1、2018-2019学年辽宁省沈阳市高一（上）期末数学试卷一.选择题：本大题12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1（5分）在下列选项中，能正确表示集合A2，0，2和Bx|x2+2x0关系的是（）AABBABCABDAB2（5分）若ba0，则下列结论不正确的是（）Aa2b2Babb2CD|a|+|b|a+b|3（5分）设函数f（x），则f（log39）（）A1B3C6D94（5分）若x2，则的最小值是（）A0B1C2D45（5分）函数f（x）2x+log2x3的零点所在区间（）A（0，1）B（1，2）C（2，3）D（3，4）6（5分）条件p：关于x的不等式（a
2、4）x2+2（a4）x40（aR）的解集为R；条件q：0a4，则p是q的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件7（5分）函数f（x）2ax+21（a0且a1）图象恒过的定点是（）A（2，1）B（2，1）C（1，1）D（1，1）8（5分）设m，n是两条不同的直线，是两个不同的平面，下列命题中正确的是（）Am，n，则mnBm，n，则mnCm，n，则mnD，m，n，则mn9（5分）已知f（x）是定义在R上的偶函数，当x0时，f（x）x2x，则函数f（x）在R上的解析式是（）Af（x）x2+xBf（x）x（|x|1）Cf（x）|x|（|x|1）Df（x）|x|（x1）10
3、（5分）在一个实心圆柱中挖去一个内接直三棱柱洞后，剩余部分几何体如右图所示，已知实心圆柱底面直径为2，高为3，内接直三棱柱底面为斜边长是2的等腰直角三角形，则剩余部分几何体的表面积为（）A8+6+6B6+6+6C8+4+6D6+4+611（5分）设，则a，b，c的大小关系是（）AabcBcbaCcabDacb12（5分）对任意实数a，b定义运算“”：设f（x）（x21）（4x），若函数yf（x）+k恰有三个零点，则实数k的取值范围是（）A（2，1）B0，1C2，0）D2，1）二.填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）把答案填在答题纸的相应位置上.13（5分） 14（5分）已知函数f（x
4、）（2m1）xm+1为幂函数，则f（4） 15（5分）已知是定义在（，+）上的减函数，则实数a的取值范围是 16（5分）若正四棱锥PABCD的底面边长及高均为a，则此四棱锥内切球的表面积为 三.解答题：本大题共6小题，共70分.解答应用写出文字说明，证明过程或演算步骤.17（10分）设全集U是实数集R，集合Ax|x2+3x40，集合（）求集合A，集合B；（）求AB，AB，（UA）B18（12分）已知定义域为R的函数是奇函数，且a，bR（）求a，b的值；（）设函数，若将函数g（x）的图象作关于y轴的对称图形后得到函数k（x）的图象，再将函数k（x）的图象向右平移一个单位得到函数h（x）的图象，求
5、函数h（x）的解析式19（12分）在2018年珠海国际航展中展示的由中国自主研制的新一代隐形战斗机歼20以其优秀的机动能力，强大的作战性能引起举世惊叹假设一台歼20战斗机的制造费用为1250百万元已知飞机的维修费用第一年为1百万元，之后每年比上一年增加1百万元，若用x表示飞机使用年限（取整数），则在x年中（含第x年）飞机维修费用总和为百万元，记飞机在x年中维修和制造费用的年平均费用为y百万元，即y（飞机制造费用+飞机维修费用）飞机使用年限（）求y关于x的函数关系式；（）求飞机的使用年限为多少时，年平均费用最低？最低的年平均费用为多少？20（12分）如图所示，在四棱锥PABCD中，PA平面ABC
6、D，ABCPCD90，BACCAD60，设E、F分别为PD、AD的中点（）求证：CDAC；（）求证：PB平面CEF；21（12分）已知二次函数f（x）ax2+bx+1（a，b是实数），xR，若f（1）4，且方程f（x）+4x0有两个相等的实根（）求函数f（x）的解析式；（）求函数f（x）在区间上的最小值22（12分）已知函数f（x），对任意a，bR恒有f（a+b）f（a）+f（b）1，且当x0时，有f（x）1（）求f（0）；（）求证：f（x）在R上为增函数；（）若关于x的不等式对于任意恒成立，求实数t的取值范围2018-2019学年辽宁省沈阳市高一（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一.选择题
