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2018-2019学年辽宁省沈阳市高一(上)期末数学试卷(含详细解答)

1、2018-2019学年辽宁省沈阳市高一(上)期末数学试卷一.选择题:本大题12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1(5分)在下列选项中,能正确表示集合A2,0,2和Bx|x2+2x0关系的是()AABBABCABDAB2(5分)若ba0,则下列结论不正确的是()Aa2b2Babb2CD|a|+|b|a+b|3(5分)设函数f(x),则f(log39)()A1B3C6D94(5分)若x2,则的最小值是()A0B1C2D45(5分)函数f(x)2x+log2x3的零点所在区间()A(0,1)B(1,2)C(2,3)D(3,4)6(5分)条件p:关于x的不等式(a

2、4)x2+2(a4)x40(aR)的解集为R;条件q:0a4,则p是q的()A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件7(5分)函数f(x)2ax+21(a0且a1)图象恒过的定点是()A(2,1)B(2,1)C(1,1)D(1,1)8(5分)设m,n是两条不同的直线,是两个不同的平面,下列命题中正确的是()Am,n,则mnBm,n,则mnCm,n,则mnD,m,n,则mn9(5分)已知f(x)是定义在R上的偶函数,当x0时,f(x)x2x,则函数f(x)在R上的解析式是()Af(x)x2+xBf(x)x(|x|1)Cf(x)|x|(|x|1)Df(x)|x|(x1)10

3、(5分)在一个实心圆柱中挖去一个内接直三棱柱洞后,剩余部分几何体如右图所示,已知实心圆柱底面直径为2,高为3,内接直三棱柱底面为斜边长是2的等腰直角三角形,则剩余部分几何体的表面积为()A8+6+6B6+6+6C8+4+6D6+4+611(5分)设,则a,b,c的大小关系是()AabcBcbaCcabDacb12(5分)对任意实数a,b定义运算“”:设f(x)(x21)(4x),若函数yf(x)+k恰有三个零点,则实数k的取值范围是()A(2,1)B0,1C2,0)D2,1)二.填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)把答案填在答题纸的相应位置上.13(5分) 14(5分)已知函数f(x

4、)(2m1)xm+1为幂函数,则f(4) 15(5分)已知是定义在(,+)上的减函数,则实数a的取值范围是 16(5分)若正四棱锥PABCD的底面边长及高均为a,则此四棱锥内切球的表面积为 三.解答题:本大题共6小题,共70分.解答应用写出文字说明,证明过程或演算步骤.17(10分)设全集U是实数集R,集合Ax|x2+3x40,集合()求集合A,集合B;()求AB,AB,(UA)B18(12分)已知定义域为R的函数是奇函数,且a,bR()求a,b的值;()设函数,若将函数g(x)的图象作关于y轴的对称图形后得到函数k(x)的图象,再将函数k(x)的图象向右平移一个单位得到函数h(x)的图象,求

5、函数h(x)的解析式19(12分)在2018年珠海国际航展中展示的由中国自主研制的新一代隐形战斗机歼20以其优秀的机动能力,强大的作战性能引起举世惊叹假设一台歼20战斗机的制造费用为1250百万元已知飞机的维修费用第一年为1百万元,之后每年比上一年增加1百万元,若用x表示飞机使用年限(取整数),则在x年中(含第x年)飞机维修费用总和为百万元,记飞机在x年中维修和制造费用的年平均费用为y百万元,即y(飞机制造费用+飞机维修费用)飞机使用年限()求y关于x的函数关系式;()求飞机的使用年限为多少时,年平均费用最低?最低的年平均费用为多少?20(12分)如图所示,在四棱锥PABCD中,PA平面ABC

6、D,ABCPCD90,BACCAD60,设E、F分别为PD、AD的中点()求证:CDAC;()求证:PB平面CEF;21(12分)已知二次函数f(x)ax2+bx+1(a,b是实数),xR,若f(1)4,且方程f(x)+4x0有两个相等的实根()求函数f(x)的解析式;()求函数f(x)在区间上的最小值22(12分)已知函数f(x),对任意a,bR恒有f(a+b)f(a)+f(b)1,且当x0时,有f(x)1()求f(0);()求证:f(x)在R上为增函数;()若关于x的不等式对于任意恒成立,求实数t的取值范围2018-2019学年辽宁省沈阳市高一(上)期末数学试卷参考答案与试题解析一.选择题

7、:本大题12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1(5分)在下列选项中,能正确表示集合A2,0,2和Bx|x2+2x0关系的是()AABBABCABDAB【分析】解一元二次方程x2+2x0,得:x0或x2,可得B2,0,所以BA,可得解【解答】解:解方程x2+2x0,得:x0或x2,B2,0,又A2,0,2,所以BA,故选:B【点评】本题考查了集合的包含关系判断及应用,属简单题2(5分)若ba0,则下列结论不正确的是()Aa2b2Babb2CD|a|+|b|a+b|【分析】利用作差法证明A、B正确,根据不等式证明C正确,D错误【解答】解:A:ba0,a2b2(

