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2018-2019学年辽宁省大连市育明高中高一(上)期中数学试卷(含详细解答)

1、2018-2019学年辽宁省大连市育明高中高一(上)期中数学试卷一、选择题(每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1(5分)设集合Mx|1x3,Ny|y2x,xR,则MN等于()A(1,3)B0,3)C(0,3)D2(5分)全称命题“xR,x2+2x+10”的否定是()AxR,x2+2x+10BxR,x2+2x+10CxR,x2+2x+10D以上都不对3(5分)已知函数yf(x+1)的定义域为2,6,则函数yf(34x)的定义域是()A1,1B3,5CD4(5分)已知函数f(x)x2+2(a1)x+2在区间(,3)上是减函数,则实数a的取值范围是()A2,+

2、)B(,2)C(,2D(2,+)5(5分)下列函数是偶函数且在区间(0,+)上是增函数的是()ABy10|x1|Cyx3D6(5分)关于x的不等式mx2+2mx10恒成立的一个充分不必要条件是()AB1m0C2m1D7(5分)已知函数,则函数f(x)()A有最小值2B有最小值2C有最大值2D有最大值68(5分)已知关于x的方程为2kx22x5k20的两个实数根一个小于1,另一个大于1,则实数k的取值范围是()Ak0BCD9(5分)已知函数是定义域(,+)上的单调递减函数,则实数a的取值范围是()ABCD10(5分)有下列四个命题:已知1ab0,则0.3aa2ab;若正实数a、b满足a+b1,则

3、ab有最大值;若正实数a、b满足a+b1,则有最大值;x,y(0,+),x3+y3x2y+xy2其中真命题的个数是()A1B2C3D411(5分)已知函数f(x)ax1+1(a0,a1)图象过定点A,且点A在直线ax+by6上,其中a、b为正实数,则的最小值为()ABCD12(5分),则函数yff(x)的零点个数为()A7B6C5D3二、填空题(本题共4小题,每小题5分,共20分.把答案填在题中横线上)13(5分)f(2x1)x42x2+x+2,则f(3) 14(5分)函数的单调增区间为 15(5分) 16(5分)已知函数f(x)对任意xR满足f(x+2)f(2x),且在2,+上为增函数,若g

4、(x)f(x+2),则不等式2g(5x)3g(x3+4x2+2)g(5x)的解集是 三、解答题(本大题共6小题,共70分.解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17(10分)已知命题;命题q:xB,Bx|1ax1+a,a0若p是q的必要不充分条件,求实数a的取值范围18(12分)解关于x的不等式ax2(2a+3)x+60(aR)19(12分)已知定义域为R的奇函数f(x),当x0时,f(x)ax2+bx+8(0a4),点A(2,0)在函数f(x)的图象上,且关于x的方程f(x)+10有两个相等的实根(1)求函数f(x)解析式;(2)若xt,t+2(t0)时,函数f(x)有最小值1,求实数t

5、的值20(12分)已知函数为奇函数(1)求实数k的值;(2)判断函数f(x)在(3,+)上的单调性,并利用定义证明;(3)解关于x的不等式f(2x+6)f(4x+32x+3)21(12分)定义在(0,+)的函数f(x)满足如下三个条件:对于任意正实数a、b,都有f(ab)f(a)+f(b)1;f(2)0;x1时,总有f(x)1(1)求f(1)及的值;(2)求证:函数f(x)在(0,+)上是减函数;(3)如果存在正数k,使关于x的方程f(kx)+f(2x)1有解,求正实数k的取值范围22(12分)已知函数(1)若函数的值域为0,+),求实数a的取值范围;(2)若关于x的不等式F(x)af(x)+

6、12恒成立,求实数a的取值范围2018-2019学年辽宁省大连市育明高中高一(上)期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题(每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1(5分)设集合Mx|1x3,Ny|y2x,xR,则MN等于()A(1,3)B0,3)C(0,3)D【分析】根据指数函数的图象先明确集合A,而后由交集的定义得结果【解答】解:Ny|y0,MN(1,3)(0,+)(0,3)故选:C【点评】此题考查了交集及其运算,熟练掌握交集的定义是解本题的关键是基础题2(5分)全称命题“xR,x2+2x+10”的否定是()AxR,x2+2x+10BxR,x2+2x+1

