1、专题 06 导数的几何意义考纲解读明方向考点 内容解读 要求 常考题型 预测热度1.导数的概念与几何意义1.了解导数概念的实际背景2.理解导数的几何意义 选择题、填空题2.导数的运算1.能根据导数定义求函数 y=C(C 为常数),y=x,y= ,y=x2,y=x3,y= 的导数2.能利用基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数 选择题、 解答题本部分主要是对导数概念及其运算的考查,以导数的运算公式和运算法则为基础,以导数的几何意义为重点.1.导数的几何意义最常见的是求过曲线上某点的切线的斜率、方程、斜率与倾斜角的关系、切点的坐标,或以平行、垂直直线的斜率间的关系为载体求字母的
2、取值等.2.导数的运算是每年必考的内容,一般不单独考查,而在考查导数的应用时与单调性、极值与最值结合出题考查.3.本节内容在高考中分值为 5 分左右,属于容易题.2018 年高考全景展示1.【2018 年理新课标 I 卷】设函数 ，若 为奇函数，则曲线 在点处的切线方程为A. B. C. D. 【答案】D点睛：该题考查的是有关曲线 在某个点 处的切线方程的问题，在求解的过程中，首先需要确定函数解析式，此时利用到结论多项式函数中，奇函数不存在偶次项，偶函数不存在奇次项，从而求得相应的参数值，之后利用求导公式求得 ，借助于导数的几何意义，结合直线方程的点斜式求得结果.2 【2018 年全国卷理】曲
3、线 在点 处的切线的斜率为 ，则 _【答案】【解析】分析：求导，利用导数的几何意义计算即可。详解： ，则 ，所以 ，故答案为-3.点睛：本题主要考查导数的计算和导数的几何意义，属于基础题。3 【2018 年理数全国卷 II】 曲线 在点 处的切线方程为_【答案】【解析】分析：先求导数，再根据导数几何意义得切线斜率，最后根据点斜式求切线方程.详解：点睛：求曲线的切线要注意“过点 P 的切线”与“在点 P 处的切线”的差异，过点 P 的切线中，点P 不一定是切点，点 P 也不一定在已知曲线上，而在点 P 处的切线，必以点 P 为切点.4.【2018 年理数天津卷】已知函数 ， ，其中 a1.（I）
4、求函数 的单调区间；（II）若曲线 在点 处的切线与曲线 在点 处的切线平行，证明；（III）证明当 时，存在直线 l，使 l 是曲线 的切线，也是曲线 的切线.【答案】() 单调递减区间 ，单调递增区间为 ；()证明见解析；( )证明见解析.【解析】分析：（I）由题意可得 .令 ，解得 x=0.据此可得函数 的单调递减区间 ，单调递增区间为 .（II）曲线 在点 处的切线斜率为 .曲线 在点 处的切线斜率为.原问题等价于 .两边取对数可得 .（III）由题意可得两条切线方程分别为 l1： .l2： .则原问题等价于当 时，存在 ， ，使得 l1 和 l2 重合.转化为当 时，关于 x1 的方
5、程 存在实数解，构造函数，令，结合函数的性质可知存在唯一的 x0，且 x00，使得 ，据此可证得存在实数 t，使得 ，则题中的结论成立.详解：（I）由已知， ，有 .令 ，解得 x=0.由 a1，可知当 x 变化时， ， 的变化情况如下表：x 00 +极小值所以函数 的单调递减区间 ，单调递增区间为 .（II）由 ，可得曲线 在点 处的切线斜率为 .由 ，可得曲线 在点 处的切线斜率为 .因为这两条切线平行，故有 ，即 .两边取以 a 为底的对数，得 ，所以 .（III）曲线 在点 处的切线 l1： .曲线 在点 处的切线 l2： .要证明当 时，存在直线 l，使 l 是曲线 的切线，也是曲线
6、 的切线，只需证明当 时，存在 ， ，使得 l1 和 l2 重合.即只需证明当 时，方程组 有解，由得 ，代入，得 . 因此，只需证明当 时，关于 x1 的方程存在实数解.设函数 ，即要证明当 时，函数 存在零点.，可知 时， ；时， 单调递减，又 ， ，故存在唯一的 x0，且 x00，使得 ，即 .由此可得 在 上单调递增，在 上单调递减. 在 处取得极大值 .因为 ，故 ，所以 .下面证明存在实数 t，使得 .由（I）可得 ，当 时，有 ，所以存在实数t，使得 ，因此，当 时，存在 ，使得 .所以，当 时，存在直线 l，使 l 是曲线 的切线，也是曲线 的切线.点睛：导数是研究函数的单调性
7、、极值(最值) 最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，所以在历届高考中，对导数的应用的考查都非常突出 ，本专题在高考中的命题方向及命题角度 从高考来看，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行： (1)考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系 (2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数 (3)利用导数求函数的最值(极值 )，解决生活中的优化问题 (4)考查数形结合思想的应用5 【2018 年理北京卷】设函数 = （）若曲线 y= f（x）在点（1， ）处的切线与 轴平行，求 a；（）若 在 x=2 处取得极小值，求 a 的取值范围【答案】(1) a 的值为
8、1 (2) a 的取值范围是（ ，+）（）由（）得 f （x ）= ax2（2a+1 ）x +2e x=（ax1）(x2)e x若 a ，则当 x( ，2) 时，f (x)0所以 f (x)0所以 2 不是 f (x)的极小值点综上可知，a 的取值范围是（ ，+） 点睛：利用导数的几何意义解题，主要是利用导数、切点坐标、切线斜率之间的关系来进行转化.以平行、垂直直线斜率间的关系为载体求参数的值，则要求掌握平行、垂直与斜率之间的关系，进而和导数联系起来求解.2017 年高考全景展示1.【2017 山东，理 20】已知函数 2cosfxx， cosin2xgex，其中2.718e是自然对数的底数.
