的有关性质：开口方向、对称轴、顶点坐标等二、填空题（共6小题，每小题4分，满分24分）13（4分）函数的最小值是【分析】直接利用二次函数最值求法得出答案【解答】解：，当时，函数的最值为故答案为：【点评】此题主要考查了二次函数的最值求法，正确掌握二次函数最值求法是解题关键14（4分）已知是关于的方程的一个根，则6【分析】根据是关于的方程的一个根，通过变形可以得到值，本题得以解决【解答】解：是关于的方程的一个根，故答
13、案为：6【点评】本题考查一元二次方程的解，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件15（4分）若关于的方程的一个根是1，则的值为【分析】一元二次方程的根就是一元二次方程的解，就是能够使方程左右两边相等的未知数的值即用这个数代替未知数所得式子仍然成立把代入原方程就可以得到一个关于的方程，解这个方程即可求出的值【解答】解：把代入方程得到，解得故本题答案为【点评】本题考查的是一元二次方程的根即方程的解的定义16（4分）等边三角形至少旋转120度才能与自身重合【分析】等边三角形的中心到三个顶点的距离相等，相邻顶点与中心连线的夹角相等，求旋转角即可【解答】解：因为等边三角形的中心到三个顶点的距离相等
14、，相邻顶点与中心连线的夹角相等，所以，旋转角为，故至少旋转120度才能与自身重合【点评】本题考查旋转对称图形的概念：把一个图形绕着一个定点旋转一个角度后，与初始图形重合，这种图形叫做旋转对称图形，这个定点叫做旋转对称中心，旋转的角度叫做旋转角17（4分）已知抛物线的对称轴为直线，且经过点，试比较和的大小：（填“”，“ ”或“” 【分析】由于二次函数的图象的开口向上，对称轴为直线，然后根据点和点离对称轴的远近可判断与的大小关系【解答】解：二次函数的图象的对称轴为直线，而，点离对称轴的距离比点要远，故答案为【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数图象上点的坐标满足解析式、为常数，18
15、（4分）如图，将绕直角顶点顺时针旋转，得到，连接，若，则的度数是【分析】根据旋转的性质可得，然后判断出是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质可得，再根据三角形的内角和定理可得结果【解答】解：绕直角顶点顺时针旋转得到，是等腰直角三角形，故答案为：【点评】本题考查了旋转的性质，等腰直角三角形的判定与性质，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，熟记各性质并准确识图是解题的关键三、解答题（共9小题，满分78分）19（8分）按要求解下列方程：（1）用配方法解方程：；（2）用公式法解方程：【分析】（1）移项后配方，开方，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可；（2）求出的值，再代入公
16、式求出即可【解答】解：（1），；（2），【点评】本题考查了解一元二次方程，能选择适当的方法解方程是解此题的关键20（8分）已知关于的一元二次方程（1）求证：方程总有实数根；（2）设这个方程的两个实数根分别为，且，求的值【分析】（1）利用根的判别式求出关于的代数式，整理成非负数的形式即可判定；（2）根据一元二次方程根与系数得到两根之和和两根之积，然后把，转换为，然后利用前面的等式即可得到关于的方程，解方程即可求出结果【解答】（1）证明：；又，该方程总有实数根；（2）解：，解得故的值为【点评】本题考查了一元二次方程的根的判别式：当，方程有两个不相等的实数根；当，方程有两个相等的实数根；当，方程没有
17、实数根也考查了一元二次方程的根与系数的关系：，21（8分）抛物线的顶点坐标为，且经过点（1）求抛物线的解析式；（2）将抛物线向上平移3个单位，向左平移2个单位，直接写出平移后的抛物线解析式【分析】（1）由于已知抛物线顶点坐标，则可设顶点式，然后把点代入计算出的值，从而可得到抛物线解析式；（2）根据平移规律直接写出平移后的抛物线解析式【解答】解：（1）设该抛物线的解析式为：，把代入，得，解得所以该抛物线的解析式为：；（2）由（1）知，抛物线的解析式为：，所以将（1）中抛物线先向左平移2个单位，再向上平移3个单位所得抛物线的解析式为：，即【点评】本题考查了二次函数图象的几何变换要求熟练掌握平移的规
