1、高中数学专题03 指数函数与对数函数【母题来源一】【2019年高考全国卷文数】已知，则ABCD【答案】B【解析】即则故选B【名师点睛】本题考查指数和对数大小的比较，考查了数学运算的素养采取中间量法，根据指数函数和对数函数的单调性即可比较大小【母题来源二】【2018年高考全国卷文数】已知函数，若，则_【答案】【解析】根据题意有，可得，所以.故答案是.【名师点睛】该题考查的是有关已知某个自变量对应函数值的大小，来确定有关参数值的问题，在求解的过程中，需要将自变量代入函数解析式，求解即可得结果，属于基础题目.【命题意图】高考对本部分内容的考查主要是指数式、对数式的大小比较，以能力为主，重点考查函数的
2、单调性及其函数图象主要体现在以下几个方面：（1）掌握幂的运算.（2）理解对数的概念及其运算性质，知道用换底公式将一般对数转化成自然对数或常用对数；了解对数在简化运算中的作用.（3）理解指数、对数函数的概念，理解指数、对数函数的单调性.【命题规律】高考通常以考查指数、对数的运算以及指数、对数函数的图象与性质的应用为主，多以指数、对数函数为载体，查函数值的大小比较及单调性此外，指数、对数函数的图象及应用也常有出现，一般以选择题或填空题的形式呈现，难度一般不大，解题时熟练掌握指数、对数的运算性质与运算法则及其图象与性质，注意分类讨论、数形结合及转化与化归思想的运用.【思路点拨】解答指数式、对数式比较
3、大小，一般有两种思路：思路一：利用函数单调性同底的指数式和对数式以及同指数的指数式的大小，可以利用函数的单调性来比较，即（1）比较形如与的大小，利用指数函数的单调性；（2）比较形如与的大小，利用对数函数的单调性；（3）比较形如与的大小，利用幂函数的单调性.思路二：中间桥梁法既不同底又不同指的指数式、对数式比较大小，不能直接利用函数的单调性来比较，可利用特殊数值作为中间桥梁，进而可比较大小.（1）比较形如与的大小，一般找一个“中间值c”，若且，则；若且，则.常用到的特殊值有0和1.()（2）比较形如与的大小，一般可以取一个介于两值中间且与题目中两数都能比较大小的一个中间值，即或者，进而利用中间值
4、解決问题.【方法总结】（一）常用的指对数变换公式：（1）；（2），；（3）；（4）换底公式：，进而有两个推论：（令），（二）比较幂的大小的常用方法：（1）对于底数相同，指数不同的两个幂的大小比较，可以利用指数函数的单调性来判断；（2）对于底数不同，指数相同的两个幂的大小比较，可以利用指数函数图象的变化规律来判断；（3）对于底数不同，且指数也不同的幂的大小比较，可先化为同底的两个幂，或者通过中间值来比较（三）比较对数式的大小：（1）若底数为同一常数，则可由对数函数的单调性直接进行判断；若底数为同一字母，则需对底数进行分类讨论，即a1时是增函数，0a1时是减函数，当对数底数为变量时，要分情况对底数
5、进行讨论来比较两个对数的大小；（2）若底数不同，真数相同，则可以先用换底公式化为同底后，再进行比较；（3）若底数与真数都不同，则常借助1,0等中间量进行比较在具体比较时，可以首先将它们与零比较，分出正负；正数通常再与1比较分出大于1还是小于1，然后在各类中间两两相比较，另外若题中既有对数式又有指数式，也常用中间量比较大小（四）解指数、对数方程或不等式：（1）简单的指数方程或不等式的求解问题解决此类问题应利用指数函数的单调性，要特别注意底数a的取值范围，并在必要时进行分类讨论（2）形如的不等式，借助的单调性求解，如果a的取值不确定，需分与两种情况讨论；形如的不等式，需先将b化为以a为底的对数式的
6、形式，再借助的单调性求解（五）快速判断对数的符号：八字真言“同区间正，异区间负”.判断对数的符号，关键看底数和真数，区间分为和.（1）如果底数和真数均在中，或者均在中，那么对数的值为正数；（2）如果底数和真数一个在中，一个在中，那么对数的值为负数.例如：等（六）比较大小的两个理念：（1）求同存异：如果两个指数（或对数）的底数相同，则可通过真数的大小与指对数函数的单调性，判断出指数（或对数）的关系，要熟练运用公式，尽量将比较的对象转化为某一部分相同的情况.例如：，比较时可进行转化，尽管底数难以转化为同底，但指数可以变为相同，从而只需比较底数的大小即可.（2）利用特殊值作“中间量”：在指对数中通常
7、可优先选择“”对所比较的数进行划分，然后再进行比较，有时可以简化比较的步骤（在兵法上可称为“分割包围，各个击破”，也有一些题目需要选择特殊的常数对所比较的数的值进行估计，例如，可知，进而可估计是一个1点几的数，从而便于比较.总之，比较数式的大小，若同底，考虑指数函数（或对数函数）；若同指，则考虑幂函数，再利用函数的单调性比较大小；若不同底，也不同指，则其基本方法是“同底法”，即把不同底的对数式化为同底的对数式，然后根据单调性来解决，或者利用中间量法1【北京市清华大学附属中学2019届高三下学期第三次模拟考试数学试题】若集合，则实数的值为AB2CD1【答案】A【解析】由，解得；由解得， 因为，所
8、以，解得故选A【名师点睛】本题考查了指数函数与对数函数的性质与应用以及集合相等的性质，意在考查灵活运用所学知识解答问题的能力，是基础题求解时，根据指数函数与对数函数的性质，利用集合相等的性质列方程求解即可2【山东省德州市2019届高三第二次练习数学试题】设a，b都是不等于1的正数，则“”是“”的A充要条件B充分不必要条件C必要不充分条件D既不充分也不必要条件【答案】C【解析】由“”，得，所以或或，即或或，由，得，故“”是“”的必要不充分条件，故选C【名师点睛】本题考查必要条件、充分条件及充分必要条件的判断方法，考查指数，对数不等式的解法，是基础题求解时，根据对数函数以及指数函数的性质求解a,b
