1、高中数学专题08 函数的性质【母题原题1】【2019年高考天津卷文数】已知函数若关于x的方程恰有两个互异的实数解，则a的取值范围为ABCD 【答案】D【解析】作出函数的图象，以及直线，如图，关于x的方程恰有两个互异的实数解，即为和的图象有两个交点，平移直线，考虑直线经过点和时，有两个交点，可得或，考虑直线与在时相切，由，解得（舍去），所以的取值范围是故选D【名师点睛】根据方程实数根的个数确定参数的取值范围，常把其转化为曲线的交点个数问题，特别是其中一个函数的图象为直线时常用此法【母题原题2】【2018年高考天津卷文数】已知aR，函数若对任意x3，+），f（x）恒成立，则a的取值范围是_【答案】
2、，2【解析】分类讨论：当时，即：，整理可得：，由恒成立的条件可知：，其中，结合二次函数的性质可知：当时，则；当时，即：，整理可得：，由恒成立的条件可知：，其中，结合二次函数的性质可知：当或时，则综合可得的取值范围是【名师点睛】由题意分类讨论和两种情况，结合恒成立的条件整理计算即可求得最终结果对于恒成立问题，常用到以下两个结论：（1）af（x）恒成立af（x）max；（2）af（x）恒成立af（x）min有关二次函数的问题，数形结合，密切联系图象是探求解题思路的有效方法一般从：开口方向；对称轴位置；判别式；端点函数值符号四个方面进行分析【母题原题3】【2017年高考天津卷文数】已知函数设，若关于
3、的不等式在上恒成立，则的取值范围是ABCD【答案】A【解析】当，且时，即，即，显然上式不成立，由此可排除选项B、C、D故选A【名师点睛】涉及分段函数问题要遵循分段处理的原则，分别对的两种不同情况进行讨论，针对每种情况根据的范围，利用极端原理，求出对应的的取值范围本题具有较好的区分度，所给解析采用了排除法，解题步骤比较简捷，口算即可得出答案，解题时能够节省不少时间当然，本题也可画出函数图象，采用数形结合的方法进行求解【命题意图】主要考查数形结合思想、分类讨论思想的运用，以及考生的逻辑推理能力和数学运算能力【命题规律】从近几年的考查情况来看，函数的性质是高考的重点，常考查求函数的单调区间，判断函数
4、的单调性，利用单调性比较大小、解不等式，求函数的最值等，有时也将单调性、奇偶性与函数图象、函数零点或函数求导相结合进行考查，难度中等【知识总结】（一）函数的单调性1单调函数的定义及几何意义增函数减函数定义一般地，设函数f（x）的定义域为I如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1，x2，当x1x2时，都有f（x1）f（x2），那么就说函数f（x）在区间D上是增函数当x1f（x2），那么就说函数f （x）在区间D上是减函数几何意义自左向右图象是上升的自左向右图象是下降的注意：（1）函数的单调性定义中的x1，x2有三个特征：一是任意性；二是有大小，即x1x2）；三是同属于一个单调区间，
5、三者缺一不可（2）由f（x）是增（减）函数知f（x1）f（x2）x10时具有相同的单调性，在a0时具有相反的单调性当f（x），g（x）都是增（减）函数时，f（x）+g（x）是增（减）函数当f（x）恒不为0时，函数f（x）与1f（x）单调性相反当f（x）非负时，f（x）与f（x）具有相同的单调性当f（x），g（x）都是增（减）函数时，若两者都恒大于零，则f（x）g（x）也是增（减）函数；若两者都恒小于零，则 f（x）g（x）是减（增）函数（2）复合函数的单调性对于复合函数y=fg（x），若t=g（x）在区间（a，b）上是单调函数，且y=f（t）在区间（g（a），g（b）或（g（b），g（a）上是
6、单调函数，若t=g（x）与y=f（t）的单调性相同，则y=fg（x）为增函数；若t=g（x）与y=f（t）的单调性相反，则y=fg（x）为减函数简称“同增异减”4函数的最值前提设函数y=f（x）的定义域为I，如果存在实数M满足条件对于任意xI，都有f（x）M对于任意xI，都有f（x）M存在x0I，使得f（x0）=M存在x0I，使得f（x0）=M结论M为最大值M为最小值规律总结：（1）如果函数y=f（x）在区间a，b上单调递增，在区间b，c上单调递减，则函数y=f（x），xa，c在x=b处有最大值f（b）；如果函数y=f（x）在区间a，b上单调递减，在区间b，c上单调递增，则函数y=f（x），x