7、0CxR,x2+2x+10D以上都不对【分析】根据全称命题的否定要改成存在性命题的原则,可写出原命题的否定【解答】解:命题的否定,须将量词与结论同时否定命题“xR,x2+2x+10”的否定是:xR,x2+2x+10故选:B【点评】命题的否定是有规律的,一般来说要将量词与结论同时否定,全称命题变为特称性命题,特称性命题变为全称命题3(5分)已知函数yf(x+1)的定义域为2,6,则函数yf(34x)的定义域是()A1,1B3,5CD【分析】由已知函数的定义域求得f(x)的定义域,再由34x在f(x)的定义域内求得x的范围得答案【解答】解:函数yf(x+1)的定义域为2,6,即2x6,得1x+17

8、,f(x)的定义域为1,7,由134x7,可得1x1函数yf(34x)的定义域是1,1故选:A【点评】本题考查函数的定义域及其求法,关键是掌握该类问题的求解方法,是基础题4(5分)已知函数f(x)x2+2(a1)x+2在区间(,3)上是减函数,则实数a的取值范围是()A2,+)B(,2)C(,2D(2,+)【分析】函数f(x)x2+2(a1)x+2在区间(,3上是减函数,即说明(,3是函数f(x)的减区间的子集【解答】解:函数f(x)x2+2(a1)x+2的单调减区间为(,1a,又f(x)在区间(,3上是减函数,所以有(,3(,1a,所以31a,解得a2,即实数a的取值范围为(,2故选:C【点

9、评】本题考查函数单调性的性质,函数f(x)在某区间上单调,意味着该区间为函数单调区间的子集,而未必是单调区间5(5分)下列函数是偶函数且在区间(0,+)上是增函数的是()ABy10|x1|Cyx3D【分析】由函数y为偶函数,但在(0,+)上是减函数,可判断A;由函数y为非奇非偶函数可判断B;由函数y为奇函数可判断C;运用复合函数的单调性:同增异减,结合指数函数和二次函数的单调性,可判断D【解答】解:对于A,y为偶函数,但在(0,+)上是减函数,A不符题意;对于B,y10|x1|为非奇非偶函数,B不符题意;对于C,yx3为奇函数,C不符题意;对于D,y为偶函数,令tx2+1,则y()t,由tx2

10、+1在(0,+)上是减函数,y()t在(0,+)上是减函数,即有y在(0,+)上是增函数,符合题意故选:D【点评】本题考查函数的奇偶性和单调性的判断,注意运用定义法和复合函数的单调性:同增异减,考查推理能力,属于中档题6(5分)关于x的不等式mx2+2mx10恒成立的一个充分不必要条件是()AB1m0C2m1D【分析】关于x的不等式mx2+2mx10恒成立,m0时,可得:10m0时,可得:,解得m范围【解答】解:关于x的不等式mx2+2mx10恒成立,m0时,可得:10m0时,可得:,解得1m0综上可得:1m0关于x的不等式mx2+2mx10恒成立的一个充分不必要条件是故选:A【点评】本题考查

11、了不等式的解法、分类讨论方法、简易逻辑的判定方法,考查了推理能力与计算能力,属于基础题7(5分)已知函数,则函数f(x)()A有最小值2B有最小值2C有最大值2D有最大值6【分析】令x+2t,则t0,把已知函数进行转化为f(t),分离后利用基本不等式可求【解答】解:x2,x+20,令x+2t,则t0f(x),f(t)(t)+()4246当且仅当t且t0即t1,从而有x3时取最大值6故选:D【点评】本题主要考查了利用基本不等式求解最值,解题的关键是条件的变换及配凑8(5分)已知关于x的方程为2kx22x5k20的两个实数根一个小于1,另一个大于1,则实数k的取值范围是()Ak0BCD【分析】讨论

12、方程的类型和抛物线的开口后,根据图象列式可得【解答】解:令f(x)2kx22x5k2,当k0时,开口向上的抛物线与x轴的两个交点,一个在(1,0)的左边,一个在(1,0)的右边,所以有:f(1)0,即2k25k20,解得:k,k0,当k0时,f(x)0只有一个实根,不符合题意;当k0时,开口向下的抛物线与x轴的两个交点,一个在(1,0)的左边,一个在(1,0)的右边,所以有:f(1)0,即2k25k20,解得:k,综上所述:k或k0故选:D【点评】本题考查了函数的方程的综合运用属中档题9(5分)已知函数是定义域(,+)上的单调递减函数,则实数a的取值范围是()ABCD【分析】根据分段函数单调性