7、：本大题12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1（5分）在下列选项中，能正确表示集合A2，0，2和Bx|x2+2x0关系的是（）AABBABCABDAB【分析】解一元二次方程x2+2x0，得：x0或x2，可得B2，0，所以BA，可得解【解答】解：解方程x2+2x0，得：x0或x2，B2，0，又A2，0，2，所以BA，故选：B【点评】本题考查了集合的包含关系判断及应用，属简单题2（5分）若ba0，则下列结论不正确的是（）Aa2b2Babb2CD|a|+|b|a+b|【分析】利用作差法证明A、B正确，根据不等式证明C正确，D错误【解答】解：A：ba0，a2b2（
8、ab）（a+b）0，故A正确，B：ba0，abb2b（ab）0，故B正确，C：ba0，两边同除以ab，可得，故C正确，D：|a|+|b|a+b|，故D错误，故选：D【点评】本题考查了不等式的性质应用，以及作差法比较大小关系是属于基础题3（5分）设函数f（x），则f（log39）（）A1B3C6D9【分析】可求出log392，而将x2带入f（x）3x2即可求出f（2）的值，即得出f（log39）的值【解答】解：故选：A【点评】考查对数的运算，已知函数求值的方法4（5分）若x2，则的最小值是（）A0B1C2D4【分析】由题意可知x2+2，利用基本不等式即可求解最值【解答】解：x2，x20，则x2+
9、24，当且仅当x2即x3时，取得最小值4，故选：D【点评】本题主要考查了基本不等式在求解最值中的应用，属于基础试题5（5分）函数f（x）2x+log2x3的零点所在区间（）A（0，1）B（1，2）C（2，3）D（3，4）【分析】通过计算x1，x2，的函数，并判断符号，由零点存在性定理可知选B【解答】解：f（1）2+log21310，f（2）22+log2235320，根据零点存在性定理，f（x）的零点所在区间为（1，2）故选：B【点评】本题考查了函数零点的判定定理，属基础题6（5分）条件p：关于x的不等式（a4）x2+2（a4）x40（aR）的解集为R；条件q：0a4，则p是q的（）A充分不必
10、要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件【分析】先由二次函数的性质求出条件p中a的范围，再根据充分必要条件的定义即可判断【解答】解：条件p：关于x的不等式（a4）x2+2（a4）x40（aR）的解集为R，当a4时，40恒成立，当a4时，则，解得0a4，综上所述p中a的取值范围为0a4，所以则p是q的必要不充分条件，故选：B【点评】本题考查了函数恒成立的问题，以及充分必要条件，属于中档题7（5分）函数f（x）2ax+21（a0且a1）图象恒过的定点是（）A（2，1）B（2，1）C（1，1）D（1，1）【分析】根据指数函数的图象恒过定点（0，1），求得f（x）的图象所过的定点【解答】
11、解：函数f（x）2ax+21（a0且a1），令x+20，解得x2，yf（2）2a01211，f（x）的图象过定点（2，1）故选：B【点评】本题考查了指数函数恒过定点的应用问题，是基础题8（5分）设m，n是两条不同的直线，是两个不同的平面，下列命题中正确的是（）Am，n，则mnBm，n，则mnCm，n，则mnD，m，n，则mn【分析】根据同垂直与一个平面的两直线平行，显然C正确【解答】解：A，m，n也可能相交或异面；B，m，n也可能异面；C，同垂直与一个平面的两直线平行，正确；D，m，n也可能异面故选：C【点评】此题考查了线线，线面，面面之间的关系，属容易题9（5分）已知f（x）是定义在R上的偶
12、函数，当x0时，f（x）x2x，则函数f（x）在R上的解析式是（）Af（x）x2+xBf（x）x（|x|1）Cf（x）|x|（|x|1）Df（x）|x|（x1）【分析】先设x0，则x0，然后根据x0时函数的解析式及f（x）为偶函数f（x）f（x）即可求解【解答】解：设x0，则x0，x0时，f（x）x2x，f（x）（x）2+xx2+x，f（x）是定义在R上的偶函数，f（x）f（x），f（x）x2+x，f（x）|x|2+|x|x|（|x|+1），故选：C【点评】本题主要考查了利用偶函数的性质求解函数的解析式，属于基础试题10（5分）在一个实心圆柱中挖去一个内接直三棱柱洞后，剩余部分几何体如右图所示
13、，已知实心圆柱底面直径为2，高为3，内接直三棱柱底面为斜边长是2的等腰直角三角形，则剩余部分几何体的表面积为（）A8+6+6B6+6+6C8+4+6D6+4+6【分析】底面积由圆面积减三角形面积可得，侧面积由三角形周长和圆周长同乘以高可得，故容易得解【解答】解：剩余几何体的底面积为：2（）22，剩余几何体的侧面积为：（2+2）3+236+6+6，剩余几何体的表面积为：8，故选：C【点评】此题考查了柱体表面积，难度不大11（5分）设，则a，b，c的大小关系是（）AabcBcbaCcabDacb【分析】利用指数函数、对数函数的单调性求解【解答】解：20.6201，log310，0lne1，acb故