8、ab)(a+b)0,故A正确,B:ba0,abb2b(ab)0,故B正确,C:ba0,两边同除以ab,可得,故C正确,D:|a|+|b|a+b|,故D错误,故选:D【点评】本题考查了不等式的性质应用,以及作差法比较大小关系是属于基础题3(5分)设函数f(x),则f(log39)()A1B3C6D9【分析】可求出log392,而将x2带入f(x)3x2即可求出f(2)的值,即得出f(log39)的值【解答】解:故选:A【点评】考查对数的运算,已知函数求值的方法4(5分)若x2,则的最小值是()A0B1C2D4【分析】由题意可知x2+2,利用基本不等式即可求解最值【解答】解:x2,x20,则x2+

9、24,当且仅当x2即x3时,取得最小值4,故选:D【点评】本题主要考查了基本不等式在求解最值中的应用,属于基础试题5(5分)函数f(x)2x+log2x3的零点所在区间()A(0,1)B(1,2)C(2,3)D(3,4)【分析】通过计算x1,x2,的函数,并判断符号,由零点存在性定理可知选B【解答】解:f(1)2+log21310,f(2)22+log2235320,根据零点存在性定理,f(x)的零点所在区间为(1,2)故选:B【点评】本题考查了函数零点的判定定理,属基础题6(5分)条件p:关于x的不等式(a4)x2+2(a4)x40(aR)的解集为R;条件q:0a4,则p是q的()A充分不必

10、要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件【分析】先由二次函数的性质求出条件p中a的范围,再根据充分必要条件的定义即可判断【解答】解:条件p:关于x的不等式(a4)x2+2(a4)x40(aR)的解集为R,当a4时,40恒成立,当a4时,则,解得0a4,综上所述p中a的取值范围为0a4,所以则p是q的必要不充分条件,故选:B【点评】本题考查了函数恒成立的问题,以及充分必要条件,属于中档题7(5分)函数f(x)2ax+21(a0且a1)图象恒过的定点是()A(2,1)B(2,1)C(1,1)D(1,1)【分析】根据指数函数的图象恒过定点(0,1),求得f(x)的图象所过的定点【解答】

11、解:函数f(x)2ax+21(a0且a1),令x+20,解得x2,yf(2)2a01211,f(x)的图象过定点(2,1)故选:B【点评】本题考查了指数函数恒过定点的应用问题,是基础题8(5分)设m,n是两条不同的直线,是两个不同的平面,下列命题中正确的是()Am,n,则mnBm,n,则mnCm,n,则mnD,m,n,则mn【分析】根据同垂直与一个平面的两直线平行,显然C正确【解答】解:A,m,n也可能相交或异面;B,m,n也可能异面;C,同垂直与一个平面的两直线平行,正确;D,m,n也可能异面故选:C【点评】此题考查了线线,线面,面面之间的关系,属容易题9(5分)已知f(x)是定义在R上的偶

12、函数,当x0时,f(x)x2x,则函数f(x)在R上的解析式是()Af(x)x2+xBf(x)x(|x|1)Cf(x)|x|(|x|1)Df(x)|x|(x1)【分析】先设x0,则x0,然后根据x0时函数的解析式及f(x)为偶函数f(x)f(x)即可求解【解答】解:设x0,则x0,x0时,f(x)x2x,f(x)(x)2+xx2+x,f(x)是定义在R上的偶函数,f(x)f(x),f(x)x2+x,f(x)|x|2+|x|x|(|x|+1),故选:C【点评】本题主要考查了利用偶函数的性质求解函数的解析式,属于基础试题10(5分)在一个实心圆柱中挖去一个内接直三棱柱洞后,剩余部分几何体如右图所示

13、,已知实心圆柱底面直径为2,高为3,内接直三棱柱底面为斜边长是2的等腰直角三角形,则剩余部分几何体的表面积为()A8+6+6B6+6+6C8+4+6D6+4+6【分析】底面积由圆面积减三角形面积可得,侧面积由三角形周长和圆周长同乘以高可得,故容易得解【解答】解:剩余几何体的底面积为:2()22,剩余几何体的侧面积为:(2+2)3+236+6+6,剩余几何体的表面积为:8,故选:C【点评】此题考查了柱体表面积,难度不大11(5分)设,则a,b,c的大小关系是()AabcBcbaCcabDacb【分析】利用指数函数、对数函数的单调性求解【解答】解:20.6201,log310,0lne1,acb故

