1、2019-2020学年天津市南开区九年级（上）期中数学试卷一、选择题，本大鹏共12小题，每小题3分，共36分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1（3分）在平面直角坐标系中，与点关于原点对称的点的坐标是ABCD2（3分）下列手机手势解锁图案中，是中心对称图形的是ABCD3（3分）已知关于的方程，下列说法正确的是A当时，方程无解B当时，方程有一个实数解C当时，方程有两个相等的实数解D当时，方程总有两个不相等的实数解4（3分）抛物线的顶点坐标是ABC，D5（3分）若二次函数的最小值是2，则的值是A4B3CD4或6（3分）如图，是的弦，交于点，点是上一点，则的度数为ABCD7（3分
2、）在平面直角坐标系中，对于二次函数，下列说法中错误的是A的最小值为1B图象顶点坐标为，对称轴为直线C当时，的值随值的增大而增大，当时，的值随值的增大而减小D它的图象可以由的图象向右平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度得到8（3分）如图，的内切圆与、分别相切于点、，且，则阴影部分（即四边形的面积是A4B6.25C7.5D99（3分）已知点，在二次函数图象上，则，的大小关系是ABCD10（3分）如图，将绕点顺时针旋转得到，使点的对应点恰好落在边上，点的对应点为，连接，下列结论一定正确的是ABCD11（3分）如图，的弦长为8，点是上一动点，且，点，分别是，的中点，则长的最大值是A4BC8D12（
3、3分）二次函数，是常数，的自变量与函数值的部分对应值如下表：012且当时，与其对应的函数值有下列结论：；和3是关于的方程的两个根；其中，正确结论的个数是A0B1C2D3二、填空题：本大题共6小题，每小题3分，共18分.13（3分）关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是 14（3分）如图，四边形是的内接四边形，则的度数为 15（3分）已知的三边长分别为、，则这个三角形的外接圆的面积为 （结果用含的代数式表示）16（3分）有一个二次函数的图象，三位同学分别说了它的一些特点：甲：与轴只有一个交点；乙：对称轴是直线；丙：与轴的交点到原点的距离为3满足上述全部特点的二次函数的解析式为 17（3分）有
4、支球队参加篮球比赛，每两队之间都比赛一场，共比赛了45场，则根据题意列出方程18（3分）如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，的顶点在格点上，是小正方形边的中点，经过点，的圆的圆心在边上（）弦的长等于；（）请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，找出经过出点，的圆的圆心，并简要说明点的位置是如何找到的（不要求证明）三、解答题（本大题共7小题，共66分，解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程）19（8分）关于的一元二次方程（1）当时，请判断方程根的情况；（2）若方程有两个相等的实数根，当时，求此时方程的根20（8分）已知二次函数，函数值与自变量之间的部分对应数值如下表：011（）直接写出二次函数
5、的对称轴是：直线，此函数图象与轴交点有个；（）求二次函数的函数表达式；（）当时，请直接写出函数值的取值范围：21（10分）如图，有一座圆弧形拱桥，桥下水面宽度为，拱高为（1）求拱桥的半径；（2）有一艘宽的货船，船舱顶部为长方形，并高出水面，求此货船是否能顺利通过拱桥？22（10分）已知，分别与相切于点，为上一点（）如图，求的大小；（）如图，为的直径，与相交于点，若求的大小23（10分）如图，利用一面长为34米的墙，用铁栅栏围成一个矩形自行车场地，在和边各有一个2米宽的小门（不用铁栅栏），设矩形的边长为米，长为米，矩形的面积为平方米，且（）若所用铁栅栏的长为40米，求与的函数关系式，并直接写出自
