1、高中数学专题07 三角函数及其性质【母题原题1】【2019年高考天津卷文数】已知函数是奇函数，且的最小正周期为，将的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得图象对应的函数为若，则A2BCD2【答案】C【解析】为奇函数，；的最小正周期为，又，故选C【名师点睛】本题主要考查函数的性质和函数的求值问题，解题关键是求出函数，结合函数性质逐步得出的值即可【母题原题2】【2018年高考天津卷文数】将函数的图象向右平移个单位长度，所得图象对应的函数A在区间上单调递增B在区间上单调递减C在区间上单调递增D在区间上单调递减【答案】A【解析】由函数图象平移变换的性质可知：将函数的图象向右平移个单位
2、长度之后的解析式为，则函数的单调递增区间满足，即，令可得函数的一个单调递增区间为，选项A正确，B错误；函数的单调递减区间满足：，即，令可得函数的一个单调递减区间为，选项C，D错误故选A【名师点睛】本题主要考查三角函数图象的平移变换，三角函数的单调区间等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力【母题原题3】【2017年高考天津卷文数】设函数，其中若且的最小正周期大于，则ABCD【答案】A【解析】由题意得，其中，所以，又，所以，所以，由得，故选A【名师点睛】关于的问题有以下两种题型：提供函数图象求解析式或参数的取值范围，一般先根据图象的最高点或最低点确定，再根据最小正周期求，最后利用最高点或最低
3、点的坐标满足解析式，求出满足条件的的值；题目用文字叙述函数图象的特点，如对称轴方程、曲线经过的点的坐标、最值等，根据题意自己画出大致图象，然后寻求待定的参变量，题型很活，一般是求或的值、函数最值、取值范围等【命题意图】主要考查考生的直观想象和数学运算能力，及化归思想和整体代换思想的应用【命题规律】三角函数的图象与性质是高考考查的重点，主要考查：（1）三角函数的图象变换；（2）三角函数的性质及应用；（3）三角函数图象与性质的综合应用，有时也与三角恒等变换综合考查，多以选择题和填空题的形式呈现，难度中等偏下【答题模板】1解决三角函数图象与性质的综合问题的一般步骤：第一步：将f（x）化为asin x
4、+bcos x的形式；第二步：构造f（x）=sin x+cos x）；第三步：和角公式逆用，得f（x）=sin（x+）（其中为辅助角）；第四步：利用f（x）=sin（x+）研究三角函数的性质；第五步：反思回顾，查看关键点、易错点和答题规范2函数y=sin x的图象通过变换得到y=Asin（x+）（A0，0，0）的图象的步骤：3确定解析式y=Asin（x+）+b（A0，0）的步骤和方法：（1）求A，b先确定函数的最大值M和最小值m，则A=，b=特别地，当b=0时，A=M=m（2）求先确定函数的周期T，则可得=常用的确定周期T的方法：曲线与x轴的相邻两个交点之间的距离为；相邻的两条对称轴之间的距离
5、为；对称中心到对称轴的距离的最小值是；相邻的两个最低点（最高点）之间的距离为T（3）求常用的方法有：代入法：把图象上的一个已知点代入（此时A，b已知）或把图象与直线y=b的交点代入求解（此时要注意交点在上升区间上还是在下降区间上）五点法：确定值时，往往以寻找“五点法”中的第一个点为突破口，具体如下：选“第一个点”（即图象上升时与x轴的交点）时，令x+=2k（kZ）；选“第二个点”（即图象的“峰点”）时，令x+=+2k（kZ）；选“第三个点”（即图象下降时与x轴的交点）时，令x+=+2k（kZ）；选“第四个点”（即图象的“谷点”）时，令x+=+2k（kZ）；选“第五个点”时，令x+=2+2k（k
6、Z）【方法总结】1“五点法”画三角函数图象“五点法”作图原理：在正弦函数y=sin x，x0，2的图象上，起关键作用的五个点是（0，0），（，1），（，0），（，1），（2，0）在余弦函数y=cos x，x0，2的图象上，起关键作用的五个点是（0，1），（，0），（，1），（，0），（2，1）五点法作图有三步：列表、描点、连线（注意光滑）2正弦、余弦、正切函数的图象与性质三角函数正弦函数y=sin x余弦函数y=cos x正切函数y=tan x图象定义域RRx|xR，xk+，kZ值域1，11，1R奇偶性奇函数偶函数奇函数单调性在+2k，+2k（kZ）上是递增函数，在+2k，+2k（kZ）上是递
7、减函数在2k，2k（kZ）上是递增函数，在2k，2k+（kZ）上是递减函数在（+k，+k）（kZ）上是递增函数最值当且仅当x=+2k（kZ）时，取得最大值1；当且仅当x=+2k（kZ）时，取得最小值1当且仅当x=2k（kZ）时，取得最大值1；当且仅当x=+2k（kZ）时，取得最小值1在定义域内无最大值和最小值周期性周期是2k（kZ且k0），最小正周期是2周期是2k（kZ且k0），最小正周期是2周期是k（kZ且k0），最小正周期是对称性对称轴方程是x=+k（kZ），对称中心是（k，0）（kZ）对称轴方程是x=k（kZ），对称中心是（k+，0）（kZ）对称中心是（，0）（kZ）3函数y=Asin（
