1、高中数学专题07 离散型随机变量及其分布列、期望与方差【母题来源一】【2019年高考浙江卷】设0a1，则随机变量X的分布列是则当a在（0,1）内增大时，A增大B减小C先增大后减小D先减小后增大【答案】D【分析】研究方差随变化的增大或减小规律，常用方法就是将方差用参数表示，应用函数知识求解本题根据方差与期望的关系，将方差表示为的二次函数，二次函数的图象和性质解题题目有一定综合性，注重重要知识、基础知识、运算求解能力的考查【解析】方法1：由分布列得，则，则当在内增大时，先减小后增大故选D方法2：则，则当在内增大时，先减小后增大故选D【名师点睛】易出现的错误有，一是数学期望、方差以及二者之间的关系掌
2、握不熟，无从着手；二是计算能力差，不能正确得到二次函数表达式【母题来源二】【2018年高考浙江卷】设，随机变量的分布列是012P则当p在（0，1）内增大时，AD（）减小BD（）增大CD（）先减小后增大DD（）先增大后减小【答案】D【解析】E()=01-p2+112+2p2=p+12，D()=1-p2(0-p-12)2+12(1-p-12)2+p2(2-p-12)2=-p2+p+14，12(0，1)，D()先增大后减小，故选D【母题来源三】【2017年高考浙江卷】已知随机变量满足P（=1）=pi，P（=0）=1pi，i=1，2若0p1p2，则A，BC，【答案】A【解析】，故选A【名师点睛】求离散
3、型随机变量的分布列，首先要根据具体情况确定的取值情况，然后利用排列，组合与概率知识求出取各个值时的概率对于服从某些特殊分布的随机变量，其分布列可以直接应用公式给出，其中超几何分布描述的是不放回抽样问题，随机变量为抽到的某类个体的个数由已知本题随机变量服从两点分布，由两点分布数学期望与方差的公式可得A正确【命题意图】理解取有限个值的离散型随机变量均值、方差的概念，能计算简单离散型随机变量的均值、方差，并能解决一些实际问题，考查考生的运算求解能力、分析与解决问题的能力【命题规律】离散型随机变量的均值与方差是高考的热点题型，近三年浙江卷对此内容的考查略有淡化，难度有所降低，主要考查分布列的性质、数学
4、期望、方差的计算及二者之间的关系【答题模板】求离散型随机变量X的分布列的步骤（1）理解X的意义，写出X可能取的全部值；（2）求X取每个值的概率；（3）写出X的分布列注意：与排列、组合有关分布列的求法可由排列、组合、概率知识求出概率，再求出分布列与频率分布直方图有关分布列的求法可由频率估计概率，再求出分布列与互斥事件有关分布列的求法弄清互斥事件的关系，利用概率公式求出概率，再列出分布列与独立事件有关分布列的求法先弄清独立事件的关系，求出各个概率，再列出分布列求解离散型随机变量X的均值与方差时，只要在求解分布列的前提下，根据均值、方差的定义求，即可【方法总结】1离散型随机变量分布列的概念及性质（1
5、）离散型随机变量的分布列的概念设离散型随机变量X可能取的不同值为，X取每一个值 (i1，2，n)的概率，则下表称为随机变量X的概率分布，简称为X的分布列XP有时也用等式表示X的分布列（2）离散型随机变量的分布列的性质(i1，2，n)；【必记结论】（1）随机变量的线性关系：若X是随机变量，a，b是常数，则Y也是随机变量（2）分布列性质的两个作用：利用分布列中各事件概率之和为1可求参数的值；随机变量所取的值分别对应的事件是两两互斥的，利用这一点可以求相关事件的概率2离散型随机变量的均值与方差一般地，若离散型随机变量X的分布列为：XP（1）称为随机变量X的均值或数学期望，它反映了离散型随机变量取值的
6、平均水平（2）称为随机变量X的方差，它刻画了随机变量X与其均值E(X)的平均偏离程度，其算术平方根为随机变量X的标准差（3）均值与方差的性质若YaXb，其中a，b为常数，则Y也是随机变量，且E(aXb)aE(X)b；D(aXb)a2D(X)3利用均值、方差进行决策均值能够反映随机变量取值的“平均水平”，因此，当均值不同时，两个随机变量取值的水平可见分晓，由此可对实际问题作出决策判断；若两随机变量均值相同或相差不大，则可通过分析两变量的方差来研究随机变量的离散程度或者稳定程度，进而进行决策4均值能够反映随机变量取值的“平均水平”，因此，当均值不同时，两个随机变量取值的水平可见分晓，由此可对实际问