6、变量的取值范围；（）在（）的条件下，求与的函数关系式，并求出是否能使矩形场地的面积为260平方米？24（10分）如图，在矩形中，将矩形绕点逆时针旋转得到矩形（1）如图1，若在旋转过程中，点落在对角线上，分别交于点，求证：；求的长；（2）如图2，在旋转过程中，若直线经过线段的中点，连接，求的面积25（10分）在平面直角坐标系中，已知抛物线为常数）（1）若抛物线经过点，求的值；（2）若抛物线经过点和点，且，求的取值范围；（3）若将抛物线向右平移1个单位长度得到新抛物线，当时，新抛物线对应的函数有最小值，求的值2019-2020学年天津市南开区九年级（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题，本
7、大鹏共12小题，每小题3分，共36分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1（3分）在平面直角坐标系中，与点关于原点对称的点的坐标是ABCD【分析】利用两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反，即点关于原点的对称点是，进而得出答案【解答】解：点关于原点对称的点的坐标为：故选：【点评】此题主要考查了关于原点对称点的性质，正确掌握关于原点对称点的性质是解题关键2（3分）下列手机手势解锁图案中，是中心对称图形的是ABCD【分析】根据中心对称图形的概念判断【解答】解：、不是中心对称图形；、是中心对称图形；、不是中心对称图形；、不是中心对称图形故选：【点评】本题考查的是中心对称图的概念，
8、中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合3（3分）已知关于的方程，下列说法正确的是A当时，方程无解B当时，方程有一个实数解C当时，方程有两个相等的实数解D当时，方程总有两个不相等的实数解【分析】利用的值，分别代入求出方程的根的情况即可【解答】解：关于的方程，、当时，则，故此选项错误；、当时，方程有两个实数解，故此选项错误；、当时，则，此时方程有两个相等的实数解，故此选项正确；、由得此选项错误故选：【点评】此题主要考查了一元二次方程的解，代入的值判断方程根的情况是解题关键4（3分）抛物线的顶点坐标是ABC，D【分析】把二次函数化为顶点式得出顶点坐标可【解答】解：，顶点坐标是，故选：
9、【点评】本题考查了二次函数的性质，熟悉顶点式是解题的关键5（3分）若二次函数的最小值是2，则的值是A4B3CD4或【分析】根据题意：二次函数的最小值是2，则判断二次函数的系数大于0，再根据公式最小值列出关于的一元二次方程，解得的值即可【解答】解：二次函数有最小值2，最小值，整理，得，解得或4，故选：【点评】本题主要考查二次函数的最值的知识点，求二次函数的最大（小值有三种方法，第一种可由图象直接得出，第二种是配方法，第三种是公式法，常用的是后两种方法，当二次系数的绝对值是较小的整数时，用配方法较好，如，等用配方法求解比较简单6（3分）如图，是的弦，交于点，点是上一点，则的度数为ABCD【分析】由
10、圆周角定理得到，然后由垂径定理和圆心角、弧、弦的关系求得的度数【解答】解：如图，是的弦，交于点，故选：【点评】本题考查了垂径定理，圆周角定理，圆心角、弧、弦之间的关系等知识点，能综合运用定理进行推理是解此题的关键7（3分）在平面直角坐标系中，对于二次函数，下列说法中错误的是A的最小值为1B图象顶点坐标为，对称轴为直线C当时，的值随值的增大而增大，当时，的值随值的增大而减小D它的图象可以由的图象向右平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度得到【分析】根据题目中的函数解析式，可以判断各个选项中的说法是否正确【解答】解：二次函数，该函数的图象开口向上，对称轴为直线，顶点为，当时，有最小值1，当时，的