8、x+）（A0，0）的性质（1）周期性：y=Asin（x+）存在周期性，其最小正周期为T=（2）奇偶性：=k时，函数y=Asin（x+）为奇函数；=k+（kZ）时，函数y=Asin（x+）为偶函数（3）单调性：根据y=sin t和t=x+的单调性来研究，由+2kx+2k，kZ得单调递增区间；由+2kx+2k，kZ得单调递减区间（4）对称性：利用y=sin x的对称中心为（k，0）（kZ）求解，令x+=k（kZ），求得x利用y=sin x的对称轴为x=k+（kZ）求解，令x+=k+（kZ），求得其对称轴4三角函数单调性问题的常见类型及求解策略（1）已知三角函数解析式求单调区间，求函数的单调区间应遵
9、循简单化原则：将解析式先化简为y=Asin（x+）或y=Acos（x+）的形式，并注意复合函数的单调性规律“同增异减”；求形如y=Asin（x+）或y=Acos（x+）（其中0）的单调区间时，要视“x+”为一个整体，通过解不等式求解但如果0，那么先借助诱导公式将化为正数，再求解（2）已知三角函数解析式，讨论在给定区间上的单调性，通常有两种方法：先求出函数全部的单调区间，然后通过给整数取特定的值，得到在给定区间上的单调性由给定区间出发，得出x+的范围，对照正弦函数或余弦函数的单调区间得到函数在相应区间上的单调性（3）已知三角函数的单调区间求参数，需根据函数的单调区间，利用集合间的关系求解5三角函
10、数具有奇偶性的充要条件：函数y=Asin（x+）（xR）是奇函数=k（kZ）；函数y=Asin（x+）（xR）是偶函数=k+（kZ）；函数y=Acos（x+）（xR）是奇函数=k+（kZ）；函数y=Acos（x+）（xR）是偶函数=k（kZ）6三角函数周期的求解方法：定义法；公式法：函数y=Asin（x+）（y=Acos（x+）的最小正周期T=，函数y=Atan（x+）的最小正周期T=；图象法：求含有绝对值符号的三角函数的周期时可画出函数的图象，通过观察图象得出周期；转化法：对于较为复杂的三角函数，可通过恒等变形将其转化为y=Asin（x+）+b（或y=Acos（x+）+b或y=Atan（x+
11、）+b）的类型，再利用公式法求得周期7三角函数图象的对称轴和对称中心的求解方法：函数y=Asin（x+）图象的对称轴和对称中心可结合y=sin x图象的对称轴和对称中心求解，具体方法是利用整体代换思想求解，令x+=k+，kZ，解得x=，kZ，即对称轴方程；令x+=k，kZ，解得x=，kZ，即对称中心的横坐标（纵坐标为0）对于y=Acos（x+），y=Atan（x+），可以利用类似方法求得（注意y=Atan（x+）的图象无对称轴）1【天津市河西区2019届高三一模数学】以下关于的命题，正确的是A函数在区间上单调递增B直线需是函数图象的一条对称轴C点是函数图象的一个对称中心D将函数图象向左平移需个
12、单位，可得到的图象【答案】D【解析】，当时，函数在区间上有增有减，当时，所以直线不是函数图象的对称轴，当时，所以点不是函数图象的对称中心，将函数图象向左平移个单位，得到，综上可知，选D【名师点睛】三角恒等变换的综合应用主要是将三角变换与三角函数的性质相结合，通过变换把函数化为的形式再借助三角函数图象研究性质，解题时注意观察角、函数名、结构等特征2【天津市部分区2019届高三联考一模数学】函数的图象过点（如图所示），若将的图象上所有点向右平移个单位长度，得到函数的图象，则图象的一条对称轴的方程为ABCD【答案】D【解析】过，或，又，向右平移个单位，得，即，令，时，为的一条对称轴的方程，故选D【名
13、师点睛】本题考查了三角函数的图象与性质，重点考查学生对三角函数图象变换规律的理解与掌握，能否正确处理先周期变换后相位变换这种情况下图象的平移问题，反映学生对所学知识理解的深度3【天津市河北区2019届高三一模数学】将函数的图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再向左平移个单位长度，则所得函数的最小正周期为ABCD【答案】D【解析】由题意，得y=cos（x）y=cos（）y=cos（x）=cos（），其周期T4故选D【名师点睛】本题考查函数y=Asin（x+）的图象变换，三角函数的周期性及其求法，关键是明确平移的法则（左加右减，上加下减）及平移的单位与自变量的系数有关系，属于中档题4