13、的性质建立不等式关系进行求解即可【解答】解:函数,f(x)是定义域(,+)上的单调递减函数,则满足,解得,故选:B【点评】本题主要考查函数单调性的应用,根据分段函数的性质建立不等式关系是解决本题的关键10(5分)有下列四个命题:已知1ab0,则0.3aa2ab;若正实数a、b满足a+b1,则ab有最大值;若正实数a、b满足a+b1,则有最大值;x,y(0,+),x3+y3x2y+xy2其中真命题的个数是()A1B2C3D4【分析】由不等式的性质和指数函数的单调性可判断;由基本不等式可判断;运用作差法和因式分解,可判断【解答】解:已知1ab0,则0.3a1,1a2ab0,即有0.3aa2ab正确

14、;若正实数a、b满足a+b1,则ab()2,有最大值正确;若正实数a、b满足a+b1,则,有最大值正确;x,y(0,+),x3+y3x2yxy2x2(xy)y2(xy)(xy)2(x+y)0恒成立,故正确故选:D【点评】本题考查基本不等式的运用:求最值,考查不等式的大小比较,化简运算能力,属于基础题11(5分)已知函数f(x)ax1+1(a0,a1)图象过定点A,且点A在直线ax+by6上,其中a、b为正实数,则的最小值为()ABCD【分析】先求定点A的坐标为(1,2),代入直线ax+by6可得2a+3b6,变形后利用1的代换,进而利用基本不等式即可求解【解答】解:函数yax1+1(a0,a1

15、)的图象恒过定点A的坐标为(1,2),代入直线ax+by60 可得 a+2b6,a+2+2(b+1)10,()(2+a)+2(1+b)(3+),当且仅当且a+2b6时取等号,故选:A【点评】本题考查基本不等式的应用,函数的图象过定点问题,得到是解题的关键12(5分),则函数yff(x)的零点个数为()A7B6C5D3【分析】因为yff(x)的零点个数ff(x)0的根的个数,令tf(x),则f(t)0,画出yf(x)的图象,先判断出方程f(t)0有3个根,再根据每个根的范围,结合图象判断tf(x)的根的个数即可【解答】解:因为yff(x)的零点个数ff(x)0的根的个数,令tf(x),则f(t)

16、0yf(x)的图象如图所示:由图可知:f(t)0有三个根,t1(6,4),t2(2,0),t3(0,2),当t1f(x)时,由图可知方程有且只有一个根;当t2f(x)时,由图可知方程有三个实根;当t3f(x)时,由图可知方程有三个根,综上所述:yff(x)有7个零点故选:A【点评】本题考查了函数与方程的综合运用属中档题二、填空题(本题共4小题,每小题5分,共20分.把答案填在题中横线上)13(5分)f(2x1)x42x2+x+2,则f(3)12【分析】由f(2x1)x42x2+x+2,f(3)f(221),能求出结果【解答】解:f(2x1)x42x2+x+2,f(3)f(221)24222+2

17、+212故答案为:12【点评】本题考查函数值的求法,考查函数性质等基础知识,考查运算求解能力,考查函数与方程思想,是基础题14(5分)函数的单调增区间为1,1【分析】先求函数f(x)的定义域,函数可看作由y,tx2+2x+3复合而成的,又y单调递增,要求函数的单调增区间,只需求tx2+2x+3的增区间即可,注意在定义域内求【解答】解:由x2+2x+30,得1x3,所以函数f(x)的定义域为1,3函数可看作由y,tx2+2x+3复合而成的,y单调递增,要求函数的单调增区间,只需求tx2+2x+3的增区间即可,tx2+2x+3在1,3的单调增区间为1,1,所以函数的单调增区间为1,1,故答案为:1