9、的范围，再利用充分必要条件的定义判断即可3【江西省南昌市江西师范大学附属中学2019届高三三模数学试题】已知，则下列结论正确的是ABCD【答案】B【解析】由题可得；且，所以.本题正确选项为B.【名师点睛】本题考查利用指数函数、对数函数的单调性比较大小的问题，关键是能够通过临界值来进行区分.求解本题时，根据指数函数、对数函数的单调性分别求得的范围，利用临界值可比较出大小关系.4【山东省实验中学等四校2019届高三联合考试数学试题】已知正实数，满足，则ABCD【答案】C【解析】正实数，满足，设，则，故选C【名师点睛】本题考查命题真假的判断，考查对数性质、运算法则等基础知识，考查运算求解能力，是基础
10、题求解时，设是求解的关键.5【2019年塘沽一中、育华中学高三毕业班第三次模拟考试数学】设奇函数在上是增函数，若，则的大小关系为ABCD【答案】D【解析】由为奇函数，且在上是增函数，可得，所以，又，所以由，可得，故，故选D.【名师点睛】本题主要考查函数的性质与概念，对数的运算与对数函数的性质及其应用，注意知识的灵活运用.求解时，先化简，结合，及在上是增函数可得答案.6【广东省肇庆市2019届高中毕业班第三次统一检测数学试题】设，当取最小值时的的值为A2B3C4D5【答案】C【解析】，当取最小值时的的值为4故选C【名师点睛】本题考查了指数与对数运算性质，考查了推理能力与计算能力.求解时，利用对数
11、运算性质可得，根据，即可得出结论7【广东省潮州市2019届高三第二次模拟考试数学试题】已知，则的取值范围是ABCD【答案】C【解析】令，则，由题知，得则故选C【名师点睛】本题主要考查不等式的性质以及指数函数的性质，意在考查综合运用所学知识解答问题的能力，属于中档题.求解时，利用待定系数法求得，由，结合，从而可得结果.8【山西省2019届高三高考考前适应性训练（三）数学试题】设，则ABCD【答案】A【解析】由得；，即，故.又，所以.故，所以选A.【名师点睛】本题考查利用作差法、作商法比较大小，考查对数的化简与计算，考查分析计算，化简求值的能力，属中档题.求解本题时，先判断m，n的正负，即可得；计
12、算，化简可得，再通过作差法比较，的大小，即可得结果.9【安徽省芜湖市2019届高三5月模拟考试数学试题】已知，且，则，的大小关系是ABCD【答案】D【解析】ab0，a+b1，1ab0，1，x（）b（）0 =1， =1，1xzy故选D【名师点睛】本题考查了对数函数的单调性的应用，考查了推理能力与计算能力，属于中档题求解本题时，先由题意ab0，a+b1，可得1ab0，再利用指数函数和对数函数的单调性即可比较大小10【宁夏石嘴山市第三中学2019届高三下学期三模考试数学试题】已知点在幂函数的图象上，设，则的大小关系为ABCD【答案】D【解析】由题可得：，解得：，所以，因为，.又，所以，由在上递增，可
13、得：.所以.故选D.【名师点睛】本题主要考查了函数单调性的应用，还考查了方程思想及计算能力，属于中档题.求解本题时，依据题意可得，可判断，由在上递增即可判断的大小，问题得解.11【广东省揭阳市2019年高考数学二模试题】以下四个数中，最大的是ABCD【答案】B【解析】由题意，令，则，所以时，在上单调递减，又由，则，即，故选：B【名师点睛】本题主要考查了函数的单调性的应用，以及对数的运算性质的应用，其中解答中利用导数得到函数的单调性，再利用对数的运算性质求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题12【河南省八市重点高中联盟“领军考试”2019届高三压轴数学试题】已知函数，若，则实数_
14、.【答案】1【解析】由题意，函数，得，即，解得.【名师点睛】本题主要考查了函数解析式的应用，其中解答中熟记对数的运算性质，准确运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题13【山东省济宁市2019届高三二模数学试题】已知，则_【答案】45【解析】由题意可得：，由对数恒等式可知：，则.【名师点睛】本题主要考查对数的运算法则及其应用，属于基础题.由题意利用对数的运算法则和指数的运算法则计算可得的值.14【北京市东城区2019届高三下学期综合练习（二模)数学试题】已知，则满足的一个正整数为_.【答案】27【解析】因为alog29log283，clog515log5252，即当m27时，blog3mlog3273满足abc，故满足abc的一个正整数m为27故答案为27【名师点睛】本题考查了对数值的运算，以及对数间比较大小的应用，属于简单题15【山东省滨州市2019届高三第二次模拟（5月）考试数学试题】若函数为偶函数，则_【答案】2【解析】函数为偶函数，则，即：恒成立，.则.【名师点睛】本题主要考查偶函数的性质与应用，对数的运算法则等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.求解时，首先由偶函数的性质求得a的值，然后结合对数的运算法则可得所给算式的值.