14、选：D【点评】本题考查对数的大小比较，考查了指数函数与对数函数的性质，是基础题12（5分）对任意实数a，b定义运算“”：设f（x）（x21）（4x），若函数yf（x）+k恰有三个零点，则实数k的取值范围是（）A（2，1）B0，1C2，0）D2，1）【分析】化简函数f（x）的解析式，作出函数yf（x）的图象，由题意可得，函数yf（x）与yk的图象有3个交点，结合图象求得结果【解答】解：当（x21）（4x）1时，f（x）x21，（3x2），当（x21）（4x）1时，f（x）x+4，（x2或x3），函数yf（x）的图象如图所示：由图象得：1k2，2k1，函数yf（x）与yk的图象有3个交点，即函数y
15、f（x）+k的图象与x轴恰有三个公共点；故选：D【点评】本题主要考查根据函数的解析式作出函数的图象，体现了化归与转化、数形结合的数学思想，属于基础题二.填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）把答案填在答题纸的相应位置上.13（5分）19【分析】利用有理指数幂及对数的性质运算可得【解答】解：原式（33）3log223+lg533（3）+19+9+119故答案为：19【点评】本题考查了对数的运算性质，属基础题14（5分）已知函数f（x）（2m1）xm+1为幂函数，则f（4）16【分析】根据幂函数的定义求出m的值，写出f（x）的解析式，计算f（4）的值【解答】解：函数f（x）（2m1）xm+
16、1为幂函数，2m11，解得m1，f（x）x2，f（4）4216，故答案为：16【点评】本题考查了幂函数的定义与应用问题，是基础题15（5分）已知是定义在（，+）上的减函数，则实数a的取值范围是）【分析】分段函数f（x）是R上的减函数，从而得出每段函数都是减函数，并且左段函数的右端点大于右段函数的左端点，即得出，解出a的范围即可【解答】解：f（x）是定义在R上的减函数；解得；实数a的取值范围是故答案为：【点评】考查减函数的定义，分段函数、一次函数和对数函数的单调性16（5分）若正四棱锥PABCD的底面边长及高均为a，则此四棱锥内切球的表面积为【分析】作出图形，利用内切圆半径，边长，高为已知条件建
17、立关于r的方程，得解【解答】解：如图，M，N为AD，BC的中点，E，F为切点，则OEOFr，ENNF，PEa，PN，OPar，PF，在OFP中，得，内切球表面积为4r24，故答案为：【点评】此题考查了棱锥内切球问题，难度不大三.解答题：本大题共6小题，共70分.解答应用写出文字说明，证明过程或演算步骤.17（10分）设全集U是实数集R，集合Ax|x2+3x40，集合（）求集合A，集合B；（）求AB，AB，（UA）B【分析】（）解不等式能求出集合A和集合B（）利用交集、并集、补集定义能求出AB，AB和（UA）B【解答】（本题满分10分）解：（）由全集U是实数集R，集合Ax|x2+3x40x|4x
18、1，（2分）集合x|1x2（4分）（）ABx|1x1，（6分）ABx|4x2，（8分）UAx|x4或x1，（UA）Bx|1x2（10分）【点评】本题考查集合、交集、并集、补集的求法，考查交集、并集、补集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题18（12分）已知定义域为R的函数是奇函数，且a，bR（）求a，b的值；（）设函数，若将函数g（x）的图象作关于y轴的对称图形后得到函数k（x）的图象，再将函数k（x）的图象向右平移一个单位得到函数h（x）的图象，求函数h（x）的解析式【分析】（）利用f（0）0，f（1）f（1）列方程组解得；（）先由（1）求f（x）代入得g（x）3x+1，然
19、后关于y轴对称，把x换成x即可得k（x）3x+1，最后按照左加右减平移可得【解答】解：（）定义域为R的函数是奇函数，即，解得；（）由（）知，g（x）3x+1函数g（x）的图象作关于y轴的对称图形，得到k（x）的图象，k（x）3x+1将k（x）的图象向右平移一个单位得到h（x）的图象，h（x）3（x1）+1【点评】本题考查了函数奇偶性的性质与判断，属中档题19（12分）在2018年珠海国际航展中展示的由中国自主研制的新一代隐形战斗机歼20以其优秀的机动能力，强大的作战性能引起举世惊叹假设一台歼20战斗机的制造费用为1250百万元已知飞机的维修费用第一年为1百万元，之后每年比上一年增加1百万元，若