9、（）求曲线 yfx在点 处的切线方程；,f（）令 hgafR，讨论 hx的单调性并判断有无极值，有极值时求出极值.【答案】 （） 2yx.（）综上所述：当 0a时， hx在 ,0上单调递减，在 0,上单调递增，函数 hx有极小值，极小值是 021ha；当 01a时，函数 x在 ,ln和 ,l和 0,上单调递增，在 ln,0a上单调递减，函数hx有极大值，也有极小值，极大值是 2lnllnsilcosln2aaa 极小值是 01h； 当 1a时，函数 x在 ,上单调递增，无极值；当 时，函数 h在 ,0和 ln,a上单调递增，在 0,lna上单调递减，函数 x有极大值，也有极小值， 极大值是 2
10、1h；极小值是 2lnllnsilcosln2aaa .试题解析：（）由题意 2f又 2sinfxx，所以 2f，因此 曲线 yfx在点 ,f处的切线方程为 2y，即 2yx.（）由题意得 ，2()cosin)(cos)xhexax因为 cosin2icosinx xhe x2iixaxinxea，令 sinm则 1cos0m所以 mx在 R上单调递增.因为 (0),m所以 当 0x时， 当 时， (),x(1)当 a时， xea当 0时， 0hx， x单调递减，当 0x时， 0hx， x单调递增，所以 当 0x时 h取得极小值，极小值是 021ha；(2)当 a时， ln2sixaex由 得
11、 1lnx， 2=0当 01时， l0，当 ,l时， ln0,xaeh， x单调递增；当 ln,xa时， ln,0xaehx， 单调递减；当 0,时， ln,xa， 单调递增.所以 当 lnxa时 hx取得极大值.极大值为 2lllsinlcosln2ha ，当 0x时 取到极小值，极小值是 01h；当 a时， ln0，所以 当 ,时， hx，函数 x在 ,上单调递增，无极值；当 1a时， ln0所以 当 ,0x时， ln0xae， ,hx单调递增；当 0,lx时， lnxae， ,h单调递减；当 ln,a时， ln0xa， ,x单调递增；所以 当 0x时 h取得极大值，极大值是 021ha；
12、当 lna时 取得极小值.极小值是 2llnlsinlcosln2haa .综上所述：当 0时， hx在 ,0上单调递减，在 0,上单调递增，函数 hx有极小值，极小值是 21a；当 01a时，函数 hx在 ,ln和 0,l和 ,上单调递增，在 ln,0a上单调递减，函数hx有极大值，也有极小值，极大值是 2lnllnsilcosln2aaa 极小值是 01h；当 时，函数 hx在 ,上单调递增，无极值；当 1a时，函数 x在 ,0和 ln,a上单调递增，在 0,ln上单调递减，函数 hx有极大值，也有极小值， 极大值是 21ha；极小值是 2lnllnsilcosln2aaa .【考点】1.