14、选:D【点评】本题考查对数的大小比较,考查了指数函数与对数函数的性质,是基础题12(5分)对任意实数a,b定义运算“”:设f(x)(x21)(4x),若函数yf(x)+k恰有三个零点,则实数k的取值范围是()A(2,1)B0,1C2,0)D2,1)【分析】化简函数f(x)的解析式,作出函数yf(x)的图象,由题意可得,函数yf(x)与yk的图象有3个交点,结合图象求得结果【解答】解:当(x21)(4x)1时,f(x)x21,(3x2),当(x21)(4x)1时,f(x)x+4,(x2或x3),函数yf(x)的图象如图所示:由图象得:1k2,2k1,函数yf(x)与yk的图象有3个交点,即函数y

15、f(x)+k的图象与x轴恰有三个公共点;故选:D【点评】本题主要考查根据函数的解析式作出函数的图象,体现了化归与转化、数形结合的数学思想,属于基础题二.填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)把答案填在答题纸的相应位置上.13(5分)19【分析】利用有理指数幂及对数的性质运算可得【解答】解:原式(33)3log223+lg533(3)+19+9+119故答案为:19【点评】本题考查了对数的运算性质,属基础题14(5分)已知函数f(x)(2m1)xm+1为幂函数,则f(4)16【分析】根据幂函数的定义求出m的值,写出f(x)的解析式,计算f(4)的值【解答】解:函数f(x)(2m1)xm+

16、1为幂函数,2m11,解得m1,f(x)x2,f(4)4216,故答案为:16【点评】本题考查了幂函数的定义与应用问题,是基础题15(5分)已知是定义在(,+)上的减函数,则实数a的取值范围是)【分析】分段函数f(x)是R上的减函数,从而得出每段函数都是减函数,并且左段函数的右端点大于右段函数的左端点,即得出,解出a的范围即可【解答】解:f(x)是定义在R上的减函数;解得;实数a的取值范围是故答案为:【点评】考查减函数的定义,分段函数、一次函数和对数函数的单调性16(5分)若正四棱锥PABCD的底面边长及高均为a,则此四棱锥内切球的表面积为【分析】作出图形,利用内切圆半径,边长,高为已知条件建

17、立关于r的方程,得解【解答】解:如图,M,N为AD,BC的中点,E,F为切点,则OEOFr,ENNF,PEa,PN,OPar,PF,在OFP中,得,内切球表面积为4r24,故答案为:【点评】此题考查了棱锥内切球问题,难度不大三.解答题:本大题共6小题,共70分.解答应用写出文字说明,证明过程或演算步骤.17(10分)设全集U是实数集R,集合Ax|x2+3x40,集合()求集合A,集合B;()求AB,AB,(UA)B【分析】()解不等式能求出集合A和集合B()利用交集、并集、补集定义能求出AB,AB和(UA)B【解答】(本题满分10分)解:()由全集U是实数集R,集合Ax|x2+3x40x|4x

18、1,(2分)集合x|1x2(4分)()ABx|1x1,(6分)ABx|4x2,(8分)UAx|x4或x1,(UA)Bx|1x2(10分)【点评】本题考查集合、交集、并集、补集的求法,考查交集、并集、补集定义、不等式性质等基础知识,考查运算求解能力,是基础题18(12分)已知定义域为R的函数是奇函数,且a,bR()求a,b的值;()设函数,若将函数g(x)的图象作关于y轴的对称图形后得到函数k(x)的图象,再将函数k(x)的图象向右平移一个单位得到函数h(x)的图象,求函数h(x)的解析式【分析】()利用f(0)0,f(1)f(1)列方程组解得;()先由(1)求f(x)代入得g(x)3x+1,然

19、后关于y轴对称,把x换成x即可得k(x)3x+1,最后按照左加右减平移可得【解答】解:()定义域为R的函数是奇函数,即,解得;()由()知,g(x)3x+1函数g(x)的图象作关于y轴的对称图形,得到k(x)的图象,k(x)3x+1将k(x)的图象向右平移一个单位得到h(x)的图象,h(x)3(x1)+1【点评】本题考查了函数奇偶性的性质与判断,属中档题19(12分)在2018年珠海国际航展中展示的由中国自主研制的新一代隐形战斗机歼20以其优秀的机动能力,强大的作战性能引起举世惊叹假设一台歼20战斗机的制造费用为1250百万元已知飞机的维修费用第一年为1百万元,之后每年比上一年增加1百万元,若