7、题作出决策判断；若两随机变量均值相同或相差不大，则可通过分析两变量的方差来研究随机变量的离散程度或者稳定程度，进而进行决策1【浙江省温州九校2019届高三第一次联考】抽奖箱中有15个形状一样，颜色不一样的乒乓球（2个红色，3个黄色，其余为白色），抽到红球为一等奖，黄球为二等奖，白球不中奖。有90人依次进行有放回抽奖，则这90人中中奖人数的期望值和方差分别是A6，0.4B18，14.4C30，10D30，20【答案】D【分析】根据题意可得中奖的概率，而中奖人数服从二项分布，由此即可得到答案【解析】由题可得中奖概率为215+315=13，而中奖人数服从二项分布，故这90人中中奖人数的期望值为901
8、3=30，方差为9013(1-13)=20故选D【名师点睛】本题考查二项分布的判别及其期望和方差的求法，属中档题2【陕西省2019届高三年级第三次联考】同时抛掷2枚质地均匀的硬币4次，设2枚硬币均正面向上的次数为，则的数学期望是ABCD【答案】A【分析】先计算依次同时抛掷2枚质地均匀的硬币，恰好出现2枚正面向上的概率，进而利用二项分布求数学期望即可【解析】一次同时抛掷2枚质地均匀的硬币，恰好出现2枚正面向上的概率为，故选A【名师点睛】求离散型随机变量期望的一般方法是先求分布列，再求期望如果离散型随机变量服从二项分布，也可以直接利用公式求数学期望3【浙江省台州中学2018届高三模拟考试】已知某8
9、个数的期望为5，方差为3，现又加入一个新数据5，此时这9个数的期望记为E(X)，方差记为D(X)，则AE(X)=5，D(X)3BE(X)=5，D(X)3CE(X)3DE(X)5，D(X)3【答案】B【分析】首先利用离散型随机变量的期望和方程的计算公式，结合题中所给的条件，列出相应的式子，从而求得E(X)，D(X)的值，进而得到正确的选项【解析】根据题意可知，E(X)=58+59=5，D(X)=38+(5-5)29=833，故选B【名师点睛】该题考查的是离散型随机变量的期望和方程的有关问题，在解题的过程中，注意正确理解离散型随机变量的期望和方差的意义，正确使用其运算公式，从而得到确切的值，得到正
10、确的答案4【广东省东莞市2019届高三上学期期末调研测试】假设濮阳市市民使用移动支付的概率都为，且每位市民使用支付方式都是相互独立的，已知是其中10位市民使用移动支付的人数，且，则的值为A0.4B0.5C0.6D0.8【答案】C【分析】由已知得服从二项分布，直接由期望公式计算即可【解析】由已知条件每位市民使用移动支付的概率都为p，看做是独立重复事件，满足XB（10，p），解得，故选C【名师点睛】本题考查离散型随机变量期望的求法，属于基础题5【浙江省温州市2019届高三2月高考适应性测试】随机变量X的分布列如下表所示，X024Pa则D(X)A1B2C3D4【答案】B【分析】由分布列的性质解出a，
11、再利用方差公式求方差即可【解析】由题意可得，解得，所以，所以，故选B【名师点睛】本题考查分布列的性质、期望和方差的计算，考查基础知识和基本运算，属于基础题6【浙江省金华市浦江县2018年高考适应性考试】袋中装有5个大小相同的球，其中有2个白球，2个黑球，1个红球，现从袋中每次取出1球，去除后不放回，直到渠道有两种不同颜色的球时即终止，用X表示终止取球时所需的取球次数，则随机变量X的数字期望E(X)是ABCD【答案】A【分析】X的可能取值为2，3，求出对应的概率，由此能求出随机变量X的数字期望E（X）【解析】X的可能取值为2，3，P(X=3)=2514+2514=15，P(X=2)=1-P(X=