7、a，c在x=b处有最小值f（b）（2）若函数的最值存在，则一定是值域中的元素；若函数的值域是开区间，则函数无最值，若函数的值域是闭区间，则闭区间上的端点值就是函数的最值（二）函数的奇偶性函数奇偶性的定义及性质：前提（必要条件）奇偶性满足的充要条件图象特征特性单调性函数f（x）的定义域关于原点对称奇函数对定义域中任意的x，都有f（x）=f（x）关于原点对称（1）如果定义域中包含0，那么f（0）=0（2）若函数在关于原点对称的区间上有最值，则f（x）max+f（x）min=0在关于原点对称的区间上单调性相同偶函数对定义域中任意的x，都有f（x）=f（x）关于y轴对称f（x）=f（|x|）在关于原点
8、对称的区间上单调性相反注意：既是奇函数又是偶函数的函数只有一种类型，即f（x）=0，xD其中定义域D是关于原点对称的非空数集（三）函数的周期性1周期函数对于函数y=f（x），如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有f（x+T）=f（x），那么就称函数y=f（x）为周期函数，称T为这个函数的周期2最小正周期如果在周期函数f（x）的所有周期中存在最小的正数，那么这个最小正数就叫作f（x）的最小正周期注意：并不是周期函数都有最小正周期，如f（x）=5【方法总结】判断函数单调性和求单调区间的方法（1）定义法一般步骤为设元作差变形判断符号得出结论（2）图象法如果f（x）是以图象形式给出
9、的，或者f（x）的图象易作出，则可由图象的上升或下降确定单调性（3）导数法先求导数，利用导数值的正负确定函数的单调区间（4）性质法对于由基本初等函数的和、差构成的函数，根据各初等函数的增减性及“增函数+增函数=增函数，增函数减函数=增函数，减函数+减函数=减函数，减函数增函数=减函数”的性质进行判断；对于复合函数，先将函数fg（x）分解成f（x）和g（x），再讨论（判断）这两个函数的单调性，最后根据复合函数“同增异减”的规则进行判断1【天津市部分区2019届高三联考一模数学】已知函数若存在实数满足，其中，则的取值范围是ABCD【答案】B【解析】画出图象，如图，由二次函数的性质可得，由图可知，即
10、的取值范围是，故选B【名师点睛】本题主要考查分段函数的图象与性质，考查了二次函数指数函数的性质以及数形结果思想的应用，属于难题数形结合是根据数量与图形之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解决数学问题的一种重要思想方法函数图象是函数的一种表达形式，它形象地揭示了函数的性质，为研究函数的数量关系提供了“形”的直观性归纳起来，图象的应用常见的命题探究角度有：（1）确定方程根的个数；（2）求参数的取值范围；（3）求不等式的解集；（4）研究函数性质2【天津市河北区2019届高三一模数学】已知函数，当时，恒有成立，则实数a的取值范围是ABCD【答案】C【解析】易证函数f（x）为奇函数，时，恒有成立，x=
11、0时，f（a）0时，不成立，舍去，当a0时，解得1a0时，即，若，则成立；若，在单调递增，则恒成立综上，故选C【名师点睛】本题考查函数的综合应用，考查函数奇偶性，对称性，转化化归能力，分类讨论思想，是难题3【天津市红桥区2019届高三一模数学】若方程有两个不同的实数根，则实数k的取值范围是ABCD【答案】D【解析】y，画出函数y=kx2，y的图象，由图象可以看出，y=kx2图象恒过A（0，2），B（1，2），AB的斜率为4，当0k1时，函数y=kx2，y的图象有两个交点，即方程kx2有两个不同的实数根；当k=1时，函数y=kx2，y的图象有1个交点，即方程kx2有1个不同的实数根；当1k4时，
12、函数y=kx2，y的图象有两个交点，即方程kx2有两个不同的实数根；当时，函数y=kx2，y的图象有1个交点因此实数k的取值范围是0k1或1k4故选D【名师点睛】本题考查方程有两个实数解的条件，熟练掌握数形结合的思想方法及把问题等价转化是解题的关键4【天津市实验中学2019届高三第六次阶段考数学】定义在上的函数满足下列两个条件：（1）对任意的恒有成立；（2）当时，；记函数，若函数恰有两个零点，则实数的取值范围是ABCD【答案】C【解析】因为恒有成立，所以所以当时，有，从而画出的图象如图所示从图中可以看出，要使有两个零点，只要函数的图象与的图象有两个交点，当函数的图象经过点时，这时，函数恰有两个