13、导数的几何意义.2.应用导数研究函数的单调性、极值.3.分类讨论思想.【名师点睛】1.函数 f (x)在点 x0 处的导数 f (x0)的几何意义是曲线 yf (x) 在点 P(x0，y 0)处的切线的斜率相应地，切线方程为 yy0f (x0)(xx0)注意：求曲线切线时，要分清在点 P 处的切线与过点 P 的切线的不同2. 本题主要考查导数的几何意义、应用导数研究函数的单调性与极值、分类讨论思想.本题覆盖面广，对考生计算能力要求较高，是一道难题.解答本题，准确求导数是基础，恰当分类讨论是关键，易错点是分类讨论不全面、不彻底、不恰当，或因复杂式子变形能力差，而错漏百出.本题能较好的考查考生的逻
14、辑思维能力、基本计算能力、分类讨论思想等.2.【2017 北京，理 19】已知函数 ()ecosxf（）求曲线 在点 处的切线方程；()yfx0,（）求函数 在区间 上的最大值和最小值,2【答案】() ；（）最大值 1；最小值 .1y2【解析】（）设 ，则 .()ecosin)1xhx()ecosinsco)2esinx xhx当 时， ，0,2x()0所以 在区间 上单调递减.()h,所以对任意 有 ，即 .0,2x()0hx()0fx所以函数 在区间 上单调递减.()f,因此 在区间 上的最大值为 ，最小值为 .()fx0,2(0)1f()2f【考点】1.导数的几何意义；2.利用导数求函数
15、的最值.【名师点睛】这道导数题并不难，比一般意义上的压轴题要简单很多，第二问比较有特点是需要求二阶导数，因为 不能判断函数的单调性，所以需要再求一次导数，设 ，再求fx hxf，一般这时就可求得函数 的零点，或是 恒成立，这样就能知道函数 的单调hx hxhx性，根据单调性求最值，从而判断 的单调性，求得最值.yf2016 年高考全景展示1. 【2016 高考山东理数 】若函数 的图象上存在两点，使得函数的图象在这两点处的切线互()yfx相垂直，则称 具有 T 性质.下列函数中具有 T 性质的是（ ）()yfx（A） （B） （C） （D）sinlnyxexy3yx【答案】A【解析】试题分析：
16、由函数的图象在两点处的切线互相垂直可知，存在两点处的切线斜率的积，即导函数值的乘积为负一.当 时， ，有 ，所以在函数 图象存在两点sinyxcosyx0cos1sinyx使条件成立，故 A 正确；函数 的导数值均非负，不符合题意，0, 3ln,xye故选 A.考点：1.导数的计算；2.导数的几何意义.【名师点睛】本题主要考查导数的计算、导数的几何意义及两直线的位置关系，本题给出常见的三角函数、指数函数、对数函数、幂函数，突出了高考命题注重基础的原则.解答本题，关键在于将直线的位置关系与直线的斜率、切点处的导数值相联系，使问题加以转化，利用特殊化思想解题，降低难度.本题能较好的考查考生分析问题
17、解决问题的能力、基本计算能力及转化与化归思想的应用等.2. 【2016 年高考四川理数 】 设直线 l1，l 2 分别是函数 f(x)= 图象上点 P1，P 2 处的ln,0,1x切线，l 1 与 l2 垂直相交于点 P，且 l1，l 2 分别与 y 轴相交于点 A，B，则PAB 的面积的取值范围是( )（A）(0,1) （ B）(0,2) （ C）(0,+) （D）(1,+)【答案】A【解析】试题分析：设 （不妨设 ） ，则由导数的几何意义易1122,ln,lnPxx12,01x得切线 的斜率分别为 由已知得 切线12,l12,.k121221,.kxx的方程分别为 ，切线 的方程为 ，即1
18、l 11lnyxx2l 22lny.分别令 得 又 与 的交点为11lnyxx011,l,0l.AxBxl2， ， ，2121,lP111222PABBPSy 故选 A0ABS考点：1.导数的几何意义；2.两直线垂直关系；3.直线方程的应用；4.三角形面积取值范围.【名师点睛】本题首先考查导数的几何意义，其次考查最值问题，解题时可设出切点坐标，利用切线垂直求出这两点的关系，同时得出切线方程，从而得点 坐标，由两直线相交得出 点坐标，,ABP从而求得面积，题中把面积用 表示后，可得它的取值范围解决本题可以是根据题意按部就班一1x步一步解得结论这也是我们解决问题的一种基本方法，朴实而基础，简单而实
19、用3.【2016 高考新课标 3 理数】已知 为偶函数，当 时， ，则曲线f0x()ln)3fxxyfx在点 处的切线方程是_(1,)【答案】 21考点：1、函数的奇偶性与解析式；2、导数的几何意义【知识拓展】本题题型可归纳为“已知当 时，函数 ，则当 时，求函数的解析0x()yfx0式” 有如下结论：若函数 为偶函数，则当 时，函数的解析式为 ；若 为()f()yfx()f奇函数，则函数的解析式为 y4.【2016 年高考北京理数】设函数 ，曲线 在点 处的切线方程为 ，()axfeb()fx2,()f (1)4yex（1）求 ， 的值；（2）求 的单调区间.()fx【答案】 （） ， ；（
20、 2） 的单调递增区间为 .2abe)(xf (,)【解析】试题分析：（1）根据题意求出 ，根据 ， ，求 ， 的值；()f(2)fe(2)1feab（2）由题意知判断 ，即判断 的单调性，知 ，即 ，由此)(xf 1xxg0gx()0fx求得 的单调区间.()fx所以，当 时， ， 在区间 上单调递减；)1,(x0)(xg)()1,(当 时， ， 在区间 上单调递增.),1(x0)(xg)(),1(故 是 在区间 上的最小值，g,从而 .),(,0)(x综上可知， ， ，故 的单调递增区间为 .f ),()(xf ),(考点：导数的应用. 【名师点睛】用导数判断函数的单调性时，首先应确定函数的定义域，然后在函数的定义域内，通过讨论导数的符号，来判断函数的单调区间在对函数划分单调区间时，除了必须确定使导数等于0 的点外，还要注意定义区间内的间断点