12、3)=45，所以E(X)=452+153=115，故选A【名师点睛】本题考查离散型随机变量的数学期望的求法，考查互斥事件概率加法公式、相互独立事件概率乘法公式等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题7【广东省广州市普通高中毕业班2019届高三综合测试二】从某班6名学生（其中男生4人，女生2人）中任选3人参加学校组织的社会实践活动设所选3人中女生人数为，则数学期望ABCD【答案】B【分析】先列随机变量，再分别求解对应概率，最后根据数学期望公式求结果【解析】由题可得的所有可能取值为，所以，故选B8【浙江省湖州三校2019年普通高等学校招生全国统一考试】已知袋子中装有若干个大小形状
13、相同且标有数字1，2，3的小球，每个小球上有一个数字，它们的个数依次成等差数列，从中随机抽取一个小球，若取出小球上的数字的数学期望是2，则的方差是ABCD【答案】B【分析】根据题意可假设标有数字1，2，3的小球各有1个，再根据方差定义求结果【解析】因为取出小球上的数字的数学期望是2，且个数依次成等差数列，所以不妨设标有数字1，2，3的小球各有1个，从而随机抽取一个小球概率皆为，方差为，故选B9【陕西省2019届高三年级第三次联考】同时抛掷2枚质地均匀的硬币4次，设2枚硬币均正面向上的次数为X，则X的数学期望是A1B32C2D52【答案】A【分析】先计算依次同时抛掷2枚质地均匀的硬币，恰好出现2
14、枚正面向上的概率，进而利用二项分布求数学期望即可【解析】因为一次同时抛掷2枚质地均匀的硬币，恰好出现2枚正面向上的概率为1212=14，所以XB(4，14)，所以E(X)=414=1故选A10【浙江省2018年高考全真模拟数学试题一】某班有的学生数学成绩优秀，如果从班中随机地找出5名学生，那么其中数学成绩优秀的学生数XB，则E(X)的值为ABCD【答案】D【解析】因为，所以，故选D11【浙江省金丽衢十二校2019届高三第二次联考】甲和乙两人独立的从五门选修课课程中任选三门进行学习，记两人所选课程相同的门数为，则为A1.2B1.5C1.8D2【答案】C【分析】由已知得的所有可能取值为1，2，3，
15、分别求出相应的概率，由此能求出【解析】由已知得的所有可能取值为1，2，3，所以，故选C12【四川省南充市2018-2019学年上学期高2019届高三年级第一次高考适应性考试】设离散型随机变量X可能的取值为1，2，3，4，P(X=k)=ak+b，又X的数学期望为E(X)=3，则a+b=A110B0C-110D15【答案】A【分析】将X=1，2，3，4代入PX=k的表达式，利用概率之和为1列方程，利用期望值列出第二个方程，联立方程组，可求解得a+b的值【解析】依题意可的X的分布列为X1234Pa+b2a+b3a+b4a+b依题意得a+b+2a+b+3a+b+4a+b=1a+b+22a+b+33a+
16、b+44a+b=3，解得a=110，b=0，故a+b=110故选A【名师点睛】本题主要考查离散型随机变量分布列，考查概率之和为1，考查离散型随机变量的数学期望，还考查了方程的思想属于基础题13【浙江省杭州市2018届高三第二次高考科目教学质量检测】已知0a14，随机变量的分布列如下：101P3414-aa当a增大时，AE()增大，D()增大BE()减小，D()增大CE()增大，D()减小DE()减小，D()减小【答案】A【分析】由随机变量的分布列，推导出E()=a-34，从而当a增大时，E()增大；D()=-(a-54)2+74，由0a14，得到当a增大时，D增大【解析】由随机变量的分布列，得
17、E()=a-34，当a增大时，E()增大；D=(-1-a+34)234+(0-a+34)2(14-a)+(1-a+34)2a=-a2+52a+316=-(a-54)2+74，0ap2，E(1)E(2)Bp1E(2)Cp1p2，E(1)E(2)Dp1p2，E(1)p2，E(1)E(2)，故选A【名师点睛】该题考查的是有关随机事件的概率以及对应的期望的问题，在解题的过程中，需要对其对应的事件弄明白，对应的概率会算，以及变量的可取值会分析是多少，利用期望公式求得结果22【浙江省教育绿色评价联盟2018届高三5月适应性考试】已知随机变量i满足P(i=0)=pi，P(i=1)=1-pi，且0pi12，i