11、值随值的增大而增大，当时，的值随值的增大而减小；故选项、的说法正确，的说法错误；根据平移的规律，的图象向右平移2个单位长度得到，再向上平移1个单位长度得到；故选项的说法正确，故选：【点评】本题考查二次函数的性质、二次函数的最值，二次函数图象与几何变换，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答8（3分）如图，的内切圆与、分别相切于点、，且，则阴影部分（即四边形的面积是A4B6.25C7.5D9【分析】利用勾股定理的逆定理得到为直角三角形，再利用切线的性质得到，所以四边形为正方形，设，利用切线长定理得到，所以，然后求出后可计算出阴影部分（即四边形的面积【解答】解：，为直角三角形，、与分别相
12、切于点、，四边形为正方形，设，则，的内切圆与、分别相切于点、，阴影部分（即四边形的面积是故选：【点评】本题考查了三角形的内切圆和内心：三角形的内心到三角形三边的距离相等；三角形的内心与三角形顶点的连线平分这个内角也考查了勾股定理的逆定理和切线的性质9（3分）已知点，在二次函数图象上，则，的大小关系是ABCD【分析】先根据二次函数的性质得到抛物线的对称轴为轴，然后通过比较三个点到对称轴的远近确定函数值的大小【解答】解：二次函数图象的对称轴为轴，点，到轴的距离相同，到轴的距离最远，故选：【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数图象上点的坐标满足其解析式也考查了二次函数的性质10（3分
13、）如图，将绕点顺时针旋转得到，使点的对应点恰好落在边上，点的对应点为，连接，下列结论一定正确的是ABCD【分析】根据旋转的性质得到，故错误，错误；得到，根据三角形的内角和得到，求得，故正确；由于不一定等于，于是得到不一定等于，故错误【解答】解：将绕点顺时针旋转得到，故错误，错误；，故正确；不一定等于，不一定等于，故错误故选：【点评】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，正确的识别图形是解题的关键11（3分）如图，的弦长为8，点是上一动点，且，点，分别是，的中点，则长的最大值是A4BC8D【分析】当是直径时，最长，求出直径即可解决问题【解答】解：当是直径时，故选：【点评】本题考查三角形中位线性
14、质、圆的有关性质，解题的关键是灵活应用三角形中位定理识解决问题，属于中考常考题型12（3分）二次函数，是常数，的自变量与函数值的部分对应值如下表：012且当时，与其对应的函数值有下列结论：；和3是关于的方程的两个根；其中，正确结论的个数是A0B1C2D3【分析】当时，当时，正确；是对称轴，时，则时，正确；当时，错误；【解答】解：当时，当时，正确；是对称轴，时，则时，和3是关于的方程的两个根；正确；，当时，错误；故选：【点评】本题考查二次函数的图象及性质；熟练掌握二次函数图象上点的特征，能够从表格中获取信息确定出对称轴是解题的关键二、填空题：本大题共6小题，每小题3分，共18分.13（3分）关于
15、的一元二次方程有实数根，则的取值范围是且【分析】根据一元二次方程的定义和根的判别式的意义得到且，然后求出的取值范围【解答】解：一元二次方程有实数根，且，解得：且，故答案为：且【点评】本题考查了一元二次方程的根的判别式：当，方程有两个不相等的实数根；当，方程有两个相等的实数根；当，方程没有实数根也考查了一元二次方程的定义14（3分）如图，四边形是的内接四边形，则的度数为【分析】根据圆内接四边形的性质求出的度数，根据圆周角定理计算即可【解答】解：四边形是的内接四边形，由圆周角定理得，故答案为：【点评】本题考查的是圆内接四边形的性质、圆周角定理，掌握圆内接四边形的对角互补是解题的关键15（3分）已知
16、的三边长分别为、，则这个三角形的外接圆的面积为（结果用含的代数式表示）【分析】三边长分别为、正好一组勾股数，因而是直角三角形，直角三角形斜边是外接圆的直径，即可求解【解答】解：根据勾股定理的逆定理可知三角形是直角三角形，那么直角三角形的外心是斜边的中点，所以半径，面积【点评】准确判断三角形是直角三角形是解决本题的关键，在审题是要多思考，多与有关知识相联系16（3分）有一个二次函数的图象，三位同学分别说了它的一些特点：甲：与轴只有一个交点；乙：对称轴是直线；丙：与轴的交点到原点的距离为3满足上述全部特点的二次函数的解析式为或【分析】分两种情形利用二次函数的顶点式解决问题即可【解答】解：由题意抛物