14、【天津市红桥区2019届高三一模数学】已知函数，在曲线与直线的交点中，若相邻交点距离的最小值为，则的最小正周期为ABCD【答案】A【解析】函数f（x）sinx+cosx=2（sinxcosx）=2sin（x），令2sin（x）=1，化为sin（x），解得x2k或x2k，kZ在曲线y=f（x）与直线y=1的交点中，相邻交点距离的最小值是，2k=（），令k=0，解得=2T故选A【名师点睛】本题考查了和差公式、三角函数的图象与性质、三角函数的方程的解法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题5【天津市部分区2019届高三联考一模数学】设函数，则下列结论中错误的是A的一个周期为B的最大值为2C在区间上单
15、调递减D的一个零点为【答案】D【解析】，周期，A正确；的最大值为2，B正确，在上递减，C正确；时，不是的零点，D不正确故选D【名师点睛】本题通过对多个命题真假的判断，综合考查两角和的正弦公式以及三角函数的单调性、三角函数的周期性、三角函数的最值与零点，意在考查对基础知识掌握的熟练程度，属于中档题6【天津市和平区20182019学年度第二学期高三年级第三次质量调查数学】若函数的图象关于对称，则函数在上的最小值是ABCD【答案】C【解析】由辅助角公式可得：，函数图象关于对称，则当时，即，由于，故令可得，函数的解析式为，则，故函数在定义域内单调递减，函数的最小值为：故选C【名师点睛】本题主要考查三角
16、函数的对称性，三角函数最值的求解，辅助角公式及其应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力7【天津市南开中学2019届高三模拟数学】若函数与函数在上的单调性相同，则的一个值为ABCD【答案】A【解析】由于函数y=cos2x与函数y=sin（2x+）在0，上的单调性相同，函数y=cos2x在0，上的单调递减，故函数y=sin（2x+）在0，上的单调递减，故22k，且2k，kZ，由此求得，故选A【名师点睛】本题主要考查正弦函数、余弦函数的单调性，考查了分析解决问题的能力，属于基础题8【天津市南开区20182019学年度高三第二学期基础训练数学】已知，若对，使得成立，若在区间上，的取值范围为，
17、则实数的取值不可能是ABCD【答案】D【解析】，其中，由题意可知：，即，则函数的值域为的子集，设函数的最小正周期为，在区间上的取值范围为，则，即，解得结合选项可知实数的取值不可能是故选D【名师点睛】本题主要考查双量词问题的处理方法，三角函数的图象与性质等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力9【天津市和平区耀华中学2019届高三第一次校模拟考试数学】函数的部分图象如图所示，如果，且，则ABCD【答案】A【解析】由函数的部分图象，可得，再根据五点法作图可得，因为上，且，所以，故选A【名师点睛】本题主要通过已知三角函数的图象求解析式考查三角函数的性质，属于中档题利用最值求出，利用图象先求出周期
18、，用周期公式求出，利用特殊点求出，正确求是解题的关键求参数是确定函数解析式的关键，由特殊点求时，一定要分清特殊点是“五点法”的第几个点10【天津市北辰区2019届高考模拟考试数学】已知函数在同一周期内，当时取最大值，当时取最小值，则的值可能为ABCD【答案】B【解析】由题意可知：，则，即，当时，此时，满足题意，由此可知，的一个可能值为，故选B【名师点睛】本题考查利用三角函数的性质求函数解析式的问题，的求解主要通过函数的周期来确定，则通过函数上的点代入函数方程的方式来进行求解11【天津市红桥区2019届高三二模数学】已知函数，则在区间上的最小值为ABCD【答案】C【解析】，当时，即时，函数有最小
19、值，故选C【名师点睛】本题考查了给定区间求余弦型函数的最小值问题解决本题的关键是熟练掌握余弦函数的单调性12【天津南开中学第五次月考数学】函数的最小正周期是，若其图象向左平移个单位后得到的函数为偶函数，则函数的图象A关于点对称B关于直线对称C关于点对称D关于直线对称【答案】A【解析】由题意，函数的最小正周期是，即，解得，所以，将函数的向左平移个单位后得到函数，因为为偶函数，所以，即，解得，因为，所以，所以，令，解得，令，则，所以函数关于对称，故选A【名师点睛】本题主要考查了三角函数的图象变换，以及三角函数的图象与性质的应用，其中解答中熟练应用三角函数的图象变换求得函数的解析式，再利用三角函数的
20、图象与性质求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题13【天津市和平区20182019学年第二学期高三年级第二次质量调查数学】的图象向右平移个单位，所得到的图象关于轴对称，则的值为ABCD【答案】A【解析】的图象向右平移个单位后的解析式为：，图象关于轴对称，则当时函数取得最大值或最小值，即，故，令可得：故选A【名师点睛】本题主要考查三角函数的平移变换，三角函数的对称性等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力14【天津市和平区20182019学年度第二学期高三年级第二次质量调查数学】将函数图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍(纵坐标不变)，得到函数y=g(x)的图象，则函数y=g(