18、=1，2若E(1)E(2)，则Ap1p2，且D(1)p2，且D(1)D(2)Cp1D(2)Dp1p2，且D(1)D(2)【答案】B【分析】求出P1=0=p1，P1=1=1-p1，P2=0=p2，P2=1=1-p2，从而E1=1-p1，E2=1-p2，由E1E2，得到0p2p10，进而得到D1D2【解析】随机变量1满足P1=0=p1，P1=1=1-p1，0p112，i=1，2，E1E2，P1=0=p1，P1=1=1-p1，P2=0=p2，P2=1=1-p2，E1=1-p1，E2=1-p2，E1E2，1-p1p2，0p2p112，D1=0-1+p12p1+1-1+p121-p1=p1-p12，D2
19、=0-1+p22p2+1-1+p221-p2=p2-p22，0p2p10，D1D2，故选B【名师点睛】本题主要考查离散型随机变量的分布列、期望公式与方差公式的应用以及作差法比较大小，意在考查学生综合运用所学知识解决问题的能力，计算能力，属于中档题23【浙江省杭州高级中学2019届高三上学期期中考试】已知随机变量的的分布列为1230.40.20.4则的数学期望为_，的方差为_【答案】 【解析】由已知中的分布列可得，【名师点睛】本题主要考查了离散型随机变量的期望公式与方差公式，同时考查了分布列等知识，属于基础题24【浙江省重点中学2019届高三12月期末热身联考】已知随机变量的分布列为：若，则_；
20、_【答案】【分析】由分布列的性质以及期望公式可得且，解得，再利用方差计算公式即可得结果【解析】由分布列的性质以及期望公式可得且，解得，所以，所以，【名师点睛】本题考查了随机变量的分布列与数学期望以及随机变量的方差公式，考查了推理能力与计算能力，意在考查综合应用所学知识解答问题的能力，属于中档题25【浙江省余姚中学2018届高三选考科目模拟卷二】若随机变量的分布列如表所示：则_，_【答案】【分析】利用分布列的性质先求出，然后直接使用公式可求得期望、方差【解析】由题意可知，解得（舍去）或，所以，所以【名师点睛】本题主要考查了离散型随机变量的分布和数学期望，方差等基础知识，熟记期望，方差的公式是解题
21、的关键26【浙江省台州市2018届高三上学期期末质量评估】已知随机变量X的分布列为：则_，_【答案】【解析】由题可得，解得，所以，27【腾远2018年普通高等学校招生全国统一考试浙江卷】已知两个离散型随机变量，满足=2+1，的分布列如下：012Pab16当E()=23时，a=_，D()=_【答案】12 209【分析】由分布列的性质和数学期望的公式，求得a=12，b=13，进而求得D()，根据=2+1，可得D()=22D()【解析】由题意可得a+b+16=1，E()=0a+1b+216=23，所以a=12，b=13，则D()=(0-23)212+(1-23)213+(2-23)216=59，又=
22、2+1，所以D()=22D()=459=209【名师点睛】本题主要考查了随机变量的分布列的性质，以及数学期望与方差的计算问题，其中熟记随机变量的分布列的性质和数学期望与方差的公式是解答的关键，着重考查了推理与运算能力28【浙江省宁波市2018届高三5月模拟考试】已知随机变量的分布列如下表：若，则_；_【答案】【解析】由题可得，解得，所以，解得，所以29【浙江省金华十校2019届高三上学期期末联考】一个口袋里装有大小相同的5个小球，其中红色两个，其余3个颜色各不相同现从中任意取出3个小球，其中恰有2个小球颜色相同的概率是_；若变量X为取出的三个小球中红球的个数，则X的数学期望_【答案】【解析】一个口袋里装有大小相同的5个小球，其中红色两个，其余3个颜色各不相同现从中任意取出3个小球，基本事件总数，其中恰有2个小球颜色相同包含的基本事件个数，所以其中恰有2个小球颜色相同的概率是若变量X为取出的三个小球中红球的个数，则X的可能取值为0，1，2，所以