13、零点，当函数的图象经过点时，函数只有一个零点，当时，或时，都不符合题意，故实数的取值范围是【名师点睛】本题主要考查函数零点的判定定理，解決此类问题的关键是熟悉求函数解析式的方法，函数的图象与函数的性质相结合是高中数学的一个重要数学思想数形结合的数学思想，该题属于基础题5【天津市北辰区2019届高考模拟考试数学】已知函数的图象上关于轴对称的点至多有2对，则实数的取值范围可以是ABCD【答案】B【解析】设函数关于轴对称的函数为，若，则，时，作出函数的图象，要使与的图象至多有2个交点，当时，由一个交点，满足题意；当，当满足，即，即，符合题意，则，解得，综上可得实数的取值范围可以是，故选B【名师点睛】
14、本题主要考查分段函数的应用，作出函数关于轴对称的图象，利用数形结合的思想是解决本题的关键，综合性较强，有一定的难度6【天津市十二重点中学2019届高三下学期毕业班联考（二）数学】已知函数，若函数恰有三个不同的零点，则实数的取值范围是ABCD【答案】B【解析】显然，所以得，由，在同一坐标系内画出及的图象，如下图由图得当时，函数至多有两个不同的零点，当时，故选B【名师点睛】本题考查函数图象与零点，考查综合分析求解能力，属较难题7【天津市部分区2019年高三质量调查试题（二）数学】已知函数，若关于x的方程恰有三个不同的实数根a，b，c，则的取值范围是ABCD【答案】D【解析】作图可得，所以，故选D【
15、名师点睛】本题考查函数与方程，考查基本分析求解能力，属中档题8【天津市2019年3月九校联考高三数学】设，若函数在内有4个零点，则实数的取值范围是ABCD【答案】D【解析】很明显不是函数的零点，令函数，则，则，令，则函数的图象与在内有个交点，函数的图象如下图所示，由图可得故选D【名师点睛】本题主要考查由函数零点个数确定参数的方法，数形结合的数学思想等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力9【天津九校联考2019年高三数学】已知函数，且函数恰有三个不同的零点，则实数的取值范围是ABCD【答案】A【解析】方程，所以函数恰有三个不同的零点等价于与有三个交点，记，画出函数简图如下画出函数如图中过原
16、点虚线l，平移l要保证图象有三个交点，向上最多平移到位置，向下平移一直会有三个交点，所以，即，故选A【名师点睛】本题考查了函数的零点问题，解决函数零点问题常转化为两函数交点问题10【天津市十二重点中学2019届高三下学期毕业班联考（一）数学】已知函数，若方程有且只有三个不相等的实数解，则实数的取值范围是ABCD【答案】A【解析】有且只有三个不相等的实数根，等价于与图象有三个交点，画出与图象如图，与相切时，过时，根据图象可知，时，两图象有三个交点，若方程有且只有三个不相等的实数解，则实数的取值范围是，故选A【名师点睛】本题主要考查分段函数的图象与性质、考查了函数与方程思想、数形结合思想的应用，属
17、于难题数形结合是根据数量与图形之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解决数学问题的一种重要思想方法，函数图象是函数的一种表达形式，它形象地揭示了函数的性质，为研究函数的数量关系提供了“形”的直观性归纳起来，图象的应用常见的命题探究角度有：（1）确定方程根的个数；（2）求参数的取值范围；（3）求不等式的解集；（4）研究函数性质11【天津市和平区2019届高三下学期第一次质量调查数学】已知函数，若关于的方程恰有三个不相等的实数解，则的取值范围是ABCD【答案】C【解析】关于的方程恰有三个不相等的实数解，即方程恰有三个不相等的实数解，即与有三个不同的交点令，当时，函数单调递减；当时，函数单调递增；且
18、当时，当时，当时，据此绘制函数的图象如图所示，结合函数图象可知，满足题意时的取值范围是故选C【名师点睛】函数零点的求解与判断方法：（1）直接求零点：令f（x）=0，如果能求出解，则有几个解就有几个零点（2）零点存在性定理：利用定理不仅要函数在区间a，b上是连续不断的曲线，且f（a）f（b）0，还必须结合函数的图象与性质（如单调性、奇偶性）才能确定函数有多少个零点（3）利用图象交点的个数：将函数变形为两个函数的差，画两个函数的图象，看其交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点12【天津市和平区20182019学年度第二学期高三年级第二次质量调查数学】已知函数且函数在内有且仅有两个不同的零点
