1、高中数学专题04 推理与证明【母题来源一】【2019年高考全国卷文数】古希腊时期，人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是（0.618，称为黄金分割比例)，著名的“断臂维纳斯”便是如此此外，最美人体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比也是若某人满足上述两个黄金分割比例，且腿长为105 cm，头顶至脖子下端的长度为26 cm，则其身高可能是A165 cmB175 cmC185 cmD190 cm【答案】B【解析】方法一：如下图所示.依题意可知：，由腿长为105 cm得，所以AD169.89.头顶至脖子下端长度为26 cm，即AB26，所以.综上，.故选B.方法二：设人体脖子
2、下端至肚脐的长为x cm，肚脐至腿根的长为y cm，则，得又其腿长为105cm，头顶至脖子下端的长度为26cm，所以其身高约为42.07+5.15+105+26=178.22，接近175cm故选B【名师点睛】本题考查类比归纳与合情推理，渗透了逻辑推理和数学运算素养采取类比法，利用转化思想解题【命题意图】1.了解合情推理的含义，能利用归纳和类比等进行简单的推理，了解合情推理在数学发现中的作用.2.了解演绎推理的重要性，掌握演绎推理的基本模式，并能运用它们进行一些简单推理.3.了解合情推理和演绎推理之间的联系和差异.【命题规律】一般演绎推理贯穿于整个高考试卷的始末，合情推理作为新课标高考的重点内容
3、也会时常考查，涉及内容新颖、命题角度独特，常与函数、数列、圆锥曲线相结合进行考查，一般为选择题或填空题.直接证明与间接证明一般不会直接命题，与导数及其应用、不等式的证明、数列知识相结合命题的机会较大，题型多为解答题.解决此类问题时，要求学生具备较强的逻辑思维能力、推理论证能力以及化归转化思想.【方法总结】1常见的类比、归纳推理及求解策略（1）在进行类比推理时，不仅要注意形式的类比，还要注意方法的类比，且要注意以下两点：找两类对象的对应元素，如：三角形对应三棱锥，圆对应球，面积对应体积等等；找对应元素的对应关系，如：两条边(直线)垂直对应线面垂直或面面垂直，边相等对应面积相等（2）归纳推理是由部
4、分到整体、由特殊到一般的推理，由归纳推理所得的结论不一定正确，通常归纳的个体数目越多，越具有代表性，那么推广的一般性命题也会越可靠，它是一种发现一般性规律的重要方法.2利用综合法、分析法证明问题的策略（1）综合法的证明步骤如下：分析条件,选择方向：确定已知条件和结论间的联系,合理选择相关定义、定理等；转化条件,组织过程：将条件合理转化,书写出严密的证明过程.特别地,根据题目特点选取合适的证法可以简化解题过程.（2）分析法的证明过程是：确定结论与已知条件间的联系,合理选择相关定义、定理对结论进行转化,直到获得一个显而易见的命题即可.（3）实际解题时，用分析法思考问题，寻找解题途径，用综合法书写解
5、题过程，或者联合使用分析法与综合法，即从“欲知”想“已知”(分析)，从“已知”推“可知”(综合)，双管齐下，两面夹击，找到沟通已知条件和结论的途径.3用反证法证明不等式要把握的三点（1）必须先否定结论，即肯定结论的反面（2）必须从否定结论进行推理，即应把结论的反面作为条件，且必须依据这一条件进行推证.（3）推导出的矛盾可能多种多样，有的与已知矛盾，有的与假设矛盾，有的与已知事实矛盾等，且推导出的矛盾必须是明显的.4反证法的一般步骤用反证法证明命题时，要从否定结论开始，经过正确的推理，导出逻辑矛盾，从而达到新的否定(即肯定原命题)的过程.这个过程包括下面三个步骤:（1）反设假设命题的结论不成立，