18、律：左加右减，上加下减并用规律求函数解析式22（8分）如图，已知的顶点，的坐标分别是，（1）作出关于原点中心对称的图形；（2）将绕原点按顺时针方向旋转后得到，画出，并写出点的坐标【分析】（1）将的三点与点连线并延长相同长度找对应点，然后顺次连接得中心对称图形；（2）将的三点与点连线并绕原点按顺时针方向旋转找对应点，然后顺次连接得【解答】解：（1）正确画出图形（3分）（2）正确画出图形（5分）（6分）【点评】本题主要考查了中心对称作图及旋转变换作图的能力，注意：做这类题时找对应点是关键23（8分）如图，将三角形绕点顺时针旋转得到三角形若点，在同一条直线上，求的度数【分析】根据旋转的性质和三角形内
19、角和解答即可【解答】解：将绕点顺时针旋转得到，点，在同一条直线上，在中，即，解得：，【点评】此题考查旋转的性质，关键是根据旋转的性质和三角形内角和解答24（8分）如图，某小区规划在长32米，宽20米的矩形场地上修建三条同样宽的3条小路，使其中两条与平行，一条与平行，其余部分种植草坪，若使草坪的面积为570米，问小路宽为多少米？【分析】设小路宽为米，则种植草坪的六块区域可合成长为米、宽为米的矩形，根据矩形的面积公式结合草坪的面积为570米，即可得出关于的一元二次方程，解之取其较小值即可得出结论【解答】解：设小路宽为米，则种植草坪的六块区域可合成长为米、宽为米的矩形，根据题意得：，整理得：，解得：
20、，（舍去）答：小路宽为1米【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键25（8分）如图，有长为的篱笆，现一面利用墙（墙的最大可用长度为围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃，设花圃的宽为，面积为（1）求与的函数关系式及值的取值范围；（2）要围成面积为的花圃，的长是多少米？【分析】（1）根据为，就为，利用长方体的面积公式，可求出关系式（2）将代入（1）中关系式，可求出即的长【解答】解：（1）根据题意，得，即所求的函数解析式为：，又，定义域为；（2）根据题意，设长为，则长为整理，得，解得或5，当时，不成立，当时，成立，长为【点评】本题以实际问题为载体，主要考查了二
21、次函数的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解本题的关键是垂直于墙的有三道篱笆26（10分）将正方形和正方形如图（一所示放置，已知，将正方形绕点顺时针旋转一定的角度到图（二所示：连接，（1）求线段与的关系，并给出证明（2）当旋转至某一个角度时，点，在同一条直线上，请画出示意图形，并求出此时的长【分析】（1）由旋转中对应边和对应角相等，可证，可得（2）画图可知，点、在同一条直线上存在两种情况，根据（1）的全等证明，可知，利用所在三角形利用勾股定理求出，加上可得长度即的长【解答】解：（1），（2）当在线段上时，如图所示由（1）可知在中，当点在的延
22、长线上时，如图所示由（1）可知在中，或【点评】本题考查了旋转的性质，需要把握旋转过程中边角的对应关系，将的长度转化为的长度，从而利用勾股定理计算出线段长度，很好的考查了图形变换中对应的关系27（12分）施工队要修建一个横断面为抛物线的公路隧道，其高度为6米，宽度为12米，现在点为原点，所在直线为轴建立直角坐标系（如图所示）（1）直接写出点及抛物线顶点的坐标；（2）求出这条抛物线的函数解析式；（3）施工队计划在隧道门口搭建一个矩形“脚手架” ，使、点在抛物线上，、点在地面上为了筹备材料，需求出“脚手架”三根木杆、的长度之和的最大值是多少？请你帮施工队计算一下【分析】确定了抛物线的顶点式，可以设抛物线的顶点式，又过原点，就可以确定抛物线解析式；设，由对称性得，这样就可以用含的式子表示、了，为求三根木杆、的长度之和的最大值，提供依据【解答】解：（1），（2）顶点坐标设又图象经过这条抛物线的函数解析式为，即；（3）设，四边形是矩形，根据抛物线的轴对称性，可得：，即，令当，最大值为15、的长度之和最大值为15米【点评】关于抛物线解析式的求法，还可以设交点式，把顶点坐标代入求；要弄清楚线段长度与点的坐标的关系