19、，则实数的取值范围是_【答案】【解析】函数在内有且仅有两个不同的零点，即函数与函数在内有且仅有两个不同的交点，表示过点，斜率为的直线，绘制函数的图象如图所示，考查临界情况：首先考查经过点且与相切的直线方程的斜率：由可得，故切点坐标为，切线的斜率，切线方程为，切线过点，故，解得，故切线的斜率，由可得，由可得，结合图形可得实数取值范围是【名师点睛】本题主要考查已知函数零点求参数取值范围的方法，数形结合的数学思想，导函数研究函数的切线方程等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力13【天津市河西区20182019学年高三第二学期总复习质量调查（二）数学】已知函数满足，其中，若函数有个零点，则实数的
20、取值范围是_【答案】【解析】先作函数图象，由图可得有两根，其中，因此必有两根，因此要使函数有个零点，需有两根，即，【名师点睛】本题考查函数图象与函数零点，考查基本分析求解能力，属中档题14【天津市南开区2019届高三下学期一模考试数学】设函数，若函数有三个零点，则这三个零点之和的取值范围是_【答案】【解析】函数若函数有三个零点，即方程有三个根，即图象和有三个交点，在同一坐标系中画出函数的图象：三个交点分别为：满足根据方程：的零点的范围，当取得最小值3时，解得，即，根据二次函数的对称性得到，故答案为：【名师点睛】这个题目考查了函数的零点之和的问题，在研究函数零点时，有一种方法是把函数的零点转化为
21、方程的解，再把方程的解转化为函数图象的交点，特别是利用分离参数法转化为动直线与函数图象交点问题，这样就可利用导数研究新函数的单调性与极值，从而得出函数的变化趋势，得出结论15【天津市河东区2019届高三二模数学】已知函数，函数有个零点，则实数的取值范围是_【答案】【解析】设，则，故，即，绘制函数图象如图所示，函数有个零点，则函数与函数有个交点，如图所示，考查临界情况，当直线与函数相切时，设切点坐标为，由题意可得：，解得则直线与函数相切时斜率为，数形结合可知实数的取值范围是【名师点睛】本题主要考查分段函数及其应用，数形结合的数学】思想，导函数研究函数的切线方程等知识，意在考查学生的转化能力和计算
22、求解能力16【天津市红桥区2019届高三一模数学】已知函数，若存在两个零点，则实数k的取值范围是_【答案】【解析】存在两个零点，y=f（x）与y=xk的图象的图象有且仅有两个交点，分别画出y=f（x）与y=xk的图象，如图所示由图易知：k，即，故答案为：【名师点睛】已知函数有零点求参数取值范围常用的方法和思路（1）直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围；（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；（3）数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解17【天津市北辰区2019届高考模拟考试数学】已知函数，若
23、方程有且只有2个不相等的实数解，则实数k的取值范围是_【答案】【解析】当时，当时，当时，设，则，有且只有2个不相等的实数解等价于有且仅有个零点，若一个零点位于，即，若一个零点位于，即，可知在内不可能同时存在零点，即当时，在上有一个零点；当时，在上无零点，（1）当在上有且仅有一个零点时，当时，或，此时在上无零点，不满足有两个零点当，即或时，只需，即，时，在上有且仅有一个零点，时，在上有一个零点，时，有且仅有个零点（2）当在上有两个零点时，只需，时，在上无零点，时，有且仅有个零点，综上所述，【名师点睛】本题考查根据函数零点的个数求解参数取值范围的问题，关键是能够通过对二次函数图象的讨论，构造出在区
24、间内有一个零点和两个零点的不等式，解不等式求得参数范围，本题对学生对于函数图象的理解有较高的要求18【天津南开中学2019届第五次月考数学】已知函数满足，若在区间内关于的方程恰有4个不同的实数解，则实数的取值范围是_【答案】【解析】由题意，函数满足，即，即函数是以6为周期的周期函数，又由在区间内关于的方程恰有4个不同的实数解，即在区间内关于的方程恰有4个不同的实数解，即函数与的图象在区间内有4个不同的交点，又由函数，作出函数的图象，如图所示，由直线，可知直线恒过点，当时，此时直线与函数的图象恰有4个交点，当直线过点时，此时，即，此时函数与直线有5个同的交点，当直线与半圆相切时，此时圆心到直线的距离等于圆的半径，即，解得或（舍去），此时函数与直线有3个同的交点，此时函数与直线恰有4个同的交点，则综上可知，实数的取值范围是【名师点睛】本题主要考查了函数与方程的综合应用问题，其中解答中根据函数的解析式和周期作出函数的图象，把方程的解答的个数转化为两个函数的图象的交点的个数，利用数形结合法求解是解答的关键，着重考查了转化思想，以及分析问题和解答问题的能力，试题综合性强，属于中档试题