6、即假设原结论的反面为真;（2）归谬由“反设”作为条件，经过一系列正确的推理，得出矛盾;（3）存真由矛盾结果断定反设错误，从而肯定原结论成立.即反证法的证明过程可以概括为：反设归谬存真.1【河北省衡水市第十三中学2019届高三质检（四）数学】利用反证法证明：若x+y=0，则x=y=0，假设为Ax,y都不为0Bx,y不都为0Cx,y都不为0，且xyDx,y至少有一个为0【答案】B【解析】x=y=0的否定为x0或y0，即x，y不都为0.故选B【名师点睛】本题考查反证法以及命题的否定，考查基本应用能力.2【山东省临沂市第十九中学2019届高三上学期第六次质量调研考试数学】已知，猜想的表达式为ABCD【
7、答案】B【解析】，由归纳推理可知故选B.【名师点睛】本题考查归纳推理，先求出前面几个数，根据数的特点及归纳推理可得所求的表达式3【湖南师大附中2019届高三月考试题（七）数学】箱子里有16张扑克牌：红桃A、Q、4，黑桃J、8、7、4、3、2，梅花K、Q、6、5、4，方片A、5，老师从这16张牌中挑出一张牌来，并把这张牌的点数告诉了学生甲，把这张牌的花色告诉了学生乙，这时，老师问学生甲和学生乙：你们能从已知的点数或花色中推知这张牌是什么牌吗？于是，老师听到了如下的对话：学生甲：我不知道这张牌；学生乙：我知道你不知道这张牌；学生甲：现在我知道这张牌了；学生乙：我也知道了.则这张牌是A梅花5B红桃Q
8、C红桃4D方片5【答案】D【解析】因为甲只知道点数而不知道花色，甲第一句说明这个点数在四种花色中有重复，表明点数为A，Q，5，4其中一种；而乙知道花色，还知道甲不知道，说明这种花色的所有点数在其他花色中也有，所以乙第一句表明花色为红桃或方片，甲第二句说明两种花色中只有一个点数不是公共的，所以表明不是A，乙第二句表明只能是方片5.故选D【名师点睛】本题为推理题，应根据题设中给出的条件逐个排除，此类问题为中档题.4【山东省济南外国语学校2019届高三1月份阶段模拟测试数学】甲、乙、丙、丁四位同学参加一次数学智力竞赛，决出了第一名到第四名的四个名次.甲说：“我不是第一名”；乙说：“丁是第一名”；丙说
9、：“乙是第一名”；丁说：“我不是第一名”.成绩公布后，发现这四位同学中只有一位说的是正确的，则获得第一名的同学为A甲B乙C丙D丁【答案】A【解析】当甲获得第一名时，甲、乙、丙说的都是错的，丁说的是对的，符合条件；当乙获得第一名时，甲、丙、丁说的都是对的，乙说的是错的，不符合条件；当丙获得第一名时，甲和丁说的是对的，乙和丙说的是错的，不符合条件；当丁获得第一名时，甲、乙说的都是对的，乙、丁说的都是错的，不符合条件故选A【名师点睛】本题考查简单推理的应用，考查合情推理等基础知识，是基础题5【山东省滨州市2019届高三第二次模拟（5月）考试数学】吴老师的班上有四名体育健将张明、王亮、李阳、赵旭，他们
10、都特别擅长短跑，在某次运动会上，他们四人要组成一个4100米接力队，吴老师要安排他们四人的出场顺序，以下是他们四人的对话：张明：我不跑第一棒和第二棒；王亮：我不跑第一棒和第四棒；李阳：我也不跑第一棒和第四棒；赵旭：如果王亮不跑第二棒，我就不跑第一棒.吴老师听了他们四人的对话，安排了一种合理的出场顺序，满足了他们的所有要求，据此我们可以断定，在吴老师安排的出场顺序中，跑第三棒的人是A张明B王亮C李阳D赵旭【答案】C【解析】很明显张明跑第三棒或第四棒，若张明跑第三棒，则由王亮不跑第一棒和第四棒可知王亮跑第二棒，而李阳不跑第一棒和第四棒，则无法安排李阳，可见张明跑第三棒不可行，则张明跑第四棒.由王亮