20、用x表示飞机使用年限(取整数),则在x年中(含第x年)飞机维修费用总和为百万元,记飞机在x年中维修和制造费用的年平均费用为y百万元,即y(飞机制造费用+飞机维修费用)飞机使用年限()求y关于x的函数关系式;()求飞机的使用年限为多少时,年平均费用最低?最低的年平均费用为多少?【分析】()由y(飞机制造费用+飞机维修费用)飞机使用年限可得y关于x的函数关系式;()由()可知,即可【解答】解:()由题意可得(6分)(不写x范围或写错扣2分)()由()可知,(9分)当且仅当,即x50时,等号成立(11分)答:使用年限为50年时,年平均费用最低,最低的年平均费用为50.5百万元(12分)【点评】本题主

21、要考查函数模型的建立与应用,还涉及了基本不等式求函数最值问题,属于中档题20(12分)如图所示,在四棱锥PABCD中,PA平面ABCD,ABCPCD90,BACCAD60,设E、F分别为PD、AD的中点()求证:CDAC;()求证:PB平面CEF;【分析】()推导出PACD,PCCD,从而CD平面PAC,由此能证明CDAC()推导出CFAB,CF平面PAB,EFPA,EF平面PAB,从而平面CEF平面PAB,由此能证明PB平面CEF【解答】(本小题满分12分)证明:()PA平面ABCD,PACDPCD90,PCCD(2分)PAPCP,CD平面PAC,AC平面PAC,CDAC(4分)()由()得

22、ACD90在直角三角形ACD中,CAD60,CFAF,ACF60,CFAB(6分)CF平面PAB,AB平面PAB,CF平面PAB(8分)E、F分别是PD、AD中点,EFPA,又EF平面PAB,PA平面PAB,EF平面PABCFEFF,平面CEF平面PAB(10分)PB平面PAB,PB平面CEF(12分)【点评】本题考查线线垂直、线面平行的证明,考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识,考查运算求解能力,是中档题21(12分)已知二次函数f(x)ax2+bx+1(a,b是实数),xR,若f(1)4,且方程f(x)+4x0有两个相等的实根()求函数f(x)的解析式;()求函数f(x)在区间

23、上的最小值【分析】()根据题意,由f(1)4可得ab+14,即ba3,又由方程f(x)+4x0有两个相等的实根,即方程ax2+(a+1)x+10有两个相等的实根,分析可得(a+1)24a0,解可得a、b的值,代入函数的解析式中即可得答案;()由二次函数的解析式求出f(x)的对称轴,分情况讨论t的范围,结合二次函数的性质分析函数的最小值,综合即可得答案【解答】解:()根据题意,二次函数f(x)ax2+bx+1,若f(1)4,则ab+14,即ba3,又由方程f(x)+4x0有两个相等的实根,即方程ax2+(a+1)x+10有两个相等的实根,则有(a+1)24a0,解可得:a1,b2,则f(x)x2

24、2x+1;()由()的结论,f(x)x22x+1,则f(x)对称轴为x1,当时,f(x)在单调递减,f(x)最小值为f(t)t22t+1;当t1时,f(x)在单调递减,在(1,t上单调递增,f(x)最小值为f(1)0【点评】本题考查二次函数的性质以及最值,关键是求出a、b的值,确定函数的解析式22(12分)已知函数f(x),对任意a,bR恒有f(a+b)f(a)+f(b)1,且当x0时,有f(x)1()求f(0);()求证:f(x)在R上为增函数;()若关于x的不等式对于任意恒成立,求实数t的取值范围【分析】()根据题意,由特殊值法分析:令ab0,则f(0)2f(0)1,变形可得f(0)的值,

25、()任取x1,x2R,且设x1x2,则x2x10,结合f(a+b)f(a)+f(b)1,分析可得f(x2)f(x1),结合函数的单调性分析可得答案;()根据题意,原不等式可以变形为,结合函数的单调性可得,令mlog2x,则原问题转化为2m22m+4t40在m3,1上恒成立,即4t2m2+2m+4对任意m3,1恒成立,结合二次函数的性质分析可得答案【解答】解:()根据题意,在f(a+b)f(a)+f(b)1中,令ab0,则f(0)2f(0)1,则有f(0)1;()证明:任取x1,x2R,且设x1x2,则x2x10,f(x2x1)1,又由f(a+b)f(a)+f(b)1,则f(x2)f(x2x1)+x1f(x2x1)+f(x1)11+f(x1)1f(x1),则有f(x2)f(x1),故f(x)在R上为增函数()根据题意,即,则,又由f(0)1,则,又由f(x)在R上为增函数,则,令mlog2x,则3m1,则原问题转化为2m22m+4t40在m3,1上恒成立,即4t2m2+2m+4对任意m3,1恒成立,令y2m2+2m+4,只需4ty最小值,而,m3,1,当m3时,y最小值20,则4t20故t的取值范围是t5【点评】本题考查函数的恒成立问题,涉及抽象函数的单调性以及求值,注意特殊值法求出f(0)的值