18、,1【点评】本题考查复合函数的单调性及二次函数的性质,判断复合函数单调性的方法为:“同增异减”,该类问题要注意在定义域内求单调区间15(5分)【分析】直接利用有理指数幂的运算性质化简求值【解答】解:故答案为:【点评】本题考查有理指数幂的化简求值,是基础题16(5分)已知函数f(x)对任意xR满足f(x+2)f(2x),且在2,+上为增函数,若g(x)f(x+2),则不等式2g(5x)3g(x3+4x2+2)g(5x)的解集是(,1)(1,2)【分析】根据f(x+2)f(2x)及g(x)f(x+2)即可求出g(x)g(x),即得出g(x)为奇函数,且根据条件可得出g(x)在0,+)上单调递增,从

19、而得出g(x)在R上单调递增这样即可根据不等式2g(5x)3g(x3+4x2+2)g(5x)得出,5xx3+4x2+2,解该不等式即可【解答】解:f(x+2)f(2x),g(x)f(x+2);g(x)f(x+2)f(2+x)g(x);g(x)为奇函数;f(x)在2,+)上为增函数;f(x+2)在0,+)上为增函数;g(x)在0,+)上为增函数;g(x)在R上为增函数;由2g(5x)3g(x3+4x2+2)g(5x)得,2g(5x)3g(x3+4x2+2)g(5x);g(5x)g(x3+4x2+2);5xx3+4x2+2;(x3x2)(3x25x+2)0;x2(x1)(1x)(23x)0;(x1

20、)(x23x+2)0;解得x1,或1x2;原不等式的解集为(,1)(1,2)故答案为:(,1)(1,2)【点评】考查奇函数的定义,奇函数在0,+)上单调递增时,该奇函数在R上也递增,增函数的定义,以及高次不等式的解法三、解答题(本大题共6小题,共70分.解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17(10分)已知命题;命题q:xB,Bx|1ax1+a,a0若p是q的必要不充分条件,求实数a的取值范围【分析】命题x|(x2)(x+3)0命题q:xB,Bx|1ax1+a,a0根据p是q的必要不充分条件,即可得出【解答】解:命题x|(x2)(x+3)0(3,2)命题q:xB,Bx|1ax1+a,a0

21、p是q的必要不充分条件,解得0a2实数a的取值范围是(0,2【点评】本题考查了不等式的解法、简易逻辑的判定方法,考查了推理能力与计算能力,属于基础题18(12分)解关于x的不等式ax2(2a+3)x+60(aR)【分析】首先讨论不等式的类型:(1)a0时,是一次不等式;(2)a0时,是一元二次不等式,然后讨论a的符号,再讨论两根与2的大小【解答】解:原不等式可化为:(ax3)(x2)0;当a0时,化为:x2;当a0时,化为:(x)(x2)0,当2,即0a时,解为:x或x2;当2,即a时,解为:x2;当2,即a时,解为:x2或x,当a0时,化为:(x)(x2)0,解为:x2综上所述:当a0时,原

22、不等式的解集为:(,2);当a0时,原不等式的解集为:(,2);当0a时,原不等式的解集为:(,2)(,+);当a时,原不等式的解集为:(,2)(2,+);当a时,原不等式的解集为:(,)(2,+)【点评】本题考查了含参数的一元二次不等式的解法属中档题19(12分)已知定义域为R的奇函数f(x),当x0时,f(x)ax2+bx+8(0a4),点A(2,0)在函数f(x)的图象上,且关于x的方程f(x)+10有两个相等的实根(1)求函数f(x)解析式;(2)若xt,t+2(t0)时,函数f(x)有最小值1,求实数t的值【分析】(1)定义域为R的奇函数f(x),则f(0)0,在结合f(x)f(x)

23、可得x0的解析式;(2)根据xt,t+2(t0)时,可得f(x)x26x+8,根据对称轴讨论最小值即可求解t的值;【解答】解:定义域为R的奇函数f(x),则f(0)0,当x0时,f(x)ax2+bx+8(0a4),点A(2,0)在函数f(x)的图象上,4a+2b+80,即b2a4关于x的方程f(x)+10有两个相等的实根即ax2+bx+90有两个相等的实根那么b236a0由解得:a1或a4(舍去);b6则当x0时,f(x)x26x+8;当x0时,x0,f(x)x2+6x+8f(x),f(x)x2+6x8函数f(x)解析式f(x);(2)由xt,t+2(t0)时,可得f(x)x26x+8,其对称