17、线的顶点坐标为与轴的交点坐标为或，设抛物线的解析式为，把代入得到，把代入得到，抛物线的解析式为或故答案为或【点评】本题考查抛物线与轴的交点，二次函数的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型17（3分）有支球队参加篮球比赛，每两队之间都比赛一场，共比赛了45场，则根据题意列出方程【分析】先列出支篮球队，每两队之间都比赛一场，共可以比赛场，再根据题意列出方程为【解答】解：有支球队参加篮球比赛，每两队之间都比赛一场，共比赛场数为，共比赛了45场，故答案为：【点评】此题是由实际问题抽象出一元二次方程，主要考查了从实际问题中抽象出相等关系18（3分）如图，在每个小正方形的边长为1的网
18、格中，的顶点在格点上，是小正方形边的中点，经过点，的圆的圆心在边上（）弦的长等于；（）请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，找出经过出点，的圆的圆心，并简要说明点的位置是如何找到的（不要求证明）【分析】（）由勾股定理即可得出答案；（）取圆与网格线的交点、，连接交于，点即为经过出点，的圆的圆心；由圆周角定理即可得出结论【解答】解：（）由勾股定理得：；故答案为：；（）如图试所示：取圆与网格线的交点、，连接交于，点即为经过出点，的圆的圆心；理由如下：，为圆的直径，经过点，的圆的圆心在边上，与的交点即为点；故答案为：的圆周角所对的弦是直径【点评】本题考查了圆周角定理、勾股定理；熟练掌握圆周角定理和勾股
19、定理是解题的关键三、解答题（本大题共7小题，共66分，解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程）19（8分）关于的一元二次方程（1）当时，请判断方程根的情况；（2）若方程有两个相等的实数根，当时，求此时方程的根【分析】（1）先计算判别式得到，再把代入得到，从而得到，然后判断方程根的情况；（2）根据判别式的意义得，加上时，于是可求出或，当时，方程变形为，当时，方程变形为，然后分别解方程即可【解答】解：（1），方程有两个不相等的实数根；（2）根据题意得，当时，解得或，当时，方程变形为，解得；当时，方程变形为，解得【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数
20、根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根20（8分）已知二次函数，函数值与自变量之间的部分对应数值如下表：011（）直接写出二次函数的对称轴是：直线，此函数图象与轴交点有个；（）求二次函数的函数表达式；（）当时，请直接写出函数值的取值范围：【分析】（1）从表格看，根据抛物线的对称性，、时的函数值相等，然后列式计算即可求得函数的对称轴为：，此函数图象与轴有2个交点即可求解；（2）函数对称轴为：，解得：，即可求解；（3）求得函数的顶点坐标为：，由时，时，根据二次函数的性质即可求解【解答】解：（1）从表格看，函数的对称轴为：，此函数图象与轴交点个数为2个，故答案为：，2；（2）函数对称轴
21、为：，解得：，故函数的表达式为：；（3）把代入得，函数的顶点坐标为：，时，时，故的取值范围为：，故答案为：【点评】本题考查的是抛物线与轴的交点，主要考查函数图象上点的坐标特征，要求学生非常熟悉函数与坐标轴的交点、顶点等点所代表的意义、图象上点的坐标特征等21（10分）如图，有一座圆弧形拱桥，桥下水面宽度为，拱高为（1）求拱桥的半径；（2）有一艘宽的货船，船舱顶部为长方形，并高出水面，求此货船是否能顺利通过拱桥？【分析】（1）根据垂径定理和勾股定理求解；（2）连接，通过求距离水面2米高处即长为2时，桥有多宽即的长与货船顶部的3米做比较来判定货船能否通过大于3则能通过，小于等于3则不能通过）先根据