21、x)的图象的一个对称中心是ABCD【答案】A【解析】由题意可知令，是函数的图象的一个对称中心，故选A【名师点睛】本题考查了余弦函数的伸缩变换、对称中心15【天津市十二重点中学2019届高三下学期毕业班联考（二)数学】已知函数的图象过点，且在上单调，把的图象向右平移个单位之后与原来的图象重合，当且时，则()ABCD【答案】B【解析】过点，即，又，又的图象向右平移个单位后与原图象重合，在上单调，令，解得，当时，为的一条对称轴，又，当，且时，故选B【名师点睛】本题考查三角函数值的求解，关键是能够通过三角函数的图象平移、周期、特殊点等求解出函数解析式，再利用三角函数的对称性将问题转化为特定角的三角函数
22、值求解16【天津市十二重点中学2019届高三下学期毕业班联考（二)数学】已知函数的最小正周期为，且的图象过点，则方程所有解的和为ABCD【答案】A【解析】因为函数的最小正周期为，所以，所以因为的图象过点，所以，因为所以，由得，即，因为，所以所以所有解的和为，故选A【名师点睛】本题考查三角函数周期、解析式与零点，考查基本分析求解能力，属基础题17【天津市2019年3月九校联考高三数学】设函数，则函数是A奇函数，其图象关于点对称B奇函数，其图象关于直线对称C偶函数，其图象关于点对称D偶函数，其图象关于直线对称【答案】D【解析】由题意可得：故函数为偶函数，且当时，其图象不关于点对称，且当时，其图象关
23、于直线对称故选D【名师点睛】本题主要考查三角函数式的化简，三角函数的周期性，三角函数的对称性等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力18【天津九校联考2019年高三数学】已知函数的图象与轴的两个相邻交点的距离等于，若将函数的图象向左平移个单位得到函数的图象，则是减函数的区间为ABCD【答案】D【解析】，因为图象与轴的两个相邻交点的距离等于，所以，所以，所以，由得，所以是减函数的区间为，故选D【名师点睛】本题考查了正弦型函数的图象与性质，三角函数的变换，属于基础题19【天津市南开区2019届高三下学期一模考试数学】函数为增函数的区间是ABCD【答案】C【解析】，求的递增区间，等价于求的递减区
24、间，由，得，得，当k=0时，即函数的递减区间为，则函数的单调递增区间为故选C【名师点睛】本题主要考查三角函数单调性以及单调区间的求解，利用复合函数单调性之间的关系以及三角函数的单调性是解决本题的关键根据y=sint和的单调性来研究，由得单调增区间；由得单调减区间20【天津市十二重点中学2019届高三下学期毕业班联考（一)数学】将函数的图象向左平移个单位长度，再将图象上每个点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变），得到函数的图象，若函数在区间上有且仅有一个零点，则的取值范围为ABCD【答案】B【解析】将函数的图象向左平移个单位长度，可得的图象；再将图象上每个点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变），得到
25、函数的图象，因为函数在区间上有且仅有一个零点，故选B【名师点睛】本题主要考查的图象与性质以及变换规律，正弦函数的零点，意在考查综合应用所学知识，解答问题的能力，属于中档题21【四川省攀枝花市2019届高三第二次统一考试数学】已知同时满足下列三个条件：；是奇函数；若在上没有最小值，则实数的取值范围是ABCD【答案】D【解析】由，可得，因为是奇函数，所以是奇函数，即，又因为，即，所以是奇数，取k=1，此时，所以函数，因为在上没有最小值，此时，所以此时，解得故选D【名师点睛】本题考查了三角函数的综合问题，利用条件求得函数的解析式是解题的关键，属于较难题22【天津市河北区2019届高中学业水平考试模拟数学】为了得到函数，的图象，只需将函数，的图象上所有的点A向左平行移动个单位长度B向右平行移动个单位长度C向左平行移动个单位长度D向右平行移动个单位长度【答案】D【解析】，为了得到函数的图象，只需将函数y=sin2x的图象上所有的点向右平行移动个单位长度故选D【名师点睛】本题考查函数图象的平移变换，关键是注意x的变化，是基础题，也是易错题23【天津市河北区2019届高中学业水平考试模拟数学】已知，则的值是ABCD【答案】D【解析】，则，即，故选D【名师点睛】本题考查了对sin2+cos2=1变形应用能力是基础题