20、用x表示飞机使用年限（取整数），则在x年中（含第x年）飞机维修费用总和为百万元，记飞机在x年中维修和制造费用的年平均费用为y百万元，即y（飞机制造费用+飞机维修费用）飞机使用年限（）求y关于x的函数关系式；（）求飞机的使用年限为多少时，年平均费用最低？最低的年平均费用为多少？【分析】（）由y（飞机制造费用+飞机维修费用）飞机使用年限可得y关于x的函数关系式；（）由（）可知，即可【解答】解：（）由题意可得（6分）（不写x范围或写错扣2分）（）由（）可知，（9分）当且仅当，即x50时，等号成立（11分）答：使用年限为50年时，年平均费用最低，最低的年平均费用为50.5百万元（12分）【点评】本题主
21、要考查函数模型的建立与应用，还涉及了基本不等式求函数最值问题，属于中档题20（12分）如图所示，在四棱锥PABCD中，PA平面ABCD，ABCPCD90，BACCAD60，设E、F分别为PD、AD的中点（）求证：CDAC；（）求证：PB平面CEF；【分析】（）推导出PACD，PCCD，从而CD平面PAC，由此能证明CDAC（）推导出CFAB，CF平面PAB，EFPA，EF平面PAB，从而平面CEF平面PAB，由此能证明PB平面CEF【解答】（本小题满分12分）证明：（）PA平面ABCD，PACDPCD90，PCCD（2分）PAPCP，CD平面PAC，AC平面PAC，CDAC（4分）（）由（）得
22、ACD90在直角三角形ACD中，CAD60，CFAF，ACF60，CFAB（6分）CF平面PAB，AB平面PAB，CF平面PAB（8分）E、F分别是PD、AD中点，EFPA，又EF平面PAB，PA平面PAB，EF平面PABCFEFF，平面CEF平面PAB（10分）PB平面PAB，PB平面CEF（12分）【点评】本题考查线线垂直、线面平行的证明，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题21（12分）已知二次函数f（x）ax2+bx+1（a，b是实数），xR，若f（1）4，且方程f（x）+4x0有两个相等的实根（）求函数f（x）的解析式；（）求函数f（x）在区间
23、上的最小值【分析】（）根据题意，由f（1）4可得ab+14，即ba3，又由方程f（x）+4x0有两个相等的实根，即方程ax2+（a+1）x+10有两个相等的实根，分析可得（a+1）24a0，解可得a、b的值，代入函数的解析式中即可得答案；（）由二次函数的解析式求出f（x）的对称轴，分情况讨论t的范围，结合二次函数的性质分析函数的最小值，综合即可得答案【解答】解：（）根据题意，二次函数f（x）ax2+bx+1，若f（1）4，则ab+14，即ba3，又由方程f（x）+4x0有两个相等的实根，即方程ax2+（a+1）x+10有两个相等的实根，则有（a+1）24a0，解可得：a1，b2，则f（x）x2
24、2x+1；（）由（）的结论，f（x）x22x+1，则f（x）对称轴为x1，当时，f（x）在单调递减，f（x）最小值为f（t）t22t+1；当t1时，f（x）在单调递减，在（1，t上单调递增，f（x）最小值为f（1）0【点评】本题考查二次函数的性质以及最值，关键是求出a、b的值，确定函数的解析式22（12分）已知函数f（x），对任意a，bR恒有f（a+b）f（a）+f（b）1，且当x0时，有f（x）1（）求f（0）；（）求证：f（x）在R上为增函数；（）若关于x的不等式对于任意恒成立，求实数t的取值范围【分析】（）根据题意，由特殊值法分析：令ab0，则f（0）2f（0）1，变形可得f（0）的值，
25、（）任取x1，x2R，且设x1x2，则x2x10，结合f（a+b）f（a）+f（b）1，分析可得f（x2）f（x1），结合函数的单调性分析可得答案；（）根据题意，原不等式可以变形为，结合函数的单调性可得，令mlog2x，则原问题转化为2m22m+4t40在m3，1上恒成立，即4t2m2+2m+4对任意m3，1恒成立，结合二次函数的性质分析可得答案【解答】解：（）根据题意，在f（a+b）f（a）+f（b）1中，令ab0，则f（0）2f（0）1，则有f（0）1；（）证明：任取x1，x2R，且设x1x2，则x2x10，f（x2x1）1，又由f（a+b）f（a）+f（b）1，则f（x2）f（x2x1）+x1f（x2x1）+f（x1）11+f（x1）1f（x1），则有f（x2）f（x1），故f（x）在R上为增函数（）根据题意，即，则，又由f（0）1，则，又由f（x）在R上为增函数，则，令mlog2x，则3m1，则原问题转化为2m22m+4t40在m3，1上恒成立，即4t2m2+2m+4对任意m3，1恒成立，令y2m2+2m+4，只需4ty最小值，而，m3，1，当m3时，y最小值20，则4t20故t的取值范围是t5【点评】本题考查函数的恒成立问题，涉及抽象函数的单调性以及求值，注意特殊值法求出f（0）的值