22、半弦，半径和弦心距构造直角三角形求出半径的长，再根据中勾股定理求出的长，从而求得的长【解答】解：（1）如图，连接，为中点，又，设，则在中，根据勾股定理得：，解得（2），船舱顶部为长方形并高出水面，在中，此货船能不顺利通过这座拱桥【点评】此题考查了垂径定理的应用此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想与方程思想的应用22（10分）已知，分别与相切于点，为上一点（）如图，求的大小；（）如图，为的直径，与相交于点，若求的大小【分析】（）连接、，根据切线的性质得到，根据四边形内角和等于计算；（）连接，根据圆周角定理得到，根据等腰三角形的性质、三角形的外角性质计算即可【解答】解：（）连接、，
23、是的切线，由圆周角定理得，；（）连接，为的直径，【点评】本题考查的是切线的性质、圆周角定理、等腰三角形的性质，掌握圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键23（10分）如图，利用一面长为34米的墙，用铁栅栏围成一个矩形自行车场地，在和边各有一个2米宽的小门（不用铁栅栏），设矩形的边长为米，长为米，矩形的面积为平方米，且（）若所用铁栅栏的长为40米，求与的函数关系式，并直接写出自变量的取值范围；（）在（）的条件下，求与的函数关系式，并求出是否能使矩形场地的面积为260平方米？【分析】根据题意，可知且有，进而写出关于的函数关系式，并写出面积公式；根据矩形场地面积为260平方米列出方程，解出此时的值
24、即可【解答】解：，即；由可知，由题意得，即，此方程无解，不能使矩形场地的面积为260平方米【点评】本题主要考查了一元二次方程和二次函数的应用，判断所求的解是否符合题意，舍去不合题意的解找到关键描述语，找到等量关系准确的列出方程是解决问题的关键24（10分）如图，在矩形中，将矩形绕点逆时针旋转得到矩形（1）如图1，若在旋转过程中，点落在对角线上，分别交于点，求证：；求的长；（2）如图2，在旋转过程中，若直线经过线段的中点，连接，求的面积【分析】（1）由矩形的性质得出，得出，由旋转的性质得：，证出，即可得出；设，则，在中，由勾股定理得出方程，解得：，在中，由勾股定理得出，得出，证出，得出即可；（2
25、）分情况讨论：过点作于，证明，得出，在中，由勾股定理得出，得出，得出，得出的面积的面积；同得：，得出，得出的面积的面积即可【解答】（1）证明：四边形是矩形，由旋转的性质得：，；解：设，则，在中，解得：，在中，又，；（2）解：分情况讨论：如图2所示：过点作于，则，在和中，在中，的面积的面积；如图3所示：同得：，的面积的面积；综上所述，的面积为或【点评】本题是四边形综合题目，考查了矩形的性质、旋转变换的性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定、勾股定理、三角形面积、分类讨论等知识；本题综合性强，有一定难度，证明三角形全等是解题的关键25（10分）在平面直角坐标系中，已知抛物线为常数）（1）若
26、抛物线经过点，求的值；（2）若抛物线经过点和点，且，求的取值范围；（3）若将抛物线向右平移1个单位长度得到新抛物线，当时，新抛物线对应的函数有最小值，求的值【分析】（1）把点坐标代入解析式即可；（2）分别把点和点代入函数解析式，表示、利用条件构造关于的不等式；（3）根据平移得到新顶点，用表示顶点坐标，找到最小值求【解答】解：（1）把点代入抛物线，得解得（2）把点代入抛物线，得把点代入抛物线，得解得（3）抛物线解析式配方得将抛物线向右平移1个单位长度得到新解析式为当时，对应的抛物线部分位于对称轴右侧，随的增大而增大，时，解得，都不合题意，舍去；当时，解得；当时，对应的抛物线部分位于对称轴左侧，随的增大而减小，时，解得，（舍去）综上，或3【点评】本题为二次函数综合题，考查二次函数图象性质及二次函数图象平移解答时注意用表示顶点