11、不跑第一棒和第四棒可知王亮跑第二棒或第三棒，若王亮跑第三棒，由李阳不跑第一棒和第四棒可知李阳跑第二棒，而赵旭要求如果王亮不跑第二棒，我就不跑第一棒，则赵旭无法安排；故王亮跑第二棒，由李阳不跑第一棒和第四棒可知李阳跑第三棒，此时赵旭跑第一棒，所有人员安排完毕.跑第三棒的人是李阳.故选C【名师点睛】本题主要考查推理案例的处理方法，属于中等题.6【陕西省榆林市2019届高考模拟第一次测试数学】我们把平面内与直线垂直的非零向量称为直线的法向量，在平面直角坐标系中，利用求动点轨迹方程的方法，可以求出过点A(-2,3)且法向量为的直线（点法式）方程为4(x+2)+(-1)(y-3)=0，化简得4x-y+1
12、1=0，类比以上方法，在空间直角坐标系中，经过点B(2,3,4)且法向量为的平面（点法式）方程为_【答案】x+2y-z-4=0【解析】类比直线方程求法，利用空间向量的数量积可得（1）（x-2）+（2）（y3）+（z4）0，化简得x+2y-z-4=0故答案为：x+2y-z-4=0.【名师点睛】本题考查了类比推理的应用问题，也考查了空间向量的数量积的应用问题，是基础题目7【江西省临川一中，南昌二中，九江一中，新余一中等九校重点中学协作体2019届高三第一次联考数学】在平面几何中，若正方形ABCD的内切圆面积为S1,外接圆面积为S2,则S1S2=12，推广到立体几何中，若正方体ABCD-A1B1C1
13、D1的内切球体积为V1,外接球体积为V2，则V1V2=_【答案】39【解析】正方形ABCD的内切圆的半径为r1 ,外接圆的半径为r2，半径比r1r2=12，面积比为半径比的平方S1S2=12，正方体ABCD-A1B1C1D1的内切球的半径为R1,外接球的半径为R2，半径比R1R2=13，所以体积比是半径比的立方V1V2=39.【名师点睛】立体几何中一个常见的猜想类比为面积比为半径比的平方，体积比为半径比的立方，由此可求解.8【山东省莱西市第一中学2019届高三第一次模拟考试数学】刘徽是中国古代最杰出的数学家之一，他在中国算术史上最重要的贡献就是注释九章算术，刘徽在割圆术中提出的“割之弥细，所失
14、弥少，割之又割以至于不可割，则与圆合体而无所失矣”，体现了无限与有限之间转化的思想方法，这种思想方法应用广泛.如数式2+12+12+是一个确定值x(数式中的省略号表示按此规律无限重复)，该数式的值可以用如下方法求得：令原式=x，则2+1x=x，即x2-2x-1=0，解得x=12，取正数得x=2+1.用类似的方法可得6+6+6+=_.【答案】3【解析】记6+6+6+=x，则6+x=x，整理得x2-x-6=0，解得x=-2或x=3.取正数得x=3.9【湖北部分重点中学2020届高三年级新起点考试数学】将正奇数按如图所示的规律排列：13 5 79 11 13 15 1719 21 23 25 27
15、29 31则2019在第_行，从左向右第_个数【答案】32 49 【解析】根据排列规律可知，第一行有1个奇数，第2行有3个奇数，第3行有5个奇数可得第n行有个奇数，前n行总共有个奇数，当时，共有个奇数，当时，共有个奇数，所以2019是第1010个奇数，在第32行第49个数.【名师点睛】此题考查了数字排列的变化规律，找到数字之间的规律和排列的规律是解题的关键，属于中档题.10【山东省实验中学等四校2019届高三联合考试数学】观察下列式子，根据上述规律，第个不等式应该为_【答案】【解析】根据题意，对于第一个不等式，则有，对于第二个不等式，则有，对于第三个不等式，则有，依此类推：第个不等式为：.故答案为：【名师点睛】本题考查归纳推理的应用，分析不等式的变化规律