24、轴x3;当0t1时,可得f(x)在区间xt,t+2上单调递减,可得f(x)minf(t+2)(t+2)26(t+2)+81解得:t1(舍去),当1t3时,可得f(x)在区间xt,t+2上不单调,可得f(x)minf(3)1;当t3时,可得f(x)在区间xt,t+2上单调递增,可得f(x)minf(t)t26t+81;解得:t满足题意的t函数f(x)有最小值1,实数t的值为【点评】本题主要考查二次函数的最值讨论,利用函数的奇偶性和单调性之间的关系是解决本题的关键,综合考查函数性质的应用20(12分)已知函数为奇函数(1)求实数k的值;(2)判断函数f(x)在(3,+)上的单调性,并利用定义证明;

25、(3)解关于x的不等式f(2x+6)f(4x+32x+3)【分析】(1)根据f(x)是奇函数即可得出,从而可求出k0;(2)先写出,根据单调性定义,设x1x23,然后作差,通分,提取公因式,可判断出f(x1)f(x2),从而得出f(x)在(3,+)上单调递增;(3)根据上面得出的f(x)在(3,+)上是增函数,可由f(2x+6)f(4x+32x+3)得出2x+64x+32x+3,解该不等式即可【解答】解:(1)f(x)是奇函数;f(x)f(x);x2kx+9x2+kx+9;kxkx;k0;(2)在(3,+)上是增函数,证明如下:设x1x23,则:;x1x23;x1x20,x1x29,;f(x1

26、)f(x2)0;f(x1)f(x2);f(x)在(3,+)上是增函数;(3)由(2)知,f(x)在(3,+)上是增函数,且2x+63,4x+32x+33;由f(2x+6)f(4x+32x+3)得,2x+64x+32x+3;(2x)2+22x30;32x1;x0;原不等式的解集为(,0)【点评】考查奇函数的定义,函数单调性定义,根据单调性定义判断和证明函数单调性的方法和过程,一元二次不等式的解法,以及指数函数的单调性21(12分)定义在(0,+)的函数f(x)满足如下三个条件:对于任意正实数a、b,都有f(ab)f(a)+f(b)1;f(2)0;x1时,总有f(x)1(1)求f(1)及的值;(2

27、)求证:函数f(x)在(0,+)上是减函数;(3)如果存在正数k,使关于x的方程f(kx)+f(2x)1有解,求正实数k的取值范围【分析】(1)令ab1,a2,b,即可求得f(1)及的值;(2)当x1时,f(x)1,根据函数单调性的定义讨论函数的单调性;(3)把f(kx)+f(2x)根据条件转化为fkx(2x)1,根据函数的单调性把函数值转化为自变量x的方程,分离参数转化我求函数的值域即可得到所求范围【解答】解:(1)令ab1得f(1)2f(1)1,即有f(1)1;令a2,b,可得f(1)f(2)+f()1f()11,即有f()2;(2)证明:设0x1x2,可得1,可得f()1,由f(x2)f

28、(x1)f(x1)+f()1f(x1),可得函数f(x)在(0,+)上是减函数;(3)由f(4)2f(2)11,f(8)f(2)+f(4)12,可得关于x的方程f(kx)+f(2x)1即为f(kx(2x)2f(8),函数f(x)在(0,+)上是减函数,可得kx(2x)8在0x2有解,即有k,由0x2可得x(2x)(0,1,则k的范围是8,+)【点评】本题考查利用函数单调性的定义探讨抽象函数的单调性问题,对于解决抽象函数的一般采用赋值法,求某些函数值和解不等式等,体现了转化的思想,同时考查分离参数的方法,转化为函数的最值问题,属于综合题22(12分)已知函数(1)若函数的值域为0,+),求实数a的取值范围;(2)若关于x的不等式F(x)af(x)+12恒成立,求实数a的取值范围【分析】(1)换元令f(x)t后,求出g(x)的值域后,与已知值域比较得:82a0,得a4;(2)换元令f(x)t后,转化为关于t的不等式在4,+)上恒成立【解答】解:(1)令f(x)tg(x)依题意:82a0,a4(2)令f(x)t,则不等式转化为:t22at+16at+12,即3at+,对任意t4,+)恒成立,yt+4,当且仅当t时等号成立,t2,又t4,+),t+在t4时取得最小值,所以3a5,a所以实数a 的实数的取值范围为(,)【点评】本题考查了不等式恒成立、换元法属难题